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10.1　随机事件与概率
10.1.1　有限样本空间与随机事件
学习任务 1．结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义．(数学抽象) 2．理解随机事件与样本点的关系．(数学建模)
观察下列试验，思考这类现象的共性是什么？
(1)抛掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况；
(2)抛掷一枚骰子，观察出现点数的情况．
知识点1　随机试验
1．定义：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母E来表示．
2．特点：(1)试验可以在相同条件下重复进行；
(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
知识点2　样本空间
样本点 随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，用ω表示样本点
样本空间 全体样本点的集合Ω称为试验E的样本空间
有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间
知识点3　事件的分类
随机事件 将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，称Ω为必然事件
不可能事件 空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，称 为不可能事件
1．下列现象中，是随机现象的有________．(填序号)
①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆；
②若a为整数，则a＋1为整数；
③发射一枚炮弹，命中目标；
④检查流水线上一件产品是合格品还是次品．
[答案]　①③④
2．从数字1，2，3中任取两个数字，则该试验的样本空间Ω＝________．
[答案]　{(1，2)，(1，3)，(2，3)}
3．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①“在这200件产品中任意选9件，全部是一级品”；
②“在这200件产品中任意选9件，全部都是二级品”；
③“在这200件产品中任意选9件，不全是一级品”．
其中________是随机事件；________是不可能事件．(填上事件的编号)
[答案]　①③　②
类型1　事件类型的判断
【例1】　下列事件中，随机事件是________．(填序号)
(1)任取一个整数，被2整除；
(2)李明在高一期末考试中数学成绩在120分以上；
(3)甲、乙两人进行竞技比赛，甲的实力远胜于乙，在一次比赛中甲一定获胜；
(4)当圆的半径变为原来的2倍时，圆的面积是原来的4倍．
(1)(2)(3)　[(1)(2)(3)均是可能发生也可能不发生的事件，为随机事件，(4)是一定发生的事件，为必然事件．]
　判断一个事件是哪类事件要看两点
一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
[跟进训练]
1．下列事件中，必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________．(填序号)
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的内角和为180°；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(5)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签．
(2)　(3)　(1)(4)(5)　[(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．
(2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．
(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．
(5)任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任一张，所以是随机事件．]
类型2　确定试验的样本空间
【例2】　抛掷一枚骰子，观察其朝上面的点数，该试验的样本空间含6个样本点．
(1)若将一枚骰子先后抛掷两次，请列举出该试验的样本空间所包含的样本点；
(2) “向上的点数之和大于8”包含几个样本点？
[解]　(1)用(x，y)表示结果，其中x表示骰子第1次出现的点数，y表示骰子第2次出现的点数，则试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，共36个样本点．
法一(列举法)：
(2)“出现的点数之和大于8”包含以下10个样本点：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．
法二(列表法)：
如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，样本点与所描点一一对应．
(2)“点数之和大于8”包含10个样本点(已用虚线圈出)．
法三(树状图法)：
一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示，
(2)“点数之和大于8”包含10个样本点(已用“√”标出)．
　样本点个数的三个探求方法
(1)列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏．
(2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏．
(3)树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举．
[跟进训练]
2．一个口袋内装有大小相同的4个球，其中2个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球．
(1)共有多少个样本点？
(2)2个球颜色不同包含几个样本点？
[解]　分别记白球为1，2号，黑球为3，4号．
(1)则有以下样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个样本点(其中(1，2)表示摸到1号、2号)．
(2)“2个球颜色不同”包含(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)4个样本点．
类型3　随机事件的含义
【例3】　柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚，指出下列随机事件的含义．
(1)M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；
(2)N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；
(3)P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}．
[解]　(1)事件M的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”．
(2)事件N的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”．
(3)事件P的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成双”．
　解答此类题目，应先理解事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才能确定随机事件的含义．
[跟进训练]
3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)(不考虑指针落在分界线上的情况)．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)写出事件A：“x＋y＝5”和事件B：“x<3且y>1”的集合表示；
(3)说出事件C＝{(1，4)，(2，2)，(4，1)}，D＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}所表示的含义．
[解]　(1)这个试验的样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
(2)事件A＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}；
事件B＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)}．
(3)事件C表示“xy＝4”，事件D表示“x＝y”．
1．(多选)下列事件是随机事件的是(　　)
A．东边日出西边雨
B．下雪不冷化雪冷
C．清明时节雨纷纷
D．梅子黄时日日晴
ACD　[B是必然事件，其余都是随机事件．]
2．从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，则必然事件是(　　)
A．3件都是正品
B．至少有1件次品
C．3件都是次品
D．至少有1件正品
D　[将抽到正品记为1，次品记为0，则样本空间Ω＝{(1，1，0)，(1，0，0)，(1，1，1)}，因此至少有1件正品为必然事件．]
3．依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是(　　)
A．第一枚是3点，第二枚是1点
B．第一枚是3点，第二枚是1点或第一枚是1点，第二枚是3点或两枚都是2点
C．两枚都是4点
D．两枚都是2点
B　[依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是第一枚是3点，
第二枚是1点或第一枚是1点，第二枚是3点或两枚都是2点．故选B.]
4．一个家庭有两个小孩，则关于两个孩子的性别的随机事件的样本空间Ω＝________．
[答案]　{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．确定样本点个数的常用方法有哪些？书写样本点时常常注意哪些问题？
[提示]　确定样本点个数的常用方法有：列举法、列表法、树状图法．书写样本点时常常注意以下问题：要按顺序写，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等．
2．如何写出试验的样本空间？
[提示]　确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．
3．如何判断一个事件是否为随机事件、必然事件和不可能事件？
[提示]　看结果是否发生，一定发生的是必然事件，一定不发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件．
课时分层作业(四十四)　有限样本空间与随机事件
一、选择题
1．下列现象中，不可能事件是(　　)
A．三角形的内角和为180°
B．a⊥α，b⊥α，a∥b
C．锐角三角形中两内角和小于90°
D．三角形中任意两边之和大于第三边
C　[锐角三角形中两内角和大于90°.]
2．试验E：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为(　　)
A．{10，11，…，99}　　 B．{1，2，…，18}
C．{0，1，…，18} 　 D．{1，2，…，10}
[答案]　B
3．某校高一年级要组建书法、乒乓球、机器人、篮球四个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有(　　)
A．3个　　B．4个　　C．5个　　D．6个
D　[该生选报的所有可能情况是：书法和乒乓球、书法和机器人、书法和篮球、乒乓球和机器人、乒乓球和篮球、机器人和篮球，所以样本点有6个．]
4．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，观察选出的2人，设事件M为“甲被选中”，则事件M含有的样本点个数为(　　)
A．2 　B．4 　C．6 　D．8
B　[设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，则M＝{甲乙，甲丙，甲丁，甲戊}，∴M含有4个样本点．]
5．在一个袋子中装有分别标注1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外其他完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为(　　)
A．2 　B．4 　C．6 　D．8
B　[从5个小球中任取2个，其中数字之差的绝对值为2或4的事件包含(1，3)，(1，5)，(2，4)，(3，5)，共4个样本点．故选B.]
二、填空题
6．投掷两枚骰子，点数之和为8所包含的样本点有______个．
5　[样本点为(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，共5个．]
7．下列试验中是随机事件的有________．
①某收费站在一天内通过的车辆数；②一个平行四边形的对边平行且相等；③某运动员在下届奥运会上获得冠军；④某同学在回家的路上捡到100元钱；⑤没有水和阳光的条件下，小麦的种子发芽．
①③④　[①③④都是随机事件，②是必然事件，⑤是不可能事件．]
8．从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________，满足“它是偶数”样本点的个数为________．
Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}　5　[样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其中满足“它是偶数”样本点有：2，4，6，8，10，共有5个．]
三、解答题
9．已知集合M＝{－2，3}，N＝{－4，5，6}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)写出“第一象限内的点”所包含的样本点．
[解]　(1)Ω＝{(－2，－4)，(－2，5)，(－2，6)，(3，－4)，(3，5)，(3，6)，(－4，－2)，(5，－2)，(6，－2)，(－4，3)，(5，3)，(6，3)}．
(2)试验样本点的总数是12．
(3)“第一象限内的点”所包含的样本点为：(3，5)，(3，6)，(5，3)，(6，3)．
10．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是(　　)
A．3件都是正品 　 B．至少有1件次品
C．3件都是次品 　 D．恰有1件正品
C　[25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，则“3件都是次品”不是随机事件．]
11．(多选)给出关于满足A B的非空集合A，B的四个命题，其中正确的命题是(　　)
A．若任取x∈A，则x∈B是必然事件
B．若任取x A，则x∈B是不可能事件
C．若任取x∈B，则x∈A是随机事件
D．若任取x B，则x A是必然事件
ACD　[根据A B的Venn图(图略)可知，对于A，集合A中的所有元素都在B中，故A正确；对于B，当集合B的范围比A大时，不在A中的元素，有可能在B中，故B错误，应为“若任取x A，则x∈B是随机事件”；对于C，因为A B，所以在B中的元素有可能在A中，易知C正确；对于D，由于B包含A，故若所取元素不在B中，则必不在A中，故D正确．]
12．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为a，b，设事件M为“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”，则事件M中含有样本点的个数为(　　)
A．6 　B．17 　C．19 　D．21
C　[将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为a和b，
∵方程ax2＋bx＋1＝0(a＞0)有实数解，∴Δ＝b2－4a≥0，
则M＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)}，共含19个样本点．]
13．写出下列试验的样本空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．
(1)Ω＝{胜，平，负}　(2)Ω＝{0，1，2，3，4}　[(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果．
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0，1，2，3，4，不能再有其他结果．]
14．甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)．
(1)写出样本空间；
(2)用集合表示事件“甲赢”；
(3)用集合表示事件“平局”．
[解]　(1)Ω＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}．
(2)记“甲赢”为事件A，则A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．
(3)记“平局”为事件B，则B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}．
15．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10共10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票．设试验的样本空间Ω表示火车所有可
能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．
(1)写出该试验的样本空间Ω；
(2)写出A，B包含的样本点；
(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？
[解]　(1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．
(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；B＝{S7，S8，S9，S10}．
(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，
从S2站发车的车票共计8种，……，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．10.1.2　事件的关系和运算
学习任务 1．了解随机事件的并、交与互斥的含义．(数学抽象) 2．能结合实例进行随机事件的并、交运算．(数学运算)
在掷骰子试验中，定义如下事件：Ci＝{出现i点}，Di＝{出现的点数不大于2i－1}．
在上述事件中， (1)事件C1与事件C2间有什么关系？(2)事件D2与事件C2间有什么关系？
知识点1　事件的关系
关系 定义 表示法 图示
包含关系 若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，则称事件A与事件B相等 A＝B
互斥事件 如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝ ，则A与B互斥
对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若A∩B＝ ，且A∪B＝Ω，则A与B对立
知识点2　事件的运算
项目 定义 表示法 图示
并事件 事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交事件 事件A与事件B同时发生，称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两个事件是互斥事件，则这两个事件也是对立事件． (　　)
(2)若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件． (　　)
(3)若事件A与B是互斥事件，则在一次试验中事件A和B至少有一个发生． (　　)
(4)抛掷一枚骰子一次，记事件A＝{出现点数大于4}，事件B＝{出现的点数为5}，则事件B发生时，事件A一定发生． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球观察颜色．设事件A为“所取两个球至少有一个白球”，事件B为“所取两个球恰有一个红球”，则A∪B表示的事件为________； A∩B表示的事件为________．
[答案]　所取两个球至少有一个白球　所取两个球恰有一个红球
类型1　事件关系的判断
【例1】　从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取1张．判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
[解]　(1)是互斥事件，不是对立事件．
理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不是对立事件．
理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然也不是对立事件．
　判断互斥事件、对立事件的两种方法
定义法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断．不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件
集合法 (1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥； (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集
[跟进训练]
1．(1)同时掷两枚硬币，向上面都是正面为事件A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有(　　)
A．A B　　　　　 B．A B
C．A＝B 　 D．A与B互斥
(2)从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是(　　)
A．取出2个红球和1个白球
B．取出的3个球全是红球
C．取出的3个球中既有红球也有白球
D．取出的3个球中不止一个红球
(1)A　(2)D　[(1)由事件的包含关系知A B.
