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第四章 图形的性质
第十四节 全等三角形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 全等图形的概念和性质 ☆☆ 全等三角形的相关知识在各地中考都是属于必考内容，考查难度可以简单也可以难，但总体以中等偏下难度为主，广东中考单独考查相应知识点的题型很少，基本是在解答题里面作为其中一个环节或者解答工具进行考查，作为解答几何题型必须掌握的基本知识，复习过程中必须强打基础，巩固基本技能过好关，才能更好地完成后面几何类试题的深入研究。
考点2 全等三角形的判定 ☆☆
考点3 全等三角形的判定和性质综合运用 ☆☆☆
考点4 角平分线的性质 ☆☆
考点1 全等三角形的概念和性质
1.全等三角形的概念：能够_____的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做_____三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做_____顶点，互相重合的边叫做_____边，互相重合的角叫做_____角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。
2.全等三角形的表示和性质
全等用符号“≌”表示，读作“_____”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
考点2 三角形全等的判定
（1）边角边定理：有两边和它们的_____对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（2）角边角定理：有两角和它们的_____对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）边边边定理：有三边对应_____的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
（4）角角边定理：有两角和其中一个角所对的_____对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）
（5）对于特殊的直角三角形：判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有_____和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
考点3 全等三角形的判定和性质综合运用
1.在说明线段相等或角相等时,常常需要综合运用全等三角形的性质和判定.
2.全等变换只改变图形的_____，而不改变其形状和_____。
全等变换包括以下三种：
（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。
（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
考点4 角平分线的性质
1.角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离_____.
2.角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的_____上.
3.三角形的角平分线：三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.
4.与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.
考点1：全等三角形的概念和性质
◇例题
1．（2023 高州市校级二模）如图，△ABC≌△DEF，AC∥DF，则∠C的对应角为（　　）
A．∠F B．∠AGE C．∠AEF D．∠D
2．（2023 香洲区校级一模）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（　　）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
◆变式训练
1．（2021 广东模拟）如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝25°，则∠EAC的度数为（　　）
A．45° B．40° C．35° D．25°
2．（2023 广东模拟）如图，△ABC≌△BAD，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D，若AB＝8，AC＝3，BC＝7，则AD的长为（　　）
A．3 B．7
C．8 D．以上都不对
3．（2022 珠海二模）如图，△ABE≌△DCE，点E在线段AD上，点F在CD延长线上，∠F＝∠A，求证：AD∥BF．
考点2：三角形全等的判定
◇例题
1．（2023 怀集县二模）如图，在△ABC和△ABD中，已知AC＝AD，则添加以下条件，仍不能判定△ABC≌△ABD的是（　　）
A．BC＝BD B．∠ABC＝∠ABD C．∠C＝∠D＝90° D．∠CAB＝∠DAB
2．（2020 恩平市模拟）如图，AB＝DB，∠1＝∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（　　）
A．BC＝BE B．AC＝DE C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DEB
3．（2023 潮南区三模）如图，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，请添加一个条件 　 ，使△ABC≌△DEC．
4．（2023 金平区三模）如图，点E在△ABC边AC上，AE＝BC，BC∥AD，∠CED＝∠BAD．求证：△ABC≌△DEA．
5．（2014 高要市二模）已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B．求证：△ABC≌△CDE．
◆变式训练
1．（2020 佛山校级模拟）如图，在△ABC和△DCB中，∠ABC＝∠DCB，再添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（　　）
A．∠ACB＝∠DBC B．∠A＝∠D C．AB＝CD D．AC＝DB
2．（2022 河源模拟）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AC∥DF，AC＝DF，添加以下条件，仍不能使△ABC≌△DEF的是（　　）
A．∠A＝∠D B．AB＝DE C．AB∥DE D．BF＝EC
3．（2023 高州市一模）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，BE＝CF，请添加一个条件　 　，使△ABC≌△DEF．
4．（2023 增城区一模）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF．
求证：△ABE≌△DCF．
5．（2023 天河区校级三模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，连接AC．求证△ABC≌△CDA．
考点3：全等三角形的判定和性质综合运用
◇例题
1．（2023 光明区校级三模）一块三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如图所示），小明经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店，就可以让师傅配一块与原玻璃一样的玻璃．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（　　）
A．带其中的任意两块去都可以
B．带1、4或2、3去就可以了
C．带1、4或3、4去就可以了
D．带1、2或2、4去就可以了
2．（2023 曲江区校级一模）如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝25°，∠D＝80°，则∠BCA的度数为（　　）
