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排列组合应用题求解的先后原则
莆田第十中学数学组 郑琴庄
排列组合应用题是中学数学的难点。在教学过程中虽然给予强调，归纳小结解题关键，但仍发现学生在解题时仍无从下手或经常发生“重复”或“遗漏”的错误。产生这些错误的原因在于没有把握好排列组合应用题的解题关键。结合教学实践，在此小结几个排列组合应用题的先后原则，希望同学们在解题过程能够遵循这些原则，做到触类旁通，来避免上述错误。
先分类后求和，先分步后求积
掌握这一原则的关键在于分类计数原理与分步计数原理的内涵以及二者的联系与区别，二者的联系是求完成某件事的方法种数，区别在于分类与分步，分类用分类计数原理，分步用分步计数原理。用分类计数原理的关键在于恰当分类，分类做到“不重不漏”,应用分步计数原理关键在于分步，要正确设计分步程序。
例：在10名女生和12 名男生中，选2名性别相同的学生参加一个活动，有多少种不同的选法？
分析：要选2名性别相同的学生这件事有两种情况：一是2名均为女生，二是2名均为男生，因此需要分类进行。
解：依题意分两类：
第一类：选2名女生有种选法；第二类：选2名男生有种选法；所以由分类计数原理知：一共有
+ = 111种不同的选法。
说明：对题目中涉及到“至少”，“至多”等情况，也常采用分类进行。
二、先特殊后一般
这一原则常用解决有条件限制的排列问题。做法是把排列问题抽象成“元素”占位问题，先满足特殊元素或位置，然后再排其他一般元素或位置。
例：7位同学排成一列，其中甲不站排头和排尾，共有多少种排法？
分析：因为甲不站排头和排尾，所以甲为特殊元素，排头，排尾为特殊位置。
解法一（特殊元素法）：甲可排在第二，三，四，五，六个位置中的任一个有 种排法，其余元素做全排列有种，由分步计数原理共有
· = 3600种排法。
解法二（特殊位置法）：从除甲外的其余6个元素中任取2元素排在头和尾有 种，其余元素做全排列有种，因此，共有排法 ·＝ 3600种。
补充说明：当题中特殊要求的因素较多时首先考虑最特殊，再考虑其他要求,要有层次。
又例如：
5男5女共10个同学排成一列，其中男生甲，乙之间必须排而且只排2名女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？
答案： ·· ·＝57600种
（提示：先满足甲，乙中间排女生，然后考虑两端）
三、先一般后特殊
这一原则常用来解决不相邻问题或顺序固定问题，先考虑一般元素的全排列，后考虑特殊元素可插入的最多位置，即“插空法”。
例1． 7位同学排成一列，其中4位男生，3位女生，问女生互不相邻有多少种排法？
分析：先让4位男生排好，有种排法，再在4人之间及两端的5个“空隙”中选三个位置让3位女生插入，则有 种方法，这样共有·种不同的排法。
解：先对4位男生全排列有种，再将3位女生在4人之间及两端的5个空位中的三个，有种，所以女生互不相邻的不同排法数：
·=　1440.
例2．书架上某层有6本书，新买了3本书插进去，要保持原来6本书顺序不变，问有多少种不同插法？
分析：本例属顺序固定问题，可用“插空法”，即将书架上的预排的9本书看作9个位置，将新买的3本书放入这9个位置中的3个，其余6本书按原来顺序依次插入。
解：将9本书看作9个位置，从这9个位置中选出3个位置让新买的3本书放有种，然后将原来的6本书按原来顺序依次放入其余6个位置，仅有1种放法，所以共有不同插法数： ＝504种。
注：1、该题可先考虑9本书的全排列有 种，再考虑到其中原来的6本书保持原有顺序，原来的每一种排法都重复了 次，故共有÷ ＝　504种不同插法；
2、对顺序固定排列问题，其一般结论：若n个元素参加排列，其中m个元素的顺序是确定的，则排列种数为 ÷．
四、先整排后个别内排
这一原则用来解决相邻问题，即先把相邻元素“捆绑”看成一个元素，进行整体全排列，再考虑相邻元素的内部排列，即“捆绑法”
例：七位同学排成一列，其中甲、乙、丙必须相邻的排法有多少种？
分析：先把甲、乙、丙三人“捆绑”起来看作一个元素，与其余4人共5个元素做全排列，然后对甲、乙、丙三人进行排列。
解：先将甲、乙、丙看作一个元素与其作4个元素进行全排列，有种，“内部”相邻的三人有种排法，所以共有不同排种数为：
· =　720种．
五、先组合后排列
这一原则常用于排列组合的综合应用题，一般是先任取元素（组合），后排列顺序（排列）。要求做到：排、组分清
例：现有12个同学，其中3个女同学，从中选出5个分别担任不同的工作，问至少一个女同学当选有多少种不同的选法？
分析：依题意5人中至少一个女同学包括三种情形：仅一个女同学，仅二个女同学，或三个女同学，因此，可先分类选出，再进行全排列。
解：选出5人中至少一个女同学的选法有（·＋·＋·）种，再考虑让5人分别担任不同的5项工作，则有选法种数为：
（·＋·＋·）·＝　７９９２０
说明：对于从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可采用先选取后排列的方法。
六、先任意排后剔除
以上5种原则中所举例子都是用直接法求得结果，还有一种间接法，即求出不考虑条件限制的排列数或组合数，然后减掉不符合条件的排列。
例：用0、1、2、3、4、5能够组成多少个无重复数字且不能被5整除的五位数？
分析：此题我们可考虑先求被5整除的无重复数字的五位数，然后用总的无重复数字的五位数去减即可。
解：由0、1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数有· ＝６００个，其中能被5整除的有（＋ ·＋ ）个，因此，所求的五位数共有
·－（＋ ·＋ ）＝３８４(个)
综上所述，如果我们注意从不同角度，不同途径去思考，分析问题，结合运用以上的先后原则，一定能帮助我们提高解题能力。

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