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7.3.5 已知三角函数值求角
课程标准 学习目标
（1）理解反正弦、反余弦、反正切的概念，明确其表示角的范围； （2）掌握已知的三角函数值求角，培养学生数学运算的数学核心素养。 （1）掌握利用三角函数线求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号、、表示角； （2）熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间上对应的角。
知识点01 已知三角函数值求角相关概念
1、已知正弦值求角
对于正弦函数，在区间内，满足的只有一个，这个记作，即.
2、已知余弦值求角
对于余弦函数，在区间内，满足的只有一个，这个记作，即.
3、已知正切值求角
对于正切函数，在区间内，满足的只有一个，这个记作，即.
【即学即练1】（2023·高一课时练习）用反三角函数的形式把下列各式中的x表示出来．
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）∵，∴，
∴，∴.
（2）∵，∴.
（3）∵，∴，
∴，∴，∴.
（4）∵，
∴，
∴，∴.
知识点02 已知三角函数值求角或角的范围的方法
1、利用三角函数线求角
在单位圆中，是正弦线，是余弦线，是正切线，作出三角函数线，即可求得角的大小。
2、利用三角函数图象求角或角的范围
用三角函数图象解(或)的方法
（1）作出直线，(或)的图像；
（2）确定(或)的的值；
（3）选取一个合适的周期写出(或)的解集，要尽量使解集为一个连续区间。
【即学即练2】（2023·全国·高一课时练习）求出的解集（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】画出正弦函数的图象，如图：
，，等价
因为的周期为，，
故不等式的解集为，故选：C.
【题型一：已知正弦值求角】
例1．（2023·江西南昌·高一校考阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以“”是“”的充要条件，故选：A.
变式1-1．（2023·上海闵行·高一校考期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】若成立，可得或，，
说明是其中的一个角，不一定刚好，充分性不成立，
反之如果成立，则成立，必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B．
变式1-2．（2023·上海长宁·高一延安中学校考期中）已知，，则 .
【答案】或
【解析】，，则，所以或.
变式1-3．（2023·高一单元测试）若，，则 ．
【答案】
【解析】由，得，所以，
由，
所以，所以
【方法技巧与总结】
1、给值求角的问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用。
2、对于已知正弦值求角的规律
【题型二：已知余弦值求角】
例2．（2024·上海·高一假期作业）已知，则角x等于
【答案】
【解析】由题意，，所以.
变式2-1．（2023·上海浦东新·高一校考期中）集合 ．
【答案】
【解析】当时，，则，
由，可得，所以，，
因为，则或，
因此，.
变式2-2．（2023·上海松江·高一上海市松江二中校考期中）方程，的解为 ．
【答案】
【解析】依题意，，而，即，
因此，解得，所以所求方程的解为.
变式2-3．（2022·上海浦东新·高二校考阶段练习）已知，则以下四个式子表示，其中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
由反函数的定义可知，其中，
由于，所以，故B正确，
由与关于对称，所以，故A正确，C错误，
由于，所以，，
所以，故D正确.故选：C.
【方法技巧与总结】
利用余弦值求角、解不等式：将看作整体，先求出或的角，再通过周期推广到整个定义域内，最后解出的值或范围。
【题型三：已知正切值求角】
例3．（2023·北京·高一北京市第一六一中学校考期中）若，，则 .
【答案】
【解析】则，又，故.
变式3-1．（2023·北京海淀·高一人大附中校考期中）若（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，，，
又反正切函数的值域为，所以.故选：B
变式3-2．（2023·高一课时练习）已知，且，则可表示成（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，所以，故选：C.
变式3-3．（2023·高一课时练习）已知，，则等于 ．
【答案】
【解析】由题知，，所以，所以
【方法技巧与总结】
1、已知角的正切值求角，可先求出内的角，再由的周期性表示所给范围内的角；
2、，的解集为.