A．25° B．50° C．65° D．75°
3．（2023 番禺区校级一模）已知：BE⊥CD，BE＝DE，EC＝EA，求证：∠B＝∠D．
4．（2023 顺德区校级一模）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，E，D为垂足，CF＝CB．
（1）求证；BE＝FD．
（2）若AE＝10，CD＝8，求四边形ABCF的面积．
◆变式训练
4．（2023 宝安区校级三模）如图，点M是线段AB的中点，AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，连接DM．若AC＝2，BD＝5，CD＝6，则DM的长为（　　）
A． B． C．3 D．
5．（2023 番禺区校级二模）如图，已知AB平分∠CAD，AC＝AD．求证：∠C＝∠D．
6．（2023 惠城区校级一模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，连接AE并延长交BC的延长线于F，连接BE．
（1）求证：AD＝CF；
（2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF．
考点4：角平分线的性质
◇例题
1．（2023 金平区一模）如图△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AC，AB＝3，DE＝2，则△ABD的面积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（2023 河源一模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，AC＝5，DE＝2，△ACD面积为 　 　．
3．（2023 蓬江区校级三模）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，求证：AD平分∠BAC．
◆变式训练
1．（2023 金平区三模）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，AO＝2，下面结论中不一定正确的是（　　）
A．∠BOC＝120°
B．∠BAO＝30°
C．OB＝3
D．点O到直线BC的距离是1
2．（2023 惠州二模）如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AE＝10，DE＝4，求AB的长．
1．（2023 广州）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，则点E到直线AD的距离为 　　．
2．（2022 深圳）已知△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，AE＝2，连接CE，以CE为底作直角三角形CDE，且CD＝DE．F是AE边上的一点，连接BD和BF，且∠FBD＝45°，则AF长为 　　．
3．（2022 广州）如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B＝∠C，BD＝CE，求证：△ABD≌△ACE．
4．（2021 广州）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE＝DF．
5．（2019 广州）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌△CFE．
6．（2023 广州）如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE．求证：∠C＝∠E．
7．（2022 广东）如图，已知∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：△OPD≌△OPE．
8．（2020 广东）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．
1．（2023 香洲区校级一模）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
2．（2022 龙岗区模拟）如图，△ABC≌△A′B′C，且点B′在AB边上，点A′恰好在BC的延长线上，下列结论错误的是（　　）
A．∠BCB′＝∠ACA′ B．∠ACB＝2∠B
C．∠B′CA＝∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′
3．（2023 南海区校级三模）如图，在△ABC 和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件可能是（　　）
A．∠A＝∠D B．AC∥DF C．BE＝CF D．AC＝DF
4．（2023 顺德区校级一模）如图，AC＝BC＝BE＝DE＝10cm，点A、B、D在同一条直线上，AB＝12cm，BD＝16cm，则点C和点E之间的距离是（　　）
A．6cm B．7cm C．8cm D．
5．（2020 惠州一模）如图，△ABC≌△EBD，∠E＝50°，∠D＝62°，则∠ABC的度数是（　　）
A．68° B．62° C．60° D．50°
6．（2023 宝安区校级三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝　 ．
7．（2022 蓬江区模拟）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：　 　，使△AEH≌△CEB．
8．（2023 荔湾区一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，连接AC．求证：△ABC≌△CDA．
9．（2023 顺德区校级一模）已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E．求证：PD＝PE．
10．（2023 荔湾区校级二模）已知：如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，AD与BE相交于点P，AD与BC相交于点M，BE与CD相交于点N．
求证：（1）∠APB＝60°；
（2）CM＝CN．
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第四章 图形的性质
第十四节 全等三角形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 全等图形的概念和性质 ☆☆ 全等三角形的相关知识在各地中考都是属于必考内容，考查难度可以简单也可以难，但总体以中等偏下难度为主，广东中考单独考查相应知识点的题型很少，基本是在解答题里面作为其中一个环节或者解答工具进行考查，作为解答几何题型必须掌握的基本知识，复习过程中必须强打基础，巩固基本技能过好关，才能更好地完成后面几何类试题的深入研究。
考点2 全等三角形的判定 ☆☆
考点3 全等三角形的判定和性质综合运用 ☆☆☆
考点4 角平分线的性质 ☆☆
考点1 全等三角形的概念和性质
1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。
2.全等三角形的表示和性质
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
考点2 三角形全等的判定
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
（4）角角边定理：有两角和其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）
（5）对于特殊的直角三角形：判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
考点3 全等三角形的判定和性质综合运用
1.在说明线段相等或角相等时,常常需要综合运用全等三角形的性质和判定.
