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第七章 统计与概率
第二节 概率
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 概率的相关概念 ☆☆ 概率问题在中考数学中的考察难度在中档以下，年年都会考查，是广大考生的得分点，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将出现。该专题考题的类型也比较的固定，单独考查时，通常作为选择或者填空题，考概率的基本定义和简单计算、频率估计概率等。综合考查时会和统计图表类问题结合，作为最后一问，考查概率的树状图或者列表分析。因为整体难度较小，属于中考数学中必拿分点，审题时要多加注意即可。
考点2 频率与概率 ☆☆
考点3 概率的相关计算 ☆☆☆
■考点一　概率的相关概念
1）确定事件与随机事件
定义 事件发生的概率
确定事件 必然
事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为 。 P(必然事件)=1
不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为 。 P(不可能事件)=0
不确定事件（随机事件） 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为 （又叫 ）。 0＜P(随机事件)＜1
2）概率的定义及计算公式
概率的定义：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的 ，记为P(A)。
概率的意义：一个事件发生的 是一个确定的数，它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的 。
■考点二　频率与概率
1）利用频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个 附近，因此，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的 。
2）适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计 。
3）方法：进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率．
■考点三　概率的相关计算方法
1）概率的计算方法：
（1）概率公式： P（A）=，其中n为所有事件的 ，m为事件A发生的 。
（2）列表法：当一次试验要涉及 ，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用 求事件发生的 。
（3）树状图法：当一次试验要涉及 的因素时，通常采用 来求事件发生的概率。
2）概率的应用：概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象做出评判，如解释摸奖、评判游戏活动的公平性、数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件做出决策。
■易错提示
1. 当一次试验要涉及两个因素或一个因素做两次试验并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常可以采用列表法，也可以用树状图法. 当试验包含三步或三步以上时，不能用列表法，用画树状图法比较方便。
2. 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，且随实验次数的增多，值越来越精确。
■考点一　概率的相关概念
◇典例1：（2023·湖北襄阳·统考中考真题）襄阳气象台发布的天气预报显示，明天襄阳某地下雨的可能性是，则“明天襄阳某地下雨”这一事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
◆变式训练
1．（2023·辽宁营口·统考中考真题）下列事件是必然事件的是（ ）
A．四边形内角和是360° B．校园排球比赛，九年一班获得冠军
C．掷一枚硬币时，正面朝上 D．打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况
2．（2023·浙江·统考一模）下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．明天太阳从东方升起 B．平面内不共线的三点确定一个圆
C．任意画一个三角形，其内角和是 D．经过有交通信号的路口时遇见红灯
◇典例2：（2023·河北·统考中考真题）1有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上．若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（ ）

A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·贵州·统考中考真题）在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（ ）
A．摸出“北斗”小球的可能性最大 B．摸出“天眼”小球的可能性最大
C．摸出“高铁”小球的可能性最大 D．摸出三种小球的可能性相同
2．（2023·广东云浮·统考二模）在不透明的袋子里装有个红球、个白球、个黑球，它们除颜色外都相同，从袋子中任意摸出个球．下列判断正确的是（ ）
甲：摸到红球比摸到白球的可能性小；乙：摸到红球和摸到黑球的可能性相同
A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对
◇典例3：（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）将枚黑棋子5枚白棋子装入一个不透明的空盒子里，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒子中随机取出一枚棋子，则取出的棋子是黑棋子的概率是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·广东佛山·校考一模）在一个不透明的口袋中，装有3个黄球和4个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江·统考中考真题）现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 ．

◇典例4：（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为（ ）

A． B． C． D．无法判断
◆变式训练
1．（2023·江苏·统考中考真题）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形的面积相等．任意投掷飞镖1次且击中游戏板，则击中阴影部分的概率是 ．
2．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图平行四边形中，E为的中点，交与点O，若随机向平行四边形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为 ．

■考点二　频率与概率
◇典例5：（2023·江苏泰州·统考中考真题）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（ ）
A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化
C．试验次数越多，f越接近于P D．当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定
◆变式训练
1.（2023·江西抚州·统考一模）以下说法合理的是（ ）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
2.（2023·福建厦门·统考模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．为了解某品牌的日光灯寿命，适宜采取全面调查方式
B．某彩票的中奖机会是，买100张一定会中奖
C．抛一枚硬币正面朝上的概率为，则抛一枚硬币有的可能出现正面朝上
D．“若a是实数，则”是必然事件
◇典例6：（2023·甘肃·统考中考真题）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2850
盖面朝上频率
下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；
②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．
其中正确的是 ．（填序号）
◆变式训练
1．（2024·辽宁抚顺·统考二模）某种麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示：
试验的麦粒数
发芽的麦粒数
发芽的频率
则任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率约为 ．（结果精确到）
2．（2023·福建厦门·校考模拟预测）春节假期欧亚商场为了吸引顾客，举行有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次摸奖的机会．不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，如果摸到红色小球则有机会以优惠价1.88元购买“大福字”一个．如图显示了活动第一天开展上述摸球活动的获奖的结果．李老师在活动第二天去购物，刚好消费了100元，推测李老师能以优惠价购买“大福字”的概率为 ．
◇典例7：（2023·辽宁锦州·统考中考真题）一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为 ．
◆变式训练
1．（2023·山东青岛·统考一模）在一个不透明的盒子中装有a个黑白颜色的球，小明又放入了4个红球，这些球大小相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则a的值大约为（ ）
A．10 B．16 C．25 D．30
2.（2023·四川广安·统考一模）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．如图是一个面积为6的正方形二维码，为了估计黑色阴影部分的面积，小张在二维码内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定在0.6附近，则可估计该二维码中黑色阴影部分的面积为 ．
3．（2023·河北·模拟预测）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中，不断重复上述过程．如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图．
(1)请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近__________（结果精确到），假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为__________；(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个；
(3)在（2）的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在，需要往盒子里再放入多少个白球？
■考点三　概率的相关计算方法
◇典例8：（2023·湖南·统考中考真题）一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．布袋中的球已经搅匀．从布袋中任取1个球，取出红球的概率是 ．
◆变式训练
1．（2023·江苏·校考模拟预测）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．则布袋里红球有 个.
2．（2023·广东深圳·校考模拟预测）在一个不透明的布袋中装有个白球和个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是 ， 则 ．
◇典例9：（2023·山东淄博·统考中考真题）“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·山东·统考中考真题）一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黄球，每个球除颜色外都相同．晓君同学从袋中任意摸出1个球（不放回）后，晓静同学再从袋中任意摸出1个球．两人都摸到红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·河南·统考中考真题）为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（ ）

A． B． C． D．
◇典例10：（2023·湖南常德·统考中考真题）我市“神十五”航天员张陆和他的两位战友已于2023年6月4日回到地球家园，“神十六”的三位航天员已在中国空间站开始值守，空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设“神十六”甲、乙、丙三名航天员从核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均等，现在要从这三名航天员中选2人各进入一个实验舱开展科学实验，则甲、乙两人同时被选中的概率为( )

A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个劳动项目．九年一班和九年二班都通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一个项目，则这两个班级恰好都抽到种花的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，在标有数字1，2，3，4的四宫格里任选两个小方格，则所选方格中数字之和为4的概率是 ．
◇典例11：（2023·江苏·统考中考真题）在张相同的小纸条上，分别写有：①；②；③；④乘法；⑤加法．将这张小纸条做成支签，①、②、③放在不透明的盒子中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子中搅匀．(1)从盒子中任意抽出支签，抽到无理数的概率是______；
(2)先从盒子中任意抽出支签，再从盒子中任意抽出支签，求抽到的个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率．
◆变式训练
1．（2023·江苏盐城·校考二模）盐城地处黄海之滨，市域内海洋滩涂资源丰富，滩涂面积占江苏省滩涂总面积近70%，被誉为“东方湿地之都”．黄海湿地文化是盐城身份认同、文化自信的重要载体，丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬“湿地吉祥三宝”更是世界闻名．为保护与宣传这“三宝”，某校生物兴趣小组设计了3张环保宣传卡片，正面分别绘有丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬图案，除此之外卡片完全相同．

