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中考数学第一轮复习：列方程（组）解应用题方法
一、选择题
1．（2023八下·宁武期中）某一景点改造工程要限期完成，甲工程队独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为x天，则下面所列方程正确的有（　　） 个
①②③④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解：设该工程的工作总量为1，工程期限为X，
则：甲队的工效为，乙队的工效为
所以：方程为4x+x=1
整理得+=1
故：④符合条件 变形可得②也符合条件 。
【分析】解决这类问题时学生需要会设未知数及算式的化解。
2．（2021七下·仁寿期末）6月18日最开始是京东的周年庆，相当于淘宝的双十一活动，在2013年之前，京东就将每年的6月18日定为年庆。2013年后，618就成了各大电商平台的网购节了。在618当日，小李在某电商平台上选择了甲乙丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各一件时应该付款（　　）
A．580元 B．500元 C．420元 D．200元
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用；数学思想；设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解：设购买甲、乙、丙各一件分别要x元、y元、z元，
则购买甲、乙、丙各一件时应该付款 （x+y+z）元
由题意得：
（1）+（2）得：5x+5y+5z=1000；
化简得： x+y+z=200；
即 购买甲、乙、丙各一件时应该付款 200元。
故答案为：D
【分析】本题主要考查方程的实际应用，先找出等量关系列出方程，再用整体思想求出 x+y+z的值即可；解题时要注意，三个未知数，两个等量关系，找出系数之间的关系，利用整体思想求解是关键。
3．（2020七上·南浔期末）有一个魔术，魔术师背对小聪，让小聪拿着扑克牌按下列四个步骤操作：
①第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于五张，且各堆牌的张数相同；
②第二步：从左边一堆拿出五张，放入中间一堆；
③第三步：从右边一堆拿出三张，放入中间一堆；
④第四步：右边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入右边一堆。
这时，魔术师准确说出了中间一堆牌现有的张数，则他说出的张数是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解：设三堆扑克牌的张数都为x（x>5），
则第三步过后，中间一堆有x+3+5=x+8张，右边一堆有x-3张，
第四步过后，中间一堆有：x+8-(x-3)=11（张）.
故答案为：D.
【分析】本题利用设而不求的思想，设三堆扑克牌的张数都为x（x>5），按条件列出每步过后各堆的张数的代数式，因为第三步过后中间一堆有x+8张，右边一堆有x-3张，第四步过后，中间一堆有x+8-(x-3)=11（张）.
4．（2020七上·吴兴期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则 （x-y）m-n的值是（　　）
A．-27 B．-1 C．8 D．16
【答案】A
【知识点】有理数的乘方法则；设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解：如图，设两个空圆里的数字为a、b，
由题意得：m=a+2， n=a-1， x=b-1， y=b+2，
∴x-y=b-1-(b+2)=-3， m-n=a+2-(a-1)=3，
∴（x-y）m-n=(-3)3=-27.
故答案为：A.
【分析】本题运用设而不求的思想，设两个空圆里的数字为a、b， 根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等分别把m，n，x，y用含a、b的代数式表示，整体代换求出x-y和m-n的值，则（x-y）m-n可求.
二、填空题
5．（2021·重庆模拟）从百日誓师大会以来，初三年级同学的学习热情高涨，每个同学都在努力的提升各个学科的成绩，初三某班的很多同学到学校附近甲、乙两个书店购买语文、数学、英语、物理资料书，甲书店售出语文资料书的数量和数学相同，英语数量是物理的2倍，英语资料书一本的单价是语文的2倍，数学与物理价格之比是3：4，乙书店语文资料书售出的数量是甲书店语文资料书售出数量的3倍，乙书店数学资料书的价格是甲书店数学资料书价格的，乙书店英语资料书数量比甲书店少，乙书店物理资料书的价格是甲书店物理资料书价格的一半，这样乙书店物理资料书售出的数量和英语相同，乙其余书的数量和售价和甲相同，已知甲书店4本语文资料书的价格与甲书店一本物理资料书的价格差大于120元但不超过130元，且甲书店售出的语文资料书的数量多于26本少于34本，且两个书店共售出语文和英语的销售额比两个书店售出数学和物理的销售额多6820元，且所有的单价与数量均为整数，则两个书店共售出的语文资料书的销售额比共售出的数学资料书销售额多　 　元．
【答案】3720
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解：可设甲书店售出语文资料书单价a元，售出b件，则物理资料书单价4d元，售出c件，则售出数学资料书单价3d元，售出b件，则英语资料书单价2a元，售出2c件，乙书店售出语文资料书单价a元，售出3b件，则物理资料书单价2d元，售出
c件，则售出数学资料书单价d元，售出b件，则英语资料书单价2a元，售出
c件，依题意有
120＜|4a﹣4d|＜130，即30＜|a﹣d|＜32.5①，
26＜b＜34②，
（ab+4ac+3ab+
ac）﹣（3bd+4cd+bd+
cd）＝6820，
4b（a﹣d）+
c（a﹣d）＝6820，即（b+
c）（a﹣d）＝1705，
∴a﹣d为正数，a﹣d＝31或32，
a﹣d＝31时，b+
c＝1705÷31＝55，
a﹣d＝32时，b+
c＝1705÷32＝
（与b，c均为正整数不符），
∴a﹣d＝31，b+
c＝55，即
c＝55﹣b为5的倍数，且21＜
c＜29，
故
c＝25，
解得c＝15，
∴b＝30，
则（ab+3ab）﹣（bd+3bd）＝4（ab﹣bd）＝4b（a﹣d）＝4×30×31＝3720．
故两个书店共售出的语文资料书的销售额比共售出的数学资料书销售额多3720元．
故答案为：3720．
【分析】可设甲书店售出语文资料书单价a元，售出b件，则物理资料书单价4d元，售出c件，则售出数学资料书单价3d元，售出b件，则英语资料书单价2a元，售出2c件，乙书店售出语文资料书单价a元，售出3b件，则物理资料书单价2d元，售出
c件，则售出数学资料书单价d元，售出b件，则英语资料书单价2a元，售出
c件，由甲书店4本语文资料书的价格与甲书店一本物理资料书的价格差大于120元但不超过130元，且甲书店售出的语文资料书的数量多于26本少于34本，且两个书店共售出语文和英语的销售额比两个书店售出数学和物理的销售额多6820元，且所有的单价与数量均为整数，可列方程ab+4ac+3ab+
ac）-（3bd +4cd+bd+
cd）＝6820，整理得（b+
c）（a﹣d）＝1705，求得a-d=31或32，再根据b和c均为正整数确定符合题意的a-d值，即a﹣d＝31，b+
c＝55，即
c＝55﹣b为5的倍数，且21＜
c＜29，可得c=15，b＝30，再由（ab+3ab）﹣（bd+3bd）即可求得两个书店共售出的语文资料书的销售额比共售出的数学资料书销售额多多少元.
6．（2020八上·大连期末）小明从学校到家要走a分钟，爸爸从家到学校要走b分钟，小明和爸爸两人分别从学校、家同时出发相向而行，则经过　 　分钟两人相遇（用含a、b的式子表示）．
【答案】
【知识点】列式表示数量关系；设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解：设小明家到学校的距离为单位“1”，
∵小明从学校到家要走a分钟，爸爸从家到学校要走b分钟，
∴小明的速度为 ，爸爸的速度为 ，
所以，小明和爸爸两人分别从学校、家同时出发相向而行，两人相遇所需时间为：
（分钟）
故答案为：
【分析】根据题意求出小明的速度为 ，爸爸的速度为 ，再求解即可。
7．（2020七上·温州期末）如图，一个桌球游戏的长方形桌面ABCD中，AD=2m。现将球从AB边上的点M处发射，依次与边AD，DC，CB触碰并反弹后第一次回到AB边上的点N处，设触碰点依次为E，F，G，M。当AE=AM，DE=DF，CF=CG，BG=BN，MN=0.6m时，AB等于　 　m。
【答案】2.3或1.7
【知识点】设而不求（奥数类）；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：设AE=AM=x， BG=BN=y，
则DE=DF=2-x， CF=CG=2-y，
∴AB=CD=DF+FC=2-x+2-y=4-x-y，
①当N在B、M之间时，
AB=AM+BN+MN=x+y+0.6，
∴2AB=4-x-y+0.6+x+y=4.6，
∴AB=2.3.
②当N在A、M之间时，
AB=AM+BN-MN=x+y-0.6，
∴2AB=4-x-y-0.6+x+y=3.4.
