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第五章 圆
第二节 与圆有关的位置关系
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 点与圆的位置关系 ☆ 与圆相关的位置关系也是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。关键是掌握基础知识、基本方法。
考点2 直线与圆的位置关系 ☆☆
考点3切线的性质 ☆☆☆
考点4 切线的判定 ☆☆
1.点与圆的位置关系
点与圆有三种位置关系,主要根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系得出.具体关系如下:
①点P在圆内 d＜r． ②点P在圆上 d＝r． ③点P在圆外 d＞r．
2. 直线与圆的位置关系
（1）相离:如果直线和圆没有公共点,那么称直线与圆相离.
（2）相切:如果直线和圆有唯一的公共点,那么称直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做圆的切点.
（3）.相交:如果直线和圆有两个公共点,那么称直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线,这两个公共点叫做交点.
（4）直线与圆有三种位置关系,具体的位置关系取决于圆心O到直线l的距离d和☉O的半径r之间的大小关系,几种位置关系的区别如下表:
3.切线的判定和性质
（1）切线的判定方法
①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线(切线的定义); ②圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线; ③经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线(切线的判定定理).
（2）切线的性质
①切线与圆只有一个公共点; ②圆心到切线的距离等于半径; ③切线垂直于过切点的半径.
（3）切线长
①定义:经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.
②性质定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等.
4．三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内
心，三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，内切圆的
半径是内心到三边的距离．
■考点一　点与圆的位置关系
◇典例1：（2022 浦江县模拟）在平面直角坐标系中，若⊙A的半径为5，A点的坐标是（4，0），P点的坐标是（0，3），则点P与⊙A的位置关系是（　　）
A．点P在⊙A内 B．点P在⊙A外 C．点P在⊙A上 D．不能确定
【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质．
【答案】C
【点拨】根据两点间的距离公式求出AP的长，再与5相比较即可．
【解析】解：∵点A的坐标为（4，0），点P的坐标为（0，3），
∴AP＝＝5＝半径，
∴点P与⊙A的位置关系是：点P在⊙A上．
故选：C．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
◆变式训练
1．（2022 吴兴区校级二模）如果⊙O的半径为6cm，OP＝7cm，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定
【考点】点与圆的位置关系．
【答案】C
【点拨】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．
【解析】解：根据点到圆心的距离7cm大于圆的半径6cm，则该点在圆外．
故选：C．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：当点到圆心的距离大于圆的半径时，则点在圆外．
2．（2023 宁波模拟）在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，⊙A的半径为2，要使点B在⊙A内时，实数b的取值范围是（　　）
A．b＞2 B．b＞6 C．b＜2或b＞6 D．2＜b＜6
【考点】点与圆的位置关系；实数与数轴．
【答案】D
【点拨】首先确定AB的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出a的取值范围，即可得到正确选项．
【解析】解：∵⊙A的半径为2，若点B在⊙A内，
∴AB＜2，
∵点A所表示的实数为4，
∴2＜b＜6，
故选：D．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
■考点二 直线与圆的位置关系
◇典例2：（2023 南浔区二模）已知平面内有⊙O与直线AB，⊙O的半径为3cm，点O到直线AB的距离为3cm，则直线AB与⊙O的位置关系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能判断
【考点】直线与圆的位置关系．
【答案】A
【点拨】根据点O到直线AB的距离与圆的半径大小作比较即可．
【解析】解：∵点O到直线AB的距离为3cm，且⊙O的半径为3cm，
∴3cm＝3cm，即直线AB与⊙O的位置关系是相切，
故选：A．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023 滨江区二模）已知⊙O的直径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【考点】直线与圆的位置关系．
【答案】B
【点拨】根据直线与圆的位置关系判定方法，假设圆心到直线的距离为d，当d＞r，直线与圆相离，当d＝r，直线与圆相切，当d＜r，直线与圆相交，由⊙O的直径为4cm，点O到直线l的距离为2cm，得出d＝r，进而l与⊙O的位置关系．
【解析】解：∵⊙O的直径为4，
∴⊙O的半径为2，
∵点O到直线l的距离为2，
∴d＝r
∴l与⊙O的位置关系相切．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，解决问题的关键是判断出圆的半径与圆心到直线的距离，再根据判定方法得出位置关系．
2．（2021 慈溪市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，以C为圆心，r为半径作圆．若该圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为　r＝或2＜r≤2．　．
【考点】直线与圆的位置关系；含30度角的直角三角形；圆周角定理．
【答案】r＝或2＜r≤2．
【点拨】先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出BC，即可得出答案．
【解析】解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△BCA中，
∵∠ACB＝90°，AC＝2，∠B＝30°，
∴AB＝4，
∴BC＝＝＝2，
根据三角形的面积公式得：AB CD＝AC BC，
∴CD＝＝＝，
当圆与AB相切时，r＝，