(1)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为_____；(2)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“丹顶鹤”和“勺嘴鹬”的概率．
2．（2023·安徽·模拟预测）甲、乙两人用掷硬币方式进行游戏，已知掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上和反面朝上的可能性相同．(1)若甲投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上则前进一步，反面朝上则后退一步，假设每次步长相同，那么投掷两次后，求甲前进两步的概率；(2)若甲、乙两人相隔两步面对面站立，两人共同投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上则同时前进一步，反面朝上则同时后退一步，互相阻碍则两人原地不动，假设两人步长相同．那么投掷三次硬币后，求甲、乙两人间距离为0的概率．
◇典例12：（2023·广东广州·统考中考真题）甲、乙两位同学相约打乒乓球．(1)有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A，B，C，D），若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；(2)双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？
◆变式训练
1.（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，，两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘上的数字分别是，，5，转盘上的数字分别是6，，4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）．小聪和小明同时转动，两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．(1)转动转盘，转盘指针指向正数的概率是________；(2)若同时转动两个转盘，转盘指针所指的数字记为，转盘指针所指的数字记为，若，则小聪获胜；若，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平．
◇典例13：（2023·安徽·模拟预测）综合与实践
【问题再现】(1)课本中有这样一道概率题：如图1，这是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域和橙色区域的概率分别是多少？请你解答．
【类比设计】(2)在元旦晚会上班长想设计一个摇奖转盘．请你在图2中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为．
【拓展运用】(3)在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为10份，顾客每消费200元转动1次，对准红1份，黄2份、绿3份区域，分别得奖金100元、50元、30元购物券，求转动1次所获购物券的平均数．
◆变式训练
1.（2023·福建·二模）某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，根据摸到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种摸球方案：
摸到的红球数 0 1 2
奖励（单位：元） 5 10 20
方案一：随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球；
方案二：随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．
(1)求方案一中，两次都摸到红球的的概率；(2)请你从平均收益的角度帮助顾客分析，选择哪种摸球方案更有利
2.（2023·广东·统考二模）某著名景区计划在西峰修建安装至多4条索道接送游客，过去10年景区游客统计资料显示，景区每年游客客流量都在160万人以上．过去10年的游客客流量的统计情况绘制成如下频数分布直方图（数据包括左端点，不含右端点，假设每年游客客流量不相互影响）．
以过去10年的游客客流量的统计情况为参考依据．(1)求该景区今年游客客流量不低于240万人的概率；(2)若该景区希望安装的索道尽可能运行，但每年索道最多可运行条数受游客客流量的限制，并有如下表关系：
年游客客流量（单位：万人）
索道最多可运行条数 1 2 3 4
若某条索道运行，则该条索道年利润为6000万元；若某条索道未运行，则该条索道年亏损2000万元，从平均获利的角度看，帮景区作出决策，应选择安装2条还是3条索道获利较多？请说明理由．
1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）下列事件中的必然事件是（ ）
A．地球绕着太阳转 B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．天空出现三个太阳 D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
2．（2023·宁夏·统考中考真题）劳动委员统计了某周全班同学的家庭劳动次数（单位：次），按劳动次数分为4组：，，，，绘制成如图所示的频数分布直方图．从中任选一名同学，则该同学这周家庭劳动次数不足6次的概率是（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·湖南·统考中考真题）“千门万户曈曈日，总把新桃换旧符”．春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费领取一件．礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片(分别写有“福”字、春联、灯笼)的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品．现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么他们恰好领取同一类礼品的概率是( )
A． B． C． D．
4．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图所示的两张图片形状大小完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状大小相同的小图片混合在一起．从四张图片中随机摸取一张，不放回，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（ ）

A． B． C． D．
5．（2023·湖北恩施·统考中考真题）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000
成活的棵数b 84 279 505 847 6337 13581
成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（　　）
A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8
6．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有 个．
7．（2023·山东聊城·统考中考真题）在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字，，0，2，的小球，这些小球除数字外其他完全相同．从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是有理数的概率为 ．
8．（2023·江苏盐城·统考中考真题）随着盐城交通的快速发展，城乡居民出行更加便捷.如图，从甲镇到乙镇有乡村公路和省级公路两条路线；从乙镇到盐城南洋国际机场，有省级公路、高速公路和城市高架三条路线.小华驾车从甲镇到盐城南洋国际机场接人（不考虑其他因素）.
(1)从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为_________．
(2)用列表或画树状图的方法，求小华两段路程都选省级公路的概率．
9．（2023·湖北黄石·统考中考真题）健康医疗大数据蕴藏了丰富的居民健康状况、卫生服务利用等海量信息，是人民健康保障的数据金矿和证据源泉．目前，体质健康测试已成为中学生的必测项目之一．某校某班学生针对该班体质健康测试数据开展调查活动，先收集本班学生八年级的《体质健康标准登记表》，再算出每位学生的最后得分，最后得分记为x，得到下表
成绩 频数 频率
不及格（） 6
及格（） 20%
良好（） 18 40%
优秀（） 12
(1)请求出该班总人数；(2)该班有三名学生的最后得分分别是68，88，91，将他们的成绩随机填入表格□□□，求恰好得到的表格是88，91，68的概率；(3)设该班学生的最后得分落在不及格，及格，良好，优秀范围内的平均分分别为a，b﹐c，d，若，请求出该班全体学生最后得分的平均分，并估计该校八年级学生体质健康状况．
10．（2023·江苏徐州·统考中考真题）甲，乙、丙三人到淮海战役烈士纪念塔园林游览，若每人分别从纪念塔、纪念馆这两个景点中选择一个参观，且选择每个景点的机会相等，则三人选择相同景点的概率为多少？
11．（2023·福建·统考中考真题）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．(1)求该顾客首次摸球中奖的概率；(2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由
1．（2023·安徽芜湖·统考二模）如图，电路图上有4个开关和1个小灯泡，在所有的元件和线路都正常的前提下．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关
2．（2023·广东湛江·校联考三模）下列说法中错误的是（　 ）
A．掷一枚普通的正六面体骰子，出现向上一面点数是的概率是
B．从装有个红球的袋子中，摸出个白球是不可能事件
C．任意抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等
D．某种彩票的中奖率为，买张彩票一定有张中奖
3．（2023·河南周口·校联考模拟预测）豫剧，又叫河南梆子、河南讴、土梆子等，是发源于河南省的一个戏曲剧种．如图，豫剧爱好者小华购买了《豫剧》特种邮票1套3枚，第1枚《花木兰》，第2枚《七品芝麻官》，第3枚《朝阳沟》，并计划把其中的两枚送给好朋友乐乐和妙妙．小华将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），先让乐乐从中随机抽取一枚（不放回），再让妙妙从中随机抽取一枚，则妙妙抽到第三枚《朝阳沟》的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东青岛·统考模拟预测）学校通过以下方式抽取部分同学免费参加活动：在一个装有6个红球和若干白球（每个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得“民间美术展”活动门票一张，已知参加抽取活动的同学共有人，“民间美术展”活动门票张，则白球的数量是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．（2023·河南濮阳·统考三模）在“河南美食简介”竞答活动中，第一题组共设置“河南烩面”“胡辣汤”“洛阳酸浆面条”“开封双麻火烧”四种美食，参赛的甲、乙二人从以上四种美食中随机选取一个进行简介，则两人恰好选中同一种美食的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·北京海淀·校考模拟预测）（多选题）罚球是篮球比赛中得分的一个组成部分，罚球命中率的高低对篮球比赛的结果影响很大．下图是对某球员罚球训练时命中情况的统计：
下面推断中合理的是（ ）
A．当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以“罚球命中”的概率是
B．随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是
C．由于该球员“罚球命中”的频率的平均值是，所以“罚球命中”的概率是
D．若让该球员再进行1000次的罚球训练，命中的个数可能会超过812次

7．（2023·广东河源·统考一模）现在从“，0，1，3”四个数中任选两个数作为一次函数的系数k，b，则一次函数的图象经过一、二、四象限的概率为 ．
8．（2023·江苏盐城·校考二模）《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想，现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r，正方形的边长为，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率为P，则圆周率π的值为 （用所给字母表示．）
9．（2023·安徽·模拟预测）一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共个，它们除颜色外，其他都相同．李明将球搅匀后从箱子中随机摸出个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验．多次实验结果如表．
摸球次数
白球频率
(1)当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于______（精确到）左右，从箱子中摸一次球，估计摸到蓝球的概率是______．(2)从该箱子里随机摸出个球，不放回，再摸出个球．用列举法求摸到个蓝球、个白球的概率．
10．（2023·河北唐山·统考二模）有四个完全相同的小球，分别标注，，1，3这四个数字．把标注后的小球放入不透明的口袋中，从中随机拿出两个小球，所标数字和的绝对值为k的概率记作（如：是任取两个数，其和的绝对值为3的概率）。(1)用列表法求；(2)张亮认为：的所有取值的众数大于它们的平均数，你认为张亮的想法正确吗？请通过计算说明；(3)能否找到概率，，（），使．若能找到，请举例说明；若不能找到，请说明理由．
11．（2023·山西·山西大附中校考一模）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择：
方案一：是直接获得20元的礼金券；
方案二：是得到一次摇奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少．
指针指向 两红 一红一蓝 两蓝
礼金券（元） 18 9 18
(1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率．(2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠．
1．（2023·广东肇庆·统考三模）暑假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有（　　）
A．40 B．45 C．50 D．55
2．（2023·湖北省直辖县级单位·校联考模拟预测）动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是 ．
3．（2024·福建·一模）如图，在平行四边形纸板中，点分别为的中点，连接．将一飞镖随机投掷到平行四边形纸板上，则飞镖落在阴影部分的概率为 ．