∴AB=1.7.
故答案为：2.3或1.7.
【分析】本题用到设而不求的解题思想，设AE=AM=x， BG=BN=y， 则DE=DF=2-x， CF=CG=2-y， 把CD和AB用含x、y的代数式表示，两式联立，结合AB=CD，分两种情况讨论，①当N在B、M之间时，②当N在A、M之间时，分别求出AB的长度即可.
8．（2020七上·南浔期末）已知长方形ABCD，AD>AB，AD=10，将两张边长分别为a和b（a>b） 的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，当S2-S1=3b时，AB=　 　。
【答案】7
【知识点】用字母表示数；设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解：设AB=x，
则S1=10x-a2-b2+(a+b-10)b， S2=10x-a2-b2+(a+b-x)b，
∵S2-S1=3b ，
∴10x-a2-b2+(a+b-x)b-10x+a2+b2-(a+b-10)b=3b，
-bx=-7b，
∴x=7.
故答案为：7.
【分析】本题运用设而不求的思想，设AB=x， 分别吧两个阴影部分的面积用含a、b和x的代数式表示，代入给定的关系式，整理化简即可求值.
9．（2020八上·吴兴期末）课本第78页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中有如下问题：如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的 ， ， 满足的数量关系是　 　. 现将△ABF向上翻折，如图②，已知 ， ， ，则△ABC的面积是　 　.
【答案】；7
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解：如图，作FH⊥AB，
∵△AFB是等边三角形，FH⊥AB，
∴AH=AB，
∴FH==AB，
∴S3=AB×AH=AB2，
同理S1=AC2，S2=BC2，
∵AC2+BC2=AB2，
∴S1+S2=AC2+BC2=（AC2+BC2）=AB2=S3.
如图，设三个空白部分的面积分别为：x、y、z，
由上题的结论可得：S甲+x+S乙+y=S丙+x+y+z，
∴z=S甲+S乙-S丙=6+5-4=7.
故答案为：7.
【分析】（1）作FH⊥AB，根据等边三角形的性质吧相关线段用AB表示，则S3的面积可用含AB的代数式表示，同理把S1和S2的面积分别用含AC和BC的代数式表示，结合利用勾股定理可得AC2+BC2=AB2， 可得 ；设三个空白部分的面积分别为：x、y、z，根据上题所得的结论列等式，即可求出△ABC的面积.
10．（2019七上·河池期中）如图，两个正方形的边长分别为5，3，两阴影部分的面积分别为 ， ，设 ，则a-b等于　 　.
【答案】16
【知识点】列式表示数量关系；设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解：设空白处图形的面积为x，
根据题意得：a+x= =25，b+x= =9，
则（a+x）-（b+x）=a﹣b=16.
故答案为：16.
【分析】设空白处的面积为x，根据题意列出关系式，相减即可求出a﹣b的值.
11．（2019七下·东海期末）如图，长方形ABCD的周长为12，分别以BC和CD为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为20，则长方形ABCD的面积是　 　.
【答案】8
【知识点】完全平方公式及运用；设而不求（奥数类）
【解析】【解答】设长方形的长为x，宽为y，由题意得：
，
∴x+y=6，
∴（x+y）2=36，
∴x2+2xy+y2=36
∴2xy=36-（x2+y2）=16，
∴xy=8，
∴长方形ABCD的面积是8，
故答案为：8.
【分析】此题的等量关系为： 长方形ABCD的周长=12 ；两个正方形的面积和=20 ，设未知数，列方程组，再解方程组求出x、y的值，然后求出xy的值即可。
12．（2019九上·九龙坡开学考）某超市以A、B两种糖果为原料，组装出了甲、乙、丙三种糖果礼盒（礼盒包装成本忽略不计）.其中，甲礼盒每盒含1千克A糖果、1千克B糖果；乙礼盒每盒含2千克A糖果、1千克B糖果；丙礼盒每盒含1千克A糖果、3千克B糖果.甲礼盒每盒售价48元，利润率为20%.国庆节期间，该超市进行打折促销活动，将甲、乙、丙礼盒各一盒合组装成大礼包，并且每购买一个大礼包可免费赠送一个乙礼盒，这样即可实现利润率为30%，则每个大礼包的售价为　 　元.
【答案】312
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解：设A原料的成本为x元/千克，B原料的成本为y元/千克，
根据题意得：（1+20%）（x+y）=48，
解得：x+y=40，
∴礼盒的售价为（1+30%）×6（x+y）=1.3×6×40=312元.
故答案为：312元.
【分析】首先设A原料的成本为x元/千克，B原料的成本为y元/千克，然后根据题意列出方程，求解即可.
13．（2019九上·重庆开学考）某超市促销活动，将 三种水果采用甲、乙、丙三种方式搭配装进礼盒进行销售.每盒的总成本为盒中 三种水果成本之和，盒子成本忽略不计.甲种方式每盒分别装 三种水果 ；乙种方式每盒分别装 三种水果 .甲每盒的总成本是每千克 水果成本的 倍，每盒甲的销售利润率为 ；每盒甲比每盒乙的售价低 ；每盒丙在成本上提高 标价后打八折出售，获利为每千克 水果成本的 倍.当销售甲、乙、丙三种方式搭配的礼盒数量之比为 时，则销售总利润率为　 　.
【答案】20%
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解：设每千克A、B、C三种水果的成本分别为为x、y、z，依题意得：
6x+3y+z=12.5x，
∴3y+z=6.5x，
∴每盒甲的销售利润=12.5x 20%=2.5x
乙种方式每盒成本=2x+6y+2z=2x+13x=15x，
乙种方式每盒售价=12.5x （1+20%）÷（1-25%）=20x，
∴每盒乙的销售利润=20x-15x=5x，
设丙每盒成本为m，依题意得：m（1+40%） 0.8-m=1.2x，
解得m=10x.
∴当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为2：2：5时，
总成本为：12.5x 2+15x 2+10x 5=105x，
总利润为：2.5x 2+5x×2+1.2x 5=21x，
销售的总利润率为 ×100%=20%，
故答案为：20%.
【分析】分别设每千克A、B、C三种水果的成本为x、y、z，设丙每盒成本为m，然后根据题意将甲、乙、丙三种方式的每盒成本和利润用x表示出来即可求解.
三、计算题
14．（2021·重庆模拟）（1）（x+2y）2﹣y（x+4y）；
（2）（﹣1）÷．
【答案】（1）解：（x+2y）2﹣y（x+4y）
＝x2+4xy+4y2﹣xy﹣4y2
＝x2+3xy；
（2）解：（﹣1）÷
＝
＝﹣
＝﹣．
【知识点】根据数量关系列方程；设而不求（奥数类）
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式、单项式乘多项式法则将原式展开，再去括号、合并同类项即得；
（2）将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可.
四、解答题
15．有一水库，有水流进，同时也向外放水，可使用40天．最近库区降雨，流入水库的水量增加20%．如果放水量增加10％，仍可使用40天．如果按原来的放水量放水，可使用多少天
【答案】解：设进水量为x，出水量为y，水库原来的容量为m，依题可得：
，
解得：y=2x，m=40x，
∴m÷[y-（1+20%）x]，
即40x÷0.8x=50（天），
答：如果按原来的放水量放水，可使用50天.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】设进水量为x，出水量为y，水库原来的容量为m，根据题意列出方程组，解之即可.
16．已知三种混合物由三种成分A、B和C组成．第一种仅含成分A和B，重量比为3：5．第二种仅含成分B和C，重量比为1：2．第三种仅含成分A与C，重量比为2：3．问以什么比例取这些混合物，才能使所得的混合物中，A、B、C三种重量比为3：5：2
【答案】解：设设所需三种混合物质量分别为：x、y、z，依题可得：
混合后A的量为：x+z，
混合后B的量为：x+y，
混合后C的量为：y+z，
∵A、B、C三种重量比为3：5：2，
∴，
解得：x=z，y=2z，
∴x：y：z=z：2z：z=20：6：3.
答：以20：6：3的比例取这些混合物，才能使所得的混合物中，A、B、C三种重量比为3：5：2.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】设设所需三种混合物质量分别为：x、y、z，根据题意可得混合后A、B、C的量，结合题意列出方程组，解之即可.
