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8.2.2　非线性回归模型
[学习目标]　
1.用拟合效果分析非线性回归问题.
2.了解非线性回归模型，掌握非线性回归模型的求解过程．
一、用拟合效果分析非线性回归问题
例1　经济学专业的学生们为研究流通费率y和销售额x(单位：千万元)的关系，对同类型10家企业的相关数据(i＝1,2，…，10)进行整理，并得到如下散点图：
根据此散点图，在2千万元至1亿元之间，下面四个回归模型中最适宜作为流通费率y和销售额x的回归模型的是(　　)
A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋b
C．y＝aex＋b D．y＝aln x＋b
反思感悟　(1)根据散点图可以判断两个变量之间的相关关系，根据样本点的分布选取合适的函数模型．
(2)两个变量Y与x的回归模型中，决定系数R2越大，拟合效果越好．
跟踪训练1　2021年8月27日教育部在其网站发布了2020年全国教育事业发展统计公报，其中“十三五”时期全国高等教育在学总规模和毛入学率如图所示，则下列四个回归模型中最适合作为毛入学率y和年份数x的回归模型是(　　)
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bex D．y＝a＋bln x
二、非线性回归模型
例2　(1)噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D(单位：dB)与声音能量I(单位：W/cm2)之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii(i＝1,2，…，10)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
②当声音强度大于60 dB时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且＋＝1010.已知点P的声音能量等于声音能量I1与I2之和，请根据①中的非线性经验回归方程，判断点P是否受到噪声污染的干扰，并说明理由．
(2)某景区的各景点从2011年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2012年至2021年，该景点的旅游人数y(万人)与年份x的数据：
第x年 1 2 3 4 5
旅游人数y(万人) 300 283 321 345 372
第x年 6 7 8 9 10
旅游人数y(万人) 435 486 527 622 800
该景点为了预测2024年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型：
模型(ⅰ)：由最小二乘法求得y与x的经验回归方程＝50.8x＋169.7；
模型(ⅱ)：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y＝aebx的附近．
①根据表中数据，求模型(ⅰ)的非线性经验回归方程＝ex( 精确到个位， 精确到0.01)；
②根据下列表中的数据，比较两种模型的决定系数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2024年该景区的旅游人数(单位：万人，精确到个位)．
参考公式、参考数据及说明：
③参考数据：e5.46≈235，e1.43≈4.2.
反思感悟　解决非线性回归问题的方法步骤
(1)确定变量：确定解释变量为x，响应变量为y.
(2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数)图象作比较，选取拟合效果好的函数模型．
(3)变量置换：通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题．
(4)分析拟合效果：通过计算决定系数来判断拟合效果．
(5)写出非线性经验回归方程．
跟踪训练2　黄河鲤是我国华北地区的主要淡水养殖品种之一，其鳞片金黄、体形梭长，尤以色泽鲜丽、肉质细嫩、气味清香而著称．为研究黄河鲤早期生长发育的规律，丰富黄河鲤早期养殖经验，某院校研究小组以当地某水产养殖基地的黄河鲤仔鱼为研究对象，从出卵开始持续观察20天，试验期间，每天固定时段从试验水体中随机取出同批次9尾黄河鲤仔鱼测量体长，取其均值作为第ti天的观测值yi(单位：mm)，其中ti＝i，i＝1,2,3，…，20.根据以往的统计资料，该组数据可以用Logistic曲线拟合模型y＝或Logistic非线性回归模型y＝进行统计分析，其中a，b，u为参数．基于这两个模型，绘制得到如下的散点图和残差图．
(1)你认为哪个模型的拟合效果更好？分别结合散点图和残差图进行说明；
1．知识清单：
(1)用拟合效果分析非线性回归问题．
(2)非线性回归模型．
2．方法归纳：转化思想．