当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是2＜r≤2，
综上所述：r的取值范围是r＝或2＜r≤2，
故答案为：r＝或2＜r≤2．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，切线的性质，勾股定理的应用，能求出符合的所所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．
■考点三 切线的性质
◇典例3：（2021 丽水）如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交AB于点D，过点D作半圆O的切线，交AC于点E．
（1）求证：∠ACB＝2∠ADE；
（2）若DE＝3，AE＝，求的长．
【考点】切线的性质；弧长的计算；等腰三角形的性质；圆周角定理．
【答案】见解析
【点拨】（1）连接OD，CD，根据切线的性质得到∠ODE＝90°，根据圆周角定理得到∠BDC＝90°，求得∠ADE＝∠ODC，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到AD＝＝2，tanA＝，求得∠A＝60°，推出△ABC是等边三角形，得到∠B＝60°，BC＝AB＝2AD＝4，根据弧长公式即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接OD，CD，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ODC+∠EDC＝90°，
∵BC为⊙O直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠ODC，
∵AC＝BC，
∴∠ACB＝2∠DCE＝2∠OCD，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠ACB＝2∠ADE；
（2）解：由（1）知，∠ADE+∠EDC＝90°，∠ADE＝∠DCE，
∴∠AED＝90°，
∵DE＝3，AE＝，
∴AD＝＝2，tanA＝，
∴∠A＝60°，
∵AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，BC＝AB＝2AD＝4，
∴，
∴ 的长为＝＝．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023 瓯海区一模）如图，AB，AC分别切⊙O于B，C两点，若∠OBC＝26°，则∠A的度数为（　　）
A．32° B．52° C．64° D．72°
【考点】切线的性质．
【答案】B
【点拨】先根据切线长定理和切线的性质得到AB＝AC，∠OBA＝90°，则可计算出∠ABC＝64°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠A的度数．
【解析】解：∵AB，AC分别切⊙O于B，C两点，
∴AB＝AC，OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
∵∠OBC＝26°，
∴∠ABC＝90°﹣26°＝64°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝64°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝52°．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质．
2．（2023 龙港市二模）如图，AB与⊙O相切于点B，若⊙O的半径为2，AB＝3，则AO的长为（　　）
A． B． C． D．4
【考点】切线的性质．
【答案】C
【点拨】连接OB，利用圆的切线的性质定理和勾股定理解答即可．
【解析】解：连接OB，如图，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB．
∵⊙O的半径为2，
∴OB＝2，
∴OA＝＝＝，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质定理，勾股定理，连接经过切点的半径是解题的关键．
3．（2023 湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连结OB．
（1）求证：BD＝BC．
（2）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的长．
【考点】切线的性质；含30度角的直角三角形．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【点拨】（1）根据切线性质得到∠ODB＝∠OCB＝90°，再根据HL证明Rt△ODB≌Rt△OCB，从而得到结论；
（2）分别在Rt△OBC中，利用三角函数求出BC的长，和在Rt△ABC中，利用三角函数求出即可求出AB的长．
【解析】（1）证明 如图，连结OD，
∵半圆O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ODB＝∠OCB＝90°，
在Rt△ODB和Rt△OCB中，
∴Rt△ODB≌Rt△OCB（HL），
∴BD＝BC；
（2）解 如图，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝60°，
∵Rt△ODB≌Rt△OCB，
∴，
在Rt△OBC中，
∵OC＝1，
∴，
在Rt△ABC中，
．
【点睛】本题考查圆的切线性质，全等三角形判定和性质，解直角三角形，熟悉相关图形的性质是解题的关键．
■考点四　 切线的判定
◇典例4：（2023 义乌市模拟）如图，⊙O的直径AB＝4，∠ABC＝30°，BC交⊙O于点D，D是BC的中点．
（1）求BC的长；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．
【考点】切线的判定．
【答案】见解析
【点拨】（1）根据圆周角定理求得∠ADB＝90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；
（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO＝90°即可．
【解析】解：（1）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵∠ABC＝30°，AB＝4，
∴BD＝2，
∵D是BC的中点，
∴BC＝2BD＝4；
（2）连接OD．
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴DO是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，则∠EDO＝∠CED
又∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°，∠EDO＝∠CED＝90°，
∴OD⊥ED，
又∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
【点睛】此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线．
◆变式训练