17．某船逆水航行．船员不小心将一木桶掉入水中.5分钟后才发现，掉转船头去追木桶．问过了多久，才能追上
【答案】解：设水速为y，船速为x，依题可得：
∴发现时两者的距离为：5y+5（x-y）=5x，
∴追及时间为：
5x÷（x+y-y）=5（分钟），
答：问过了5分钟，才能追上.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】设水速为y，船速为x，根据题意先求出发现时两者的距离为：5y+5（x-y）=5x，再由追及时间=追及路程÷速度差，求解即可.
18．甲、乙、丙三种货物．若购甲3件、乙7件、丙1件，共需300元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需400元．购甲、乙、丙各一件，共需多少元
【答案】解：设甲货物单价为x元，乙货物单价为y元，丙货物单价为z元，依题可得：
，
（1）×3-（2）×2得：
x+y+z=100，
答：甲、乙、丙各一件，共需100元.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】设甲货物单价为x元，乙货物单价为y元，丙货物单价为z元，根据题意列出方程组，注意观察问题与条件间系数关系整体求解即可.
19．小红上山每小时走4千米．到达山顶后立即沿原路下山，每小时走6千米．求小红在整个过程中的平均速度．
【答案】解：设小红上山时的路程为s千米，则上山所用的时间为小时；下山的路程也是s千米，下山所用时间小时；
∴在整个过程中，总的路程为2s，总的时间为+，
∴平均速度=总路程÷总时间===4.8（千米/小时），
答：小红在整个过程中的平均速度为 4.8千米／时.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】平均速度=总路程÷总时间，而题设中并未给出这个总路程，因此我们引入了辅助未知数s；在列出算式后，我们发现s并不用求，它在计算过程中自然消去了.
20．甲杯中装水，乙杯中装酒精，水和酒精一样多．先从甲杯中倒一些水到乙杯中．然后从乙杯中倒同样多混合液到甲杯；再从甲杯中倒一些混合液到乙杯……如此进行下去，一直进行了100次．问最后甲杯中的酒精多还是乙杯中的水多
【答案】解： 一样多，理由如下：
设原来甲乙两杯中各有水和酒精V升，最后甲杯中由酒精x升，乙杯中有水y升，依题可得：
∵一直进行了100次后，甲乙两杯中混合物体依然各为V升，
∴乙杯中酒精有：V-y升，
∴x+V-y=V，
∴x=y，
∴一样多.
答：最后甲杯中的酒精和乙杯中的水一样多.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】设原来甲乙两杯中各有水和酒精V升，最后甲杯中由酒精x升，乙杯中有水y升，因为甲杯中有多少酒精，就有多少水转移到了乙杯中.
21．如图，一个长方形，被两条直线分成四个长方形．其中三个的面积分别为20、25和30．另一个(图中阴影部分)长方形的面积是多少
【答案】解：设面积为25的长方形的长为a，宽为b；面积为20的长方形的长为c，宽为b；面积为30的长方形的长为c，宽为d；依题可得：
，
得：
（4），
（3）×（4）得：
ad=30×=37.5.
答：另一个(图中阴影部分)长方形的面积是37.5.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】解：设面积为25的长方形的长为a，宽为b；面积为20的长方形的长为c，宽为b；面积为30的长方形的长为c，宽为d；根据题意列出方程组，解之即可.
22．小明爷爷的年龄是一个两位数．将这个两位数的数字交换得到的数恰好是小明爸爸的年龄．又知道他们的年龄差是小明年龄的4倍．求小明的年龄。
【答案】解：设小明爷爷年龄为ab岁，则爸爸年龄为ba岁，小明年龄为x岁，依题可得：
（10a+b）-（10b-a）=4x，
即a-b=x，
当x=9时，a-b=4，∴a=7，b=3（或a=8，b=4）这是可能的；
当x=18时，a-b=8，∴a=9，b=1，显然这是不可能的；
综上所述：小明年龄为9岁.
答：小明的年龄为9岁.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】设小明爷爷年龄为ab岁，则爸爸年龄为ba岁，小明年龄为x岁，根据爷爷和爸爸的年龄之差为小明的4倍，列出方程，解之，再分情况分析即可得出答案.
23．A、B、C、D四人干一项工作．若A、B、C三人合干，10天可完工.若A、C、D三人合干，8天可完工．若B与D合干，20天可完工．问D一人独干，多少天完工
【答案】解：设A、B、C、D每人每天完成的工作量分别为a、b、c、d，依题可得：
，
（2）-（1）得：
，（4）
（3）+（4）得：
，
解得：d=.
答：D一人独干，天完工.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】设A、B、C、D每人每天完成的工作量分别为a、b、c、d，根据工作效率×工作时间=工作总量，列出方程组，解之即可.
24．某船顺水航行每小时行10千米，逆水航行每小时行6千米．这船往返过程中的平均速度是多少
【答案】解：设该船返回的路程为s千米，则去的路程也为s千米，依题可得：
顺水航行的时间为：小时，
逆行航行的时间为：小时，
∴这船往返过程中的平均速度为：=7.5千米/小时.
答：这船往返过程中的平均速度为7.5千米/小时.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】平均速度=总路程÷总时间，根据题意分别求出顺水航行和逆水航行的时间，而题设中并未给出这个总路程，因此我们引入了辅助未知数s；在列出算式后，我们发现s并不用求，它在计算过程中自然消去了.
25．甲、乙两个杯子，分别装两种浓度不同的酒精与水的混合液16克和24克．分别从甲、乙两杯中倒出重量相等的混合液，并将甲杯中倒出的那部分混合液倒入乙杯，将乙杯中倒出的那部分混合液倒入甲杯．这时，甲、乙两杯中所含酒精的浓度恰好相等．问从甲杯中倒出的那部分混合液重多少克
【答案】解：设甲杯中酒精的浓度为a，乙杯中酒精的浓度为b，倒出的那部分混合液重为x千克，依题可得：
，
解得：x=9.6.
答：从甲杯中倒出的那部分混合液重为9.6千克.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】设甲杯中酒精的浓度为a，乙杯中酒精的浓度为b，倒出的那部分混合液重为x千克，根据甲、乙两杯中所含酒精的浓度恰好相等，列出方程，解之即可.
26．一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个粗细相同的进水管.打开4个进水管时，需要5小时注满水池.打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池.现在要在2小时内将水池注满，至少要打开多少个进水管
【答案】解：设每个进水管1小时的注水量为a，排水管1小时的排水量为b，设2小时注满水池需要打开x个进水管，则由题意，得
这方程组只有两个方程，却有三个未知数.在一般情况下是不能确定这三个未知数的值的.但由方程组的特点，我们可以求出x的值，而不用具体求出辅助未知数a、b的值.
由①得4a-6=6b-3b，即a=b. ③
将③代入②，得2(ax-a)一15(2a-a)，
2ax=17a.
所以x=8.5.
水管当然不能有半个，所以至少要打开9个进水管，才能在2小时内将水池注满.
答：至少需打开9个进水管.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】本题若只设一个未知数x，等量关系就不太明显，因此，我们又设了辅助未知数a与b，从而列出了含有三个未知数、两个方程的方程组.再根据这个方程组本身的特点，在不求a与b的情况下，求得x的值.
27．一个十位数字为0的三位数，恰好等于数字和的67倍.交换个位与百位数字后得到一个新的三位数．新的数是数字和的m倍，求m的值．
【答案】解：设原三位数的百位数字为x，个位数字为y．由题意，得① +②得 由x+y>0，得67+m=101，m=34．答：m的值为34．
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】设原三位数的百位数字为x，个位数字为y，根据题意列出方程，再两个方程相加，由x+y>0得67+m=101，解之即可得m值.
28．A、B、C、D、E五个人做一项工作．若A、B、C、D四人一起做，8天可完工．若B、C、D、E四人一起做，6天可完工.若A、E两人一起做，12天可完工．若A一个人单独做，多少天才能完工
【答案】解：设总工作量为1，A、B、C、D、E每人每天完成的工作量分别为a、b、c、d、e．根据题意得①-②得a-e=- ④③十④得2a= a= 所以，A一人单独做，需=48（天）才能完工.答：A一人单独做，需48天才能完工．
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】设总工作量为1，A、B、C、D、E每人每天完成的工作量分别为a、b、c、d、e．根据工作效率=工作总量÷工作时间，结合题意列出方程，解之可求得A的工作效率，再由工作时间=工作总量÷工作效率求得答案.
