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云南省2023—2024学年度普通高中学业水平考试（1月）
数学
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试用时120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数为纯虚数，则（ ）
A. B.13 C.10 D.
3.已知圆台的侧面积为（单位：），且它的侧面展开图是一个半圆环（如图所示），则圆台的下底面积与上底面积之差为（ ）
A. B. C. D.
4.的最大值为（ ）
A. B. C. D.
5.二项式的展开式的常数项是（ ）
A.-25 B.25 C.-15 D.15
6.已知一组数据点，用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据的平均数为，则（ ）
A.2 B.7 C.12 D.14
7.袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随机摸出2个球.设“两个球颜色相同”，“两个球颜色不同”，则（ ）
A. B.
C. D.
8.已知双曲线的焦距为，过的右焦点的直线与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分.共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若，则（ ）
A. B.
C. D.
10.已知圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则直线的方程可以是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数，若，使得成立，且在区间上的值域为，则实数的取值可能是（ ）
A. B. C.1 D.
12.已知四面体的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（ ）
A.异面直线与所成角为
B.点到平面的距离为
C.
D.四面体的外接球体积为
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分.共计20分.
13.已知向量，且满足，则的值为__________.
14.函数满足：①定义域为；②偶函数；③在上为减函数.请写出满足上述三个条件的一个函数解析式__________.
15.已知点在抛物线上，且到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为__________.
16.如图，某化学实验室的一个模型是一个正八面体（由两个相同的正四棱锥组成，且各棱长都相等），若该正八面体的表面积为，则该正八面体外接球的体积为__________；若在该正八面体内放一个球，则该球半径的最大值为__________.（第一空2分，第二空3分）
四 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知等差数列满足，等比数列的前3项依次为.
（1）求的通项公式；
（2）将数列的所有项按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，求数列的前100项和.
18.（本小题满分12分）
平面四边形中，点为中点，，.
（1）求的长；
（2）求四边形的面积.
19.（本小题满分12分）
在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）.已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为，它们之间相互不影响.
（1）当时，求能正常工作的设备数的分布列和数学期望；
（2）已知深圳某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失.为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在，更新设备硬件总费用为8万元；方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在，设备维护总费用为5万元.请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？
20.（本小题满分12分）
已知等腰梯形，如图1所示，，沿将折起，使得平面平面，如图2所示，连接，得三棱锥.
（1）求证：图2中平面；
（2）求图2中的二面角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆过点，点为其上顶点，且直线的斜率为.
（1）求样圆的标准方程；
（2）设经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）证明：当时，关于的方程有且只有一个实数根.
参考答案
1.B ，所以.故应选B.
2.A 复数为纯虚数，故需要.故应选A.
3.D 设圆台的上 下底面半径分别为，母线长为，则，解得；所以圆台的侧面积为，解得.所以圆台的下底面积与上底面积之差为.故应选D.
4.D .因为，故的最大值为.故应选D.
5.A 的展开式的常数项是.
6.B ，且在线性回归直线上，，则.故应选B.
7.B 由题设，事件可能有红，红，白，白事件可能有红，白白，红}，.故应选.
8.C 因为，画出示意图如图，设，因为，所以，所以，所以.
又，所以，所以，所以.
又因为，所以.
在Rt中，，所以
，化简得，所以.故选C.
9.BC 用特殊值法，令得，选项错误，因为，则，可知为减函数，又，所以，选项B正确，，选项D错误，因为，.选项C正确.故应选BC.
10.BCD 因为圆的半径为2，圆心为，圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，所以圆心到直线的距离为1.
圆心到直线的距离为，不符合题意；
圆心到直线的距离为，符合题意；
圆心到直线的距离为，符合题意；
圆心到直线的距离为1，符合题意.故选BCD.
11.CD 因为，使得成立，所以，即，又由在区间上的值域为，则，综上，解得，则.
因为在区间上的值域为，所以，即，当时，，所以，即.故选CD.
12.CD 如图，
由题意，四面体为正四面体，取底面的中心为，连接并延长，
交于，
则为的中点，且，连接，则底面，得，
又平面，则，故错误；同理，故C
正确：
由四面体的所有棱长为2，可得，又
，即点到平面的距离为，故错误，
设四面体的外接球的球心为，半径为，连接，
则.
解得，则四面体的外接球体积为，故D正确.故应选CD.
13. 因为，所以，即，解得.
14.（答案不唯一） 由关于轴对称且定义域为，在）上为减函数，满足题设.
15.4 抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可知，点到焦点的距离等于点到准线的距离，
.
故焦点到准线的距离为4.
16.； 如图，记该八面体为为正方形的中心，则平面，
设，则，解得.
在正方形中，，则.
在直角中，知，即正八面体外接球的半径为.
故该正八面体外接球的体积为.
若球在正八面体内，则球半径的最大值为到平面的距离.
取的中点，连接，则，
又平面.
过作于，又，所以平面.
又，则，
则该球半径的最大值为.
故答案为：.
17.解：（1）设等差数列的公差为，
由得，
所以，
由等比数列的前3项依次为，
得，且，
所以，
所以.
（2）由（1）得等比数列的前3项依次为，所以，
数列的所有项都是奇数，数列的所有项都是偶数，
没有相同的项，
因为，
所以
.
18.解：（1）由及点为中点，得，
因为，所以.
在中，，由正弦定理得，
所以.
（2）由，
得
，
所以的面积.
因为，设的面积为，
则，
所以，
所以四边形的面积为.
19.（1）为正常工作的设备数，由题意可知.
，
，
，
，
从而的分布列为
0 1 2 3
由，则；
（2）设方案1 方案2的总损失分别为，
采用方案1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度达到，由（1）可知计算机网络断掉的概率为，不断掉的概率为，
故元；
采用方案2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在，可知计算机网络断掉的概率为，
故
因此，从期望损失最小的角度，决策部分应选择方案2.
20.（1）证明：等腰梯形，知，
由余弦定理可得：
，
.
，
，
解得.
.
由勾股定理 定理知.又平面平面，
平湎平面平面，
平面.
（2）解：如图所示，构建以为原点，为轴 为轴，过点垂直于面的直线为轴的空间直角坐标系，
由题知：，
则，
令为平而的法向量，
则，
解得.
令，则.
易知平面的法向量为，
设与的夹角为，则，故，
即二面角的正弦值为.
21.解：（1）由题意：设直线，
令，则，于是，
所以，
故椭圆的标准方程为.
（2）当轴时，显然.
当与轴不垂直时，可设直线的方程为.
由消去整理得.
设，线段的中点为，
则.
所以.
线段的垂直平分线方程为.
在上述方程中令，得.
当时，，当且仅当时取等号；当时，，当且仅当时取等号.
所以，或.
综上，的取值范围是.
22.（1）解：，
，
又，
函数的图象在点处的切线方程为.
（2）证明：由题意知只需证明当时，函数有且只有一个零点.
，
由得或，
当，即时，
则当时，单调递增；当时，单调递减；当时.单调递增.
又，
此时仅有一个零点.
当，即时，则为上的增函数，
又，
此时仅有一个零点
当，即时，
则当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.
又，
，
此时仅有一个零点.
综上，仅有一个零点，
当时，关于的方程有且只有一个实数根.

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