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7.4.2　超几何分布
[学习目标]　
1.理解超几何分布的概念及特征.
2.会用超几何分布解决一些简单的实际问题．
一、超几何分布的概率
问题1　已知在10件产品中有4件次品，分别采取有放回和不放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为X，试写出X的分布列．
知识梳理
超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P(X＝k)＝__________________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
例1　(1)一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是(　　)
A．P(0C．P(X＝1) D．P(X＝2)
(2)现有来自甲、乙两班的学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为.
①求7名学生中甲班的学生数；
②设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率．
反思感悟　(1)解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布．
(2)注意公式中M，N，n的含义．
跟踪训练1　某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数．求至少有2名男生参加数学竞赛的概率．
二、超几何分布的分布列
例2　在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．甲能正确完成其中的4道题，且每道题完成与否互不影响．规定至少正确完成其中2道题便可过关．记所抽取的3道题中，甲答对的题数为X，求X的分布列．
反思感悟　求超几何分布的分布列的步骤
跟踪训练2　在10个乒乓球中有8个正品，2个次品．从中任取3个，求其中所含次品数的分布列．
三、超几何分布的均值
问题2　根据问题1，分析服从超几何分布的随机变量的均值是什么？
例3　(1)袋中有3个白球，1个红球，从中任取2个球，取得1个白球得0分，取得1个红球得2分，则所得分数X的均值E(X)为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．4
(2)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
①求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率；
②设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及均值．
反思感悟　求超几何分布均值的步骤
(1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值．
(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率．
(3)利用均值公式求解．
跟踪训练3　某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8道试题中随机挑选4道进行作答，至少答对3道才能通过初试．记在这8道试题中甲能答对6道，甲答对试题的个数为X，则甲通过自主招生初试的概率为________，E(X)＝________.
1．知识清单：
(1)超几何分布的概念及特征．
(2)超几何分布的概率及分布列．
(3)超几何分布的均值．
2．方法归纳：公式法．
3．常见误区：超几何分布的判断错误．
1．(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有(　　)
A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X
B．从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任取2台，记X表示所取的2台电脑中甲型电脑的台数
C．一名学生骑自行车上学，途中有6个红绿灯，记此学生遇到红灯的个数为X
D．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X
2．在100张奖券中，有4张能中奖，从这100张奖券中任取2张，则2张都能中奖的概率是(　　)
A. B.
C. D.
3．袋中有3个黑球、4个红球，除颜色外，其他均相同．从袋中任取3个球，则至少有1个红球的概率为________．
4．袋中有3个红球，7个白球，这些球除颜色不同外其余完全相同，从中无放回地任取5个，取出几个红球就得几分，则得分的均值为________．
7.4.2　超几何分布
问题1　若采用有放回抽样，则X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，其分布列为P(X＝k)＝C0.4k(1－0.4)3－k，k＝0,1,2,3.
若采用不放回抽样，“X＝k”，k＝0,1,2,3表示“取出的3件产品中恰有k件次品”，这意味着，从4件次品中取出k件，再从6件正品中取出3－k件，共有CC种取法，故X的分布列为P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.
知识梳理
例1　(1)B　[由题意可知，
P(X＝1)＝，
P(X＝0)＝ ，
故表示选1个白球或者一个白球都没有，即P(X≤1)．]
(2)解　①设甲班的学生人数为M，
则＝＝，
即M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2(舍去)．
∴7名学生中甲班的学生共有3人．
②由题意可知，ξ服从超几何分布．
∴P(ξ ≥1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)
＝＋
＝＋＝.
跟踪训练1　解　依题意，得随机变量X服从超几何分布，
且N＝10，M＝6，n＝4，
∴P(X＝m)＝(m＝0,1,2,3,4)．
∴P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
方法一　(直接法)
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)
＝＋＋＝.
方法二　(间接法)
由分布列的性质，得P(X≥2)＝1－P(X<2)
＝1－[P(X＝0)＋P(X＝1)]
＝1－＝.
例2　解　由题意得X可取1,2,3，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
故X的分布列为
X 1 2 3
P
跟踪训练2　解　记任取的3个乒乓球中，所含次品的个数为X，则X的所有可能取值为0,1,2.
有P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
问题2　设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝，
则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，
我们猜想E＝p，即E(X)＝np.
实际上，令m＝max{0，n－N＋M}，
r＝min{n，M}，
由随机变量均值的定义：当m>0时，
E(X)＝
＝M，(1)
因为C＝C，
所以E(X)＝C
＝＝＝np.
当m＝0时，注意到(1)式中间求和的第一项为0，类似可以证明结论依然成立．
例3　(1)B　[由题意，得X的可能取值为0或2，其中X＝0表示取得2个白球，X＝2表示取得1个白球和1个红球，所以P(X＝0)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
故X的均值E(X)＝0×＋2×＝1.]
(2)解　①设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，
则P(A)＝＝.
所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为.
②依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且随机变量X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以随机变量X的均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
跟踪训练3　　3
解析　依题意，知甲能通过自主招生初试的概率为
P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝＋＝.
由于X的可能取值为2,3,4，
P(X＝2)＝＝，
故E(X)
＝2×＋3×＋4×＝3.
随堂演练
1．ABD　[依据超几何分布模型定义可知，A，B，D中随机变量X服从超几何分布．而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故C中随机变量X不服从超几何分布．]
2．C　[记X为2张奖券中的中奖数，则P(X＝2)＝＝.]
3.
解析　令X表示取出的红球个数，则X的可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝＝，故至少有1个红球的概率为P(X≥1)＝1－＝.
4．1.5
解析　用X表示所得分数，则X也是取得的红球数，X服从超几何分布，且N＝10，M＝3，n＝5，
于是E(X)＝n·＝5×＝1.5.

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