2.全等变换只改变图形的位置，而不改变其形状和大小。
全等变换包括以下三种：
（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。
（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
考点4 角平分线的性质
1.角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2.角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
3.三角形的角平分线：三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.
4.与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.
考点1：全等三角形的概念和性质
◇例题
1．（2023 高州市校级二模）如图，△ABC≌△DEF，AC∥DF，则∠C的对应角为（　　）
A．∠F B．∠AGE C．∠AEF D．∠D
【分析】根据△ABC≌△DEF可得：∠B的对应角为∠DEF，∠BAC的对应角为∠D，∠C的对应角为∠F．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠C＝∠F，
∴∠C的对应角是∠F，
故选：A．
2．（2023 香洲区校级一模）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（　　）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
◆变式训练
1．（2021 广东模拟）如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝25°，则∠EAC的度数为（　　）
A．45° B．40° C．35° D．25°
【分析】根据全等三角形的性质求出∠D和∠E，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠D＝∠B＝80°，∠E＝∠C＝30°，
∴∠DAE＝180°﹣∠D﹣∠E＝70°，
∴∠EAC＝∠EAD﹣∠DAC＝45°，
故选：A．
2．（2023 广东模拟）如图，△ABC≌△BAD，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D，若AB＝8，AC＝3，BC＝7，则AD的长为（　　）
A．3 B．7
C．8 D．以上都不对
【分析】根据全等三角形的性质进行求解即可．
【解答】解：∵△ABC≌△BAD，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D，知AD和BC是对应边，BC＝7，
∴AD＝BC＝7．
故选：B．
3．（2022 珠海二模）如图，△ABE≌△DCE，点E在线段AD上，点F在CD延长线上，∠F＝∠A，求证：AD∥BF．
【分析】根据△ABE≌△DCE得到∠A＝∠ADC，然后利用∠F＝∠A得到∠F＝∠EDC，利用同位角相等，两直线平行证得结论．
【解答】证明：∵△ABE≌△DCE，
∴∠A＝∠ADC，
∵∠F＝∠A，
∴∠F＝∠EDC，
∴AD∥BF．
考点2：三角形全等的判定
◇例题
1．（2023 怀集县二模）如图，在△ABC和△ABD中，已知AC＝AD，则添加以下条件，仍不能判定△ABC≌△ABD的是（　　）
A．BC＝BD B．∠ABC＝∠ABD C．∠C＝∠D＝90° D．∠CAB＝∠DAB
【分析】根据全等三角形的判定定理分别判定即可．
【解答】解：A、根据SSS可判定△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；
B、根据SSA不能判定△ABC≌△ABD，故本选项符合题意；
C、根据HL可判定△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；
D、根据SAS可判定△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．（2020 恩平市模拟）如图，AB＝DB，∠1＝∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（　　）
A．BC＝BE B．AC＝DE C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DEB
【分析】本题要判定△ABC≌△DBE，已知AB＝DB，∠1＝∠2，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．
【解答】解：A、添加BC＝BE，可根据SAS判定△ABC≌△DBE，故正确；
B、添加AC＝DE，SSA不能判定△ABC≌△DBE，故错误；
C、添加∠A＝∠D，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确；
D、添加∠ACB＝∠DEB，可根据AAS判定△ABC≌△DBE，故正确．
故选：B．
3．（2023 潮南区三模）如图，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，请添加一个条件 　 ，使△ABC≌△DEC．
【分析】根据等式的性质可得∠DCE＝∠ACB，然后再利用全等三角形的判定方法SAS，ASA或AAS即可解答．
【解答】解：∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，
∴∠DCE＝∠ACB，
∵CA＝CD，CB＝CE，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
故答案为：CB＝CE（答案不唯一）．