4．（2022·广东佛山·统考模拟预测）某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数
落在“铅笔”的次数
落在“铅笔”的频率
(1)转动该转盘一次，获得一瓶饮料的概率约为_______；（结果保留小数点后一位）
(2)经统计该商场每天约有名顾客参加抽奖活动，一瓶饮料和一支铅笔单价和为元，支出的铅笔和饮料的奖品总费用是元，请计算该商场每支铅笔和每瓶饮料的费用；
(3)在（）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为______度．
5．（2023·江苏宿迁·模拟预测）在物理实验中，当电流在一定时间段内正常通过电子元件时，每个电子元件的状态有两种可能：通电或断开，并且这两种的可能性相等．
(1)如图1，当只有一个电子元件时，A、B之间的电流通过概率是___________；
(2)如图2，当有两个电子元件a、b串联时，请用树状图（或列表格）表示图中A、B之间的电流能否通过的所有可能情况，求出A、B之间的电流通过的概率；
(3)如图3，当有三个电子元件串联时，猜想A，B之间电流通过的概率是___________．
6.（2023·福建福州·校考模拟预测）福州第十九中学每年的校园科学文化艺术节中的“爱心义卖会”活动，是学校同学们表现爱心的重要活动，在2021年的义卖会上，九年某班的同学设计了一个“爱心盲盒大抽奖”的活动，其规则如下：通过购买爱心小盲盒，每个爱心小盲盒3元，根据小盲盒内事先藏好的数字，可以进行兑奖，而每一位参与活动的同学都有4个小盲盒可以选择，其中一个小盲盒藏有数字4，可以兑换4元，有一个小盲盒藏有数字2，可以兑换2元，剩余的两个小盲盒藏有数字1，可以兑换1元，每位同学最多只能买2个小盲盒．
(1)张同学购买了两个小盲盒，用列表法或树状图的方法求出求他购买的第1个小盲盒里藏有数字4的概率：______；(2)李同学手上有7元，请用概率统计的知识说明，从李同学最终在手上的钱的平均值为依据，她是买一个小盲盒好，还是两个小盲盒好．
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第七章 统计与概率
第二节 概率
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 概率的相关概念 ☆☆ 概率问题在中考数学中的考察难度在中档以下，年年都会考查，是广大考生的得分点，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将出现。该专题考题的类型也比较的固定，单独考查时，通常作为选择或者填空题，考概率的基本定义和简单计算、频率估计概率等。综合考查时会和统计图表类问题结合，作为最后一问，考查概率的树状图或者列表分析。因为整体难度较小，属于中考数学中必拿分点，审题时要多加注意即可。
考点2 频率与概率 ☆☆
考点3 概率的相关计算 ☆☆☆
■考点一　概率的相关概念
1）确定事件与随机事件
定义 事件发生的概率
确定事件 必然
事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件。 P(必然事件)=1
不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。 P(不可能事件)=0
不确定事件（随机事件） 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件（又叫随机事件）。 0＜P(随机事件)＜1
2）概率的定义及计算公式
概率的定义：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，记为P(A)。
概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数，它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小。
■考点二　频率与概率
1）利用频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。
2）适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率．
3）方法：进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率．
■考点三　概率的相关计算方法
1）概率的计算方法：
（1）概率公式： P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数。
（2）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率。
（3）树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率。
2）概率的应用：概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象做出评判，如解释摸奖、评判游戏活动的公平性、数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件做出决策。
■易错提示
1. 当一次试验要涉及两个因素或一个因素做两次试验并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常可以采用列表法，也可以用树状图法. 当试验包含三步或三步以上时，不能用列表法，用画树状图法比较方便。
2. 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，且随实验次数的增多，值越来越精确。
■考点一　概率的相关概念
◇典例1：（2023·湖北襄阳·统考中考真题）襄阳气象台发布的天气预报显示，明天襄阳某地下雨的可能性是，则“明天襄阳某地下雨”这一事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
【答案】C
【分析】随机事件（不确定事件）：无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件，称它们为不确定事件或随机事件；不可能事件：称那些在每一次实验中都一定不会发生的事件为不可能事件．
【详解】解：明天襄阳某地下雨这一事件是随机事件，故选：C．
【点睛】本题主要考查随机事件，熟记必然事件、随机事件、不可能事件的概念是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·辽宁营口·统考中考真题）下列事件是必然事件的是（ ）
A．四边形内角和是360° B．校园排球比赛，九年一班获得冠军
C．掷一枚硬币时，正面朝上 D．打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况
【答案】A
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、四边形内角和是360°是必然事件，故此选项符合题意；
B、校园排球比赛，九年一班获得冠军是随机事件，故此选项不符合题意；
C、掷一枚硬币时，正面朝上是随机事件，故此选项不符合题意；
D、打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况是随机事件，故此选项不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．（2023·浙江·统考一模）下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．明天太阳从东方升起 B．平面内不共线的三点确定一个圆
C．任意画一个三角形，其内角和是 D．经过有交通信号的路口时遇见红灯
【答案】D
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、明天太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意；
B、平面内不共线的三点确定一个圆，是必然事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是540°，是不可能事件，不符合题意；
D、经过有交通信号灯的路口时遇到红灯，是随机事件，符合题意；故选：D．
◇典例2：（2023·河北·统考中考真题）1有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上．若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据概率计算公式分别求出四种花色的概率即可得到答案．
【详解】解：∵一共有7张扑克牌，每张牌被抽到的概率相同，其中黑桃牌有1张，红桃牌有3张，梅花牌有1张，方片牌有2张，
∴抽到的花色是黑桃的概率为，抽到的花色是红桃的概率为，抽到的花色是梅花的概率为，抽到的花色是方片的概率为，∴抽到的花色可能性最大的是红桃，故选B．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，正确求出每种花色的概率是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·贵州·统考中考真题）在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（ ）
A．摸出“北斗”小球的可能性最大 B．摸出“天眼”小球的可能性最大
C．摸出“高铁”小球的可能性最大 D．摸出三种小球的可能性相同
【答案】C
【分析】根据概率公式计算摸出三种小球的概率，即可得出答案．
【详解】解：盒中小球总量为：（个），摸出“北斗”小球的概率为：，
摸出“天眼”小球的概率为：，摸出“高铁”小球的概率为：，
因此摸出“高铁”小球的可能性最大．故选C．
【点睛】本题考查判断事件发生可能性的大小，掌握概率公式是解题的关键．
2．（2023·广东云浮·统考二模）在不透明的袋子里装有个红球、个白球、个黑球，它们除颜色外都相同，从袋子中任意摸出个球．下列判断正确的是（ ）
甲：摸到红球比摸到白球的可能性小；乙：摸到红球和摸到黑球的可能性相同
A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对
【答案】C
【分析】根据个数最多的就得到可能性最大分别分析即可．
【详解】解：依题意，个红球、个白球、个黑球，白球的个数最多，
∴摸到红球比摸到白球的可能性小，故甲正确；
摸到红球和摸到黑球的可能性相同，故乙正确；故选：C．
【点睛】此题主要考查了随机事件以及可能性大小，利用可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等得出是解题关键．
◇典例3：（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）将枚黑棋子5枚白棋子装入一个不透明的空盒子里，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒子中随机取出一枚棋子，则取出的棋子是黑棋子的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取出的棋子是黑棋子的概率：，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：取出的棋子是黑棋子的概率为： 故选：D
【点睛】本题考查概率的计算．熟记概率公式是解题关键．
◆变式训练
1．（2023·广东佛山·校考一模）在一个不透明的口袋中，装有3个黄球和4个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了根据公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：从中任意摸出一个球，摸到白球的概率．故选：C．
2．（2023·浙江·统考中考真题）现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 ．

【答案】
【分析】根据概率公式即可求解．
【详解】将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是。故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
◇典例4：（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为（ ）

A． B． C． D．无法判断
【答案】B
【分析】根据题意可得阴影部分面积等于正方形面积的一半，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接交于O，
由题意得，分别是正方形四条边的中点，∴点O为正方形的中心，∴，