(2)从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是取出的3个球中至少有两个红球．故选D.]
类型2　事件的运算
【例2】　掷一枚骰子，下列事件：
A＝“出现奇数点”，B＝“出现偶数点”，C＝“点数小于3”，D＝“点数大于2”，E＝“点数是3的倍数”．
求：(1)A∩B，BC；
(2)A∪B，B＋C；
(3)记为事件H的对立事件，求 .
[解]　(1)A∩B＝ ，BC＝{2}．
(2)A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，B＋C＝{1，2，4，6}．
(3)C＝BC＝{2}；
＝{1，2，4，5}．
　事件间的运算方法
(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．
[跟进训练]
2．从某大学数学系图书室中任选一本书．设A＝{数学书}；B＝{中文版的书}；C＝{2022年后出版的书}．问：
(1)A∩B表示什么事件？
(2)在什么条件下有A∩B∩C＝A
(3)如果＝B，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？
[解]　(1)A∩B＝{2022年或2022年前出版的中文版的数学书}．
(2)在“图书室中所有数学书都是2022年后出版的且为中文版”的条件下才有A∩B∩C＝A.
(3)是．＝B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书．
1．抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则与事件A互斥的事件为(　　)
A．恰有两件次品　　　　 B．恰有一件次品
C．恰有两件正品 　 D．至少有两件正品
B　[事件“恰有一件次品”与事件A不会同时发生，故选B.]
2．抛掷一枚骰子，“向上一面的点数是1或2”为事件A，“向上一面的点数是2或3”为事件B，则(　　)
A．A B
B．A＝B
C．A∪B表示向上一面的点数是1或2或3
D．A∩B表示向上一面的点数是1或2或3
C　[设A＝{1，2}，B＝{2，3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以A∪B表示向上一面的点数是1或2或3．]
3．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为偶数}，F＝{向上的点数为质数}，则E∩F＝________．
{向上的点数为2}　[E＝{向上的点数为偶数}＝{2，4，6}，F＝{向上的点数为质数}＝{2，3，5}，∴E∩F＝{向上的点数为2}．]
4．从一批产品(既有正品也有次品)中取出3件产品，设A＝“3件产品全不是次品”，B＝“3件产品全是次品”，C＝“3件产品不全是次品”，则下列结论正确的是________(填写序号)．
①A与B互斥；②B与C互斥；③A与C互斥；④A与B对立；⑤B与C对立．
①②⑤　[A＝“3件产品全不是次品”，指的是3件产品全是正品，B＝“3件产品全是次品”，C＝“3件产品不全是次品”，它包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3个事件，由此知：A与B是互斥事件，但不对立；A与C是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对立事件．所以正确结论的序号为①②⑤.]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．事件间的关系和运算有哪些？如何用符号表示？
[提示]　事件关系或运算的含义
事件关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
2．互斥事件与对立事件有什么关系？
[提示]　(1)对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．
(2)从集合的观点来判断：设事件A与B所含的样本点组成的集合分别是A，B，若A，B互斥，则A∩B＝ ，若A，B对立，则A∩B＝ ，且A∪B＝Ω，即 ΩB＝A， ΩA＝B.互斥事件A与B的和A＋B可理解为集合A∪B.
课时分层作业(四十五)　事件的关系和运算
一、选择题
1．掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不小于5}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是(　　)
A．A B
B．A∩B＝{出现的点数为6}
C．事件A与B互斥
D．事件A与B是对立事件
B　[由题意事件A表示出现的点数是5或6；事件B表示出现的点数是2或4或6．故A∩B＝{出现的点数为6}．]
2．打靶3次，事件Ai＝“击中i发”，其中i＝0，1，2，3．那么A＝A1∪A2∪A3表示(　　)
A．全部击中　　　　　 B．至少击中1发
C．至少击中2发 　 D．全部未击中
B　[A1∪A2∪A3表示的是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发，故选B.]
3．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数”为事件B，则A∪B和A∩B包含的样本点数分别为(　　)
A．1，6　　B．4，2　　C．5，1　　D．6，1
C　[从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}．其中事件A包含的样本点有：(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4个．事件B包含的样本点有：(1，3)，(2，4)，共2个．所以事件A∪B包含的样本点有：(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共5个．事件A∩B包含的样本点有：(2，4)，共1个．]
4．已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品全不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是(　　)
A．F与G互斥
B．E与G互斥但不对立
C．E，F，G任意两个事件均互斥
D．E与G互为对立
D　[由题意得事件E与事件F不可能同时发生，是互斥事件；事件E与事件G不可能同时发生，是互斥事件；当事件F发生时，事件G一定发生，所以事件F与事件G不是互斥事件，故A，C不正确；事件E与事件G中必有一个发生，所以事件E与事件G互为对立，故B不正确，D正确．]
5．(多选)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名学生去参加比赛，则下列各对事件中为互斥事件的是(　　)
A．恰有一名男生和全是男生
B．至少有一名男生和至少有一名女生
C．至少有一名男生和全是男生
D．至少有一名男生和全是女生
AD　[A中两个事件是互斥事件，恰有一名男生即选出的两名学生中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；B中两个事件不是互斥事件；C中两个事件不是互斥事件；D中两个事件是互斥事件，至少有一名男生与全是女生显然不可能同时发生．]
二、填空题
6．设某随机试验的样本空间Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{2，3，4}，B＝{3，4，5}，C＝{5，6，7}．则A∪B＝________； ∩B＝________．
[答案]　{2，3，4，5}　{5}
7．甲、乙两人破译同一个密码，令甲、乙破译出密码分别为事件A，B，则B∪A表示的含义是________，事件“密码被破译”可表示为________．
[答案]　只有一人破译密码　B∪A∪AB
8．袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则：①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为________．
②　[①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件．]
三、解答题
9．用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件A＝“三个圆的颜色全不相同”，事件B＝“三个圆的颜色不全相同”，事件C＝“其中两个圆的颜色相同”，事件D＝“三个圆的颜色全相同”．
(1)写出试验的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A，B，C，D；
(3)事件B与事件C有什么关系？事件A和B的交事件与事件D有什么关系？说明理由．
[解]　(1)由题意可知三个圆可能颜色一样，也可能有两个圆颜色一样，另一个圆异色，还可能三个圆异色，则试验的样本空间Ω＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)，(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}．
(2)A＝{(红，黄，蓝)}．
B＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}．
C＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)}．
D＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)}．
(3)由(2)可知C B，A∩B＝A，A与D互斥，所以事件B包含事件C，事件A和B的交事件与事件D互斥．
10．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(　　)
A．对立事件
B．互斥但不对立事件
C．不可能事件
D．以上说法都不对
B　[因为只有1张红牌，所以这两个事件不可能同时发生，所以它们是互斥事件；但这两个事件加起来并不是总体事件，所以它们不是对立事件．]
11．(多选)(2022·江苏南京六校联考)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝“两弹都击中飞机”，事件B＝“两弹都没击中飞机”，事件C＝“恰有一弹击中飞机”，事件D＝“至少有一弹击中飞机”，下列关系正确的是(　　)
A．A D 　 B．B∩D＝
C．A∪C＝D 　 D．A∪B＝B∪D
ABC　[“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中．
“至少有一弹击中飞机”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中．∴A∪B≠B∪D.]
12．(多选)在一次随机试验中，A，B，C，D是彼此互斥的事件，且A＋B＋C＋D是必然事件，则下列说法正确的是(　　)
A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B＋C与D是互斥事件，但不是对立事件
C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
BD　[由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是必然事件，故事件的关系如图所示．由图可知，任何一个事件与其余三个事件的和事件互为对立，任何两个事件的和事件与其余两个事件中任何一个是互斥事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件互为对立，故B，D中的说法正确．]
13．如图所示，事件A＝“甲元件正常”，B＝“乙元件正常”，C＝“丙元件正常”．则A∪B∪C表示的含义为________，表示的含义为________．
[答案]　电路工作正常　电路工作不正常
14．对一箱产品进行随机抽查检验，如果查出2个次品就停止检查，最多检查3个产品．
写出该试验的样本空间Ω，并用样本点表示事件：A＝{至少有2个正品}，B＝{至少1个产品是正品}；并判断事件A与事件B的关系．
[解]　依题意，检查是有序地逐个进行，至少检查2个，最多检查3个产品．如果用“0”表示查出次品，用“1”表示查出正品，那么样本点至少是一个二位数，至多是一个三位数的有序数列．样本空间Ω＝{00，010，011，100，101，110，111}．
A＝{011，101，110，111}．
B＝{010，011，100，101，110，111}，所以A B.
15．某连锁火锅城开业之际，为吸引更多的消费者，开展抽奖活动，前20位顾客可参加如下活动：摇动如图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等)，顾客可以免费获得按照指针所指区域的数字10倍金额的店内菜品或饮品，最高120元，每人只能参加一次这个活动．记事件A：“获得不多于30元菜品或饮品”．
(1)求事件A包含的基本事件；
(2)写出事件A的对立事件，以及事件A的一个互斥事件．
[解]　(1)事件A包含的基本事件为：{获得10元菜品或饮品}，{获得20元菜品或饮品}，{获得30元菜品或饮品}．
(2)事件A的对立事件是＝“获得多于30元但不多于120元菜品或饮品”，事件A的一个互斥事件为：“获得40元菜品或饮品”(答案不唯一)．10.1.3　古典概型
学习任务 1．结合具体实例，理解古典概型．(数学抽象) 2．能计算古典概型中简单随机事件的概率．(数学建模、数学运算)
问题：1．丢一枚质量均匀的骰子，丢出奇数的概率是多少？
2．丢一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是多少？
知识点1　概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．
知识点2　古典概型的定义
试验具有如下共同特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
知识点3　古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝．其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 在区间[0，10]上任取一个数的试验是古典概型． (　　)
(2)任何一个事件都是一个样本点． (　　)
(3)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等． (　　)
(4)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．若书架上数学、物理、化学书的数量分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为________．
[答案]　
类型1　古典概型的判断
【例1】　下列是古典概型的是(　　)
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
C　[A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．]
　古典概型的判断方法
判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．
[跟进训练]
1．下列试验是古典概型的为________．(填序号)
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；
②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；
③近三天中有一天降雨的概率．
①②　[①②是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．]
类型2　较简单的古典概型问题
【例2】　某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
(1)若从这6个国家中任选2个 ，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
[解]　(1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的样本点有：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15个．
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个，
则所求事件的概率为P＝.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的样本点有：
(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共9个．
包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有：
(A1，B2)，(A1，B3)，共2个，则所求事件的概率为P＝.
　求古典概型概率的步骤
(1)判断所给概率模型是否为古典概型．
(2)算出样本点的总数n.
(3)算出事件A包含的样本点个数m.
(4)算出事件A的概率，即P(A)＝.