1．（2023 金华模拟）如图，BC为△ABC的外接圆⊙O的直径，在线段BO上取点F作BC的垂线交AB于点E，点G在FE的延长线上，且GA＝GE．
（1）求证：AG与⊙O相切．
（2）已知直径BC＝20，AC＝12．若BE＝OB，试求OE的长．
【考点】切线的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；直线与圆的位置关系．
【答案】（1）证明见解析；
（2）2．
【点拨】（1）连接OA，由OA＝OB，GA＝GE得出∠ABO＝∠BAO，∠GEA＝∠GAE；再由EF⊥BC，得出∠BFE＝90°，进一步由∠ABO+∠BEF＝90°，∠BEF＝∠GEA，最后得出∠GAO＝90°求得答案；
（2）BC为直径得出∠BAC＝90°，根据GF⊥BC，得出∠BFE＝90°，从而证得△BEF∽△BCA，求得EF、BF的长，进一步在△OEF中利用勾股定理得出OE的长即可．
【解析】（1）证明：如图，
连接OA，
∵OA＝OB，GA＝GE，
∴∠ABO＝∠BAO，∠GEA＝∠GAE，
∵EF⊥BC，
∴∠BFE＝90°，
∴∠ABO+∠BEF＝90°，
又∵∠BEF＝∠GEA，
∴∠GAE＝∠BEF，
∴∠BAO+∠GAE＝90°，
∴OA⊥AG，
∵OA是〇O的半径，
∴AG与⊙O相切；
（2）解：∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°，
∵GF⊥BC，
∴∠EFB＝90°，
∵BC＝20，AC＝12，
∴AB＝＝16，
∵BE＝OB，
∴BE＝10，
∵∠EBF＝∠CBA，∠BFE＝∠BAC，
∴△BEF∽△BCA，
∴，
∴EF＝6，BF＝8，
∴OF＝OB﹣BF＝10﹣8＝2，
∴OE＝．
【点睛】本题考查了切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理的推论．
1．（2020 拱墅区二模）已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
【考点】点与圆的位置关系．
【答案】A
【点拨】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．
【解析】解：∵⊙O的半径为5，若PO＝4，
∴4＜5，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．
2．（2021 舟山）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【考点】直线与圆的位置关系．
【答案】D
【点拨】根据直线上点与圆的位置关系的判定得出直线与圆的位置关系．
【解析】解：⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．
3．（2023 拱墅区二模）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（　　）
A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
【考点】切线的判定；圆周角定理；点与圆的位置关系．
【答案】D
【点拨】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【解析】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
C、∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，
∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键．
4．（2023 西湖区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，若BC＝1，，则AC的长为（　　）
A．3 B．2 C． D．1
【考点】切线的性质．
【答案】A
【点拨】根据切线得到∠ABC＝90°，结合勾股定理即可得到答案．
【解析】解：∵BC与⊙O相切于点B，
∴∠ABC＝90°，
OB＝，AB是⊙O的直径，
∴AB＝，
∵BC＝1，
∴AC＝＝3．
故选：A．
【点睛】本题考查圆切线性质及勾股定理，解题的关键是根据切线得到直角三角形．
5．（2022 拱墅区模拟）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】切线长定理．
【答案】B
【点拨】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长．
【解析】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP＝6，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
6．（2023 婺城区模拟）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（　　）
A．13cm B．8cm C．6.5cm D．随直线MN的变化而变化
【考点】三角形的内切圆与内心．
【答案】B
【点拨】根据切线长定理得到BD＝BG，CP＝CG，MH＝MD，NH＝NP，根据三角形的周长公式计算．
【解析】解：由切线长定理得，BD＝BG，CP＝CG，MH＝MD，NH＝NP，
∴BD+CP＝BG+CG＝5，
∴AD+AP＝18﹣10＝8，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+MD+AN+NP＝AD+AP＝8，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆和内心，掌握切线长定理是解题的关键．
7．（2023 金东区三模）如图，直线y＝﹣x+6与坐标轴交于A，B两点，点C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连结OM，则线段OM的最小值是（　　）
A．+1 B．﹣1 C．2 D．
【考点】点与圆的位置关系；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；三角形三边关系；三角形中位线定理．
【答案】B
【点拨】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【解析】解：如图，∵直线y＝﹣x+6与坐标轴交于A，B两点，
∴A（6，0），B（0，6），
∴OA＝OB＝6，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝2，
∴C在⊙B上，且半径为2，
取OD＝OA＝6，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最小时，即CD最小，而D，B，C三点共线时，当C在线段DB上时，OM最小，
∵OB＝OD＝6，∠BOD＝90°，
∴BD＝6，
∴CD＝6﹣2．
∴OM＝CD＝3﹣1．
即OM的最小值为：3﹣1．
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最小值时点C的位置是关键，也是难点．
8．（2023 诸暨市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，．⊙C的半径长为2，P是△ABC边上一动点（可以与顶点重合），并且点P到⊙C的切线长为m．若满足条件的点P有4个，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】切线的性质；勾股定理；圆周角定理．