根据题意，可得扇形的面积等于扇形的面积，∴，
∴阴影部分面积等于空白部分面积，即阴影部分面积等于正方形面积的一半∴，故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形面积，几何概率，得出阴影部分面积等于正方形面积的一半是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·江苏·统考中考真题）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形的面积相等．任意投掷飞镖1次且击中游戏板，则击中阴影部分的概率是 ．
【答案】
【分析】根据几何概率的求解公式即可求解．
【详解】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为5个小正方形的面积，
∴击中阴影部分的概率是，故答案为：．
【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知几何概率的公式．
2．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图平行四边形中，E为的中点，交与点O，若随机向平行四边形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为 ．

【答案】
【分析】根据平行四边形的性质得到，推出，证得，整理得到，由，得到，即可得到米粒落在图中阴影部分的概率．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，
∴，∴，∴，即
∵，∴，
∴，即米粒落在图中阴影部分的概率为，故答案为：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，求几何概率，正确掌握各图形的判定和性质定理是解题的关键．
■考点二　频率与概率
◇典例5：（2023·江苏泰州·统考中考真题）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（ ）
A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化
C．试验次数越多，f越接近于P D．当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定
【答案】D
【分析】根据频率的稳定性解答即可．
【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性．故选：D．
【点睛】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键．
◆变式训练
1.（2023·江西抚州·统考一模）以下说法合理的是（ ）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
【答案】D
【分析】直接利用概率的意义分别分析得出答案．
【详解】解：A、小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是是错误的，3次试验不能总结出概率，故选项A错误，不符合题意；B、某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，故选项B错误，不符合题意；
C、某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，故选项C错误，不符合题意；
D、小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的可能性是，故选项D正确，符合题意．故选：D．
【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．
2.（2023·福建厦门·统考模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．为了解某品牌的日光灯寿命，适宜采取全面调查方式
B．某彩票的中奖机会是，买100张一定会中奖
C．抛一枚硬币正面朝上的概率为，则抛一枚硬币有的可能出现正面朝上
D．“若a是实数，则”是必然事件
【答案】C
【分析】根据抽样调查和全面调查的定义、等可能事件及必然事件的定义逐一判断即可求解．
【详解】解：A、为了解某品牌的日光灯寿命，适宜采取抽样调查方式，则说法错误，故A选项不符合题意；B、某彩票的中奖机会是，买100张一定会中奖，说法错误，故B选项不符合题意；
C、抛一枚硬币正面朝上的概率为，则抛一枚硬币有的可能出现正面朝上，说法正确，故C选项符合题意；D、“若a是实数，则”是必然事件，则说法错误，故D选项不符合题意，故选C．
【点睛】本题考查抽样调查和全面调查的定义、随机事件及概率，熟练掌握其基础知识是解题的关键．
◇典例6：（2023·甘肃·统考中考真题）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2850
盖面朝上频率
下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；
②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．
其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①③
【分析】根据表中数据及频率估计概率依次判断即可．
【详解】解：①通过上述实验的结果，发现盖面朝上的次数多与累计次数的一半，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确；
②实验是随机的，第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故正确．故答案为：①③．
【点睛】本题考查频率估计概率，结合表中数据求解是解题关键．
◆变式训练
1．（2024·辽宁抚顺·统考二模）某种麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示：
试验的麦粒数
发芽的麦粒数
发芽的频率
则任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率约为 ．（结果精确到）
【答案】
【分析】本题考查用频率估计概率，读懂表格是关键．根据表格即可求解．
【详解】解：由表格可得：随着实验麦粒数的增加，其发芽的频率稳定在左右，
任取一粒麦粒，它能发芽的概率约为，故答案为：．
2．（2023·福建厦门·校考模拟预测）春节假期欧亚商场为了吸引顾客，举行有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次摸奖的机会．不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，如果摸到红色小球则有机会以优惠价1.88元购买“大福字”一个．如图显示了活动第一天开展上述摸球活动的获奖的结果．李老师在活动第二天去购物，刚好消费了100元，推测李老师能以优惠价购买“大福字”的概率为 ．
【答案】0.35
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率．随着摸球次数的增加，“摸到红球”的频率逐渐稳定于0.35，据此利用频率估计概率即可．
【详解】解：由题意知，随着摸球次数的增加，“摸到红球”的频率逐渐稳定于0.35，
所以推测李老师能以优惠价购买“大福字”的概率为0.35，故答案为：0.35．
◇典例7：（2023·辽宁锦州·统考中考真题）一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为 ．
【答案】
【分析】设袋子中红球有个，根据摸到黑球的频率稳定在左右，可列出关于的方程，求出的值，从而得出结果．
【详解】解：设袋子中红球有个，根据题意，得,
∴盒子中红球的个数约为，故答案为：
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握求概率公式是解此题的关键．
◆变式训练
1．（2023·山东青岛·统考一模）在一个不透明的盒子中装有a个黑白颜色的球，小明又放入了4个红球，这些球大小相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则a的值大约为（ ）
A．10 B．16 C．25 D．30
【答案】B
【分析】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】解：由题意可得，，解得，，
经检验：是原分式方程的解，所以，故选：B．
2.（2023·四川广安·统考一模）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．如图是一个面积为6的正方形二维码，为了估计黑色阴影部分的面积，小张在二维码内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定在0.6附近，则可估计该二维码中黑色阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了频率估计概率，由，即可求解；理解频率与概率之间的关系，掌握解法是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，解得：，故答案为：．
3．（2023·河北·模拟预测）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中，不断重复上述过程．如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图．
(1)请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近__________（结果精确到），假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为__________；(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个；
(3)在（2）的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在，需要往盒子里再放入多少个白球？
【答案】(1)，(2)估算盒子里白、黑两种颜色的球各有个(3)个
【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，分式方程的应用．熟练掌握用频率估计概率，已知概率求数量，分式方程的应用是解题的关键．（1）根据用频率估计概率求解作答即可；
（2）由题意知，盒子里白颜色的球有（个），则黑颜色的球有（个）；
（3）设需要往盒子里再放入个白球，依题意得，，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：由统计图可知，当n足够大时，摸到白球的频率将会接近，假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为，故答案为：，；
（2）解：由题意知，盒子里白颜色的球有（个），黑颜色的球有（个）；
∴估算盒子里白、黑两种颜色的球各有个；
（3）解：设需要往盒子里再放入个白球，
依题意得，，，解得，，
经检验，是原分式方程的解，∴需要往盒子里再放入个白球．
■考点三　概率的相关计算方法
◇典例8：（2023·湖南·统考中考真题）一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．布袋中的球已经搅匀．从布袋中任取1个球，取出红球的概率是 ．
【答案】/0.25
【分析】根据公式计算即可．
【详解】∵一个布袋中放着3个红球和9个黑球，∴取出红球的概率是，故答案为：．
【点睛】本题考查了根据概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·江苏·校考模拟预测）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．则布袋里红球有 个.
【答案】1
【分析】设布袋里红球有x个，根据白球的概率列方程求解可得．
【详解】解：设布袋里红球有x个，
由题意得：，解得：，经检验是原方程的解．
∴布袋里红球有1个，故答案为：1．
【点睛】本题考查根据概率求球的个数，认真读懂题意是关键．
2．（2023·广东深圳·校考模拟预测）在一个不透明的布袋中装有个白球和个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是 ， 则 ．
【答案】9
【分析】根据概率公式列出方程求解即可．
【详解】∵在一个不透明的布袋中装有个白球和个黄球，
∴共有个球，其中黄球n个，
根据概率公式知：，解得，
经检验，是原方程的根，方程的解为：，故答案为：9．
【点睛】此题考查概率公式和分式方程，解题关键在于根据概率公式列出方程．
◇典例9：（2023·山东淄博·统考中考真题）“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场所的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场所的结果数为3，
∴明明和亮亮两人恰好选择同一场馆的概率,故选：B．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
◆变式训练
1．（2023·山东·统考中考真题）一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黄球，每个球除颜色外都相同．晓君同学从袋中任意摸出1个球（不放回）后，晓静同学再从袋中任意摸出1个球．两人都摸到红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两人都摸到红球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意画树状图如下：