29．如图，在一个梯形内有两块面积分别为10和12的三角形．已知梯形的上底长是下底长的 ，求图中阴影部分的面积．
【答案】解：设这个梯形的上底长为2a，下底长为3a．梯形的高是面积为10、12的两个三角形的高的和，即为
梯形的面积为：
所以，阴影部分面积为45-10-12=23.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】根据题意设这个梯形的上底长为2a，下底长为3a；再由题中给出的两个三角形的面积以及三角形面积公式可求得梯形的高为，根据梯形面积=（上底+下底）×高，由此求得梯形面积，阴影部分面积=梯形面积-两个三角形面积即可求得.
30．设a1，a2，…，a1999，a2000都是正数，
M=(a1+a2+…+a1999)(a2+a3+…+a2000)，
N=(a1+a2+…+a2000)(a2+a3+…+a1999)．
试比较M与N的大小．
【答案】解：设x=a2+a3+…+a1999，则M=(a1+x)(x+a2000)=x2+(a1+a2000)x+a1a2000，N=(a1+x+a2000)x=x2+(a1+a2000)x．所以，M-N=a1a2000．由于以a1>0，a2000>0，故a1a2000>0，即M-N>0，亦即M>N．答：M>N．
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】分析本题粗看之下，与“设而不求”好像没有什么关系．但仔细观察本题的特点，发现不管M和N的哪一个因式，都有a2+a3+…+a1999．若用乘法展开，则项数太多，难以比较大小．而令a2+a3+…+a1999=x，则问题可迎刃而解。
通过设一些辅助未知数，有时可以把一些不太明显的关系表示出来，不必求出这些未知数却可以得到我们想要的结果．这是我们用“设而不求”方法解决问题的一般想法．
31．小强上山时的速度为3千米／时.到达山顶后，沿原路下山，下山时的速度为5千米／时.求小强在整个过程中的平均速度.
【答案】解：设小强上山时的路程为s千米，则上山所用的时间为 小时.下山的路程也是s千米，下山所用时间 时.因此，在整个过程中，总的路程为2s，总的时间为了 + ，根据平均速度的计算公式；得
=
答：小强在整个过程中的平均速度为 千米／时.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】不可粗心地认为平均速度为 =4(千米／时).这种错误是由于对平均速度的概念不太清楚.我们知道，平均速度=总路程÷总时间，而题设中并未给出这个总路程：因此我们引入了辅助未知数s.在列出算式后，我们发现s并不用求，它在计算过程中自然消去了.
32．小明和小亮同时出发，从甲地往乙地.小明走完全程的一半时，小亮才走了l6千米.小亮走完全程的一半时，小明已走了25千米.小明走完全程时，小亮未走完的路程还有多少千米
【答案】解：设半程长为s千米，小明的速度为每小时x千米，小亮的速度为每小时y千米.由于在相同时间里走过的距离与速度成正比，
所以
由①、②得即
由s≥0，得s=20.
2×(20-16)=8.
答：小亮未走完的路程还有8千米.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】设半程长为s千米，小明的速度为每小时x千米，小亮的速度为每小时y千米.由于在相同时间里走过的距离与速度成正比，根据题意列出方程，从而得出半程s值，再由题意求得答案.
五、综合题
33．（2020八上·拱墅期末）设一次函数y=kx+b-3（k，b是常数，且k≠0）。
（1）该函数的图象过点（-1，2），试判断点P（4，5k+2）是否也在此函数的图象上，并说明理由。
（2）已知点A（a，y1）和点B（a-2，y1+2）都在该一次函数的图象上，求k的值。
（3）若k+b＜0，点Q（5，m）（m＞0）在该一次函数上，求证：k＞ 。
【答案】（1）解：点P在函数图象上，理由如下：
∵2=-k+b-3，
∴b=k+5，
∵当x=4，y=4k+k+5-3=5k+2，
∴点P在函数图象上.
（2）解：∵ y1=ak+b-3， y1+2=(a-2)k+b-3，∴ak+b-3+2=(a-2)k+b-3，整理得：-2k=2，则k=-1.
（3）证明：∵m=5k+b-3>0，
∴5k>3-b，
∵4k>3-(k+b)，
∵k+b<0，
∴4K>3，
∴ k＞ .
【知识点】函数值；设而不求（奥数类）；不等式的性质
【解析】【分析】（1）先把（-1，2）代入函数式得出b的表达式，再求x=4时y的表达式，结合b的表达式即可把y用含k的代数式表示，即可验证.
（2）把A、B两点坐标分别代入函数式得到两个关系式，两式联立消去未知量y1整理可得k值.
（3）把Q点代数函数式，得出m的关系式，根据m>0列不等式，再结合k+b<0以及不等式的性质可得k的范围.
34．（2020七上·吴兴期末）将大小不一的正方形纸片①、②、③、④放置在如图所示的长方形ABCD内（相同纸片之间不重叠），其中AB=a．
小明发现：通过边长的平移和转化，阴影部分⑤的周长与正方形①的边长有关.
（1）根据小明的发现，用代数式表示阴影部分⑥的周长　 　．
（2）阴影部分⑥与阴影部分⑤的周长之差与正方形　 　（填编号）的边长有关，请计算说明.　 　
【答案】（1）2a
（2）②；解：设②的边长是m.∴阴影部分⑤的周长是2(a-m).∴阴影部分⑥-阴影部分⑤=2a-2(a-m)=2m
【知识点】列式表示数量关系；设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解（1）设长方形 ⑥ 的长为x， 宽为y， 则x+y=a， 周长=2(x+y)=2a.
【分析】（1）设长方形 ⑥ 的长为x， 宽为y， 因为这个长方形的长与宽之和为a， 则周长为2a.
（2） 设②的边长是m，把⑤的周长用含m和a的代数式表示，再计算阴影部分⑥的周长和阴影部分⑤的周长之差即可，其结果正好等于正方形②的周长.
35．（2019七下·温州期末）李师傅要给一块长9米，宽7米的长方形地面铺瓷砖．如图，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等，B款瓷砖的长大于宽．已知一块A款瓷砖和一块B款瓷砖的价格和为140元；3块A款瓷砖价格和4块B款瓷砖价格相等．请回答以下问题：
（1）分别求出每款瓷砖的单价．
（2）若李师傅买两种瓷砖共花了1000元，且A款瓷砖的数量比B款多，则两种瓷砖各买了多少块
（3）李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖．若A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则B款瓷砖的长和宽分别为　 　米(直接写出答案)．
【答案】（1） 解：设A款瓷砖的价格为x， B款瓷砖价格为y， 则：
，
解得：.
故答案为：A款瓷砖的单价为80元，B款瓷砖的单价为60元。
（2）解： 设A款买了m块，B款买了n块，
80m+60n=1000，
，且m>n，m、n均为正整数，
经试值，只有m=8， n=6符合，
故A款砖买8块，B款砖买6块。
（3）1、或.
【知识点】二元一次方程的应用；自然数及整数的概念；设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解：（3）设A款瓷砖用量为x块，B款瓷砖用量为y块，A款瓷砖的长为a，宽度为b，瓷砖铺了m行，n列。
则有：把mn=y，m(n-1)×2=x代入x=2y-14中得：
m(n-1)×2=2mn-14，
解得：m=7，
把m=7，代入ma=7中，得：a=1，
把a=1代入nb+[(n-1)×2]a=9中，再变形得：
，
∵0设 ，
则，
要使n为正整数，则q+2p=11，q为奇数，
当q=1，则p=5，这时b=，
当q=3，则p=4，这时b=，
当q=5，则p=3，p所以B款瓷砖的长为1，宽为或.