4．（2023 金平区三模）如图，点E在△ABC边AC上，AE＝BC，BC∥AD，∠CED＝∠BAD．求证：△ABC≌△DEA．
【分析】根据平行线的性质推出∠DAC＝∠C，进而推出∠D＝∠BAC，利用AAS即可证明△ABC≌△DEA．
【解答】证明：∵BC∥AD，
∴∠DAC＝∠C，
∵∠CED＝∠BAD，∠CED＝∠D+∠DAC，∠BAD＝∠DAC+∠BAC，
∴∠D＝∠BAC，
在△ABC和△DEA，
，
∴△ABC≌△DEA（AAS）．
5．（2014 高要市二模）已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B．求证：△ABC≌△CDE．
【分析】首先根据AC∥DE，利用平行线的性质可得：∠ACB＝∠E，∠ACD＝∠D，再根据∠ACD＝∠B证出∠D＝∠B，再由∠ACB＝∠E，AC＝CE可根据三角形全等的判定定理AAS证出△ABC≌△CDE．
【解答】证明：∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠E，∠ACD＝∠D，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠D＝∠B，
在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△CDE（AAS）．
◆变式训练
1．（2020 佛山校级模拟）如图，在△ABC和△DCB中，∠ABC＝∠DCB，再添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（　　）
A．∠ACB＝∠DBC B．∠A＝∠D C．AB＝CD D．AC＝DB
【分析】根据全等三角形的判定逐个判断即可．
【解答】解：A．∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
B．∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
C．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
D．∠ABC＝∠DCB，AC＝DB，BC＝CB，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（2022 河源模拟）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AC∥DF，AC＝DF，添加以下条件，仍不能使△ABC≌△DEF的是（　　）
A．∠A＝∠D B．AB＝DE C．AB∥DE D．BF＝EC
【分析】根据平行线的性质得出∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠E，根据BF＝CE求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
A．∠A＝∠D，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．AB＝DE，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
C．∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，AC＝DF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
即BC＝EF，
BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，AC＝DF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．（2023 高州市一模）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，BE＝CF，请添加一个条件　 　，使△ABC≌△DEF．
【分析】根据AB∥DE可得∠B＝∠DEC，由BE＝CF，根据等式的性质可得CB＝EF，再加上条件AB＝DE可利用SAS定理证明△ABC≌△DEF．
【解答】解：添加条件：AB＝DE，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEC，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即CB＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
故答案为：AB＝DE．
4．（2023 增城区一模）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF．
求证：△ABE≌△DCF．
【分析】先利用两直线平行，内错角相等求出∠B＝∠C，再利用“AAS”即可求证．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS）．
5．（2023 天河区校级三模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，连接AC．求证△ABC≌△CDA．
【分析】根据平行线的性质得到∠BAC＝∠DCA，利用ASA即可证明．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠DAC＝∠ACB，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（ASA）．
考点3：全等三角形的判定和性质综合运用
◇例题