由树状图知，共有20种等可能的情况数，其中两人都摸到红球的有2种，
则两人都摸到红球的概率是．故选：A．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2．（2023·河南·统考中考真题）为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先画树状图，再根据概率公式计算即可．
【详解】设三部影片依次为A、B、C，根据题意，画树状图如下：
故相同的概率为．故选B．
【点睛】本题考查了画树状图法计算概率，熟练掌握画树状图法是解题的关键．
◇典例10：（2023·湖南常德·统考中考真题）我市“神十五”航天员张陆和他的两位战友已于2023年6月4日回到地球家园，“神十六”的三位航天员已在中国空间站开始值守，空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设“神十六”甲、乙、丙三名航天员从核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均等，现在要从这三名航天员中选2人各进入一个实验舱开展科学实验，则甲、乙两人同时被选中的概率为( )

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用列表法表示出所有等可能得结果，然后利用概率公式求解即可．
【详解】
甲 乙 丙
甲 （乙，甲） （丙，甲）
乙 （甲，乙） （丙，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙）
有表格可得，一共有6种等可能得结果，其中甲、乙两人同时被选中的结果有2种，
∴甲、乙两人同时被选中的概率为．故选：B．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
◆变式训练
1．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个劳动项目．九年一班和九年二班都通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一个项目，则这两个班级恰好都抽到种花的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据列表法求概率即可求解．
【详解】解：设分别表示植树、种花、除草三个劳动项目，列表如下，
共有9种等可能结果，符合题意得出有1种，∴这两个班级恰好都抽到种花的概率是，故选：D．
【点睛】本题考查了列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
2．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，在标有数字1，2，3，4的四宫格里任选两个小方格，则所选方格中数字之和为4的概率是 ．
【答案】
【分析】利用列表法求概率即可．
【详解】解：列表如下：
1 2 3 4
1 3 4 5
2 3 5 6
3 4 5 7
4 5 6 7
共有12种等可能的结果，其中和为4有2种等可能的结果，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查列表法求概率．熟练掌握列表法，是解题的关键．
◇典例11：（2023·江苏·统考中考真题）在张相同的小纸条上，分别写有：①；②；③；④乘法；⑤加法．将这张小纸条做成支签，①、②、③放在不透明的盒子中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子中搅匀．(1)从盒子中任意抽出支签，抽到无理数的概率是______；
(2)先从盒子中任意抽出支签，再从盒子中任意抽出支签，求抽到的个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先判断盒子中无理数的个数，再根据概率公式进行计算即可；（2）据题意画出所有的组合情况，再计算出对应的运算结果，得到运算结果是无理数的个数，再据概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，故和均为无理数，
故盒子中任意抽出支签，抽到无理数的概率是．故答案为：．
（2）解：树状图画出所有情况为：
即抽签的组合有种，分别为：
组合情况 运算结果 运算结果是否是无理数
第一种组合 ，，乘法 否
第二种组合 ，，加法 是
第三种组合 ，，乘法 是
第四种组合 ，，加法 是
第五种组合 ，，乘法 否
第六种组合 ，，加法 是
第七种组合 ，，乘法 是
第八种组合 ，，加法 是
第九种组合 ，，乘法 是
第十种组合 ，，加法 是
第十一种组合 ，，乘法； 是
第十二种组合 ，，加法 是
对应的组合运算结果共个，其中运算结果为无理数的有个，
故抽到的个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率为．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图求概率，无理数的定义等，解题的关键是求所有情况下运算的结果，判断结果是无理数的个数．
◆变式训练
1．（2023·江苏盐城·校考二模）盐城地处黄海之滨，市域内海洋滩涂资源丰富，滩涂面积占江苏省滩涂总面积近70%，被誉为“东方湿地之都”．黄海湿地文化是盐城身份认同、文化自信的重要载体，丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬“湿地吉祥三宝”更是世界闻名．为保护与宣传这“三宝”，某校生物兴趣小组设计了3张环保宣传卡片，正面分别绘有丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬图案，除此之外卡片完全相同．

(1)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为_____；(2)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“丹顶鹤”和“勺嘴鹬”的概率．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用概率公式可直接得出答案；（2）利用列表或画树状图的方法表示出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，利用概率公式求解．
【详解】（1）解：由题意知，恰好是“麋鹿”的概率为，故答案为：；
（2）解：画树状图如下：

由图可知，共有6种等可能的情况，其中恰好是“丹顶鹤”和“勺嘴鹬”的情况有2种，，
因此抽取的卡片正面图案恰好是“丹顶鹤”和“勺嘴鹬”的概率是．
【点睛】本题考查列表或画树状图法求概率，解题的关键是通过列表或画树状图表示出所有等可能的情况，做到不重复、不遗漏．
2．（2023·安徽·模拟预测）甲、乙两人用掷硬币方式进行游戏，已知掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上和反面朝上的可能性相同．(1)若甲投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上则前进一步，反面朝上则后退一步，假设每次步长相同，那么投掷两次后，求甲前进两步的概率；(2)若甲、乙两人相隔两步面对面站立，两人共同投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上则同时前进一步，反面朝上则同时后退一步，互相阻碍则两人原地不动，假设两人步长相同．那么投掷三次硬币后，求甲、乙两人间距离为0的概率．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了概率的应用，掌握概率的计算公式以及树状图或列表法是解题关键．
（1）列举出甲两次投硬币的所有可能结果，即可求解；
（2）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得甲两次投硬币的结果有4种，每种结果发生的可能性相同，
分别为（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）．
其中甲前进两步的结果是（正，正），只有1种，甲前进两步的概率为．
（2）解：根据题意可画树状图如下：