【答案】B
【点拨】过点C作CE⊥AB于点E，过点E作⊙C的切线EF，切点为F，连接CF，利用直角三角形的边角关系定理求得∠A，CE的值，利用切线的性质定理和勾股定理求得EF；过点B作⊙C的切线BD，切点为D，连接CD，利用切线的性质定理和勾股定理求得BD，观察图象可得EF＜m＜BD，则结论可得．
【解析】解：过点C作CE⊥AB于点E，过点E作⊙C的切线EF，切点为F，连接CF，如图，
∵∠C＝90°，BC＝4，AC＝4，
∴tanA＝，
∴∠A＝30°，
∴EC＝AC sin30°＝2．
∵EF为⊙C的切线，
∴CF⊥EF，
∴EF＝＝＝2，
过点B作⊙C的切线BD，切点为D，连接CD，则CD⊥BD．
∴BD＝＝＝2，
∵P是△ABC边上一动点（可以与顶点重合），并且点P到⊙C的切线长为m，且满足条件的点P的位置有4个，
∴EF＜m＜BD，
∴2＜m＜2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆的有关概念与性质，圆的切线的性质定理，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，勾股定理，利用图形的性质求得的最大值与最小值是解题的关键．
9．（2021 西湖区校级三模）已知⊙O的半径为4，若PO＝4，则点P在圆 　上　．
【考点】点与圆的位置关系．
【答案】上．
【点拨】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．
【解析】解：∵⊙O的半径为4，若PO＝4，
∴4＝4，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在圆上．
故答案为：上．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．
10．（2021 金华模拟）已知⊙O的直径为5，设圆心O到直线l的距离为d，当直线l与⊙O相交时，d的取值范围是 0≤d＜2.5．
【考点】直线与圆的位置关系．
【答案】0≤d＜2.5．
【点拨】根据直线l和⊙O相交 0≤d＜r，即可得到的取值范围．
【解析】解：∵⊙O的直径为5，
∴⊙O的半径是2.5，
∵直线l与⊙O相交，
∴圆心D到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜2.5，
故答案为：0≤d＜2.5．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是记住①直线l和⊙O相交 d＜r②直线l和⊙O相切 d＝r③直线l和⊙O相离 d＞r．
11．（2021 杭州）如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，且OP＝2．若PT是⊙O的切线，T为切点，连结OT，则PT＝　　．
【考点】切线的性质．
【答案】
【点拨】根据圆的切线性质可得出△OPT为直角三角形，再利用勾股定理求得PT长度．
【解析】解：∵PT是⊙O的切线，T为切点，
∴OT⊥PT，
在Rt△OPT中，OT＝1，OP＝2，
∴PT＝＝＝，
故：PT＝．
【点睛】本题考查了圆的切线性质，即圆的切线垂直于过切点的半径．
12．（2023 舟山）如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是 　65°　．
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【答案】65°．
【点拨】连接OC，OB，根据切线的性质得到∠ACO＝∠ABO＝90°，求得∠COB＝360°﹣∠A﹣∠ACO﹣∠ABO＝130°，根据圆周角定理即可得到结论．
【解析】解：连接OC，OB，
∵AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，
∴∠ACO＝∠ABO＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠COB＝360°﹣∠A﹣∠ACO﹣∠ABO＝130°，
∴∠D＝，
故答案为：65°．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
13．（2023 衢州）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 　10　cm．
【考点】切线的性质；勾股定理；矩形的性质．
【答案】10．
【点拨】连接OA，过点O作OE⊥BC，交BC于点E，交AD于点F，则点E为餐盘与BC边的切点，由矩形的性质得AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，则四边形CDFE是矩形，OE⊥AD，得CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝8cm，设餐盘的半径为x cm，则OA＝OE＝x cm，OF＝（x﹣4）cm，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．
【解析】解：由题意得：BC＝16cm，CD＝4cm，
如图，连接OA，过点O作OE⊥BC，交BC于点E，交AD于点F，
则∠OEC＝90°，
∵餐盘与BC边相切，
∴点E为切点，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴四边形CDFE是矩形，OE⊥AD，
∴CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝AD＝×16＝8（cm），
设餐盘的半径为x cm，
则OA＝OE＝x cm，
∴OF＝OE﹣EF＝（x﹣4）cm，
在Rt△AFO中，由勾股定理得：AF2+OF2＝OA2，
即82+（x﹣4）2＝x2，
解得：x＝10，
∴餐盘的半径为10cm，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14．（2021 温州）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，使点O′落在⊙O上，边A′B交线段AO于点C．若∠A′＝25°，则∠OCB＝　85　度．
【考点】切线的性质；旋转的性质；圆周角定理．
【答案】85
【点拨】根据切线的性质得到∠OBA＝90°，连接OO′，如图，再根据旋转的性质得∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′，BO＝BO′，则判断△OO′B为等边三角形得到∠OBO′＝60°，所以∠ABA′＝60°，然后利用三角形外角性质计算∠OCB．
【解析】解：∵⊙O与△OAB的边AB相切，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
连接OO′，如图，
∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，
∴∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′，BO＝BO′，
∵OB＝OO′，
∴△OO′B为等边三角形，
∴∠OBO′＝60°，