1．（2023 光明区校级三模）一块三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如图所示），小明经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店，就可以让师傅配一块与原玻璃一样的玻璃．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（　　）
A．带其中的任意两块去都可以
B．带1、4或2、3去就可以了
C．带1、4或3、4去就可以了
D．带1、2或2、4去就可以了
【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解答】解：带3、4可以用“角边角”确定三角形，
带1、4可以用“角边角”确定三角形，
故选：C．
2．（2023 曲江区校级一模）如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝25°，∠D＝80°，则∠BCA的度数为（　　）
A．25° B．50° C．65° D．75°
【分析】运用SAS公理，证明△ABC≌△ADC，得到∠D＝∠B＝80°，再根据三角形内角和为180°即可解决问题．
【解答】解：在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴∠D＝∠B＝80°，
∴∠BCA＝180°﹣25°﹣80°＝75°．
故选：D．
3．（2023 番禺区校级一模）已知：BE⊥CD，BE＝DE，EC＝EA，求证：∠B＝∠D．
【分析】根据边角边直接证明△BEC≌△DEA，根据全等三角形的性质即可得证．
【解答】证明：∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠DEA＝90°，
在△BEC与△DEA中，
，
∴△BEC≌△DEA（SAS），
∴∠B＝∠D．
4．（2023 顺德区校级一模）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，E，D为垂足，CF＝CB．
（1）求证；BE＝FD．
（2）若AE＝10，CD＝8，求四边形ABCF的面积．
【分析】（1）利用角平分线的性质得到CD＝CE，然后证明Rt△CBE≌Rt△CFD，从而得到BE＝FD；
（2）由“HL”可证Rt△ACD≌Rt△ACE，得到S△ACD＝S△ACE，则四边形ABCF的面积＝S四边形AECD＝2S△ACD，然后利用三角形面积公式计算．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CE，
在Rt△CBE和Rt△CFD中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝FD；
（2）解：∵AC＝AC，CD＝CE，
∴Rt△ACD≌Rt△ACE（HL），
∴S△ACD＝S△ACE，AE＝AD＝10，
∵Rt△CBE≌Rt△CFD，
∴S△CBE＝S△CFD，
∴四边形ABCF的面积＝S四边形AECD＝2S△ACD＝2××10×8＝40．
◆变式训练
4．（2023 宝安区校级三模）如图，点M是线段AB的中点，AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，连接DM．若AC＝2，BD＝5，CD＝6，则DM的长为（　　）
A． B． C．3 D．
【分析】延长DM，AC交于点E，证明△BDM≌△AEM，得到BD＝AE＝5，DM＝EM，再利用勾股定理求出DE，即可求出DM．
【解答】解：延长DM，AC交于点E，
∵AC⊥l，BD⊥l，
∴BD∥AE，
∴∠B＝∠A，
∵点M是线段AB的中点，
∴BM＝AM，
在△BDM和△AEM中，
，
∴△BDM≌△AEM（ASA），
∴BD＝AE＝5，DM＝EM，
∵AC＝2，
∴CE＝AE﹣AC＝5﹣2＝3，
在Rt△DCE中，
∵CD＝6，CE＝3，
∴由勾股定理，得DE＝＝＝，
∴DM＝DE＝，
故选：A．
5．（2023 番禺区校级二模）如图，已知AB平分∠CAD，AC＝AD．求证：∠C＝∠D．
【分析】根据角平分线的定义得到∠CAB＝∠DAB，推出△ACB≌△ADB，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB＝∠DAB，
在△ACB与△ADB中，
，
∴△ACB≌△ADB（SAS），
∴∠C＝∠D．
6．（2023 惠城区校级一模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，连接AE并延长交BC的延长线于F，连接BE．
（1）求证：AD＝CF；
（2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF．
【分析】（1）可通过说明△ADE≌△FCE，证明CF＝AD；
（2）证明AB＝BF，AE＝EF，由等腰三角形的“三线合一”的性质可得出结论．
【解答】解：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，∠ADE＝∠FCE．
∵点E是DC的中点，
∴DE＝CE．
在△ADE和△FCE中
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴CF＝AD．
（2）∵CF＝AD，AB＝BC+AD，
∴AB＝BF，
∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，
∴BE⊥AF．
考点4：角平分线的性质
◇例题
1．（2023 金平区一模）如图△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AC，AB＝3，DE＝2，则△ABD的面积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据角平分线性质得出DE＝DF＝2，再根据三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，如图所示：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE＝2，