【题型四：三角方程的求解】
例4．（2024·广东佛山·高一统考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．必要条件 D．既不充分也不必要条什
【答案】B
【解析】由，可得或，即充分性不成立；
反之，若，可得，则，即必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.
变式4-1．（2023·浙江·高一期末）已知，且，则（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】D
【解析】，又，则或．故选：D.
变式4-2．（2023·高一课时练习）的解集为 ．
【答案】
【解析】因为，
所以，则或，
当时，；
当时，，则.
综上：或.
变式4-3．（2021下·四川成都·高一四川省蒲江县蒲江中学校考阶段练习）如果，则角与的终边除了可能重合外，还有可能（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于直线对称 D．关于原点对称
【答案】A
【解析】如图：角的终边与单位圆相交于点，过点作轴于点，
由三角函数线的定义可知：，
由图知：设角的终边与单位圆相交于点，当角的终边与角的终边关于轴对称时，
过点作轴的垂线，则垂足为点，所以，
所以当角与的终边关于轴对称时，，故选：A.
【方法技巧与总结】
明确所求角的范围和个数，结合诱导公式先用或或表示一个或两个特殊角，然后再根据函数的周期性表示出所有的角。
一、单选题
1．（2023·陕西咸阳·高三统考期中）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，，，
反之，当时，，不一定是，
所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.
2．（2023·高一课时练习）若，则角x等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【解析】∵，
∴，∴，
∵，∴，∴或.故选：D.
3．（2023·四川宜宾·高二统考期末）已知命题，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，可得，所以充分性成立；
反之：若，可得，所以必要性不成立，
所以是的充分不必要条件.故选：A.
4．（2023·北京·高一校考阶段练习）在△中，若，则=（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】A
【解析】△中，若，，
则，所以，所以，故选：A.
5．（2019·高一课时练习）若，，则适合条件的角有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】C
【解析】因为，，则或，
又在只有1个角使得，在也只有1个角使得，
即符合条件的角有2个，故选C.
6．（2023·高一课时练习）下列叙述错误的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．
【答案】C
【解析】令，则，
∵，而为增函数，∴，即，故A正确；
根据定义：任意给定的一个，
当且时，记作，可知B正确；
当时，而，故C错误；
令，，则，
∵，∴，，即，故D正确.故选：C.
二、填空题
7．（2023·北京·高一北理工附中校考期中）设，且，则为 .
【答案】
【解析】因为，且在上单调递减，
所以由，得．
8．（2023·上海·高一金山中学校考阶段练习）写出方程在内的解集 .
【答案】
【解析】，
，或，，或
.
9．（2024·辽宁沈阳·统考一模）的一个充分不必要条件是 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为时，
由可得,
故的一个充分不必要条件是.
10．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一校考阶段练习）已知，则 .
【答案】或
【解析】因为，所以或.
11．（2023·上海·高一上海市第三女子中学校考期中）已知，则 （用反正弦表示）
【答案】
【解析】由，可得.
12．（2023·高一课时练习）已知，若，用反正弦符号表示为 ．
【答案】
【解析】∵，∴，
∴，∴.
13．（2022·辽宁沈阳·高一沈阳二中阶段练习）若，，则 ．
【答案】
【解析】由反三角函数的性质知，故
而，故
14．（2023·辽宁铁岭·高一昌图县第一高级中学校考阶段练习） .
【答案】
【解析】7.3.5 已知三角函数值求角
课程标准 学习目标
（1）理解反正弦、反余弦、反正切的概念，明确其表示角的范围； （2）掌握已知的三角函数值求角，培养学生数学运算的数学核心素养。 （1）掌握利用三角函数线求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号、、表示角； （2）熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间上对应的角。
知识点01 已知三角函数值求角相关概念
1、已知正弦值求角
对于正弦函数，在区间内，满足的只有一个，这个记作，即.
2、已知余弦值求角
对于余弦函数，在区间内，满足的只有一个，这个记作，即.