∴∠ABA′＝60°，
∴∠OCB＝∠A+∠ABC＝25°+60°＝85°．
故答案为85．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了旋转的性质．
15．（2023 余杭区模拟）如图，在△ABC中，AB，BC分别为⊙O的切线，点E和点C为切点，线段AC经过圆心O且与⊙O相交于点D，若，AD＝，则OB的长为 　　．
【考点】切线的性质；解直角三角形；圆周角定理．
【答案】．
【点拨】连接OE，由题意可得∠OEA＝∠C＝90°，设OE＝OD＝OC＝3r，AE＝4r，则OA＝5r，进而可得，然后可得OE＝OD＝OC＝1，最后可根据勾股定理及三角函数进行求解即可．
【解析】解：∵BA，BC分别为⊙O的切线，
∴∠OEA＝∠C＝90°，
由可设OE＝OD＝OC＝3r，AE＝4r，则OA＝5r，
∵AD＝，
∴，
∴，
解得：，
∴OE＝OD＝OC＝1，
∴，
∴BC＝AC tanA＝2，
在Rt△OCB中，；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查切线的性质、勾股定理及三角函数，熟练掌握切线的性质、勾股定理及三角函数是解题的关键．
16．（2022 宁波）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为 　或　．
【考点】切线的性质；直角三角形的性质；勾股定理．
【答案】或．
【点拨】根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可．
【解析】解：连接OA，过点A作AD⊥BC于点D，
∵圆与AC相切于点A．
∴OA⊥AC，
由题意可知：D点位置分为两种情况，
①当∠CAD为90°时，此时D点与O点重合，设圆的半径＝r，
∴OA＝r，OC＝4﹣r，
∵AC＝2，
在Rt△AOC中，根据勾股定理可得：r2+4＝（4﹣r）2，
解得：r＝，
即AD＝AO＝；
②当∠ADC＝90°时，AD＝，
∵AO＝，AC＝2，OC＝4﹣r＝，
∴AD＝，
综上所述，AD的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．
17．（2023 绍兴）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E．
（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数；
（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的长．
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【答案】（1）115°；（2）．
【点拨】（1）由垂直的定义得到∠AEC＝90°，由三角形外角的性质即可求出∠ACD的度数；
（2）由勾股定理求出CD的长，由平行线分线段成比例定理得到，代入有关数据，即可求出CE的长．
【解析】解：（1）∵AE⊥CD于点E，
∴∠AEC＝90°
∴∠ACD＝∠AEC+∠EAC＝90°+25°＝115°；
（2）∵CD是⊙O的切线，
∴半径OC⊥DE，
∴∠OCD＝90°，
∵OC＝OB＝2，BD＝1，
∴OD＝OB+BD＝3，
∴CD＝＝．
∵∠OCD＝∠AEC＝90°，
∴OC∥AE，
∴，
∴，
∴CE＝．
【点睛】本题考查切线的性质，垂线，平行线分线段成比例，勾股定理，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质求出∠ACD的度数，由勾股定理求出CD的长，由平行线分线段成比例定理即可求出CE的长．
18．（2023 金东区一模）如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB于E，F为BA延长线上一点，CA恰好平分∠FCE．
（1）求证：FC与⊙O相切；
（2）连接OD，若OD∥AC，求的值．
【考点】切线的判定与性质；圆周角定理．
【答案】（1）证明见解析；
（2）的值是．
【点拨】（1）连接OC，则∠OCA＝∠OAC，由CD⊥AB于E，得∠AEC＝90°，而∠ACF＝∠ACE，则∠OCF＝∠OCA+∠ACF＝∠OAC+∠ACE＝90°，即可证明FC与⊙O相切；
（2）由等腰三角形的“三线合一”得∠COF＝∠DOF，由OD∥AC，得∠DOF＝∠OAC，所以∠COF＝∠OAC＝∠OCA＝60°，则∠F＝30°，所以OA＝OC＝OF，则AF＝OA＝AB，即可求得＝．
【解析】（1）证明：连接OC、则OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵CD⊥AB于E，
∴∠AEC＝90°，
∵CA平分∠FCE，
∴∠ACF＝∠ACE，
∴∠OCF＝∠OCA+∠ACF＝∠OAC+∠ACE＝90°，
∵FC经过⊙O的半径OC的外端，且FC⊥OC，
∴FC与⊙O相切．
（2）解：∴OC＝OD，OF⊥CD，
∴∠COF＝∠DOF，
∵OD∥AC，
∴∠DOF＝∠OAC，
∴∠COF＝∠OAC＝∠OCA＝60°，
∴∠F＝30°，
∴OA＝OC＝OF，
∴AF＝OA＝AB，
∴＝，
∴的值是．
【点睛】此题重点考查切线的判定、等腰三角形的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
19．（2022 富阳区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BF＝2，BD＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【考点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算；角平分线的性质；勾股定理；圆周角定理．
【答案】（1）BC与⊙O相切，理由见解析；
（2）2﹣π．
【点拨】（1）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB＝90°，从而证得BC是圆的切线；
（2）设⊙O的半径为r，则OB＝r+2，根据勾股定理列方程可得r的长，最后由面积差可得结论．
【解析】解：（1）BC与⊙O相切．
理由：连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC，
又∵OD是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切；
（2）设⊙O的半径为r，则OB＝r+2，
由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，
∴r2+（2）2＝（r+2）2，
∴r＝2，
∴OD＝2，OB＝4，
∴∠OBD＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∴阴影部分的面积＝×2×2﹣＝2﹣π．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，扇形面积的计算，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解本题的关键．
1．（2023 江都区模拟）已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则⊙O的半径可能为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】点与圆的位置关系．