3．常见误区：非线性经验回归方程转化为线性经验回归方程时的转化方法．
1．营养学家对某地区居民的身高y与营养摄入量x的几组数据进行研究后发现两个变量存在相关关系，该营养学家按照不同的曲线拟合y与x之间的经验回归方程，并算出决定系数R2如表所示．
拟合曲线 直线 指数曲线 抛物线 三次曲线
y与x的经验回归方程 ＝f1(x) ＝f2(x) ＝f3(x) ＝f4(x)
决定系数R2 0.893 0.986 0.931 0.312
则这组数据模型的经验回归方程的最好选择应是(　　)
A.＝f1(x) B.＝f2(x)
C.＝f3(x) D.＝f4(x)
2．某校数学学习兴趣小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：°C)的关系，由试验数据得到如图所示的散点图. 由此散点图，可以得出最适宜作为发芽率y和温度x的回归模型的是(　　)
A．y＝a＋bx
B．y＝a＋bln x
C．y＝a＋bex
D．y＝a＋bx2
3．若一函数模型为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将y转化为t的经验回归方程，则需做变换t等于(　　)
A．x2 B．(x＋a)2
C.2 D．以上都不对
4．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的周围．令z＝ln y，求得经验回归方程为＝0.25x－2.58，则该模型的非线性经验回归方程为____________________．
　非线性回归模型
例1　D　[根据散点图，可以知道各点基本上是沿着一条具有递减趋势的曲线分布，并且变化趋势较平缓，
A中，y＝ax＋b表示直线，变化趋势是定的，不符合题意；
B中，y＝ax2＋b表示的曲线既有上升又有下降部分，不符合题意；
C中，y＝aex＋b表示的曲线不论是上升还是下降，都比较快，曲线较“陡峭”，不符合题意；
D中，y＝aln x＋b表示的曲线不论是上升还是下降，都比较平缓，符合题意．]
跟踪训练1　A　[根据图象可知，函数图象随着自变量的变大，函数值增长速度基本不变，再由图象的形状结合选项，可判定函数y＝a＋bx符合要求．]
例2　(1)解　①由Wi＝lg Ii，先建立D关于W的经验回归方程，
由于＝＝10，
∴＝－ ＝45.7－10×(－11.5)＝160.7，
∴D关于W的经验回归方程是＝10W＋160.7，
即D关于I的非线性经验回归方程是＝10·lg I＋160.7.
②点P的声音能量I＝I1＋I2，
∵＋＝1010，
∴I＝I1＋I2＝10－10·(I1＋I2)＝10－10·≥9×10－10(当且仅当＝，即I2＝2I1时等号成立)，
根据①中的非线性经验回归方程，点P的声音强度D的最小预测值为＝10·lg(9×10－10)＋160.7＝10·lg 9＋60.7>60，
∴点P会受到噪声污染的干扰．
(2)解　①对＝ex取对数，得ln ＝x＋ln ，设＝ln ，先建立u关于x的经验回归方程为＝x＋.
＝≈0.108≈0.11,
＝－≈6.05－0.108×5.5＝5.456≈5.46，
＝e≈e5.46≈235，
∴模型(ⅱ)的非线性经验回归方程为＝235e0.11x.
②由表格中的数据，有30 407>14 607，R模型(ⅰ)的决定系数R小于模型(ⅱ)的决定系数R，
说明回归模型(ⅱ)的拟合效果更好．
2024年时，x＝13，
预测旅游人数为＝235e0.11×13＝235e1.43≈235×4.2＝987(万人)．
跟踪训练2　解　(1)Logistic非线性回归模型y＝拟合效果更好．
从散点图看，散点更均匀地分布在该模型拟合曲线附近；
从残差图看，该模型下的残差更均匀地集中在以残差为0的直线为对称轴的水平带状区域内．
(2)将y＝转化为ln＝a－bt，
则－＝＝－0.208，
所以＝0.208，
所以＝－·＝－1.608＋0.208×10.5＝0.576.
所以y关于t的经验回归方程为＝.
当t＝22时，体长＝＝≈12.28(mm)．
随堂演练
1．B　[决定系数R2的值越大，说明模型的拟合效果越好，观察可知，指数曲线的R2最大，故经验回归方程的最好选择应是＝f2(x)．]
2．B　[由散点图可知，数据分布成递增趋势，但是呈现上凸效果，即增加越来越缓慢．
A中，y＝a＋bx是直线型，均匀增长，不符合要求；
B中，y＝a＋bln x是对数型，增长越来越缓慢，符合要求；
C中，y＝a＋bex是指数型，爆炸式增长，增长越来越快，不符合要求；
D中，y＝a＋bx2是二次函数型，图象既有上升，又有下降，不符合要求．]
3．C　[y＝ax2＋bx＋c＝a2＋(a≠0)，可令t＝2，
则y＝at＋为y关于t的经验回归方程．]
4.＝e0.25x－2.58
解析　因为＝0.25x－2.58，
z＝ln y，
所以＝e0.25x－2.58.

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