[跟进训练]
2．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
[解]　(1)将4道甲类题依次编号为1，2，3，4；2道乙类题依次编号为5，6．任取2道题，这个试验的样本空间为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)}，共15个样本点，且每个样本点出现的可能性是等可能的，可用古典概型来计算概率．
用A表示“所取的2道题都是甲类题”这一事件，则A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共含有6个样本点，所以P(A)＝.
(2)由(1)知试验的样本空间共有15个样本点，用B表示“所取的2道题不是同一类题”这一事件，则B＝{(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)}，共包含8个样本点，所以P(B)＝.
类型3　“放回”与“不放回”问题
【例3】　从含有两件正品a1，a2和一件次品b的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
[解]　按照题意，取产品的过程可以用如图所示的树形图直观表示．
因此样本空间可记为Ω＝{(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，共包含6个样本点．
用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”，则A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，A包含的样本点个数为4，所以P(A)＝.
[母题探究]
把本例的条件“每次取出后不放回”换成“每次取出后放回”，其余条件不变，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
[解]　有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)}，共9个样本点．
用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．
事件B由4个样本点组成，所以P(B)＝.
　抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数有影响．另外，不放回抽样看作无序或有序抽取均可，有放回抽样要看作有序抽取．
[跟进训练]
3．(2022·山东聊城一中月考)一个信箱里装有标号为1，2，3，4的4封大小完全相同的信件，先后随机地选取2封信，根据下列条件，分别求2封信上的数字为不相邻整数的概率．
(1)信的选取是无放回的；
(2)信的选取是有放回的．
[解]　(1)记事件A为“选取的2封信上的数字为不相邻整数”．
从4封信中无放回地随机选取2封，则试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，共有12个样本点，这12个样本点出现的可能性是相等的，A＝{(1，3)，(1，4)，(2，4)，(3，1)，(4，1)，(4，2)}，包含6个样本点．
由古典概型的概率计算公式知P(A)＝，
故无放回地选取2封信，这2封信上数字为不相邻整数的概率为.
(2)从4封信中有放回地随机选取2封，则试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，
共有16个样本点，且这16个样本点出现的可能性是相等的．
A＝{(1，1)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，4)}，包含10个样本点.
由古典概型的概率计算公式知P(A)＝，
故有放回地选取2封信，这2封信上数字为不相邻整数的概率为.
1．(多选)下列试验是古典概型的是(　　)
A．在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率
C．向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
BD　[A不是等可能事件，C不满足有限性．]
2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
C　[样本空间的样本点为：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率是P＝.]
3．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
A　[把2个红球分别标记为红1、红2，2个白球分别标记为白1、白2，本试验样本空间所包含的样本点共有16个，其中取出的2个球同色包含的样本点有8个：(红1，红1)，(红1，红2)，(红2，红1)，(红2，红2)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，故所求概率P＝.]
4．将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，恰好出现一次正面朝上的概率是________．
　[试验共有8个结果：(正，正，正)，(反，正，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，反)，其中恰好出现一次正面朝上的结果有3个，故所求的概率是.]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何判断一个试验是不是古典概型？
[提示]　若该试验具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性，则该试验是古典概型，否则，不是．
2．古典概型的概率公式是什么？
[提示]　古典概型试验的计算公式P(A)＝，其中样本点总数为n，事件A所包含的样本点个数为m.
3．解决有序和无序问题时应注意哪些问题？
[提示]　(1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．
(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a，b)，(b，a)不是同一个样本点．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是相等的．
课时分层作业(四十六)　古典概型
一、选择题
1．一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则第一册和第二册相邻的概率为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
C　[设一部三册的小说为1，2，3，所以试验的样本空间Ω＝ {(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)}，共6个样本点，事件“第一册和第二册相邻”包含4个样本点，故第一册和第二册相邻的概率为P＝.]
2．某天放学后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．若他们随机依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率是(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
A　[法一：2位男同学和2位女同学走出教室的所有可能顺序为(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，共6种，所以第2位走出的是男同学的概率P＝.故选A.
法二：只考虑第二位同学，出来男生或是女生是等可能的，故概率为.故选A.]
3．某学校美术室收藏有4幅国画，其中山水画、花鸟画各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的国画的概率为(　　)
A． 　B． C． 　D．
D　[设2幅山水画为A1，A2，2幅花鸟画为B1，B2，从中随机抽取2幅所包含的样本点为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)，共6个，满足条件的样本点有4个，故P＝.故选D.]
4．(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
D　[从2至8的7个整数中随机取2 个不同的数，共有21种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7种，故所求概率P＝.
故选D.]
5．(多选)一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是(　　)
A．任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是
B．每次抽取1件，不放回地抽取两次，样本点总数为16
C．每次抽取1件，不放回地抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是
D．每次抽取1件，有放回地抽取两次，样本点总数为16
ACD　[记4件产品分别为1，2，3，a，其中a表示次品．在A中，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，3)，(2，a)，(3，a)}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，“恰有一件次品”的样本点为(1，a)，(2，a)，(3，a)，因此其概率P＝，A正确；在B中，每次抽取1件，不放回地抽取两次，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，(3，a)，(a，1)，(a，2)，(a，3)}，因此n(Ω)＝12，B错误；在C中，“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6，其概率为，C正确；在D中，每次抽取1件，有放回地抽取两次，样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，a)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，a)}，因此n(Ω)＝16，D正确．]
二、填空题
6．从1，2，3，4四个数中，有放回地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________．
　[用列举法知，有放回地选取两个数共有16个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，其中一个数是另一个数的2倍的有(1，2)，(2，1)，(2，4)，(4，2)，共4个样本点，故所求的概率为.]
7．(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．
　[甲、乙等5名同学分别标记为a1，a2，a3，a4，a5，其中甲标记为a1，乙标记为a2．从中随机选3名参加社区服务工作的事件有{a1，a2，a3}，{a1，a2，a4}，{a1，a2，a5}，{a2，a3，a4}，{a2，a3，a5}，{a3，a4，a5}，{a1，a3，a4}，{a1，a3，a5}，{a2，a4，a5}，{a1，a4，a5}，共计10种．甲、乙都入选的事件有{a1，a2，a3}，{a1，a2，a4}，{a1，a2，a5}，共计3种，故所求概率P＝.]
8．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为________．
　[用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则试验的样本空间Ω＝ {(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)}，共6个样本点，其中事件B先于A，C通过的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2个样本点，故所求概率P＝.]
三、解答题
9．一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1，2，3，…，10这10个数字，现随机地抽取两个小球，如果：
(1)抽取是不放回的；
(2)抽取是有放回的．
分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率．
[解]　设事件A：两个小球上的数字为相邻整数．
则事件A包括的样本点有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)，(10，9)，(9，8)，(8，7)，(7，6)，(6，5)，(5，4)，(4，3)，(3，2)，(2，1)，共18个．
(1)不放回取球时，总的样本点数为90，故P(A)＝.
(2)有放回取球时，总的样本点数为100，故P(A)＝.
10．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为(　　)
A． 　B． C． 　D．
A　[设齐王的上、中、下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上、中、下三个等次的马分别记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，根据题意，其中Ab，Ac，Bc是田忌获胜，则田忌获胜的概率为.故选A.]
11．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
C　[从八卦中任取一卦，基本事件总数n＝8，
这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件个数m＝3，
∴所求概率为P＝.故选C.]
12．(多选)已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A和B，其中n(Ω)＝12，n(A)＝6，n(B)＝4，n(A∪B)＝8，那么下列事件概率正确的是(　　)
A．P(AB)＝ 　 B．P(A∪B)＝
C．P＝ 　 D．P＝
ABC　[对于选项A：n(AB)＝n(A)＋n(B)－n(A∪B)＝6＋4－8＝2，所以P(AB)＝，故A正确；
对于选项B：P(A∪B)＝，故B正确；
对于选项C：n＝n(B)－n(AB)＝4－2＝2，
所以P＝，故C正确；
对于选项D：n＝n(Ω)－n(A∪B)＝12－8＝4，所以P＝，故D错误．故选ABC.]
13．一次抛掷两枚均匀的骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0无实数根的概率是________．
　[易知总的样本点个数为36，且每个样本点出现的可能性相等．因为方程无实数根，所以Δ＝(m＋n)2－16<0，即－414．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100].
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)内的概率．
[解]　(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006．
(2)受访职工评分在[50，60)内的有50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40，50)内的有50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2．
从这5名受访职工中随机抽取2人，
所包含的样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10个．
所抽取2人的评分都在[40，50)内包含的样本点有1个，即(B1，B2)，故所求的概率为.
15．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
[解]　用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．
S＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}，所以样本点总数n＝16．
(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点个数共5个，
即A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)}．
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.
则事件B包含的样本点共6个，即B＝{(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
所以P(B)＝.
事件C包含的样本点共5个，即C＝{(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}．
所以P(C)＝.因为＞，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．10.1.4　概率的基本性质
学习任务 掌握概率的基本性质并能运用这些性质求一些简单事件的概率．(数学抽象、数学运算)
甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3．
问题：甲获胜的概率是多少？
知识点　概率的基本性质
性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0．
性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0．
性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性质5　如果A B，那么P(A)≤P(B)．
性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若A与B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1． (　　)
(2)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B为对立事件． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×
2．若P(A∪B)＝0.7，P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，则P(A∩B)＝________．
0.3　[P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝0.4＋0.6－0.7＝0.3．]
类型1　互斥事件概率公式的应用
【例1】　在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：
年最高水位(单位：m) [8，10) [10，12) [12，14) [14，16) [16，18]
概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08
计算在同一时期内，这条河流这一处的年最高水位(单位：m)在下列范围内的概率：
(1)[10，16)；(2)[8，12)；(3)[14，18].
[解]　记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18]分别为事件A，B，C，D，E，且彼此互斥．
(1)P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82．
(2)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38．
(3)P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24．
　运用互斥事件的概率加法公式解题的步骤
(1)确定题中哪些事件彼此互斥；
(2)将待求事件拆分为几个互斥事件的和；
(3)先求各互斥事件分别发生的概率，再求和．
[跟进训练]
1．(1)抛掷一枚骰子，观察出现的点，设事件A为“出现1点”，B为“出现2点”．已知P(A)＝P(B)＝，则出现1点或2点的概率为________．
(2)盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球．设事件A表示“3只球中有1只红球，2只白球”，事件B表示“3只球中有2只红球，1只白球”．已知P(A)＝，P(B)＝，则这3只球中既有红球又有白球的概率为________．
(1)　(2)　[(1)设事件C为“出现1点或2点”，因为事件A，B是互斥事件，由C＝A∪B可得P(C)＝P(A)＋P(B)＝，所以出现1点或出现2点的概率是.
(2)因为A，B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝，所以这3只球中既有红球又有白球的概率是.]
类型2　对立事件的概率公式
【例2】　甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：
(1)甲获胜的概率；
(2)甲不输的概率．
[解]　(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P＝1－，即甲获胜的概率是.
(2)法一：设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝.
法二：设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－，即甲不输的概率是.