3、已知正切值求角
对于正切函数，在区间内，满足的只有一个，这个记作，即.
【即学即练1】（2023·高一课时练习）用反三角函数的形式把下列各式中的x表示出来．
（1） （2）
（3） （4）
知识点02 已知三角函数值求角或角的范围的方法
1、利用三角函数线求角
在单位圆中，是正弦线，是余弦线，是正切线，作出三角函数线，即可求得角的大小。
2、利用三角函数图象求角或角的范围
用三角函数图象解(或)的方法
（1）作出直线，(或)的图像；
（2）确定(或)的的值；
（3）选取一个合适的周期写出(或)的解集，要尽量使解集为一个连续区间。
【即学即练2】（2023·全国·高一课时练习）求出的解集（ ）
A． B．
C． D．
【题型一：已知正弦值求角】
例1．（2023·江西南昌·高一校考阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
变式1-1．（2023·上海闵行·高一校考期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
变式1-2．（2023·上海长宁·高一延安中学校考期中）已知，，则 .
变式1-3．（2023·高一单元测试）若，，则 ．
【方法技巧与总结】
1、给值求角的问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用。
2、对于已知正弦值求角的规律
【题型二：已知余弦值求角】
例2．（2024·上海·高一假期作业）已知，则角x等于
变式2-1．（2023·上海浦东新·高一校考期中）集合 ．
变式2-2．（2023·上海松江·高一上海市松江二中校考期中）方程，的解为 ．
变式2-3．（2022·上海浦东新·高二校考阶段练习）已知，则以下四个式子表示，其中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
利用余弦值求角、解不等式：将看作整体，先求出或的角，再通过周期推广到整个定义域内，最后解出的值或范围。
【题型三：已知正切值求角】
例3．（2023·北京·高一北京市第一六一中学校考期中）若，，则 .
变式3-1．（2023·北京海淀·高一人大附中校考期中）若（ ）
A． B． C． D．
变式3-2．（2023·高一课时练习）已知，且，则可表示成（ ）
A． B． C． D．
变式3-3．（2023·高一课时练习）已知，，则等于 ．
【方法技巧与总结】
1、已知角的正切值求角，可先求出内的角，再由的周期性表示所给范围内的角；
2、，的解集为.
【题型四：三角方程的求解】
例4．（2024·广东佛山·高一统考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．必要条件 D．既不充分也不必要条什
变式4-1．（2023·浙江·高一期末）已知，且，则（ ）
A． B．或 C．或 D．或
变式4-2．（2023·高一课时练习）的解集为 ．
变式4-3．（2021下·四川成都·高一四川省蒲江县蒲江中学校考阶段练习）如果，则角与的终边除了可能重合外，还有可能（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于直线对称 D．关于原点对称
【方法技巧与总结】
明确所求角的范围和个数，结合诱导公式先用或或表示一个或两个特殊角，然后再根据函数的周期性表示出所有的角。
一、单选题
1．（2023·陕西咸阳·高三统考期中）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·高一课时练习）若，则角x等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
3．（2023·四川宜宾·高二统考期末）已知命题，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023·北京·高一校考阶段练习）在△中，若，则=（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
5．（2019·高一课时练习）若，，则适合条件的角有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
6．（2023·高一课时练习）下列叙述错误的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．
二、填空题
7．（2023·北京·高一北理工附中校考期中）设，且，则为 .
8．（2023·上海·高一金山中学校考阶段练习）写出方程在内的解集 .
9．（2024·辽宁沈阳·统考一模）的一个充分不必要条件是 .
10．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一校考阶段练习）已知，则 .
11．（2023·上海·高一上海市第三女子中学校考期中）已知，则 （用反正弦表示）
12．（2023·高一课时练习）已知，若，用反正弦符号表示为 ．
13．（2022·辽宁沈阳·高一沈阳二中阶段练习）若，，则 ．
14．（2023·辽宁铁岭·高一昌图县第一高级中学校考阶段练习） .

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