∴DF＝DE＝2，
∵AB＝3，
∴△ABD的面积＝AB DF＝＝3，
故选：B．
2．（2023 河源一模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，AC＝5，DE＝2，△ACD面积为 　 　．
【分析】过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F，先利用角平分线的性质可得DE＝DF＝2，然后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答．
【解答】解：过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝2，
∴DE＝DF＝2，
∵AC＝5，
∴△ACD面积＝AC DF
＝×5×2
＝5，
故答案为：5．
3．（2023 蓬江区校级三模）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF
求证：AD平分∠BAC．
【分析】由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，即可判定Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），则可得DE＝DF，然后由角平分线的判定定理，即可证得AD平分∠BAC．
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
在Rt△ADE与Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAE＝∠DAF，
∴AD平分∠BAC．
◆变式训练
1．（2023 金平区三模）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，AO＝2，下面结论中不一定正确的是（　　）
A．∠BOC＝120°
B．∠BAO＝30°
C．OB＝3
D．点O到直线BC的距离是1
【分析】由角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝60°，由三角形内角和定理求出∠BOC的度数，由三角形内心的性质求出∠BAO的度数是30°，
OB的长在变化不一定等于3，由直角三角形的性质得到ON＝1，由角平分线的性质得到OM＝ON＝1，得到O到BC的距离是1．
【解答】解：作OM⊥BC于M，ON⊥AB于N，
∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣∠BAC）＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°，
故A正确；
∵BO、CO分别平分∠ABC，
∴O是△ABC的内心，
∴AO平分∠BAC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAO＝∠BAC＝30°，
故B正确；
OB的长在变化不一定等于3，
故C不一定正确；
∵∠ANO＝90°，∠NAO＝30°，
∴ON＝AO＝×2＝1，
∴OM＝ON＝1，
∴O到BC的距离是1，
故D正确．
故选：C．
2．（2023 惠州二模）如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AE＝10，DE＝4，求AB的长．
【分析】（1）过C点作CF⊥AB，交AB的延长线于点F．由AAS证明△CDE≌△CBF，可得CE＝CF，结论得证；
（2）证明Rt△ACE≌Rt△ACF，可得AE＝AF，可求出AB．
【解答】（1）证明：过C点作CF⊥AB，交AB的延长线于点F．
∵CE⊥AD，
∴∠DEC＝∠CFB＝90°，
∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠CBF，
在△CDE与△CBF中，
，
∴△CDE≌△CBF（AAS），
∴CE＝CF，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：由（1）可得BF＝DE＝4，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AE＝AF＝10，
∴AB＝AF﹣BF＝6．
1．（2023 广州）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，则点E到直线AD的距离为 　　．
【分析】过E作EH⊥AD于H，由角平分线的性质得到DE＝DF＝5，由勾股定理求出AD＝＝13，由三角形面积公式得到13EH＝12×5，因此EH＝，即可得到点E到直线AD的距离．
【解答】解：过E作EH⊥AD于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF＝5，
∵AE＝12，
∴AD＝＝13，
∵△ADE的面积＝AD EH＝AE DE，
∴13EH＝12×5，
∴EH＝，
点E到直线AD的距离为．
故答案为：．
2．（2022 深圳）已知△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，AE＝2，连接CE，以CE为底作直角三角形CDE，且CD＝DE．F是AE边上的一点，连接BD和BF，且∠FBD＝45°，则AF长为 　　．
【分析】将线段BD绕点D顺时针旋转90°，得到线段HD，连接BH，利用SAS证明△EDH≌△CDB，得EH＝CB＝5，∠BGH＝∠BDH＝90°，从而得出HE∥DC∥AB，则△ABF∽△EHF，即可解决问题．