　利用对立事件的概率公式解题的思路
(1)当对立事件A，B中一个事件的概率易求，另一个事件的概率不易求时，直接计算符合条件的概率较烦琐，可先间接地计算其对立事件的概率，再由公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合条件的事件的概率．
(2)应用对立事件的概率公式时，一定要分清事件和其对立事件到底是什么．该公式常用于“至多”“至少”型问题的求解．
[跟进训练]
2．备战奥运会射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表：
命中环数 10环 9环 8环 7环
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
求该选手射击一次：
(1)命中9环或10环的概率；
(2)至少命中8环的概率；
(3)命中不足8环的概率．
[解]　记“射击一次，命中k环”为事件Ak(k＝7，8，9，10)．
(1)因为A9与A10互斥，所以P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60．
(2)记“至少命中8环”为事件B，则B＝A8＋A9＋A10，又A8，A9，A10两两互斥，
所以P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78．
(3)记“命中不足8环”为事件C.则事件C与事件B是对立事件．所以P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22．
类型3　非互斥事件概率加法公式的应用
【例3】　从1～20这20个整数中随机选择一个数，设事件A表示“选到的数能被2整除”，事件B表示“选到的数能被3整除”，求下列事件的概率：
(1)这个数既能被2整除也能被3整除；
(2)这个数能被2整除或能被3整除；
(3)这个数既不能被2整除也不能被3整除．
[解]　显然从1～20这20个整数中随机选择一个数，样本点总数为20．其中这20个整数中能被2整除的有10个，能被3整除的有6个，所以P(A)＝，P(B)＝.
(1)“这个数既能被2整除也能被3整除”即事件AB，因为1～20这20个整数中既能被2整除也能被3整除的有3个，所以P(AB)＝.
(2)“这个数能被2整除或能被3整除”即事件A∪B，由分析得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝.
(3)由于事件“这个数既不能被2整除也不能被3整除”(即事件)与事件“这个数能被2整除或能被3整除”(即事件A∪B)为对立事件，所以P＝1－P(A∪B)＝1－.
　首先判断该事件不是互斥事件，为此需要考虑非互斥事件概率加法如何求解，借助公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)进行计算．
[跟进训练]
3．甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，他们跑每一棒的概率均为.求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率．
[解]　设事件A＝“甲跑第一棒”，事件B＝“乙跑第四棒”，则P(A)＝，P(B)＝.
记甲跑第x棒，乙跑第y棒为(x，y)，
则共有可能结果12种，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．
甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种结果，即(1，4)，故P(A∩B)＝.
所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝.
1．若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于(　　)
A．0.3　　　B．0.7　　　C．0.1　　　D．1
A　[∵A，B是互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3．故选A.]
2．从一批羽毛球产品中任取一个，如果其质量小于4.8 g的概率为0.3，质量不小于4.85 g的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85) g范围内的概率是(　　)
A．0.62 　 B．0.38
C．0.70 　 D．0.68
B　[质量在[4.8，4.85) g范围内的概率P＝1－0.3－0.32＝0.38．]
3．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2．
(1)如果B A，则P(A∪B)＝__________，P(AB)＝________；
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝_______，P(AB)＝________．
(1)0.4　0.2　(2)0.6　0　[(1)因为B A，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB) ＝P(B)＝0.2．
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6．P(AB)＝P( )＝0．]
4．一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，则至少有一根熔断的概率为________．
0.96　[设A＝“甲熔丝熔断”，B＝“乙熔丝熔断”，则甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B.
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.85＋0.74－0.63＝0.96．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若事件A和事件B为互斥事件，那么P(A)，P(B)，P(A∪B)有什么关系？
[提示]　P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
2．若事件A和事件B不是互斥事件，那么P(A)，P(B)，P(A∪B)有什么关系？
[提示]　P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
3．若事件A和事件B是对立事件，那么P(A)，P(B)有什么关系？
[提示]　P(A)＋P(B)＝1．
课时分层作业(四十七)　概率的基本性质
一、选择题
1．某学校高一年级派甲、乙两个班参加学校组织的拔河比赛，甲、乙两个班取得冠军的概率分别为和，则该年级在拔河比赛中取得冠军的概率为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
A　[甲班取得冠军和乙班取得冠军是两个互斥事件，该校高一年级取得冠军是这两个互斥事件的和事件，其概率为两个互斥事件的概率之和，即为.故选A.]
2．若A，B是互斥事件，则(　　)
A．P(A∪B)<1 　 B．P(A∪B)＝1
C．P(A∪B)>1 　 D．P(A∪B)≤1
D　[∵A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1(当A，B对立时，P(A∪B)＝1)．]
3．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)
A．0.3 　B．0.4 　C．0.6 　D．0.7
B　[设事件A为“只用现金支付”，事件B为“既用现金支付也用非现金支付”，事件C为“不用现金支付”，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，所以P(C)＝1－P(A)－P(B)＝0.4．故选B.]
4．某学校组织参加兴趣小组，其中有82%的学生选择数学小组，60%的学生选择英语小组，96%的学生选择数学或英语小组，则该学校既选择数学小组又选择英语小组的学生数占该校学生总数的比例是(　　)
A．62% 　B．56% 　C．46% 　D．42%
C　[设“选择数学小组”为事件A，“选择英语小组”为事件B，则“选择数学或英语小组”为事件A＋B，“既选择数学小组又选择英语小组”为事件AB，
依题意得P(A)＝82%，P(B)＝60%，P(A∪B)＝96%，
所以P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝82%＋60%－96%＝46%.
故该学校既选择数学小组又选择英语小组的学生数占该校学生总数的比例是46%.]
5．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
D　[由题意可知
即
即解得＜a≤.]
二、填空题
6．事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，则P(A)＝________．
　[因为事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，
所以P(A)＋P(B)＝1－.
又因为P(A)＝2P(B)，所以P(A)＋P(A)＝，
解得P(A)＝.]
7．已知盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．
　[从中取出2粒棋子，“都是黑棋子”记为事件A，“都是白棋子”记为事件B，则A，B为互斥事件．所求概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝.]
8．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35，0.30，0.25，则不命中靶的概率是________．
0.10　[“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90．
因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10．]
三、解答题
9． (源自湘教版教材)某企业有三个分厂，现将男女职工人数统计如下：
项目 第一分厂 第二分厂 第三分厂 总计
男 400人 350人 250人 1 000人
女 100人 50人 50人 200人
总计 500人 400人 300人 1 200人
若从中任意抽取一名职工，则该职工是女性或是第三分厂职工的概率是多少？
[解]　设A＝“抽到女工”，B＝“抽到第三分厂职工”，则
P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝，
因此，该职工是女性或是第三分厂职工的概率为
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)
＝
＝.
10．(2022·北京丰台期中)在一次随机试验中，其中3个事件A1，A2，A3的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法中正确的是(　　)
A．A1＋A2与A3是互斥事件，也是对立事件
B．A1＋A2＋A3是必然事件
C．P(A2∪A3)＝0.8
D．P(A1＋A2)≤0.5
D　[由已知条件可知，一次随机试验中产生的事件可能不止事件A1，A2，A3这三个事件，故P(A1∪A2∪A3)≤P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝1，从而AB错误； P(A2∪A3)≤P(A2)＋P(A3)＝0.8，故C错误；
P(A1＋A2)≤P(A1)＋P(A2)＝0.5，故D正确．故选D.]
11．已知随机事件发生的概率满足P(A∪B)＝，某人猜测事件发生，则此人猜测正确的概率为(　　)
A．1 　B． 　C． 　D．0
C　[事件＝1－P(A∪B)＝1－，故选C.]
12．(多选)黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示：
血型 A B AB O
该血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血．下列结论正确的是(　　)
A．任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64
B．任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29
C．任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率为1
D．任找一个人，其血可以输给AB型血的人的概率为1
AD　[任找一个人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别为A′，B′，C′，D′，它们两两互斥．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35．因为B，O型血可以输给B型血的人，所以“可以输给B型血的人”为事件B′∪D′，根据概率的加法公式，得P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64，A正确；B型血的人能为B型、AB型的人输血，其概率为0.29＋0.08＝0.37，B错误；由O型血只能接受O型血的人输血知，C错误；由任何血型的人都可以给AB血型的人输血，知D正确．]
13．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P(A∪B)＝________．
　[抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，
所以P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝.]
14．袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是.
(1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率；
(2)从中任取一球，求得到的不是红球也不是绿球的概率．
[解]　(1)从袋中任取一球，记“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为事件A，B，C，D，它们彼此互斥，
则P(A)＝，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝，P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－.
则联立
解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，
故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为.
(2)事件“得到红球或绿球”可表示为事件A∪D，由(1)及互斥事件的概率加法公式得P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝，
故得到的不是红球也不是绿球的概率
P＝1－P(A∪D)＝1－.
15．某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0，1，2，3，4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的编号之和等于7，则中一等奖；等于6或5，则中二等奖；等于4，则中三等奖；其余结果不中奖．
(1)求中二等奖的概率；
(2)求不中奖的概率．
[解]　从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有(0，1)，(0，2)，(0，3)，(0，4)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共10种．记两个小球的编号之和为x.
(1)记“中二等奖”为事件A.由题意可知，事件A包括两个互斥事件：x＝5，x＝6．
事件x＝5的取法有2种，即(1，4)，(2，3)，故P(x＝5)＝；
事件x＝6的取法有1种，即(2，4)，故P(x＝6)＝.
所以P(A)＝P(x＝5)＋P(x＝6)＝.
(2)记“不中奖”为事件B，则“中奖”为事件包括三个互斥事件：中一等奖(x＝7)，中二等奖(事件A)，中三等奖(x＝4)．事件x＝7的取法有1种，即(3，4)，故P(x＝7)＝；
事件x＝4的取法有(0，4)，(1，3)，共2种，
故P(x＝4)＝.由(1)可知，P(A)＝.
所以P＝P(x＝7)＋P(x＝4)＋P(A)＝.
所以不中奖的概率P(B)＝1－.10.2　事件的相互独立性
学习任务 1．结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．(数学抽象) 2．结合古典概型，利用独立性计算概率．(数学运算)
3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取．事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”．事件A的发生是否会影响B发生的概率？
知识点　事件的相互独立性
1．相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
2．相互独立事件的性质
当事件A，B相互独立时，则事件A与事件相互独立，事件与事件B相互独立，事件与事件相互独立．
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立． (　　)
(2)必然事件与任何一个事件相互独立． (　　)
(3)若两个事件互斥，则这两个事件相互独立． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×
类型1　独立性的判断
【例1】　(源自湘教版教材)一个家庭中有若干小孩，假定生男孩与生女孩是等可能的，设A＝“一个家庭中既有男孩又有女孩”，B＝“一个家庭中最多有一个女孩”，对下述两种情形，讨论事件A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
[解]　(1)有两个小孩的家庭，样本空间
Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率各为，这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，A∩B＝{(男，女)，(女，男)}．
于是P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝.
由此可知P(A∩B)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不独立．
(2)有三个小孩的家庭，样本空间
Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A含有6个基本事件，B含有4个基本事件，A∩B含有3个基本事件，于是P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝.
显然有P(A∩B)＝＝P(A)P(B)成立，从而事件A与B是独立的．
　判断两个事件相互独立的方法
(1)定量法：利用P(AB)＝P(A)P(B)是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立．
(2)定性法：直观地判断一个事件发生与否对另一个事件的发生的概率是否有影响，若没有影响就是相互独立事件．
[跟进训练]
1．掷一枚质地均匀的硬币，记事件A表示“出现正面”，事件B表示“出现反面”，则(　　)
A．A与B相互独立
B．P(AB)＝P(A)P(B)
C．A与不相互独立
D．P(AB)＝
C　[由题得P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝0，故A与不相互独立，A，B，D不正确．故选C.]
类型2　相互独立事件概率的计算
【例2】　甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，且各自能否被选中互不影响．求：
(1)3人同时被选中的概率；
(2)3人中恰有1人被选中的概率．
[解]　记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)3人同时被选中的概率P1＝P(ABC)＝P(A)·P(B)P(C)＝.