【分析】（1）设A款瓷砖的价格为x， B款瓷砖价格为y，根据两款砖价格之和为140元， 和3块A款瓷砖价格和4块B款瓷砖价格相等分别列方程，解方程组即可。
（2）设A款买了m块，B款买了n块， 由两种瓷砖的总花费1000元列关系式，将关系式变形，把m用含n的代数式表示，根据m>n，m、n均为正整数的条件试值，结果只有m=8， n=6符合。
（3）设A款瓷砖用量为x块，B款瓷砖用量为y块，A款瓷砖的长为a，宽度为b，瓷砖铺了m行，n列。根据题意，列以上五个关系式，这里最关键的是利用x=2y-14的关系式，把mn=y，m(n-1)×2=x代入其中，秒出n值，a值也迎刃而解。接着利用nb+[(n-1)×2]a=9关系式，把n用含b的代数式表示，因为01 / 1中考数学第一轮复习：列方程（组）解应用题方法
一、选择题
1．（2023八下·宁武期中）某一景点改造工程要限期完成，甲工程队独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为x天，则下面所列方程正确的有（　　） 个
①②③④
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021七下·仁寿期末）6月18日最开始是京东的周年庆，相当于淘宝的双十一活动，在2013年之前，京东就将每年的6月18日定为年庆。2013年后，618就成了各大电商平台的网购节了。在618当日，小李在某电商平台上选择了甲乙丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各一件时应该付款（　　）
A．580元 B．500元 C．420元 D．200元
3．（2020七上·南浔期末）有一个魔术，魔术师背对小聪，让小聪拿着扑克牌按下列四个步骤操作：
①第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于五张，且各堆牌的张数相同；
②第二步：从左边一堆拿出五张，放入中间一堆；
③第三步：从右边一堆拿出三张，放入中间一堆；
④第四步：右边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入右边一堆。
这时，魔术师准确说出了中间一堆牌现有的张数，则他说出的张数是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．（2020七上·吴兴期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则 （x-y）m-n的值是（　　）
A．-27 B．-1 C．8 D．16
二、填空题
5．（2021·重庆模拟）从百日誓师大会以来，初三年级同学的学习热情高涨，每个同学都在努力的提升各个学科的成绩，初三某班的很多同学到学校附近甲、乙两个书店购买语文、数学、英语、物理资料书，甲书店售出语文资料书的数量和数学相同，英语数量是物理的2倍，英语资料书一本的单价是语文的2倍，数学与物理价格之比是3：4，乙书店语文资料书售出的数量是甲书店语文资料书售出数量的3倍，乙书店数学资料书的价格是甲书店数学资料书价格的，乙书店英语资料书数量比甲书店少，乙书店物理资料书的价格是甲书店物理资料书价格的一半，这样乙书店物理资料书售出的数量和英语相同，乙其余书的数量和售价和甲相同，已知甲书店4本语文资料书的价格与甲书店一本物理资料书的价格差大于120元但不超过130元，且甲书店售出的语文资料书的数量多于26本少于34本，且两个书店共售出语文和英语的销售额比两个书店售出数学和物理的销售额多6820元，且所有的单价与数量均为整数，则两个书店共售出的语文资料书的销售额比共售出的数学资料书销售额多　 　元．
6．（2020八上·大连期末）小明从学校到家要走a分钟，爸爸从家到学校要走b分钟，小明和爸爸两人分别从学校、家同时出发相向而行，则经过　 　分钟两人相遇（用含a、b的式子表示）．
7．（2020七上·温州期末）如图，一个桌球游戏的长方形桌面ABCD中，AD=2m。现将球从AB边上的点M处发射，依次与边AD，DC，CB触碰并反弹后第一次回到AB边上的点N处，设触碰点依次为E，F，G，M。当AE=AM，DE=DF，CF=CG，BG=BN，MN=0.6m时，AB等于　 　m。
8．（2020七上·南浔期末）已知长方形ABCD，AD>AB，AD=10，将两张边长分别为a和b（a>b） 的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，当S2-S1=3b时，AB=　 　。
9．（2020八上·吴兴期末）课本第78页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中有如下问题：如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的 ， ， 满足的数量关系是　 　. 现将△ABF向上翻折，如图②，已知 ， ， ，则△ABC的面积是　 　.
10．（2019七上·河池期中）如图，两个正方形的边长分别为5，3，两阴影部分的面积分别为 ， ，设 ，则a-b等于　 　.
11．（2019七下·东海期末）如图，长方形ABCD的周长为12，分别以BC和CD为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为20，则长方形ABCD的面积是　 　.
12．（2019九上·九龙坡开学考）某超市以A、B两种糖果为原料，组装出了甲、乙、丙三种糖果礼盒（礼盒包装成本忽略不计）.其中，甲礼盒每盒含1千克A糖果、1千克B糖果；乙礼盒每盒含2千克A糖果、1千克B糖果；丙礼盒每盒含1千克A糖果、3千克B糖果.甲礼盒每盒售价48元，利润率为20%.国庆节期间，该超市进行打折促销活动，将甲、乙、丙礼盒各一盒合组装成大礼包，并且每购买一个大礼包可免费赠送一个乙礼盒，这样即可实现利润率为30%，则每个大礼包的售价为　 　元.
13．（2019九上·重庆开学考）某超市促销活动，将 三种水果采用甲、乙、丙三种方式搭配装进礼盒进行销售.每盒的总成本为盒中 三种水果成本之和，盒子成本忽略不计.甲种方式每盒分别装 三种水果 ；乙种方式每盒分别装 三种水果 .甲每盒的总成本是每千克 水果成本的 倍，每盒甲的销售利润率为 ；每盒甲比每盒乙的售价低 ；每盒丙在成本上提高 标价后打八折出售，获利为每千克 水果成本的 倍.当销售甲、乙、丙三种方式搭配的礼盒数量之比为 时，则销售总利润率为　 　.
三、计算题
14．（2021·重庆模拟）（1）（x+2y）2﹣y（x+4y）；
（2）（﹣1）÷．
四、解答题
15．有一水库，有水流进，同时也向外放水，可使用40天．最近库区降雨，流入水库的水量增加20%．如果放水量增加10％，仍可使用40天．如果按原来的放水量放水，可使用多少天
16．已知三种混合物由三种成分A、B和C组成．第一种仅含成分A和B，重量比为3：5．第二种仅含成分B和C，重量比为1：2．第三种仅含成分A与C，重量比为2：3．问以什么比例取这些混合物，才能使所得的混合物中，A、B、C三种重量比为3：5：2
17．某船逆水航行．船员不小心将一木桶掉入水中.5分钟后才发现，掉转船头去追木桶．问过了多久，才能追上
18．甲、乙、丙三种货物．若购甲3件、乙7件、丙1件，共需300元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需400元．购甲、乙、丙各一件，共需多少元
19．小红上山每小时走4千米．到达山顶后立即沿原路下山，每小时走6千米．求小红在整个过程中的平均速度．
20．甲杯中装水，乙杯中装酒精，水和酒精一样多．先从甲杯中倒一些水到乙杯中．然后从乙杯中倒同样多混合液到甲杯；再从甲杯中倒一些混合液到乙杯……如此进行下去，一直进行了100次．问最后甲杯中的酒精多还是乙杯中的水多
21．如图，一个长方形，被两条直线分成四个长方形．其中三个的面积分别为20、25和30．另一个(图中阴影部分)长方形的面积是多少
22．小明爷爷的年龄是一个两位数．将这个两位数的数字交换得到的数恰好是小明爸爸的年龄．又知道他们的年龄差是小明年龄的4倍．求小明的年龄。
23．A、B、C、D四人干一项工作．若A、B、C三人合干，10天可完工.若A、C、D三人合干，8天可完工．若B与D合干，20天可完工．问D一人独干，多少天完工
24．某船顺水航行每小时行10千米，逆水航行每小时行6千米．这船往返过程中的平均速度是多少
25．甲、乙两个杯子，分别装两种浓度不同的酒精与水的混合液16克和24克．分别从甲、乙两杯中倒出重量相等的混合液，并将甲杯中倒出的那部分混合液倒入乙杯，将乙杯中倒出的那部分混合液倒入甲杯．这时，甲、乙两杯中所含酒精的浓度恰好相等．问从甲杯中倒出的那部分混合液重多少克
26．一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个粗细相同的进水管.打开4个进水管时，需要5小时注满水池.打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池.现在要在2小时内将水池注满，至少要打开多少个进水管
27．一个十位数字为0的三位数，恰好等于数字和的67倍.交换个位与百位数字后得到一个新的三位数．新的数是数字和的m倍，求m的值．
28．A、B、C、D、E五个人做一项工作．若A、B、C、D四人一起做，8天可完工．若B、C、D、E四人一起做，6天可完工.若A、E两人一起做，12天可完工．若A一个人单独做，多少天才能完工
29．如图，在一个梯形内有两块面积分别为10和12的三角形．已知梯形的上底长是下底长的 ，求图中阴影部分的面积．
30．设a1，a2，…，a1999，a2000都是正数，
M=(a1+a2+…+a1999)(a2+a3+…+a2000)，
N=(a1+a2+…+a2000)(a2+a3+…+a1999)．
试比较M与N的大小．
31．小强上山时的速度为3千米／时.到达山顶后，沿原路下山，下山时的速度为5千米／时.求小强在整个过程中的平均速度.