由图可知共有8种等可能的情况，其中甲、乙两人间距离为0的情形有3种，
甲、乙两人间距离为0的概率为．
◇典例12：（2023·广东广州·统考中考真题）甲、乙两位同学相约打乒乓球．(1)有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A，B，C，D），若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；(2)双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？
【答案】(1)(2)公平．理由见解析
【分析】（1）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，再用乙选中球拍C的结果数除以总的结果数即可；（2）分别求出甲先发球和乙先发球的概率，再比较大小，如果概率相同则公平，否则不公平．
【详解】（1）解：画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果，∴乙选中球拍C的概率；
（2）解：公平．理由如下：画树状图如下：
一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，
∴甲先发球的概率，乙先发球的概率，∵，∴这个约定公平．
【点睛】本题考查列表法或画树状图法求等可能事件的概率，游戏的公平性，掌握列表法或画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，，两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘上的数字分别是，，5，转盘上的数字分别是6，，4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）．小聪和小明同时转动，两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．(1)转动转盘，转盘指针指向正数的概率是________；(2)若同时转动两个转盘，转盘指针所指的数字记为，转盘指针所指的数字记为，若，则小聪获胜；若，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平．
【答案】(1)(2)这个游戏公平，理由见解析
【分析】（1）转盘指针指向正数的概率，据此即可求解；（2）通过列表找出事件的所有等可能结果，分别计算小明获胜的概率、小聪获胜的概率即可进行判断．
【详解】（1）解：∵为正数 ∴转盘指针指向正数的概率为：
（2）解：列表得：
6
4
一共有9种等可能的结果
其中的有4种、、、；
其中的有4种、、、
∴（小聪获胜）；（小明获胜） （小聪获胜）（小明获胜） ∴这个游戏公平
【点睛】本题考查了概率的应用．熟记概率的计算公式以及列表法（或树状图）是解题关键．
◇典例13：（2023·安徽·模拟预测）综合与实践
【问题再现】(1)课本中有这样一道概率题：如图1，这是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域和橙色区域的概率分别是多少？请你解答．
【类比设计】(2)在元旦晚会上班长想设计一个摇奖转盘．请你在图2中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为．
【拓展运用】(3)在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为10份，顾客每消费200元转动1次，对准红1份，黄2份、绿3份区域，分别得奖金100元、50元、30元购物券，求转动1次所获购物券的平均数．
【答案】(1)P（蓝色区域），P（橙色区域）(2)见解析(3)29元
【分析】（1）根据概率公式进行计算即可；（2）将转盘均分成份，根据概率求出各种颜色所占份数，即可得解；（3）利用对准红、黄、绿的概率乘以各自对应的钱数，即可得解．
【详解】（1）解：根据几何概率的意义可知，P（蓝色区域），P（橙色区域）．
（2）解：根据题意，将转盘均分成份，
则：红色占：份；白色占：份；黄色占：份；如图所示：（答案不唯一）；
（3）解：由题意，得：转动1次的平均数为（元）；
答：转动1次所获购物券的平均数是29元．
【点睛】本题考查概率的应用，以及计算加权平均数．熟练掌握概率公式，以及加权平均数的计算方法，是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023·福建·二模）某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，根据摸到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种摸球方案：
摸到的红球数 0 1 2
奖励（单位：元） 5 10 20
方案一：随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球；
方案二：随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．
(1)求方案一中，两次都摸到红球的的概率；(2)请你从平均收益的角度帮助顾客分析，选择哪种摸球方案更有利
【答案】(1)(2)从平均收益的角度看，顾客选择方案二更有利
【分析】（1）通过列表的形式表示出所有等可能的结果，再用概率公式求解即可．
（2）分别计算方案一和方案二的平均收益，再进行比较后选择即可．
【详解】（1）解：对于方案一，列表如下．
由上表可知，共有20种等可能的结果，两次都摸到红球的结果数是2．
故采用方案一摸球，两次都摸到红球的概率为．
（2）解：由（1）中表可知，采用方案一，两次都摸到红球的概率为，摸到一次红球的概率为，没有摸到红球的概率为．平均收益为元．
对于方案二，列表如下．
由上表可知，共有25种等可能的结果，两次摸到红球的结果数是4，摸到一次红球的结果数是12，没有摸到红球的结果数是9．
所以两次都摸到红球的概率为，摸到一次红球的概率为，没有摸到红球的概率为．
平均收益为元．
∵，∴从平均收益的角度看，顾客选择方案二更有利．
【点睛】本题考查列表法求概率，概率的实际应用，熟练掌握这些知识点是解题关键．
2.（2023·广东·统考二模）某著名景区计划在西峰修建安装至多4条索道接送游客，过去10年景区游客统计资料显示，景区每年游客客流量都在160万人以上．过去10年的游客客流量的统计情况绘制成如下频数分布直方图（数据包括左端点，不含右端点，假设每年游客客流量不相互影响）．
以过去10年的游客客流量的统计情况为参考依据．(1)求该景区今年游客客流量不低于240万人的概率；(2)若该景区希望安装的索道尽可能运行，但每年索道最多可运行条数受游客客流量的限制，并有如下表关系：
年游客客流量（单位：万人）
索道最多可运行条数 1 2 3 4
若某条索道运行，则该条索道年利润为6000万元；若某条索道未运行，则该条索道年亏损2000万元，从平均获利的角度看，帮景区作出决策，应选择安装2条还是3条索道获利较多？请说明理由．
【答案】(1)(2)选择2条索道，理由见解析
【分析】（1）以过去10年游客流量不低于240万的比率作为今年的概率；（2）计算出不同游客流量出现的概率，再分别计算两种方案下各种游客流量概率下的平均获利进行比较．
【详解】（1）该景区地过去10年游客客流量不低于240万人的年数为（年），
占总年数的比率为，因此该景区今年游客客流量不低于240万人的概率为；
（2）根据题意，年游客客流量在的概率为，此时可维持1条索道运行；
年游客客流量在的概率为，此时可维持2条索道运行；
年游客客流量在的概率为，此时可维持3条索道运行；
年游客客流量在的概率为，此时可维持4条索道运行；
若安装2条索道，则平均获利为（万元），
若安装3条索道，则平均获利为（万元），
∵，∴选择安装2条索道获利较多．
【点睛】本题考查概率的应用，熟练掌握概率相关知识灵活运用是解题关键．
1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）下列事件中的必然事件是（ ）
A．地球绕着太阳转 B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．天空出现三个太阳 D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
【答案】A
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．
【详解】解∶ A、地球绕着太阳转是必然事件，故A正确；
B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故B错误；
C、天空出现三个太阳是不可能事件，故C错误；
D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故D错误；故选∶ A．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．（2023·宁夏·统考中考真题）劳动委员统计了某周全班同学的家庭劳动次数（单位：次），按劳动次数分为4组：，，，，绘制成如图所示的频数分布直方图．从中任选一名同学，则该同学这周家庭劳动次数不足6次的概率是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：；故选A．
【点睛】本题考查直方图，求概率．解题的关键是从直方图中有效的获取信息．
3．（2023·湖南·统考中考真题）“千门万户曈曈日，总把新桃换旧符”．春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费领取一件．礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片(分别写有“福”字、春联、灯笼)的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品．现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么他们恰好领取同一类礼品的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别用表示写有“福”字、春联、灯笼的三张卡片，利用列表法求出概率即可．
【详解】解：分别用A，B，C表示写有“福”字、春联、灯笼的三张卡片，列表如下：
A B C
A A，A A，B A，C
B B，A B，B B，C
C C，A C，B C，C
共有9中等可能的结果，其中他们恰好领取同一类礼品有种等可能的结果，∴；故选C．
【点睛】本题考查列表法求概率，解题的关键是正确的列出表格．
4．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图所示的两张图片形状大小完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状大小相同的小图片混合在一起．从四张图片中随机摸取一张，不放回，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】四张形状相同的小图片分别用、、、表示，其中和合成一张完整图片，和合成一张完整图片，用列表法或画树状图法可展示所有12种等可能的结果，再找出两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】解：四张形状相同的小图片分别用、、、表示，其中和合成一张完整图片，和合成一张完整图片，画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数为4，
所以两张小图片恰好合成一张完整图片的概率．故选：B．
【点睛】本题考查列表法与树状图法：掌握列表法或画树状图求等可能事件概率的方法是解题的关键．
5．（2023·湖北恩施·统考中考真题）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000
成活的棵数b 84 279 505 847 6337 13581
成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（　　）
A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8
【答案】C
【分析】利用表格中数据估算这种树苗移植成活率的概率即可得出答案．
【详解】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.905，
∴银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9，故选：C．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率．
6．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有 个．
【答案】
【分析】利用频率估计随机摸出1个球是红球的概率为，根据概率公式即可求出答案．
【详解】解：设红球有个，则， 答：红球的个数约为个．故答案为：．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的红球个数．
7．（2023·山东聊城·统考中考真题）在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字，，0，2，的小球，这些小球除数字外其他完全相同．从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是有理数的概率为 ．
【答案】/
【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意列表如下：
0 2
0
0
0 0 0 0 0
2 0
0
共有20种等可能出现的结果，两球上的数字之积恰好是有理数的有8种，
两球上的数字之积恰好是有理数的概率为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
8．（2023·江苏盐城·统考中考真题）随着盐城交通的快速发展，城乡居民出行更加便捷.如图，从甲镇到乙镇有乡村公路和省级公路两条路线；从乙镇到盐城南洋国际机场，有省级公路、高速公路和城市高架三条路线.小华驾车从甲镇到盐城南洋国际机场接人（不考虑其他因素）.
(1)从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为_________．
(2)用列表或画树状图的方法，求小华两段路程都选省级公路的概率．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据概率公式计算即可；（2）列表表示出所有的可能性，再根据概率公式计算即可．
【详解】（1）从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为，故答案为：．
（2）列表如下：
C D E
A AC AD AE
B BC BD BE
共有6种等可能的结果，其中两段路程都选省级公路只有，共1种，
∴小华两段路程都选省级公路的概率．
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
9．（2023·湖北黄石·统考中考真题）健康医疗大数据蕴藏了丰富的居民健康状况、卫生服务利用等海量信息，是人民健康保障的数据金矿和证据源泉．目前，体质健康测试已成为中学生的必测项目之一．某校某班学生针对该班体质健康测试数据开展调查活动，先收集本班学生八年级的《体质健康标准登记表》，再算出每位学生的最后得分，最后得分记为x，得到下表
成绩 频数 频率
不及格（） 6
及格（） 20%
良好（） 18 40%
优秀（） 12
(1)请求出该班总人数；(2)该班有三名学生的最后得分分别是68，88，91，将他们的成绩随机填入表格□□□，求恰好得到的表格是88，91，68的概率；(3)设该班学生的最后得分落在不及格，及格，良好，优秀范围内的平均分分别为a，b﹐c，d，若，请求出该班全体学生最后得分的平均分，并估计该校八年级学生体质健康状况．
【答案】(1)45人(2)(3)85分，良好
【分析】（1）用成绩为良好的频数除以所占的频率求解即可；（2）利用列举法列举出所有的可能结果，再利用概率公式求解即可；（3）先利用a，b﹐c，d表示出班级全体学生的总数，再结合已知求得该班全体学生最后得分的平均分即可解决问题．
【详解】（1）解：（人），答：该班总人数为45人；
（2）解：将68，88，91随机排列，得68，88，91；68，91，88；88，68，91；88，91，68；91，68，88；91，88，68，共6种等可能的结果，其中恰好得到的表格是88 ，91 ，68的有1种，
∴恰好得到的表格是88，91，68的概率为；
（3）解：由题知，抽查班级的学生中，成绩不及格，及格，良好，优秀的人数分别是6，9，18，12，又该班学生的最后得分落在不及格，及格，良好，优秀范围内的平均分分别为a，b，c，d，
所以该班学生成绩的总分为：，
又，所以，
则该班全体学生最后得分的平均分为：(分)，所以该校八年级学生体质健康状况是良好．
【点睛】本题考查用列举法求事件的概率、加权平均数及以样本估测总体，能根据表格中的数据得出抽取的样本容量是解题的关键．
10．（2023·江苏徐州·统考中考真题）甲，乙、丙三人到淮海战役烈士纪念塔园林游览，若每人分别从纪念塔、纪念馆这两个景点中选择一个参观，且选择每个景点的机会相等，则三人选择相同景点的概率为多少？
【答案】
【分析】根据树状图可进行求解概率．
【详解】解：由题意可得如下树状图：