【解答】解：将线段BD绕点D顺时针旋转90°，得到线段HD，连接BH，延长HE交BC于G，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴∠HBD＝45°，
∵∠FBD＝45°，
∴点B、F、H共线，
又∵△EDC是等腰直角三角形，
∴HD＝BD，∠EDH＝∠CDB，ED＝CD，
∴△EDH≌△CDB（SAS），
∴EH＝CB＝5，∠DHE＝∠CBD，
∴∠BGH＝∠BDH＝90°，
∴HE∥AB，
∴△ABF∽△EHF，
∴，
∵AE＝2，
∴，
∴AF＝，
故答案为：．
3．（2022 广州）如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B＝∠C，BD＝CE，求证：△ABD≌△ACE．
【分析】根据等角对等边可得AB＝AC，然后利用SAS证明△ABD≌△ACE，即可解答．
【解答】证明：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
4．（2021 广州）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE＝DF．
【分析】欲证AE＝DF，可证△ABE≌DCF．由AB∥CD，得∠B＝∠C．又因为∠A＝∠D，BE＝CF，所以△ABE≌△DCF．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C．
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF（AAS）．
∴AE＝DF．
5．（2019 广州）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌△CFE．
【分析】利用AAS证明：△ADE≌CFE．
【解答】证明：∵FC∥AB，
∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，
在△ADE与△CFE中：
∵，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
6．（2023 广州）如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE．求证：∠C＝∠E．
【分析】先证出AB＝BD，再由平行线证出同位角相等∠ABC＝∠D，然后由SAS证明△ABC≌△BDE，得出对应角相等即可．
【解答】证明：∵B是AD的中点，
∴AB＝BD，
∵BC∥DE，
∴∠ABC＝∠D，
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（SAS），
∴∠C＝∠E．
7．（2022 广东）如图，已知∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：△OPD≌△OPE．
【分析】根据垂直的定义得到∠ODP＝∠OEP＝90°，即可利用AAS证明△OPD≌△OPE．
【解答】证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠ODP＝∠OEP＝90°，
∵∠AOC＝∠BOC，
∴∠DOP＝∠EOP，
在△OPD和△OPE中，
，
∴△OPD≌△OPE（AAS）．
8．（2020 广东）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．
【分析】先证△BDF≌△CEF（AAS），得出BF＝CF，则∠FBC＝∠FCB，得出∠ABC＝∠ACB，则AB＝AC．
【解答】证明：∵∠ABE＝∠ACD，
∴∠DBF＝∠ECF，
在△BDF和△CEF中，，
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴BF＝CF，DF＝EF，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形．
1．（2023 香洲区校级一模）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】利用三角形全等的判定证明．
【解答】解：从角平分线的作法得出，
△AFD与△AED的三边全部相等，
则△AFD≌△AED．
故选：D．
2．（2022 龙岗区模拟）如图，△ABC≌△A′B′C，且点B′在AB边上，点A′恰好在BC的延长线上，下列结论错误的是（　　）
A．∠BCB′＝∠ACA′ B．∠ACB＝2∠B
C．∠B′CA＝∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′
【分析】根据全等三角形的性质得出BC＝B′C，∠ACB＝∠A′CB′，∠B＝∠A′B′C，再逐个判断即可．
【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C，
∴BC＝B′C，∠ACB＝∠A′CB′，∠B＝∠A′B′C，
A．∵∠ACB＝∠A′CB′，
∴∠ACB﹣∠ACB′＝∠A′CB′﹣∠ACB′，
∴∠BCB′＝∠ACA′，故本选项不符合题意；
B．∵BC＝B′C，
∴∠B＝∠CB′B，
∴∠A′CB′＝∠B+∠BB′C＝2∠B，
∵∠ACB＝∠A′CB′，
∴∠ACB＝2∠B，故本选项不符合题意；
C．不能推出∠B′CA＝∠B′AC，故本选项符合题意；
D．∵∠B＝∠BB′C，∠B＝∠A′B′C，
∴∠A′B′C＝∠BB′C，
即B′C平分∠BB′A′，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．（2023 南海区校级三模）如图，在△ABC 和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件可能是（　　）
A．∠A＝∠D B．AC∥DF C．BE＝CF D．AC＝DF