32．小明和小亮同时出发，从甲地往乙地.小明走完全程的一半时，小亮才走了l6千米.小亮走完全程的一半时，小明已走了25千米.小明走完全程时，小亮未走完的路程还有多少千米
五、综合题
33．（2020八上·拱墅期末）设一次函数y=kx+b-3（k，b是常数，且k≠0）。
（1）该函数的图象过点（-1，2），试判断点P（4，5k+2）是否也在此函数的图象上，并说明理由。
（2）已知点A（a，y1）和点B（a-2，y1+2）都在该一次函数的图象上，求k的值。
（3）若k+b＜0，点Q（5，m）（m＞0）在该一次函数上，求证：k＞ 。
34．（2020七上·吴兴期末）将大小不一的正方形纸片①、②、③、④放置在如图所示的长方形ABCD内（相同纸片之间不重叠），其中AB=a．
小明发现：通过边长的平移和转化，阴影部分⑤的周长与正方形①的边长有关.
（1）根据小明的发现，用代数式表示阴影部分⑥的周长　 　．
（2）阴影部分⑥与阴影部分⑤的周长之差与正方形　 　（填编号）的边长有关，请计算说明.　 　
35．（2019七下·温州期末）李师傅要给一块长9米，宽7米的长方形地面铺瓷砖．如图，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等，B款瓷砖的长大于宽．已知一块A款瓷砖和一块B款瓷砖的价格和为140元；3块A款瓷砖价格和4块B款瓷砖价格相等．请回答以下问题：
（1）分别求出每款瓷砖的单价．
（2）若李师傅买两种瓷砖共花了1000元，且A款瓷砖的数量比B款多，则两种瓷砖各买了多少块
（3）李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖．若A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则B款瓷砖的长和宽分别为　 　米(直接写出答案)．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解：设该工程的工作总量为1，工程期限为X，
则：甲队的工效为，乙队的工效为
所以：方程为4x+x=1
整理得+=1
故：④符合条件 变形可得②也符合条件 。
【分析】解决这类问题时学生需要会设未知数及算式的化解。
2．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用；数学思想；设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解：设购买甲、乙、丙各一件分别要x元、y元、z元，
则购买甲、乙、丙各一件时应该付款 （x+y+z）元
由题意得：
（1）+（2）得：5x+5y+5z=1000；
化简得： x+y+z=200；
即 购买甲、乙、丙各一件时应该付款 200元。
故答案为：D
【分析】本题主要考查方程的实际应用，先找出等量关系列出方程，再用整体思想求出 x+y+z的值即可；解题时要注意，三个未知数，两个等量关系，找出系数之间的关系，利用整体思想求解是关键。
3．【答案】D
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解：设三堆扑克牌的张数都为x（x>5），
则第三步过后，中间一堆有x+3+5=x+8张，右边一堆有x-3张，
第四步过后，中间一堆有：x+8-(x-3)=11（张）.
故答案为：D.
【分析】本题利用设而不求的思想，设三堆扑克牌的张数都为x（x>5），按条件列出每步过后各堆的张数的代数式，因为第三步过后中间一堆有x+8张，右边一堆有x-3张，第四步过后，中间一堆有x+8-(x-3)=11（张）.
4．【答案】A
【知识点】有理数的乘方法则；设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解：如图，设两个空圆里的数字为a、b，
由题意得：m=a+2， n=a-1， x=b-1， y=b+2，
∴x-y=b-1-(b+2)=-3， m-n=a+2-(a-1)=3，
∴（x-y）m-n=(-3)3=-27.
故答案为：A.
【分析】本题运用设而不求的思想，设两个空圆里的数字为a、b， 根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等分别把m，n，x，y用含a、b的代数式表示，整体代换求出x-y和m-n的值，则（x-y）m-n可求.
5．【答案】3720
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解：可设甲书店售出语文资料书单价a元，售出b件，则物理资料书单价4d元，售出c件，则售出数学资料书单价3d元，售出b件，则英语资料书单价2a元，售出2c件，乙书店售出语文资料书单价a元，售出3b件，则物理资料书单价2d元，售出
c件，则售出数学资料书单价d元，售出b件，则英语资料书单价2a元，售出
c件，依题意有
120＜|4a﹣4d|＜130，即30＜|a﹣d|＜32.5①，
26＜b＜34②，
（ab+4ac+3ab+
ac）﹣（3bd+4cd+bd+
cd）＝6820，
4b（a﹣d）+
c（a﹣d）＝6820，即（b+
c）（a﹣d）＝1705，
∴a﹣d为正数，a﹣d＝31或32，
a﹣d＝31时，b+
c＝1705÷31＝55，
a﹣d＝32时，b+
c＝1705÷32＝
（与b，c均为正整数不符），
∴a﹣d＝31，b+
c＝55，即
c＝55﹣b为5的倍数，且21＜
c＜29，
故
c＝25，
解得c＝15，
∴b＝30，
则（ab+3ab）﹣（bd+3bd）＝4（ab﹣bd）＝4b（a﹣d）＝4×30×31＝3720．
故两个书店共售出的语文资料书的销售额比共售出的数学资料书销售额多3720元．
故答案为：3720．
【分析】可设甲书店售出语文资料书单价a元，售出b件，则物理资料书单价4d元，售出c件，则售出数学资料书单价3d元，售出b件，则英语资料书单价2a元，售出2c件，乙书店售出语文资料书单价a元，售出3b件，则物理资料书单价2d元，售出
c件，则售出数学资料书单价d元，售出b件，则英语资料书单价2a元，售出
c件，由甲书店4本语文资料书的价格与甲书店一本物理资料书的价格差大于120元但不超过130元，且甲书店售出的语文资料书的数量多于26本少于34本，且两个书店共售出语文和英语的销售额比两个书店售出数学和物理的销售额多6820元，且所有的单价与数量均为整数，可列方程ab+4ac+3ab+
ac）-（3bd +4cd+bd+
cd）＝6820，整理得（b+
c）（a﹣d）＝1705，求得a-d=31或32，再根据b和c均为正整数确定符合题意的a-d值，即a﹣d＝31，b+
c＝55，即
c＝55﹣b为5的倍数，且21＜
c＜29，可得c=15，b＝30，再由（ab+3ab）﹣（bd+3bd）即可求得两个书店共售出的语文资料书的销售额比共售出的数学资料书销售额多多少元.
6．【答案】
【知识点】列式表示数量关系；设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解：设小明家到学校的距离为单位“1”，
∵小明从学校到家要走a分钟，爸爸从家到学校要走b分钟，
∴小明的速度为 ，爸爸的速度为 ，
所以，小明和爸爸两人分别从学校、家同时出发相向而行，两人相遇所需时间为：
（分钟）
故答案为：
【分析】根据题意求出小明的速度为 ，爸爸的速度为 ，再求解即可。
7．【答案】2.3或1.7
【知识点】设而不求（奥数类）；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：设AE=AM=x， BG=BN=y，
则DE=DF=2-x， CF=CG=2-y，
∴AB=CD=DF+FC=2-x+2-y=4-x-y，
①当N在B、M之间时，
AB=AM+BN+MN=x+y+0.6，
∴2AB=4-x-y+0.6+x+y=4.6，
∴AB=2.3.
②当N在A、M之间时，
AB=AM+BN-MN=x+y-0.6，
∴2AB=4-x-y-0.6+x+y=3.4.
∴AB=1.7.
故答案为：2.3或1.7.
【分析】本题用到设而不求的解题思想，设AE=AM=x， BG=BN=y， 则DE=DF=2-x， CF=CG=2-y， 把CD和AB用含x、y的代数式表示，两式联立，结合AB=CD，分两种情况讨论，①当N在B、M之间时，②当N在A、M之间时，分别求出AB的长度即可.
8．【答案】7
【知识点】用字母表示数；设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解：设AB=x，
则S1=10x-a2-b2+(a+b-10)b， S2=10x-a2-b2+(a+b-x)b，
∵S2-S1=3b ，
∴10x-a2-b2+(a+b-x)b-10x+a2+b2-(a+b-10)b=3b，
-bx=-7b，
∴x=7.
故答案为：7.
【分析】本题运用设而不求的思想，设AB=x， 分别吧两个阴影部分的面积用含a、b和x的代数式表示，代入给定的关系式，整理化简即可求值.
9．【答案】；7
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解：如图，作FH⊥AB，
∵△AFB是等边三角形，FH⊥AB，
∴AH=AB，
∴FH==AB，
∴S3=AB×AH=AB2，
同理S1=AC2，S2=BC2，
∵AC2+BC2=AB2，
∴S1+S2=AC2+BC2=（AC2+BC2）=AB2=S3.