∴甲、乙、丙三人分别从纪念塔、纪念馆这两个景点中选择一个参观，则共有8种情况，其中三人选择相同景点参观共有2种，所以三人选择相同景点的概率为．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．
11．（2023·福建·统考中考真题）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．(1)求该顾客首次摸球中奖的概率；(2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由
【答案】(1)(2)应往袋中加入黄球，见解析
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）据列表法求分别求得加入黄球和红球的概率即可求解．
【详解】（1）解：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果．
记“首次摸得红球”为事件，则事件发生的结果只有1种，
所以，所以顾客首次摸球中奖的概率为．
（2）他应往袋中加入黄球．理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
第二球 第一球 红 黄① 黄② 黄③ 新
红 红，黄① 红，黄② 红，黄③ 红，新
黄① 黄①，红 黄①，黄② 黄①，黄③ 黄①，新
黄② 黄②，红 黄②，黄① 黄②，黄③ 黄②，新
黄③ 黄③，红 黄③，黄① 黄③，黄② 黄③，新
新 新，红 新，黄① 新，黄② 新，黄③
共有种等可能结果．
（）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有种，此时该顾客获得精美礼品的概率；（）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有种，此时该顾客获得精美礼品的概率；因为，所以，所作他应往袋中加入黄球．
【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识、创新意识等，考查统计与概率思想、模型观念，熟练掌握概率公式是解题的关键．
1．（2023·安徽芜湖·统考二模）如图，电路图上有4个开关和1个小灯泡，在所有的元件和线路都正常的前提下．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关
【答案】B
【分析】本题考查了随机事件的判断，根据题意分别判断能否发光，进而判断属于什么事件即可．解题的关键是根据题意判断小灯泡能否发光．
【详解】解：A、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；
B、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；
C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
D、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意．故选：B．
2．（2023·广东湛江·校联考三模）下列说法中错误的是（　 ）
A．掷一枚普通的正六面体骰子，出现向上一面点数是的概率是
B．从装有个红球的袋子中，摸出个白球是不可能事件
C．任意抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等
D．某种彩票的中奖率为，买张彩票一定有张中奖
【答案】D
【分析】根据概率的定义可知正确；根据随机事件和必然事件可知正确，根据概率的意义可知错误．
【详解】解：∵掷一枚普通的正六面体骰子，共有种等可能的结果，则出现向上一面点数是的概率是∴项的说法正确，故项不符合题意；
∵从装有个红球的袋子中，摸出的应该都是红球，∴摸出个白球是不可能事件，
∴项的说法正确，故项不符合题意；
∵任意抛掷一枚图钉，共有两种可能的结果，但可能性不一样大，钉尖朝上的可能大，
∴钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等，∴项说法正确，故项不符合题意；
∵某种彩票的中奖率为，是中奖频率接近∴买张彩票一定有张可能中奖，也可能不中奖，
∴项说法错误；故项符合题意，故选：．
【点睛】本题考查了概率的定义，概率的意义，随机事件和必然事件，掌握概率的定义及概率的的意义是解题的关键．
3．（2023·河南周口·校联考模拟预测）豫剧，又叫河南梆子、河南讴、土梆子等，是发源于河南省的一个戏曲剧种．如图，豫剧爱好者小华购买了《豫剧》特种邮票1套3枚，第1枚《花木兰》，第2枚《七品芝麻官》，第3枚《朝阳沟》，并计划把其中的两枚送给好朋友乐乐和妙妙．小华将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），先让乐乐从中随机抽取一枚（不放回），再让妙妙从中随机抽取一枚，则妙妙抽到第三枚《朝阳沟》的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：将三枚邮票分别记作、、，根据题意列表如下：
由表可知，共有6种等可能结果，其中妙妙抽到第三枚《朝阳沟》的有2种结果，
所以妙妙抽到第三枚《朝阳沟》的概率为，故选：D．
4．（2023·山东青岛·统考模拟预测）学校通过以下方式抽取部分同学免费参加活动：在一个装有6个红球和若干白球（每个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得“民间美术展”活动门票一张，已知参加抽取活动的同学共有人，“民间美术展”活动门票张，则白球的数量是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，根据概率求数量；设袋中共有个白球，根据摸到红球的概率求出球的总个数，即可解答．
【详解】解：设袋中共有个白球，则摸到红球的概率为，
∴，解得，经检验：时，，
所以是原方程的解．故选：D．
5．（2023·河南濮阳·统考三模）在“河南美食简介”竞答活动中，第一题组共设置“河南烩面”“胡辣汤”“洛阳酸浆面条”“开封双麻火烧”四种美食，参赛的甲、乙二人从以上四种美食中随机选取一个进行简介，则两人恰好选中同一种美食的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查求概率问题，正确的画出数状图或者列出表格即可求得答案．
【详解】解：用A，B，C，D分别表示“河南烩面”“胡辣汤”“洛阳酸浆面条”“开封双麻火烧”四种美食， 画树状图如下：
从图中可以看出共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一美食的结果有4种，
则两人恰好选中同一美食的概率为．故选∶C．
6．（2023·北京海淀·校考模拟预测）（多选题）罚球是篮球比赛中得分的一个组成部分，罚球命中率的高低对篮球比赛的结果影响很大．下图是对某球员罚球训练时命中情况的统计：
下面推断中合理的是（ ）
A．当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以“罚球命中”的概率是
B．随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是
C．由于该球员“罚球命中”的频率的平均值是，所以“罚球命中”的概率是
D．若让该球员再进行1000次的罚球训练，命中的个数可能会超过812次