(2)3人中恰有1人被选中的概率P2＝P＝.
[母题探究]
1．本例条件不变，求3人中至少有1人被选中的概率．
解：法一：3人中有2人被选中的概率P3＝＝＋＋.
由本例第(1)(2)问可知，3人中至少有1个被选中的概率为P＝P1＋P2＋P3＝.
法二：3人均未被选中的概率P＝P＝.
因为“3人中至少有1人被选中”与“3人均未被选中”互为对立事件，所以“3人中至少有1人被选中”的概率为1－.
2．若本例条件“3人能被选中的概率分别为”变为“甲、乙两人恰有一人被选中的概率为，两人都被选中的概率为，丙被选中的概率为”，求恰好有2人被选中的概率．
[解]　设甲、乙两人恰有一人被选中为事件A，甲、乙都被选中为事件B，丙被选中为事件C，则恰好有2人被选中的概率P＝P(A)P(C)＋P(B)P＝.
　事件间的独立性关系
已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有
事件 表示 概率
A，B同时发生 AB P(A)P(B)
A，B都不发生 PP
A，B恰有一个发生 ∪ P(A)P＋PP(B)
A，B中至少有一个发生 ∪∪(AB) P(A)P＋PP(B)＋P(A)P(B)
A，B中至多有一个发生 ∪∪ P(A)P＋PP(B)＋PP
[跟进训练]
2．甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
(1)两个人都译出密码的概率；
(2)两个人都译不出密码的概率；
(3)恰有一个人译出密码的概率；
(4)至多一个人译出密码的概率；
(5)至少一个人译出密码的概率．
[解]　记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A与B为相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝.
(1)“两个人都译出密码”的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝.
(2)“两个人都译不出密码”概率为P＝PP＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝.
(3)“恰有一个人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，
所以恰有一个人译出密码的概率为P＝P＋P
＝P(A)P＋PP(B)
＝.
(4)“至多一个人译出密码”的对立事件为“两个人都译出密码”，所以至多一个人译出密码的概率为1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－.
(5) “至少一个人译出密码”的对立事件为“两个人都译不出密码”，所以至少一个人译出密码的概率为1－P＝1－.
类型3　相互独立事件的概率的综合应用
【例3】　三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，将它们中的两个元件T2，T3并联后再和第三个元件T1串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．
[解]　记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，
则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，
不发生故障的事件为(A2∪A3)A1．
法一：(直接法)
电路不发生故障的概率为P＝P[(A2∪A3)A1]＝P＝.
法二：(间接法)
电路不发生故障的概率为
P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A2∪A3)·P(A1)
＝[·P]·P(A1)
＝.
　求较复杂事件的概率的一般步骤
(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示．
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式．
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
[跟进训练]
3．甲、乙二人进行一次围棋比赛，一共赛5局，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；
(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．
[解]　记Ai表示事件“第i局甲获胜”，i＝3，4，5，
Bj表示事件“第j局乙获胜”，j＝3，4，5．
(1)记A表示事件“再赛2局结束比赛”．
A＝(A3A4)∪(B3B4)．
由于各局比赛结果相互独立，故
P(A)＝P((A3A4)∪(B3B4))＝P(A3A4)＋P(B3B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52．
(2)记事件B表示“甲获得这次比赛的胜利”．
因前2局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B＝(A3A4)∪(B3A4A5)∪(A3B4A5)，
由于各局比赛结果相互独立，
故P(B)＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)·P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648．
1．一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与是(　　)
A．相互独立事件　　 B．不相互独立事件
C．互斥事件 　 D．对立事件
A　[由题意可得表示“第二次摸到的不是白球”，即表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与是相互独立事件．]
2．甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用外科口罩的概率分别如表：
项目 购买A种医 用外科口罩 购买B种 医用外科口罩 购买C种医 用外科口罩
甲 0.1 0.4
乙 0.3 0.2
则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为(　　)
A．0.24　　 B．0.28
C．0.30 　 D．0.32
B　[由表知，甲购买A口罩的概率为0.5，乙购买B口罩的概率为0.5，
所以甲、乙购买同一种口罩的概率P＝0.5×0.3＋0.1×0.5＋0.4×0.2＝0.28．]
3．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P＝________，P＝________．
　[因为P(A)＝，P(B)＝.
所以P＝，P＝.
所以P＝P(A)P＝，
P＝PP＝.]
4．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.在同一时间内，求：
(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率为______；
(2)至少有一个气象台预报准确的概率为________．
(1)　(2)　[记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B.
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝.
(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P＝1－＝1－PP＝1－.]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．相互独立事件的定义是什么？具有哪些性质？
[提示]　对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立．若A，B相互独立，则也是相互独立．
2．相互独立事件与互斥事件有什么区别？
[提示]　相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件 互斥事件
条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件
符号 相互独立事件A，B同时发生，记作：AB 互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)
计算公式 P(AB)＝P(A)·P(B) P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
课时分层作业(四十八)　事件的相互独立性
一、选择题
1．从应届高中生中选飞行员，已知这批学生体形合格的概率为，视力合格的概率为，其他综合标准合格的概率为，从中任选一学生，则三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)(　　)
A．　 　B．　 　C．　 　D．
B　[由题意知三项标准互不影响，∴P＝.]
2．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为(　　)
A．1－a－b
B．1－ab
C．(1－a)(1－b)
D．1－(1－a)(1－b)
C　[因为2道工序相互独立，所以产品的正品率为(1－a)·(1－b)．]
3．(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　)
A．甲与丙相互独立 　 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 　 D．丙与丁相互独立
B　[事件甲发生的概率P(甲)＝，事件乙发生的概率P(乙)＝，事件丙发生的概率P(丙)＝，事件丁发生的概率P(丁)＝.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误．故选B.]
4．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
D　[设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
停车一次即为事件，
故概率为P＝.]
5．(多选)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋中各摸出一个球，下列结论正确的是(　　)
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球中恰有1个红球的概率为
ACD　[设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2，则P(A1)＝，P(A2)＝，且A1，A2相互独立.2个球都是红球为A1A2，其概率为，A正确；“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，B错误；2个球中至少有1个红球的概率为1－PP＝1－，C正确； 2个球中恰有1个红球的概率为，D正确．故选ACD.]
二、填空题
6．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9．在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．
0.26　[所求概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26．]
7．设某批电子手表的正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第3次首次检测到次品的概率为________．
　[因为第3次首次检测到次品，所以第1次和第2次检测到的都是正品，第3次检测到的是次品，所以第3次首次检测到次品的概率为.]
8．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________．
0.09　[乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09．]
三、解答题
9．计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．
甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，甲、乙、丙每部分考试是否合格互不影响，且三人两部分考试结果也互不影响．
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性更大？
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．
[解]　(1)记事件A＝“甲获得合格证书”，事件B＝“乙获得合格证书”，事件C＝“丙获得合格证书”，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
因为P(C)＞P(B)＞P(A)，所以丙获得合格证书的可能性更大．
(2)设事件D＝“三人考试后恰有两人获得合格证书”，则
P(D)＝P＋P＋P＝，
即甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得合格证书的概率为.
10．若P(AB)＝，P＝，P(B)＝，则下列关于事件A与B关系的判断，正确的是(　　)
A．事件A与B互斥
B．事件A与B相互对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B互斥且相互独立
C　[因为P(A)＝1－P＝1－，
而P(B)＝，所以P(A)P(B)＝.
又因为P(AB)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)，
所以事件A与B相互独立．]
11．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是，且是否闭合是相互独立的，则灯亮的概率是(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
A　[设事件G＝“C闭合”，事件H＝“D闭合”，事件T＝“A与B中至少有一个不闭合”，事件R＝“E与F中至少有一个不闭合”，则P(G)＝P(H)＝，P(T)＝P(R)＝1－，所以灯亮的概率P＝1－P(T)P(R)PP＝.]
12．(多选)甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制(当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束)．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为.若前两局中乙队以2∶0领先，则下列结论正确的是(　　)
A．甲队获胜的概率为
B．乙队以3∶0获胜的概率为
C．乙队以3∶1获胜的概率为
D．乙队以3∶2获胜的概率为
AB　[对于A，在乙队以2∶0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队取胜，所以甲队获胜的概率为P1＝，故A正确；
对于B，乙队以3∶0获胜，即第三局乙获胜，概率为，故B正确；
对于C，乙队以3∶1获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为，故C错误；
对于D，若乙队以3∶2获胜，则第五局为乙队取胜，第三、四局乙队输，所以乙队以3∶2获胜的概率为，故D错误．]
13．荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且沿逆时针方向跳的概率是沿顺时针方向跳的概率的2倍，如图所示．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是________．
　[由题意知，青蛙沿逆时针方向跳的概率是，沿顺时针方向跳的概率是.青蛙跳三次要回到A叶上只有两条途径：第一条，按A→B→C→A，此时停在A叶上的概率P1＝；第二条，按A→C→B→A，此时停在A叶上的概率P2＝.
所以跳三次之后停在A叶上的概率P＝P1＋P2＝.]
14．在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.
(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；
(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率．
[解]　(1)设甲队获第一名且丙队获第二名为事件A，则P(A)＝.
(2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜．设事件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B∪C，
则P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝.
15．如图所示，用A，B，C，D四种不同的元件分别连接成两个系统M，N.当元件A，B都正常工作或元件C正常工作或元件D正常工作时，系统M正常工作；当元件A，B都正常工作或元件B，D都正常工作或元件C正常工作时，系统N正常工作．已知A，B，C，D四种元件正常工作的概率分别为0.5，0.9，0.7，0.8，且各元件是否正常工作是彼此独立的．试从能否正常工作的角度判断两个系统中哪一个的连接方式更为合理．
[解]　由题意知，元件A正常工作的概率为p1＝0.5，元件B正常工作的概率p2＝0.9，元件C正常工作的概率p3＝0.7，元件D正常工作的概率p4＝0.8，
则系统M正常工作的概率为1－(1－p1p2)(1－p3)(1－p4)＝1－(1－0.5×0.9)×(1－0.7)×(1－0.8)＝1－0.033＝0.967，系统N正常工作的概率为1－{1－[1－(1－p1)(1－p4)]·p2}·(1－p3)＝1－[1－(1－0.5×0.2)×0.9]×0.3＝1－0.057＝0.943．
因为0.967＞0.943，所以系统M的连接方式更为合理．10.3　频率与概率
10.3.1　频率的稳定性
学习任务 1．了解概率的意义以及频率与概率的区别．(数学抽象) 2． 结合实例，会用频率估计概率．(数学运算)
小刚抛掷一枚硬币100次，出现正面朝上48次．由此估计试验中该硬币正面朝上的频率是多少？若再抛掷一枚硬币一次，出现正面朝上的概率是多少？
知识点　频率的稳定性
1．频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
2．频率稳定性的作用
可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机事件的频率和概率不可能相等． (　　)
(2)随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化． (　　)
(3)概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
类型1　频率和概率的关系
【例1】　(1)若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增大，有(　　)
A．f(n)与某个常数相等
B．f(n)与某个常数的差逐渐减小
C．f(n)与某个常数的差的绝对值逐渐减小
D．f(n)在某个常数的附近摆动并趋于稳定
(2)下列关于概率和频率的叙述中正确的有________．(把符合条件的所有答案的序号填在横线上)
①随机事件的频率就是概率；
②随机事件的概率是一个确定的数值，而频率不是一个确定的数值；
③频率是客观存在的，与试验次数无关；
④概率是随机的，在试验前不能确定；
⑤概率可以看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小，而频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率．
(1)D　(2)②⑤　[(1)由频率和概率的关系知，在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，随着n的逐渐增加，频率f(n)逐渐趋近于概率．故选D.