如图，设三个空白部分的面积分别为：x、y、z，
由上题的结论可得：S甲+x+S乙+y=S丙+x+y+z，
∴z=S甲+S乙-S丙=6+5-4=7.
故答案为：7.
【分析】（1）作FH⊥AB，根据等边三角形的性质吧相关线段用AB表示，则S3的面积可用含AB的代数式表示，同理把S1和S2的面积分别用含AC和BC的代数式表示，结合利用勾股定理可得AC2+BC2=AB2， 可得 ；设三个空白部分的面积分别为：x、y、z，根据上题所得的结论列等式，即可求出△ABC的面积.
10．【答案】16
【知识点】列式表示数量关系；设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解：设空白处图形的面积为x，
根据题意得：a+x= =25，b+x= =9，
则（a+x）-（b+x）=a﹣b=16.
故答案为：16.
【分析】设空白处的面积为x，根据题意列出关系式，相减即可求出a﹣b的值.
11．【答案】8
【知识点】完全平方公式及运用；设而不求（奥数类）
【解析】【解答】设长方形的长为x，宽为y，由题意得：
，
∴x+y=6，
∴（x+y）2=36，
∴x2+2xy+y2=36
∴2xy=36-（x2+y2）=16，
∴xy=8，
∴长方形ABCD的面积是8，
故答案为：8.
【分析】此题的等量关系为： 长方形ABCD的周长=12 ；两个正方形的面积和=20 ，设未知数，列方程组，再解方程组求出x、y的值，然后求出xy的值即可。
12．【答案】312
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解：设A原料的成本为x元/千克，B原料的成本为y元/千克，
根据题意得：（1+20%）（x+y）=48，
解得：x+y=40，
∴礼盒的售价为（1+30%）×6（x+y）=1.3×6×40=312元.
故答案为：312元.
【分析】首先设A原料的成本为x元/千克，B原料的成本为y元/千克，然后根据题意列出方程，求解即可.
13．【答案】20%
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解：设每千克A、B、C三种水果的成本分别为为x、y、z，依题意得：
6x+3y+z=12.5x，
∴3y+z=6.5x，
∴每盒甲的销售利润=12.5x 20%=2.5x
乙种方式每盒成本=2x+6y+2z=2x+13x=15x，
乙种方式每盒售价=12.5x （1+20%）÷（1-25%）=20x，
∴每盒乙的销售利润=20x-15x=5x，
设丙每盒成本为m，依题意得：m（1+40%） 0.8-m=1.2x，
解得m=10x.
∴当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为2：2：5时，
总成本为：12.5x 2+15x 2+10x 5=105x，
总利润为：2.5x 2+5x×2+1.2x 5=21x，
销售的总利润率为 ×100%=20%，
故答案为：20%.
【分析】分别设每千克A、B、C三种水果的成本为x、y、z，设丙每盒成本为m，然后根据题意将甲、乙、丙三种方式的每盒成本和利润用x表示出来即可求解.
14．【答案】（1）解：（x+2y）2﹣y（x+4y）
＝x2+4xy+4y2﹣xy﹣4y2
＝x2+3xy；
（2）解：（﹣1）÷
＝
＝﹣
＝﹣．
【知识点】根据数量关系列方程；设而不求（奥数类）
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式、单项式乘多项式法则将原式展开，再去括号、合并同类项即得；
（2）将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可.
15．【答案】解：设进水量为x，出水量为y，水库原来的容量为m，依题可得：
，
解得：y=2x，m=40x，
∴m÷[y-（1+20%）x]，
即40x÷0.8x=50（天），
答：如果按原来的放水量放水，可使用50天.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】设进水量为x，出水量为y，水库原来的容量为m，根据题意列出方程组，解之即可.
16．【答案】解：设设所需三种混合物质量分别为：x、y、z，依题可得：
混合后A的量为：x+z，
混合后B的量为：x+y，
混合后C的量为：y+z，
∵A、B、C三种重量比为3：5：2，
∴，
解得：x=z，y=2z，
∴x：y：z=z：2z：z=20：6：3.
答：以20：6：3的比例取这些混合物，才能使所得的混合物中，A、B、C三种重量比为3：5：2.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】设设所需三种混合物质量分别为：x、y、z，根据题意可得混合后A、B、C的量，结合题意列出方程组，解之即可.
17．【答案】解：设水速为y，船速为x，依题可得：
∴发现时两者的距离为：5y+5（x-y）=5x，
∴追及时间为：
5x÷（x+y-y）=5（分钟），
答：问过了5分钟，才能追上.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】设水速为y，船速为x，根据题意先求出发现时两者的距离为：5y+5（x-y）=5x，再由追及时间=追及路程÷速度差，求解即可.
18．【答案】解：设甲货物单价为x元，乙货物单价为y元，丙货物单价为z元，依题可得：
，
（1）×3-（2）×2得：
x+y+z=100，
答：甲、乙、丙各一件，共需100元.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】设甲货物单价为x元，乙货物单价为y元，丙货物单价为z元，根据题意列出方程组，注意观察问题与条件间系数关系整体求解即可.
19．【答案】解：设小红上山时的路程为s千米，则上山所用的时间为小时；下山的路程也是s千米，下山所用时间小时；
∴在整个过程中，总的路程为2s，总的时间为+，
∴平均速度=总路程÷总时间===4.8（千米/小时），
答：小红在整个过程中的平均速度为 4.8千米／时.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】平均速度=总路程÷总时间，而题设中并未给出这个总路程，因此我们引入了辅助未知数s；在列出算式后，我们发现s并不用求，它在计算过程中自然消去了.
20．【答案】解： 一样多，理由如下：
设原来甲乙两杯中各有水和酒精V升，最后甲杯中由酒精x升，乙杯中有水y升，依题可得：
∵一直进行了100次后，甲乙两杯中混合物体依然各为V升，
∴乙杯中酒精有：V-y升，
∴x+V-y=V，
∴x=y，
∴一样多.
答：最后甲杯中的酒精和乙杯中的水一样多.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】设原来甲乙两杯中各有水和酒精V升，最后甲杯中由酒精x升，乙杯中有水y升，因为甲杯中有多少酒精，就有多少水转移到了乙杯中.
21．【答案】解：设面积为25的长方形的长为a，宽为b；面积为20的长方形的长为c，宽为b；面积为30的长方形的长为c，宽为d；依题可得：
，
得：
（4），
（3）×（4）得：
ad=30×=37.5.
答：另一个(图中阴影部分)长方形的面积是37.5.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】解：设面积为25的长方形的长为a，宽为b；面积为20的长方形的长为c，宽为b；面积为30的长方形的长为c，宽为d；根据题意列出方程组，解之即可.
22．【答案】解：设小明爷爷年龄为ab岁，则爸爸年龄为ba岁，小明年龄为x岁，依题可得：
（10a+b）-（10b-a）=4x，
即a-b=x，
当x=9时，a-b=4，∴a=7，b=3（或a=8，b=4）这是可能的；
当x=18时，a-b=8，∴a=9，b=1，显然这是不可能的；
综上所述：小明年龄为9岁.
答：小明的年龄为9岁.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】设小明爷爷年龄为ab岁，则爸爸年龄为ba岁，小明年龄为x岁，根据爷爷和爸爸的年龄之差为小明的4倍，列出方程，解之，再分情况分析即可得出答案.
23．【答案】解：设A、B、C、D每人每天完成的工作量分别为a、b、c、d，依题可得：
，
（2）-（1）得：
，（4）
（3）+（4）得：
，
解得：d=.
答：D一人独干，天完工.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】设A、B、C、D每人每天完成的工作量分别为a、b、c、d，根据工作效率×工作时间=工作总量，列出方程组，解之即可.
24．【答案】解：设该船返回的路程为s千米，则去的路程也为s千米，依题可得：
顺水航行的时间为：小时，
逆行航行的时间为：小时，
∴这船往返过程中的平均速度为：=7.5千米/小时.
答：这船往返过程中的平均速度为7.5千米/小时.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】平均速度=总路程÷总时间，根据题意分别求出顺水航行和逆水航行的时间，而题设中并未给出这个总路程，因此我们引入了辅助未知数s；在列出算式后，我们发现s并不用求，它在计算过程中自然消去了.