【答案】BD
【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以此时“罚球命中”的频率是：，但“罚球命中”的概率不一定是，故A错误，不合题意；
随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是．故B正确，符合题意；
虽然该球员“罚球命中”的频率的平均值是，但是“罚球命中”的概率不是，故C错误，不合题意．若让该球员再进行1000次的罚球训练，命中的个数可能会超过812次，故D正确，符合题意．
故选BD．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，算术平均数，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
7．（2023·广东河源·统考一模）现在从“，0，1，3”四个数中任选两个数作为一次函数的系数k，b，则一次函数的图象经过一、二、四象限的概率为 ．
【答案】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，再根据一次函数的图象经过一、二、四象限时，确定结果，最后利用概率公式求解即可求得答案．本题考查了用列表法或树状图法求概率以及一次函数图象与系数的关系．
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中一次函数的图象经过一、二、四象限（，）的结果有2种，
∴一次函数的图象经过一、二、四象限的概率为，故答案为：．
8．（2023·江苏盐城·校考二模）《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想，现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r，正方形的边长为，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率为P，则圆周率π的值为 （用所给字母表示．）
【答案】
【分析】计算圆形钱币和正方形的面积，利用几何概率公式求出P，即可求出圆周率π的值．
【详解】解：由题意知，解得，，故答案为：．．
【点睛】本题考查几何概率的应用，解题的关键是掌握概率公式．
9．（2023·安徽·模拟预测）一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共个，它们除颜色外，其他都相同．李明将球搅匀后从箱子中随机摸出个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验．多次实验结果如表．
摸球次数
白球频率
(1)当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于______（精确到）左右，从箱子中摸一次球，估计摸到蓝球的概率是______．(2)从该箱子里随机摸出个球，不放回，再摸出个球．用列举法求摸到个蓝球、个白球的概率．
【答案】(1)；（或）(2)摸到个蓝球、个白球的概率为
【分析】（1）运用频率估算概率的方法即可求解；根据概率和为即可求解；
（2）运用列表或画树状图求随机事件的概率的方法即可求解．
【详解】（1）解：根据表格信息可得，摸到白球的频率将会稳定于，摸到蓝球的概率是，
故答案为：；（或）
（2）解：由（1）知，袋中白球的个数约为，蓝球的个数约为，列表如下：
蓝
蓝
由表知，共有种等可能的结果，其中摸到1个蓝球、1个白球的结果有6种，
摸到1个蓝球、1个白球的概率为．
10．（2023·河北唐山·统考二模）有四个完全相同的小球，分别标注，，1，3这四个数字．把标注后的小球放入不透明的口袋中，从中随机拿出两个小球，所标数字和的绝对值为k的概率记作（如：是任取两个数，其和的绝对值为3的概率）。(1)用列表法求；(2)张亮认为：的所有取值的众数大于它们的平均数，你认为张亮的想法正确吗？请通过计算说明；(3)能否找到概率，，（），使．若能找到，请举例说明；若不能找到，请说明理由．
【答案】(1)(2)张亮的想法是错的，见解析(3)
【分析】（1）用列表法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可；
（2）求出的所有取值的众数和平均数，比较得出答案；
（3）根据的所有取值，是否存在三个值的和为即可．
【详解】（1）由题得，列表为：
第1个 第2个 1 3
3 1 1
3 0 2
1 1 0 4
3 1 2 4
所以，共有12种等可能结果，其中和的绝对值为1的有4种，；
（2）由（1）得：，，，，，
∴的所有取值的众数为，而的所有取值的平均数为：，∵，所以张亮的想法是错的．
（3）∵，∴（答案不唯一）
【点睛】本题考查列表法或树状图法，众数、平均数，列举出所有等可能出现的结果是计算概率的前提，掌握众数、平均数的计算方法是解决问题的关键．
11．（2023·山西·山西大附中校考一模）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择：
方案一：是直接获得20元的礼金券；
方案二：是得到一次摇奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少．
指针指向 两红 一红一蓝 两蓝
礼金券（元） 18 9 18
(1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率．(2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠．
【答案】(1)(2)方案一，见解析；
【分析】（1）根据列表法（或画树状图法）求指针分别指向一红区和一蓝区的概率即可；
（2）根据（1）的树状图求出方案二的平均收益即可判断；
【详解】（1）解：由题可知，转盘A中红色区域的圆心角的度数是蓝色区域的圆心角的度数的2倍，转盘B中蓝色区域的圆心角的度数是红色区域的圆心角的度数的2倍，故可画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的情况，其中两个转盘指针一个指向红色区域、一个指向蓝色区域的情况有5种，∴P(一红区和一蓝区)=
（2）由（1）中的树状图可知，指针指向两个红色区域有2种情况，指向两个蓝色区域也有2种情况 ，
∴P(两个红区)= ，P(两个蓝区)= ，∴方案二的平均收益为：，
∵13<20，∴若只考虑获得最多的礼品券，选择方案一更加实惠；
【点睛】本题主要考查列表法（或画树状图法）求概率，掌握概率的求解方法是解题的关键．
1．（2023·广东肇庆·统考三模）暑假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有（　　）
A．40 B．45 C．50 D．55
【答案】B
【分析】本题主要考查了列举法．设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不是自己的座位，一一列举，根据分步计算原理可得．
【详解】解：设5名同学票用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法，
设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不是自己的座位，
则有共9种坐法，
则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有种，故选：B．
2．（2023·湖北省直辖县级单位·校联考模拟预测）动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是 ．
【答案】
【分析】先设出所有动物的只数，根据动物活到各年龄阶段的概率求出相应的只数，再根据概率公式解答即可．
【详解】解：设共有这种动物x只，则活到20岁的只数为，活到25岁的只数为，
故现年20岁到这种动物活到25岁的概率为．故答案为：．
【点睛】考查了概率的意义，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．注意在本题中把20岁时的动物只数看成单位1．
3．（2024·福建·一模）如图，在平行四边形纸板中，点分别为的中点，连接．将一飞镖随机投掷到平行四边形纸板上，则飞镖落在阴影部分的概率为 ．

【答案】
【分析】根据点分别为的中点，得到，，从而得到，进而得出，由此即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
四边形为平行四边形，点分别为的中点，
点在同一直线上，，，
，，
飞镖落在阴影部分的概率为，故答案为：．
【点睛】本题考查了几何概率，平行四边形的性质，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比，根据题意计算出是解此题的关键．
4．（2022·广东佛山·统考模拟预测）某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数
落在“铅笔”的次数
落在“铅笔”的频率
(1)转动该转盘一次，获得一瓶饮料的概率约为_______；（结果保留小数点后一位）
(2)经统计该商场每天约有名顾客参加抽奖活动，一瓶饮料和一支铅笔单价和为元，支出的铅笔和饮料的奖品总费用是元，请计算该商场每支铅笔和每瓶饮料的费用；
(3)在（）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为______度．
【答案】(1)；(2)该商场每支铅笔元，则每瓶饮料元；(3)．
【分析】（）利用频率估计概率求解；（）利用（）得到获得一瓶饮料的概率和一支铅笔的概率为，然后根据总费用是元列出方程，再进行计算即可得出答案；（）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为度，则，然后解方程即可.
【详解】（1）根据表格可知：转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为，
∴转动该转盘一次，获得一瓶饮料的概率约为；
（2）解：设每支铅笔元，则每瓶饮料元，
依题意得：，解得：，则，
∴该商场每支铅笔元，则每瓶饮料元；
（3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为度，
则，解得：，
∴转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为度，故答案为：．
【点睛】此题考查了用频率估计概率、概率公式，解题的关键是理解大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
5．（2023·江苏宿迁·模拟预测）在物理实验中，当电流在一定时间段内正常通过电子元件时，每个电子元件的状态有两种可能：通电或断开，并且这两种的可能性相等．
(1)如图1，当只有一个电子元件时，A、B之间的电流通过概率是___________；
(2)如图2，当有两个电子元件a、b串联时，请用树状图（或列表格）表示图中A、B之间的电流能否通过的所有可能情况，求出A、B之间的电流通过的概率；
(3)如图3，当有三个电子元件串联时，猜想A，B之间电流通过的概率是___________．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查了概率公式求概率，画树状图法求概率；（1）根据概率公式即可求解；
（2）由题意画出树状图找到所有的等可能事件，结合并联电路的知识求出对应的概率即可；
（3）由题意画出树状图找到所有的等可能事件，结合并联电路的知识求出对应的概率即可．
【详解】（1）解： A、B之间只有一个电阻，共有两种情况，通电或断开，所以电流通过概率是；
（2）解：用树状图表示为：
由图可知，共有4种等可能结果，其中A、B间有电流通过的有1种，
∴B，A之间电流通过的概率是；
（3）画树状图得：
由树状图可知共有8种可能，A，B之间电流通过的有1种，所以概率是．
6.（2023·福建福州·校考模拟预测）福州第十九中学每年的校园科学文化艺术节中的“爱心义卖会”活动，是学校同学们表现爱心的重要活动，在2021年的义卖会上，九年某班的同学设计了一个“爱心盲盒大抽奖”的活动，其规则如下：通过购买爱心小盲盒，每个爱心小盲盒3元，根据小盲盒内事先藏好的数字，可以进行兑奖，而每一位参与活动的同学都有4个小盲盒可以选择，其中一个小盲盒藏有数字4，可以兑换4元，有一个小盲盒藏有数字2，可以兑换2元，剩余的两个小盲盒藏有数字1，可以兑换1元，每位同学最多只能买2个小盲盒．
(1)张同学购买了两个小盲盒，用列表法或树状图的方法求出求他购买的第1个小盲盒里藏有数字4的概率：______；(2)李同学手上有7元，请用概率统计的知识说明，从李同学最终在手上的钱的平均值为依据，她是买一个小盲盒好，还是两个小盲盒好．
【答案】(1)(2)李同学应该买一个小盲盒好，理由见解析
【分析】（1）用列表法展示12种等可能的结果数，找出张同学购买的第1个小盲盒里藏有数字4的结果数，然后根据概率公式求解；（2）先分别计算出李同学购买一个小盲盒和两个小盲盒后最终在手上的钱的平均值，然后再比较即可判断．
【详解】（1）解：列表得：
4 2 1 1
4 /
2 /
1 /
1 /
共有12种等可能情况，记购买的第1个小盲盒里藏有数字4为事件A，共3种情况，
∴．故答案为：．
（2）若李同学购买1个小盲盒，花去3元，还有4元，
则可兑换4元的概率为，兑换2元的概率为，兑换1元的概率为，
因此此时李同学最终在手上的钱的平均值为：（元）；
若李同学购买2个小盲盒，花去6元，还有1元，由（1）可知，
可兑换6元的概率为，可兑换5元的概率为，
可兑换3元的概率为，可兑换2元的概率为，
因此此时李同学最终在手上的钱的平均值为：（元）；
∵，∴李同学应该买一个小盲盒好．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率和概率的应用．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．理解和掌握概率公式的应用是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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