(2)随机事件的频率是概率的近似值，频率不是概率，故①错误；随机事件的频率不是一个确定的数值，而概率是一个确定的数值，故②正确；频率是随机的，它与试验条件、次数等有关，而概率是确定的值，与试验次数无关，故③④错误；由频率与概率的关系可知⑤正确．]
　频率与概率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
[跟进训练]
1．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，那么P(A)与的大小关系是(　　)
A．P(A)≈　　　　 B．P(A)<
C．P(A)> 　 D．P(A)＝
A　[在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，越来越接近P(A)，因此我们可以用近似地代替P(A)．故选A.]
类型2　用随机事件的频率估计其概率
【例2】　某公司为了解当地用户对其产品的满意度，从该地的A，B两地区分别随机调查了40名用户，根据用户对产品的满意度评分(单位：分)，得到A地区的用户满意度评分的频率分布直方图(如图)和B地区的用户满意度评分的频数分布表(如表1)．
表1
满意度评分 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
频数 2 8 14 10 6
(1)分别估计A，B两地区样本用户满意度评分低于70分的频率．
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级(如表2)，将频率看作概率，从A，B两地区的用户中各随机抽查一名用户进行调查，求至少有一名用户评分满意度等级为“满意”或“非常满意”的概率．
表2
满意度评分 低于70分 [70，90) [90，100]
满意度等级 不满意 满意 非常满意
[解]　(1)由题图可得(0.005＋0.010＋0.015＋0.020×2＋a)×10＝1，解得a＝0.030，
估计A地区样本用户满意度评分低于70分的频率为(0.010＋0.020＋0.030)×10＝0.6，估计B地区样本用户满意度评分低于70分的频率为＝0.25．
(2)根据样本频率可以估计总体频率，
记事件M表示“从A地区随机抽取一名用户满意度评级为不满意”，则P＝0.6．
记事件N表示“从B地区随机抽取一名用户满意度评级为不满意”，则P＝0.25．
易知事件M和事件N相互独立，则事件相互独立．
记事件C表示“至少有一名用户评分满意度等级为‘满意’或‘非常满意’”，
则P＝1－0.6×0.25＝0.85，
故至少有一名用户评分满意度等级为“满意”或“非常满意”的概率为0.85．
　解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．
[跟进训练]
2．某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔偿金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数(辆) 500 130 100 150 120
(1)若每辆车的投保金额为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
[解]　(1)车辆数为500＋130＋100＋150＋120＝1 000．设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12，由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3 000元和4 000元，A与B互斥，所以所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27．
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1 000＝100(位)，而赔付金额为4 000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24．
类型3　概率思想的实际应用
【例3】　设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球．先随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球．推断这球是从哪一个箱子中取出的？
[解]　甲箱中有99个白球，1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是.乙箱中有1个白球，99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是.由此可见，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是从概率大的箱子中取出的．所以我们作出统计推断：该白球是从甲箱中取出的．
　概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大．
[跟进训练]
3．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只．查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．
[解]　设保护区中天鹅的数量为n，假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A＝{捕到带有记号的天鹅}，则P(A)＝.
从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的定义可知P(A)≈.
由，解得n≈1 500，所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只．
1．某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的(　　)
A．概率为　　 B．频率为
C．频率为8 　 D．概率接近于8
B　[做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为.如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率，故为事件A的频率．]
2．“某彩票的中奖概率为”意味着(　　)
A．买100张彩票就一定能中奖
B．买100张彩票能中一次奖
C．买100张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性为
D　[某彩票的中奖率为，意味着中奖的可能性为，可能中奖，也可能不中奖．]
3．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．
500　[设进行了n次试验，则有＝0.02，得n＝500，故进行了500次试验．]
4．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球(只是颜色不同)若干个，从中任取1球，取了10次有7个白球，估计袋中数量较多的是________球．
白　[取10次球有7次是白球，则取出白球的频率是0.7，故可估计袋中数量较多的是白球．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
频率和概率有什么区别和联系？
[提示]　
名称 区别 联系
频率 本身是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的改变而改变．做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同 (1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． (2)在实际问题中，事件的概率通常情况下是未知的，常用频率估计概率
概率 是一个[0，1]中的确定值，不随试验结果的改变而改变
课时分层作业(四十九)　频率的稳定性
一、选择题
1．某地气象局预报说：明天本地降水的概率为80%，则下列解释正确的是(　　)
A．明天本地有80%的区域降水
B．明天本地有80%的时间降水
C．明天本地降水的可能性是80%
D．以上说法均不正确
C　[选项A，B显然不正确，因为明天本地降水的概率为80%不是说有80%的区域降水，也不是说有80%的时间降水，而是指降水的可能性是80%.故选C.]
2．每道选择题有四个选项，其中只有一个选项是正确的．某次数学考试共有12道选择题，有位同学说：“每个选项正确的概率是，我每道题都选择第一个选项，则一定有3道题选择结果正确．”该同学的说法(　　)
A．正确　　　 B．错误
C．无法解释 　 D．以上均不正确
B　[解每一道选择题都可看成一次试验，每次试验的结果都是随机的，经过大量的试验其结果呈现出一定的规律，即随机选取一个选项选择正确的概率是.12道选择题做对3道题的可能性比较大，但并不能保证一定做对3道题，也有可能都选错，因此该同学的说法错误．]
3．(多选)某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 55 18
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是(　　)
A．P＝0.55 　 B．P＝0.18
C．P＝0.27 　 D．P＝0.55
ABC　[依题意，P(A)＝＝0.55，P(B)＝＝0.18，显然事件A，B互斥，P(C)＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＝0.27，事件B，C互斥，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.45，于是得选项A，B，C都正确，选项D错误．
故选ABC.]
二、填空题
4．设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8 000件产品中合格品的件数可能为________件．
7 840　[次品率为2%，故次品约8 000×2%＝160(件)，故合格品的件数可能为7 840．]
5．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000辆汽车的数据，时间是从某年的5月1日到下一年的4月30日，共发现有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________．
0.03　[在一年内挡风玻璃破碎的频率为＝0.03，用频率来估计挡风玻璃破碎的概率，故概率近似为0.03．]
三、解答题
6．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
顾客人数 甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
[解]　(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2．
(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．
所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3．
(3)顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1．
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
7．某市交警部门在调查一起交通事故过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆A款出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆A款出租车，3 000辆B款出租车，乙公司有3 000辆A款出租车，100辆B款出租车，交警部门应先调查哪个公司的车辆较合理(　　)
A．甲公司　　　 B．乙公司
C．甲或乙公司均可 　 D．以上都对
B　[由于甲公司A款的比例为，乙公司A款的比例为，
可知肇事车在乙公司的可能性大些．]
8．(多选)某机构要调查某小区居民生活垃圾的投放情况(该小区居民的生活垃圾以厨余垃圾、可回收物、其他垃圾为主)，随机抽取了该小区“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱这三类垃圾箱，总计1 000千克的生活垃圾，数据(单位：千克)统计如下：
类别 “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾的投放质量 400 200 100
可回收物的投放质量 30 140 30
其他垃圾的投放质量 20 20 60
根据样本数据估计该小区居民生活垃圾的投放情况，下列结论正确的是(　　)
A．“厨余垃圾”投放正确的概率约为
B．“可回收物”投放错误的概率约为
C．该小区这三类垃圾中，“厨余垃圾”投放正确的概率最低
D．该小区这三类垃圾中，“其他垃圾”投放错误的概率最高
AC　[A选项，“厨余垃圾”共有400＋200＋100＝700 kg，其中400 kg投放正确，概率为，所以A选项说法正确；
B选项，“可回收物”共有30＋140＋30＝200 kg，其中60kg投放错误，概率为，所以B选项说法错误；
C选项，“厨余垃圾”、“可回收物”、“其他垃圾”投放正确的概率依次为最小，所以C选项说法正确；
D选项，“厨余垃圾”、“可回收物”、“其他垃圾”投放错误的概率依次为最大，所以D选项说法错误．故选AC.]
9．某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
[解]　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2．
由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55．
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4．
由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，
故P(B)的估计值为0.3．
(3)由所给数据得
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
10．有A，B两种乒乓球，A种乒乓球的次品率是1%，B种乒乓球的次品率是5%.
(1)甲同学买的是A种乒乓球，乙同学买的是B种乒乓球，但甲买到的是次品，乙买到的是合格品，从概率的角度如何解释？
(2)如果你想买到合格品，应选择购买哪种乒乓球？
[解]　(1)因为A种乒乓球的次品率是1%，所以任选一个A种乒乓球是合格品的概率是99%.同理，任选一个B种乒乓球是合格品的概率是95%.
因为99%>95%，所以“买一个A种乒乓球，买到的是合格品”的可能性比“买一个B种乒乓球，买到的是合格品”的可能性大．但并不表示“买一个A种乒乓球，买到的是合格品”一定发生．乙买一个B种乒乓球，买到的是合格品，而甲买一个A种乒乓球，买到的却是次品，即可能性较小的事件发生了，而可能性较大的事件却没有发生，这正是随机事件的不确定性的体现．
(2)因为任意选取一个A种乒乓球是合格品的可能性为99%，所以如果做大量重复买一个A种乒乓球的试验，“买到的是合格品”的频率会稳定在0.99附近．同理，做大量重复买一个B种乒乓球的试验，“买到的是合格品”的频率会稳定在0.95附近．因此若希望买到的是合格品，则应选择购买A种乒乓球．10.3.2　随机模拟
学习任务 了解随机模拟的含义，会利用随机模拟估计概率．(数学建模、数学运算)
在求解频率与概率的关系时需要做大量的重复试验去验证，既费时又费力，有没有更好的其他办法可以替代试验呢？
知识点　随机模拟
1．产生随机数的方法
(1)利用计算器或计算机软件产生随机数．
(2)构建模拟试验产生随机数．
2．蒙特卡洛方法
利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法．
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机数是用计算机或计算器随便按键产生的数． (　　)
(2)不能用伪随机数估计概率． (　　)
(3)用随机模拟试验估计事件的概率时，试验次数越多，所得的估计值越接近实际值． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√
类型1　随机数的产生方法
【例1】　要产生1～25之间的随机整数，你有哪些方法？
[解]　法一：可以把25个大小形状相同的小球分别标上1，2，3，…，24，25，放入一个袋中，把它们充分搅拌均匀，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数，放回后重复以上过程，就得到一系列的1～25之间的随机整数．
法二：可以利用计算机产生随机数，以Excel为例：
(1)选定A1格，输入“＝RANDBETWEEN(1，25)”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的；
(2)选定A1格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2至A100，点击粘贴，则在A2至A100的格中均为随机产生的1～25之间的数，这样我们就很快得到了100个1～25之间的随机数，相当于做了100次随机试验．
　随机数产生的方法比较
方法 抽签法 用计算器或计算机产生
优点 保证机会均等 操作简单，省时、省力
缺点 耗费大量人力、物力、时间，或不具有实际操作性 由于是伪随机数，故不能保证完全等可能
[跟进训练]
1．某校高一年级共20个班，1 200名学生，期中考试时如何把学生分配到40个考场中去？
[解]　要把1 200人分到40个考场，每个考场30人，可用计算机完成．
(1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机．
(2)用随机函数按顺序给每个学生一个随机数(每人都不相同)．
(3)使用计算机的排序功能按随机数从小到大排列，可得到1 200名学生的考试号0 001，0 002，…，1 200，然后0 001～0 030为第一考场，0 031～0 060为第二考场，依次类推．
类型2　简单的随机模拟试验的应用
【例2】　一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率．
[解]　用1，2，3，4，5，6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数．因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组．如下，产生20组随机数：
666 743 671 464 571 561 156 567 732 375
716 116 614 445 117 573 552 274 114 662
就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为＝0.1．
　在设计随机模拟试验时，注意以下两点
(1)要根据具体的事件设计恰当的试验，使试验能够真正地模拟随机事件．
(2)注意用不同的随机数来表示不同的随机事件的发生．
[跟进训练]
2．在一个盒中装有10支圆珠笔，其中7支一级品，3支二级品，任取一支，用模拟方法求取到一级品的概率．
[解]　设事件A：“取到一级品”．
(1)用计算机的随机函数RANDBETWEEN(1，10)或计算器产生1到10之间的整数随机数，分别用1，2，3，4，5，6，7表示取到一级品，用8，9，10表示取到二级品．
(2)统计试验总次数N及其中出现1至7之间数的次数N1．
(3)计算频率fn(A)＝，即为事件A的概率的近似值．
类型3　较复杂的随机模拟试验的应用
【例3】　A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生0－9之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：
102　798　391　925　173　845　812
529　769　683　231　307　592　027
516　588　730　113　977　539
则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
D　[在20组随机数中表示三天中至少有两天有强浓雾的可以通过列举得到，共4组随机数：798，769，588，977，所求概率为.故选D.]