25．【答案】解：设甲杯中酒精的浓度为a，乙杯中酒精的浓度为b，倒出的那部分混合液重为x千克，依题可得：
，
解得：x=9.6.
答：从甲杯中倒出的那部分混合液重为9.6千克.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】设甲杯中酒精的浓度为a，乙杯中酒精的浓度为b，倒出的那部分混合液重为x千克，根据甲、乙两杯中所含酒精的浓度恰好相等，列出方程，解之即可.
26．【答案】解：设每个进水管1小时的注水量为a，排水管1小时的排水量为b，设2小时注满水池需要打开x个进水管，则由题意，得
这方程组只有两个方程，却有三个未知数.在一般情况下是不能确定这三个未知数的值的.但由方程组的特点，我们可以求出x的值，而不用具体求出辅助未知数a、b的值.
由①得4a-6=6b-3b，即a=b. ③
将③代入②，得2(ax-a)一15(2a-a)，
2ax=17a.
所以x=8.5.
水管当然不能有半个，所以至少要打开9个进水管，才能在2小时内将水池注满.
答：至少需打开9个进水管.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】本题若只设一个未知数x，等量关系就不太明显，因此，我们又设了辅助未知数a与b，从而列出了含有三个未知数、两个方程的方程组.再根据这个方程组本身的特点，在不求a与b的情况下，求得x的值.
27．【答案】解：设原三位数的百位数字为x，个位数字为y．由题意，得① +②得 由x+y>0，得67+m=101，m=34．答：m的值为34．
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】设原三位数的百位数字为x，个位数字为y，根据题意列出方程，再两个方程相加，由x+y>0得67+m=101，解之即可得m值.
28．【答案】解：设总工作量为1，A、B、C、D、E每人每天完成的工作量分别为a、b、c、d、e．根据题意得①-②得a-e=- ④③十④得2a= a= 所以，A一人单独做，需=48（天）才能完工.答：A一人单独做，需48天才能完工．
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】设总工作量为1，A、B、C、D、E每人每天完成的工作量分别为a、b、c、d、e．根据工作效率=工作总量÷工作时间，结合题意列出方程，解之可求得A的工作效率，再由工作时间=工作总量÷工作效率求得答案.
29．【答案】解：设这个梯形的上底长为2a，下底长为3a．梯形的高是面积为10、12的两个三角形的高的和，即为
梯形的面积为：
所以，阴影部分面积为45-10-12=23.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】根据题意设这个梯形的上底长为2a，下底长为3a；再由题中给出的两个三角形的面积以及三角形面积公式可求得梯形的高为，根据梯形面积=（上底+下底）×高，由此求得梯形面积，阴影部分面积=梯形面积-两个三角形面积即可求得.
30．【答案】解：设x=a2+a3+…+a1999，则M=(a1+x)(x+a2000)=x2+(a1+a2000)x+a1a2000，N=(a1+x+a2000)x=x2+(a1+a2000)x．所以，M-N=a1a2000．由于以a1>0，a2000>0，故a1a2000>0，即M-N>0，亦即M>N．答：M>N．
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】分析本题粗看之下，与“设而不求”好像没有什么关系．但仔细观察本题的特点，发现不管M和N的哪一个因式，都有a2+a3+…+a1999．若用乘法展开，则项数太多，难以比较大小．而令a2+a3+…+a1999=x，则问题可迎刃而解。
通过设一些辅助未知数，有时可以把一些不太明显的关系表示出来，不必求出这些未知数却可以得到我们想要的结果．这是我们用“设而不求”方法解决问题的一般想法．
31．【答案】解：设小强上山时的路程为s千米，则上山所用的时间为 小时.下山的路程也是s千米，下山所用时间 时.因此，在整个过程中，总的路程为2s，总的时间为了 + ，根据平均速度的计算公式；得
=
答：小强在整个过程中的平均速度为 千米／时.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】不可粗心地认为平均速度为 =4(千米／时).这种错误是由于对平均速度的概念不太清楚.我们知道，平均速度=总路程÷总时间，而题设中并未给出这个总路程：因此我们引入了辅助未知数s.在列出算式后，我们发现s并不用求，它在计算过程中自然消去了.
32．【答案】解：设半程长为s千米，小明的速度为每小时x千米，小亮的速度为每小时y千米.由于在相同时间里走过的距离与速度成正比，
所以
由①、②得即
由s≥0，得s=20.
2×(20-16)=8.
答：小亮未走完的路程还有8千米.
【知识点】设而不求（奥数类）
【解析】【分析】设半程长为s千米，小明的速度为每小时x千米，小亮的速度为每小时y千米.由于在相同时间里走过的距离与速度成正比，根据题意列出方程，从而得出半程s值，再由题意求得答案.
33．【答案】（1）解：点P在函数图象上，理由如下：
∵2=-k+b-3，
∴b=k+5，
∵当x=4，y=4k+k+5-3=5k+2，
∴点P在函数图象上.
（2）解：∵ y1=ak+b-3， y1+2=(a-2)k+b-3，∴ak+b-3+2=(a-2)k+b-3，整理得：-2k=2，则k=-1.
（3）证明：∵m=5k+b-3>0，
∴5k>3-b，
∵4k>3-(k+b)，
∵k+b<0，
∴4K>3，
∴ k＞ .
【知识点】函数值；设而不求（奥数类）；不等式的性质
【解析】【分析】（1）先把（-1，2）代入函数式得出b的表达式，再求x=4时y的表达式，结合b的表达式即可把y用含k的代数式表示，即可验证.
（2）把A、B两点坐标分别代入函数式得到两个关系式，两式联立消去未知量y1整理可得k值.
（3）把Q点代数函数式，得出m的关系式，根据m>0列不等式，再结合k+b<0以及不等式的性质可得k的范围.
34．【答案】（1）2a
（2）②；解：设②的边长是m.∴阴影部分⑤的周长是2(a-m).∴阴影部分⑥-阴影部分⑤=2a-2(a-m)=2m
【知识点】列式表示数量关系；设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解（1）设长方形 ⑥ 的长为x， 宽为y， 则x+y=a， 周长=2(x+y)=2a.
【分析】（1）设长方形 ⑥ 的长为x， 宽为y， 因为这个长方形的长与宽之和为a， 则周长为2a.
（2） 设②的边长是m，把⑤的周长用含m和a的代数式表示，再计算阴影部分⑥的周长和阴影部分⑤的周长之差即可，其结果正好等于正方形②的周长.
35．【答案】（1） 解：设A款瓷砖的价格为x， B款瓷砖价格为y， 则：
，
解得：.
故答案为：A款瓷砖的单价为80元，B款瓷砖的单价为60元。
（2）解： 设A款买了m块，B款买了n块，
80m+60n=1000，
，且m>n，m、n均为正整数，
经试值，只有m=8， n=6符合，
故A款砖买8块，B款砖买6块。
（3）1、或.
【知识点】二元一次方程的应用；自然数及整数的概念；设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解：（3）设A款瓷砖用量为x块，B款瓷砖用量为y块，A款瓷砖的长为a，宽度为b，瓷砖铺了m行，n列。
则有：把mn=y，m(n-1)×2=x代入x=2y-14中得：
m(n-1)×2=2mn-14，
解得：m=7，
把m=7，代入ma=7中，得：a=1，
把a=1代入nb+[(n-1)×2]a=9中，再变形得：
，
∵0设 ，
则，
要使n为正整数，则q+2p=11，q为奇数，
当q=1，则p=5，这时b=，
当q=3，则p=4，这时b=，
当q=5，则p=3，p所以B款瓷砖的长为1，宽为或.
【分析】（1）设A款瓷砖的价格为x， B款瓷砖价格为y，根据两款砖价格之和为140元， 和3块A款瓷砖价格和4块B款瓷砖价格相等分别列方程，解方程组即可。
（2）设A款买了m块，B款买了n块， 由两种瓷砖的总花费1000元列关系式，将关系式变形，把m用含n的代数式表示，根据m>n，m、n均为正整数的条件试值，结果只有m=8， n=6符合。
（3）设A款瓷砖用量为x块，B款瓷砖用量为y块，A款瓷砖的长为a，宽度为b，瓷砖铺了m行，n列。根据题意，列以上五个关系式，这里最关键的是利用x=2y-14的关系式，把mn=y，m(n-1)×2=x代入其中，秒出n值，a值也迎刃而解。接着利用nb+[(n-1)×2]a=9关系式，把n用含b的代数式表示，因为01 / 1

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