【答案】D
【点拨】根据点与圆的位置关系判断得出即可．
【解析】解：∵点P在圆内，且d＝5，
∴r＞5，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外 d＞r，②点P在圆上 d＝r，③点P在圆内 d＜r．
2．（2022 余杭区一模）如图，若⊙O的直径为6，点O到某条直线的距离为6，则这条直线可能是（　　）
A．l1 B．l2 C．l3 D．l4
【考点】直线与圆的位置关系．
【答案】A
【点拨】根据直线与圆的位置关系判断即可．
【解析】解：∵若⊙O的直径为6，
∴圆O的半径为3，
∵点O到某条直线的距离为6，
∴这条直线与圆相离，
故选：A．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是记住：当⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交 d＜r②直线l和⊙O相切 d＝r③直线l和⊙O相离 d＞r．
3．（2023 越秀区校级一模）已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在（　　）
A．⊙O的内部 B．⊙O的外部 C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部
【考点】点与圆的位置关系；一元二次方程的解；解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】A
【点拨】解一元二次方程根，据点与圆的关系直接判定即可得到答案．
【解析】解：解方程x2﹣4x﹣5＝0可得，x1＝5，x2＝﹣1，
∵点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，
∴d＝5＜8，
∴点P在⊙O的内部，
故选：A．
【点睛】本题考查解一元二次方程及点与圆的关系，解题的关键是正确解方程及掌握点到圆心距离与圆半径关系判断点与圆的关系．
4．（2021 杭州三模）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（　　）
A．点（0，3） B．点（1，3） C．点（6，0） D．点（6，1）
【考点】切线的判定．
【答案】B
【点拨】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF＝90°时F点的位置即可．
【解析】解：∵过格点A，B，C作一圆弧，
∴三点组成的圆的圆心为：O′（2，0），
∵只有∠O′BD+∠EBF＝90°时，BF与圆相切，
∴当△BO′D≌△FBE时，
∴EF＝BD＝2，
∴F点的坐标为：（5，1），
∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）和（1，3）．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了切线的性质及坐标与图形的性质，得出△BOD≌△FBE时，EF＝BD＝2，即得出F点的坐标是解决问题的关键．
5．（2023 杭州一模）如图，过⊙O外一点A作⊙O的切线AD，点D是切点，连结OA交⊙O于点B，点C是⊙O上不与点B，D重合的点．若∠A＝α°，则∠C的度数为（　　）
A． B． C．2α° D．
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【答案】A
【点拨】由切线的性质定理，得到∠ADO＝90°，由直角三角形的性质得到，∠AOD＝90°﹣α°，由圆周角定理得到∠C＝∠AOD＝（45﹣α）°．
【解析】解：∵AD切圆于D，
∴半径OD⊥AD，
∴∠ADO＝90°，
∵∠A＝α°，
∴∠AOD＝90°﹣α°，
∴∠C＝∠AOD＝（45﹣α）°．
故选：A．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，关键是掌握切线的性质定理，圆周角定理．
6．（2021 柯桥区模拟）如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】切线长定理．
【答案】A
【点拨】根据切线长定理求出AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，得出等边三角形ADF，推出AD＝AF＝DF，根据BC＝6，求出BD+CF＝6，求出AD+AF＝4，即可求出答案．
【解析】解：∵⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，
∴AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，
∵BC＝BE+CE＝6，
∴BD+CF＝6，
∵AD＝AF，∠A＝60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD＝AF＝DF，
∵AB+AC+BC＝16，BC＝6，
∴AB+AC＝10，
∵BD+CF＝6，
∴AD+AF＝4，
∵AD＝AF＝DF，
∴DF＝AF＝AD＝×4＝2，
故选：A．
【点睛】本题考查了对切线长定理的应用，关键是求出AD+AF的值，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目比较好，难度也适中．
7．（2022 金华模拟）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（　　）
A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm
【考点】三角形的内切圆与内心；切线的性质．
【答案】B
【点拨】根据切线长定理得到BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，然后利用三角形的周长和BC的长求得AE和AD的长，从而求得△AMN的周长．
【解析】解：∵圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，
∴BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，
∵△ABC周长为20cm，BC＝6cm，
∴AE＝AD＝＝＝＝4（cm），
∴△AMN的周长为AM+MG+NG+AN＝AM+ME+AN+ND＝AE+AD＝4+4＝8（cm），
故选：B．
【点睛】考查了三角形的内切圆与内心及切线的性质的知识，解题的关键是利用切线长定理求得AE和AD的长，难度不大．
8．（2023 淳安县一模）如图，AB是⊙的直径，CD是∠ACB的平分线交⊙O于点D，过D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．若AB＝4，∠E＝75°，则CD的长为（　　）
A． B．2 C． D．
【考点】切线的性质；含30度角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理．
【答案】D
【点拨】连接OC、OD，CD与AB交于点F．首先证明∠OFD＝60°，再证明∠FOC＝∠FCO＝30°，求出DF、CF即可解决问题．
【解析】解：如图，连接OC、OD，CD与AB交于点F．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴，