　利用随机模拟估计概率应关注三点
用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑：
(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件．
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数．
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．
[跟进训练]
3．袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
232　321　230　023　123　021　132
220　001　231　130　133　231　013
320　122　103　233
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
B　[经随机模拟产生的18组随机数中，恰好第三次就停止包含的样本点有：023，123，132，共3个，由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为.故选B.]
1．用随机模拟的方法估计概率时，其准确程度决定于(　　)
A．产生的随机数的大小
B．产生的随机数的个数
C．随机数对应的结果
D．产生随机数的方法
B　[用随机模拟的方法估计概率时，产生的随机数越多，准确程度越高，故选B.]
2．掷两枚骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时，产生的整数值随机数中，每几个数字为一组(　　)
A．1　　 　B．2　　 　C．9　 　　D．12
B　[由于掷两枚骰子，所以产生的整数值随机数中，每2个数字为一组．]
3．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
907　966　191　925　271　932　812
458　569　683　431　257　393　027
556　488　730　113　537　989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为(　　)
A．0.35 　B．0.25 　C．0.20 　D．0.15
B　[由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191，271，932，812，393，共5组随机数，∴所求概率为＝0.25．故选B.]
4．在用随机数(整数)模拟“有4个男生和5个女生，从中选4个，求选出2个男生2个女生”的概率时，可让计算机产生1～9的随机整数，并用1～4代表男生，用5～9代表女生，因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．若得到的一组随机数“4678”，则它代表的含义是________．
选出的4人中，只有1个男生　[用1～4代表男生，用5～9代表女生，4678表示1男3 女，即选出的4人中，只有1个男生．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．产生随机数的方法有哪些？
[提示]　产生随机数的方法有抽签法、利用计算机或计算器产生随机数的随机模拟方法等．
2．如何用随机模拟的方法估计概率？
[提示]　用随机模拟法估计概率的主要步骤：(1)设计概率模型．(2)进行模拟试验．(3)统计试验结果，估计概率．
“黄金72小时”中的概率
当地震等地质灾害发生后，在媒体上经常可以看到“黄金72小时”这几个字．你知道它表示的是什么意思吗？
医学研究和统计表明，在没有食物尤其是没有水的条件下，生命的存续期一般不会超过3天．国际救援界认为，在地震等地质灾害发生后的72小时内，被救出人员的存活率随时间的消逝呈递减趋势：第一天(即24小时内)，存活率约为90%；第二天，存活率为50%—60%；第三天，存活率为20%—30%.再往后的话，存活率将进一步减少．
这里的存活率可以用概率来理解：被救出的人员，如果是在24小时内被发现的，那么该人员生还的概率为90%；如果是在第24—48小时内被发现的，那么生还的概率为50%—60%；如果是第48—72小时内发现的，那么生还的概率为20%—30%.这就意味着，当地震等地质灾害发生后，应该“与时间赛跑”，利用各种手段和机会尽可能早地发现被困人员．
需要注意的是，概率描述的只是事件发生的可能性大小，发生的可能性小(即概率小)并不代表不会发生．统计数据表明，地震六天后，被埋人员生还的概率几乎为零．但是这样的事例并不是没有：2005年巴基斯坦7.6级地震中，一名青年被埋27天后获救生还；2008年我国汶川地震中，一位60岁的老人被困11天后获救生还；等等．因此，几乎所有的救援工作，在“黄金72小时”之外都会继续，以发现更多生命的奇迹．
课时分层作业(五十)　随机模拟
一、选择题
1．(多选)下列能产生随机数的是(　　)
A．抛掷骰子试验
B．抛硬币
C．计算器
D．正方体的六个面上分别写有1，2，2，3，4，5，抛掷该正方体
ABC　[D项中，出现2的概率为，出现1，3，4，5的概率均是，则D项不能产生随机数．]
2．利用抛硬币产生随机数1和2，出现正面表示产生的随机数为1，出现反面表示产生的随机数为2．小王抛两次，则出现的随机数之和为3的概率为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
A　[抛掷硬币两次，产生的随机数的情况有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)共四种，其中随机数之和为3的情况有(1，2)，(2，1)两种，故所求概率为.]
3．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
93　28　12　45　85　69　68　34　31　25
73　93　02　75　56　48　87　30　11　35
据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为(　　)
A．0.50 　 B．0.45　
C．0.40 　 D．0.35
A　[两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的一个．它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35，共10个．
因此估计所求的概率为＝0.50．]
二、填空题
4．在利用整数随机数进行随机模拟试验中，整数a到整数b之间的每个整数出现的可能性是________．
　[[a，b]中共有b－a＋1个整数，每个整数出现的可能性相等，所以每个整数出现的可能性是.]
5．甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率．先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4，5表示甲获胜；6，7，8，9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6．因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数：
034 743 738 636 964 736 614 698 637 162
332 616 804 560 111 410 959 774 246 762
428 114 572 042 533 237 322 707 360 751
据此估计乙获胜的概率约为________．(保留3位有效数字)
0.367　[产生30组随机数，就相当于做了30次试验．如果6，7，8，9中恰有2个或3个数出现，就表示乙获胜，它们分别是738，636，964，736，698，637，616，959，774，762，707，共11个．所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为≈0.367．]
三、解答题
6．某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是60%，若该篮球爱好者连续投篮4次，求至少投中3次的概率．用随机模拟的方法估计上述概率．
[解]　利用计算机或计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4，5，6表示投中，用7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%，因为投篮4次，所以每4个随机数作为1组．例如5727，7895，0123，…，4560，4581，4698，共100组这样的随机数，若所有数组中没有7，8，9，0或只有7，8，9，0中的一个数的数组的个数为n，则至少投中3次的概率近似值为.
7．抛掷两颗相同的骰子，用随机模拟方法估计“上面点数的和是6的倍数”的概率时，用1，2，3，4，5，6分别表示上面的点数是1，2，3，4，5，6，用计算器或计算机分别产生1到6的两组整数随机数各60个，每组第i个数组成一组，共组成60组数，其中有一组是16，这组数表示的结果是否满足上面点数的和是6的倍数：________(选填“是”或“否”)．
否　[16表示第一颗骰子向上的点数是1，第二颗骰子向上的点数是6，则上面点数的和是1＋6＝7，不表示和是6的倍数．]
8．在一个大转盘上，盘面被均匀地分成12份，分别写有1～12这12个数字，其中2，4，6，8，10，12这6个区域对应的奖品是文具盒，而1，3，5，7，9，11这6个区域对应的奖品是书包．游戏规则是转盘转动后指针停在哪一格，则继续向前前进相应的格数．例如：你转动转盘停止后，指针落在4所在区域，则还要往前前进4格，到标有8的区域，此时8区域对应的奖品就是你的，依此类推．请问：小明在玩这个游戏时，得到的奖品是书包的概率是________．
0　[∵转盘停止后，指针所在区域再前进相应格数后所在位置均为标为偶数的区域，
又∵得到书包对应的区域均标为奇数，
∴得到的奖品为书包的概率为0．]
9．某市为了了解一周内学生的线上学习情况，从该市抽取了1 000名学生进行调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图．
(1)为了估计从该市任意抽取的3名同学中恰有2人线上学习时间在[200，300)的概率P，特设计如下随机模拟试验：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，依次用0，1，2，3，…，9的前若干个数字表示线上学习时间在[200，300)内，剩余的数字表示线上学习时间不在[200，300)内；再以每三个随机数为一组，代表线上学习的情况．
假设用上述随机模拟方法产生了如下30组随机数：
907　966　191　925　271　569　812　458　932
683　431　257　393　027　556　438　873　730
113　669　206　232　433　474　537　679　138
598　602　231
请根据这些随机数估计概率P；
(2)为了进一步进行调查，用比例分配的分层随机抽样方法从这1 000名学生中抽取20名学生，在抽取的20人中，再从线上学习时间在[350，450)的同学中任意选择2名，求这2名同学来自同一组的概率．
[解]　(1)由频率分布直方图可知，线上学习时间在[200，300)的频率为(0.002＋0.006)×50＝0.4，所以可以用数字0，1，2，3表示线上学习时间在[200，300)内，数字4，5，6，7，8，9表示线上学习时间不在[200，300)内．观察题中随机数组可得，3名同学中恰有2人线上学习时间在[200，300)的有191，271，812，932，431，393，027，730，206，433，138，602，共12个．用频率估计概率可得，该市3名同学中恰有2人线上学习时间在[200，300)的概率P＝＝0.4．
(2)抽取的20人中，线上学习时间在[350，450)的同学有20×(0.003＋0.002)×50＝5(人)，其中线上学习时间在[350，400)的同学有3名，设为A，B，C，线上学习时间在[400，450)的同学有2名，设为a，b，用(x，y)表示样本空间中的样本点，则从5名同学中任取2名的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)}，共10个样本点，用M表示“2名同学来自同一组”这一事件，则M＝{(A，B)，(A，C)，(B，C)，(a，b)}，共4个样本点，所以P(M)＝＝0.4．第10章 概率 章末综合提升
类型1　随机事件与概率
1．随机事件与概率主要包含以下内容：样本空间、事件间的关系、频率与概率的关系及概率的性质，特别是互斥事件与对立事件的概念辨析及相应概率的求解，是历次考试命题的重点，对于互斥事件的概率求法一般有两种方法：一是直接求解法，二是间接法．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．
2．掌握随机事件概率的应用，提升数学抽象和数学运算素养．
【例1】　某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
[解]　(1)P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
故事件A，B，C的概率分别为.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.∵A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝.
故1张奖券的中奖概率为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
类型2　古典概型
1．古典概型有两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数k.
2．掌握古典概型的概率公式及其应用，提升数学建模的数学素养．
【例2】　袋中有形状、大小都相同的4个小球.
(1)若4个小球中有1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率；
(2)若4个小球颜色相同，标号分别为1，2，3，4，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率；
(3)若4个小球中有1只白球，1只红球，2只黄球，有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率．
[解]　(1)设取出的2只球颜色不同为事件A.