【分析】根据全等三角形的判定，利用ASA、AAS、SAS即可得出答案．
【解答】解：∵∠B＝∠DEF，AB＝DE，
∴当∠A＝∠D时，由ASA可得△ABC≌△DEF，故A不符合题意；
当AC∥DF时，则∠C＝∠F，由AAS可得△ABC≌△DEF，故B不符合题意；
当BE＝CF时，则BC＝EF，由SAS可得△ABC≌△DEF，故C不符合题意；
当AC＝DF时，不能得出△ABC≌△DEF，故D符合题意；
故选：D．
4．（2023 顺德区校级一模）如图，AC＝BC＝BE＝DE＝10cm，点A、B、D在同一条直线上，AB＝12cm，BD＝16cm，则点C和点E之间的距离是（　　）
A．6cm B．7cm C．8cm D．
【分析】连接CE，过C作CM⊥AB于M，过E作EN⊥BD于N，根据等腰三角形的性质得到AM＝BM＝6cm，BN＝DN＝8cm，根据勾股定理得到的长，根据全等三角形的性质得到∠MBC＝∠BEN，推出∠CBE＝90°，根据勾股定理得出答案．
【解答】解：连接CE，过C作CM⊥AB于M，过E作EN⊥BD于N，
∴∠AMC＝∠BMC＝∠BNE＝∠DNE＝90°，
∵AC＝BC，BE＝DE，
∴AM＝BM＝AB＝×12＝6（cm），BN＝DN＝BD＝×16＝8（cm），
∴CM＝＝8（cm），
在Rt△BCM与Rt△EBN中，
，
∴Rt△BCM≌Rt△EBN（HL），
∴∠MBC＝∠BEN，
∵∠BEN+∠EBN＝90°，
∴∠MBC+∠EBN＝90°，
∴∠CBE＝90°，
∴CE＝＝10（cm），
故点C和点E之间的距离是10cm，
故选：D．
5．（2020 惠州一模）如图，△ABC≌△EBD，∠E＝50°，∠D＝62°，则∠ABC的度数是（　　）
A．68° B．62° C．60° D．50°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠EBD，根据全等三角形的性质解答．
【解答】解：∵∠E＝50°，∠D＝62°，
∴∠EBD＝180°﹣50°﹣62°＝68°，
∵△ABC≌△EBD，
∴∠ABC＝∠EBD＝68°，
故选：A．
6．（2023 宝安区校级三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝　 ．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵AD平分∠CAB，
∴CD＝DE，
∴S△ABC＝AC CD+AB DE＝AC BC，
即×6 CD+×10 CD＝×6×8，
解得CD＝3．
故答案为：3．
7．（2022 蓬江区模拟）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：　 　，使△AEH≌△CEB．
【分析】开放型题型，根据垂直关系，可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了．
【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，
∴∠BEC＝∠AEC＝90°，
在Rt△AEH中，∠EAH＝90°﹣∠AHE，
又∵∠EAH＝∠BAD，
∴∠BAD＝90°﹣∠AHE，
在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD＝∠AHE，
∴∠EAH＝∠DCH，
∴∠EAH＝90°﹣∠CHD＝∠BCE，
所以根据AAS添加AH＝CB或EH＝EB；
根据ASA添加AE＝CE．
可证△AEH≌△CEB．
故填空答案：AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE．
8．（2023 荔湾区一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，连接AC．求证：△ABC≌△CDA．
【分析】根据平行线的性质得到∠DAC＝∠BCA，利用AAS即可证明△ABC≌△CDA．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（AAS）．
9．（2023 顺德区校级一模）已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E．求证：PD＝PE．
【分析】由“AAS”可证△PEO≌△PDO，可得PD＝PE．
【解答】证明：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠1＝∠2，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO＝∠PDO＝90°，
在△PEO和△PDO中，
，
∴△PEO≌△PDO（AAS），
∴PD＝PE．
10．（2023 荔湾区校级二模）已知：如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，AD与BE相交于点P，AD与BC相交于点M，BE与CD相交于点N．
求证：（1）∠APB＝60°；
（2）CM＝CN．
【分析】（1）根据等边三角形的性质和题意，可以得到△ACD≌△BCE的条件，从而证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质、三角形内角和可以求得∠APB的度数；
（3）证得△ACM≌△BCN，就可以证得结论．
【解答】证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD＝∠CBE．
又∵∠AMC＝∠BMP，
∴∠APB＝∠ACB＝60°；
（2）在△ACM和△BCN中
∴△ACM≌△BCN（ASA），
∴CM＝CN．
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