∴OD⊥AB，
∵DE是切⊙O切线，
∴DE⊥OD，
∴AB∥DE，
∵∠E＝75°，
∴∠ABC＝∠E＝75°，∠CAB＝15°，
∴∠CFB＝∠CAB+∠ACF＝15°+45°＝60°，
∴∠OFD＝∠CFB＝60°，
在Rt△OFD中，∠DOF＝90°，OD＝2，∠ODF＝30°，
∴OF＝OD tan30°＝，DF＝2OF＝，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝30°，
∵∠COB＝∠CAB+∠ACO＝30°，
∴∠FOC＝∠FCO，
∴CF＝FO＝，
∴CD＝CF+DF＝2，
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形性质的应用，能求出DF、OF是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．
9．（2023 杭州一模）如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的一点，CD与⊙O相切于点D，连接AD，BD．若∠C＝30°，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【答案】B
【点拨】连接OD．根据切线的性质可得出OD⊥CD，根据直径所对圆周角为直角得出∠ADB＝90°，结合题意易证△OBD为等边三角形，最后由含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理逐项计算判断即可．
【解析】解：如图，连接OD．
∵CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD．
∵∠C＝30°，
∴∠BOD＝60°，，
∴，即．
∵OD＝OB，
∴△OBD为等边三角形，
∴BD＝OB，
∴，故A错误，不符合题意；
∵OD＝OB＝BD，，
∴OA＝OD＝OB＝BD＝BC，
∴，故B正确，符合题意；
∵AB＝2OB，OC＝2OB，
∴AB＝OC．
∵，
∴，
∴．
∵AB＝2BC，
∴，故C错误，不符合题意；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵△OBD为等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∴∠A＝30°，
∴，
∴，
∴，
∴，故D错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理的推论，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理．连接常用的辅助线是解题关键．
10．（2023 慈溪市一模）如图，在正△ABC中，D，E分别在边AC，BC上，连结DE，∠ADE的平分线过△ABC的内心O，交AB于点F，连结EF．若要知道△ABC的周长，则只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（　　）
A．△CDE B．△ADF C．△BEF D．△DEF
【考点】三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质．
【答案】A
【点拨】过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥DE于点H，OM⊥BC于点M，连接OE，GM，OC，利用三角形的内心是三个内角平分线的交点和角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，得到DG＝DH，EH＝EM，从而计算得到△CDE的周长为AC，进而得出△ABC的周长＝AB+AC+BC＝3AC＝3△CDE的周长，则结论可得．
【解析】解：过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥DE于点H，OM⊥BC于点M，连接OE，GM，OC，如图，
∵DF是∠ADE的平分线，OG⊥AC，OH⊥DE，
∴OG＝OH．
在Rt△DGO和Rt△DHO中，
，
∴Rt△DGO≌Rt△DHO（HL），
∴DG＝DH，
∵O为△ABC的内心，
∴CO平分∠ACB，
∵OG⊥AC，OM⊥BC，
∴OG＝OM，
∴OH＝OM．
在Rt△CGO和Rt△CMO中，
，
∴Rt△CGO≌Rt△CMO（HL），
∴CG＝CM．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴△CGM为等边三角形，
∴CG＝CM＝MG．
∵O为正△ABC的内心，
∴CG＝AG＝AC，
在Rt△EHO和Rt△EMO中，
，
∴Rt△EHO≌Rt△EMO（HL），
∴EH＝EM，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE
＝CD+DH+EH+CE
＝CD+DG+EM+CE
＝CG+CM
＝2CG
＝AC．
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝3AC＝3△CDE的周长，
∴要知道△ABC的周长，则只需要知道△CDE的周长即可．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形的内心的性质是解题的关键．
11．（2021 绍兴模拟）圆的直径为10cm，若圆心到某直线的距离是6cm，则直线与圆的位置关系为 　相离　．
【考点】直线与圆的位置关系．
【答案】相离．
【点拨】欲求直线和圆的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离d，再与半径r进行比较．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解析】解：∵圆的直径为10cm，
∴圆的半径为5cm，
∵圆心到直线的距离6cm，
∴圆的半径＜圆心到直线的距离，
∴直线于圆相离，
故答案为相离．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
12．（2021 青海）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是 　6.5cm或2.5cm　．
【考点】点与圆的位置关系．
【答案】6.5cm或2.5cm
【点拨】点P应分在位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点P在圆内时，直径＝最小距离+最大距离；②当点P在圆外时，直径＝最大距离﹣最小距离．
【解析】解：分为两种情况：
①当点在圆内时，如图1，
∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝9cm，
∴直径AB＝4+9＝13（cm），
∴半径r＝6.5cm；
②当点在圆外时，如图2，
∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝9cm，
∴直径AB＝9﹣4＝5（cm），
∴半径r＝2.5cm．
综上所述，圆O的半径为6.5cm或2.5cm．
故答案为：6.5cm或2.5cm．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