试验的样本空间Ω＝{(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄2)}，共6个样本点，事件A包含5个样本点，故P(A)＝.
(2)试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共6个样本点，设标号和为奇数为事件B，则B包含的样本点为(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共4个，所以P(B)＝.
(3)试验的样本空间Ω＝{(白，白)，(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，红)，(红，白)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄1)，(黄1，白)，(黄1，红)，(黄1，黄2)，(黄2，黄2)，(黄2，白)，(黄2，红)，(黄2，黄1)}，共16个样本点，其中颜色相同的有6个，故所求概率为P＝.
类型3　事件的相互独立性
1．相互独立事件的辨析及概率计算主要依据P(AB)＝P(A)P(B)．由于相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，解题时先要判断事件的关系是互斥还是相互独立，再选择相应的公式计算求解．
2．掌握相互独立事件的概率公式的应用，提升数学建模和逻辑推理的数学素养．
【例3】　(2022·石家庄期末)甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为，由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为.已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢．
(1)求第四盘棋甲赢的概率；
(2)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．
[解]　(1)记第四盘棋甲赢的事件为A，它是第三盘棋甲赢和甲输的两个互斥事件A1，A2的和，P(A1)＝，P(A2)＝＝，则＝P(A2)＝，所以第四盘棋甲赢的概率是.
(2)记甲恰好赢三盘棋的事件为B，它是后三盘棋甲只赢一盘的三个互斥事件的和，甲只在第三盘赢的事件为B1、只在第四盘赢的事件为B2、只在第五盘赢的事件为B3，则P(B1)＝＝＝＝，P(B3)＝，则有P＝＝，所以比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率为.
章末综合测评(五)　概率
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
D　[抛掷一枚硬币，有正面朝上和反面朝上两种可能，概率均为，与第几次抛掷无关．]
2．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表：
满意状况 不满意 比较满意 满意 非常满意
人数 200 n 2 100 1 000
根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
C　[由题意得，n＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200＋2 100＝3 300，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为，由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.]
3．(2022·四川泸州叙永一中期中)在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染．经随机模拟产生了如下20组随机数：
192　907　966　925　271　932　812
458　569　683　257　393　127　556
488　730　113　537　989　431
据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为(　　)
A．0.25 　B．0.4 　C．0.6 　D．0.75
A　[20组数据中，都不含1，2，3，4的数据有5个，分别是：907，966，569，556，989；故三只豚鼠都没被感染的概率为＝0.25．故选A .]
4．从2022年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的28 730人中随机抽取20人，测得他们的身高分别为(单位：cm) ：162、153、148、154、165、168、172、171、170、150、151、152、160、165、164、179、149、158、159、175，根据样本频率分布估计总体分布的原理，在所有志愿者中任抽取一人身高在155.5 cm－170.5 cm之间的概率为(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
B　[根据题意，分析20人的数据可得，身高在155.5 cm－170.5 cm之间的有9人，则在志愿者中任抽取一人身高在155.5 cm－170.5 cm之间的概率为.故选B.]
5．(2022·全国甲卷)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
C　[从6张卡片中无放回抽取2张，共有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，15种情况，其中数字之积为4的倍数的有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，6种情况，故概率为.故选C.]
6．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率为的是(　　)
A．颜色相同 　 B．颜色不全相同
C．颜色全不相同 　 D．无红球
B　[有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色相同的结果有3种，其概率为；颜色不全同的结果有24种，其概率为；颜色全不同的结果有6种，其概率为；无红球的结果有8种，其概率为.]
7．(2022·山东济宁育才中学月考)坛子中放有3个白球、2个黑球，从中不放回地取球2次，每次取1个球，用A1表示“第一次取得白球”，A2表示“第二次取得白球”，则A1和A2是(　　)
A．互斥的事件 　 B．相互独立的事件
C．对立的事件 　 D．不相互独立的事件
D　[设白球编号为1，2，3，黑球的编号为4，5，从坛子中不放回地取球2次，基本事件有20种，P＝＝，＝＝，P≠P，所以A1和A2是不相互独立的事件．
基本事件包括“第1次取到白球，第2次取到白球”，即A1和A2可以同时发生，
所以A1和A2不是互斥，也不是对立事件．
故选D.]
8．在如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，当开关合上时，电路畅通的概率是(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
A　[当开关合上时，电路畅通，即A至B畅通，且B至C畅通，可求得A至B畅通的概率为1－×＝，B至C畅通的概率为1－，所以电路畅通的概率为.]
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下列说法中正确的有(　　)
A．买彩票中奖的概率是0.001，那么买1 000张彩票一定能中奖
B．昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水的概率为90%”是错误的
C．一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是
D．乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的
CD　[根据概率的意义可知CD正确．]
10．(2022·广雅附中、广州外国语、铁一中学联考)利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是(　　)
A．P(B)＝ 　 B．P(A∩B)＝0
C．P(B∩C)＝ 　 D．P(A∪B)＝
ABD　[由题意知A、B、C为互斥事件，∴P(A∩B)＝P(B∩C)＝0，故B正确、C错误；
∵从100件中抽取产品符合古典概型的条件，∴P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，则P(A∪B)＝P，∴A、D正确．故选ABD.]
11．(2022·武汉十四中月考)某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是(　　)
A．两人均获得满分的概率为
B．两人至少一人获得满分的概率为
C．两人恰好只有甲获得满分的概率为
D．两人至多一人获得满分的概率为
BCD　[∵甲、乙两人能得满分的概率分别为，两人能否获得满分相互独立，分别记甲、乙得满分的事件为M，N，则P，，M，N独立．
∴两人均获得满分的概率为P＝＝，故A 正确；
两人至少一人获得满分的概率为1－P＝1－(1－P(M))(1－P(N))＝1－，故B错误；
两人恰好只有甲获得满分的概率为P＝P(M)(1－P(N))＝，故C错误；
两人至多一人获得满分的概率为：
1－P，故D 错误．故选BCD.]
12．去年“国庆节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90]，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论正确的是(　　)
A．这40辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5
B．在该服务区任意抽取一辆车，车速超过80 km/h的概率为0.35
C．若从车速在[60，70)的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在[65，70)的概率为
D．若从车速在[60，70)的车辆中任意抽取2辆，则车速都在[60，65)内的概率为
ABC　[在A中，由题图可知，众数的估计值为最高的矩形的中点横坐标对应的值＝77.5，A正确；在B中，车速超过80 km/h的频率为0.05×5＋0.02×5＝0.35，用频率估计概率知B正确；在C中，由题图可知，车速在[60，65)内的车辆数为2，车速在[65，70)内的车辆数为4，运用古典概型求概率得，至少有一辆车的车速在[65，70)的概率为，即车速都在[60，65)内的概率为，故C正确，D错误．故选ABC.]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2022·甘肃甘南期末)从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为________．
4　[从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共10种情况，其中(1，2，4)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，4，5)中三个数字之和为奇数，共有4种．]
14．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则至少取得一个红球的概率为________．
　[由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－.]
15．某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品．从这些产品中随机抽取一件产品测试，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为________．
0.21　[设抽到一等品，二等品，三等品分别为事件A，B，C，
则，则P＝0.21．]
16．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．
　[法一：甲、乙两球都落入盒子的概率为.甲、乙两球至少有一个落入盒子的情形包括：①甲落入、乙未落入的概率为；②甲未落入、乙落入的概率为；③甲、乙均落入的概率为.所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.
法二：甲、乙两球都落入盒子的概率为.甲、乙两球均未落入盒子的概率为，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－.]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分) 袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．
(1)一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；
(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5分的概率．
[解]　(1)一共有8种不同的结果，列举如下：(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，红)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)．
(2)记“3次摸球所得总分为5分”为事件A，事件A包含的基本事件为(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，共3个，
由(1)可知，基本事件总数为8，
所以事件A发生的概率为P(A)＝.
18．(本小题满分12分)(2022·山东威海期末)某社区举行宪法宣传答题活动，该活动共设置三关，参加活动的选手从第一关开始依次闯关，若闯关失败或闯完三关，则闯关结束，规定每位选手只能参加一次活动．已知每位选手闯第一关成功的概率为，闯第二关成功的概率为，闯第三关成功的概率为.若闯关结束时，恰好通过两关可获得奖金300元，三关全部通过可获得奖金800元．假设选手是否通过每一关相互独立．
(1)求参加活动的选手没有获得奖金的概率；
(2)现有甲、乙两位选手参加本次活动，求两人最后所得奖金总和为1 100元的概率．
[解]　(1)设选手闯第一关成功为事件A，闯第二关成功为事件B，闯第三关成功为事件C，所以，，
设参加活动的选手没有获得奖金为事件M，
所以P.
(2)设选手闯关获得奖金300元为事件E，选手闯关获得奖金800元为事件D，
所以，P，
设两人最后所得奖金总和为1 100元为事件F，
所以，甲、乙两位选手有一人获得800元，一人获得300元，
所以P.
19．(本小题满分12分) 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
地区 A B C
数量 50 150 100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
[解]　(1)因为样本量与总体中的个体数的比是，所以样本包含三个地区的个体数量分别是50×＝2．
所以这6件样品中来自A，B，C三个地区的数量分别为1，3，2．
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2，
则从这6件样品中抽取的2件商品构成的所有样本点为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的．
记事件D＝“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的样本点有：
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.
20．(本小题满分12分) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件以上
顾客数/人 x 30 25 y 10
结算时间/(分/人) 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)
[解]　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20．
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本．顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为＝1.9(分钟)．
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.
因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
21．(本小题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25 ℃，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20 ℃，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40]
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
[解]　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25 ℃，
由表中数据可知，最高气温低于25 ℃的频率为＝0.6．
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6．
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温低于20 ℃，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高气温不低于25 ℃，则Y＝450×(6－4)＝900，
所以，利润Y的所有可能值为－100，300，900．
Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃，由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8．
22．(本小题满分12分)(2022·华中师大附中期末)某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取100人，经统计，这100人去年可支配收入(单位：万元)均在区间[4.5，10.5]内，按[4.5，5.5)，[5.5，6.5)，[6.5，7.5)，[7.5，8.5)，[8.5，9.5)，[9.5，10.5]分成6组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第60百分位数为8.1．
(1)求a，b的值，并估计这100位居民可支配收入的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙3人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5，8.5)内的概率．
[解]　(1)由频率分布直方图，可得0.05＋0.12＋a＋b＋0.2＋0.08＝1，则a＋b＝0.55，①
因为居民收入数据的第60百分位数为8.1，
所以0.05＋0.12＋a＋(8.1－7.5)×b＝0.6，
则a＋0.6b＝0.43，②
将①与②联立，解得
所以平均值为0.05×5＋0.12×6＋0.25×7＋0.3×8＋0.2×9＋0.08×10＝7.72．
(2)根据题意，设事件A，B，C分别为甲、乙、丙在[7.5，8.5)内，则P＝P＝P＝0.3．
①“抽取3人中有2人在[7.5，8.5)内”＝ABC，且BC互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得P1＝P＝0.3×0.3×(1－0.3)＋0.3×(1－0.3)×0.3＋(1－0.3)×0.3×0.3＝0.189．
②“抽取3人中有3人在[7.5，8.5)内”＝ABC，由事件独立性定义，得P2＝P＝PPP＝0.3×0.3×0.3＝0.027．
所以抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5，8.5)内的概率P＝P1＋P2＝0.189＋0.027＝0.216．

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