13．（2022 衢州）如图，AB切⊙O于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC．若∠A＝40°，则∠C的度数为 　25°　．
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【答案】25°．
【点拨】连接OB，先根据切线的性质求出∠AOB，再根据OB＝OC，∠AOB＝∠C+∠OBC即可解决问题．
【解析】解：如图，连接OB．
∵AB是⊙O切线，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠AOB＝90°﹣∠A＝50°，
∵OC＝OB，
∴∠C＝∠OBC，
∵∠AOB＝∠C+∠OBC，
∴∠C＝25°．
故答案为：25°．
【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形．
14．（2022 金华）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，则⊙O的半径为 　　cm．
【考点】切线的性质；勾股定理．
【答案】．
【点拨】连接OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D，利用矩形的判定与性质得到BD＝AC＝6cm，AD＝BC＝8cm，设⊙O的半径为rcm，在Rt△OAD中，利用勾股定理列出方程即可求解．
【解析】解：连接OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D，如图，
∵长边与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，
∵AC⊥BC，AD⊥OB，
∴四边形ACBD为矩形，
∴BD＝AC＝6cm，AD＝BC＝8cm．
设⊙O的半径为r cm，
则OA＝OB＝r cm，
∴OD＝OB﹣BD＝（r﹣6）cm，
在Rt△OAD中，
∵AD2+OD2＝OA2，
∴82+（r﹣6）2＝r2，
解得：r＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质定理，勾股定理，矩形的判定与性质，依据题意添加适当的辅助线是解题的关键．
15．（2023 杭州一模）如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，AC是⊙O的直径．若∠P＝60°，BC＝2，则PA的长为 　2　．
【考点】切线的性质．
【答案】2．
【点拨】连接AB，由AC是圆的直径，得到∠ABC＝90，由PA，PB是⊙O的切线，得到PA＝PB，推出△PAB是等边三角形，得到PA＝AB，∠PAB＝60°，因此∠BAC＝90°﹣∠PAB＝30°，求出AB的长，即可得到PA的长．
【解析】解：连接AB，
∵AC是圆的直径，
∴∠ABC＝90，
∵PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，
∴PA＝PB，∠PAC＝90°，
∵∠P＝60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴PA＝AB，∠PAB＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣∠PAB＝30°，
∵BC＝2，
∴AB＝BC＝2，
∴PA＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．
16．（2023 北仑区二模）如图，等腰△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝AC＝8，半径为2的⊙O在射线AC上运动，当⊙O与△ABC的一边相切时，线段CO的长度为 　4或　．
【考点】切线的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；垂径定理．
【答案】4或．
【点拨】当⊙O与AB相切时，设切点为D，连接OD，求得∠ADO＝90°，过C作CE⊥AB于E，得到∠AEC＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠A＝30°，根据等腰三角形的性质得到OC＝AC﹣AO＝4，当⊙O与BC相切时，设切点为E，连接OE，根据平角的定义得到∠OCE＝60°，于是得到结论．
【解析】解：当⊙O与AB相切时，设切点为D，
连接OD，
则∠ADO＝90°，
过C作CE⊥AB于E，
∴∠AEC＝90°，
∵AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠A＝30°，
∴AO＝2OD＝4，
∴OC＝AC﹣AO＝4，
当⊙O与BC相切时，设切点为E，
连接OE，
∵∠ACB＝120°，
∴∠OCE＝60°，
∵OE＝2．
∴，
综上所述，线段CO的长度为4或，
故答案为：4或．
【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
17．（2021 绍兴模拟）如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O，交AB边于点D，D为AB的中点，DE⊥AC于点E．
（1）求证：AC＝BC．
（2）求证：DE是⊙O的切线．
【考点】切线的判定；垂径定理；圆周角定理．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）证明过程见解析．
【点拨】（1）连接CD，由圆周角定理可得出∠BDC＝90°，则CD⊥AB，由中垂线的性质得出结论；
（2）连接OD，再证明OD⊥DE即可．
【解析】证明：（1）如图，连接CD，
∵BC是⊙O的直径．
∴∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB，
又∵D为AB的中点，
∴AD＝BD，
∴AC＝BC；
（2）连接OD，
∵AD＝BD，OC＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴DO∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
又∵点D在⊙O上．
∴DE是⊙O的切线．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
18．（2023 金华）如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H．
（1）求证：四边形ABOH为矩形．
（2）已知⊙A的半径为4，OB＝，求弦CD的长．
【考点】切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理．
【答案】（1）见解析；
（2）6．
【点拨】（1）根据切线的性质得到AB⊥x轴根据垂直的定义得到∠AHO＝∠HOB＝∠OBA＝90°，根据矩形的判定定理得到四边形AHOB是矩形；
（2）连接AD，根据矩形的性质得到AH＝OB＝，根据勾股定理得到DH＝＝＝3，根据垂径定理即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵⊙A与x轴相切于点B，
∴AB⊥x轴
又∵AH⊥CD，HO⊥OB，
∴∠AHO＝∠HOB＝∠OBA＝90°，
∴四边形AHOB是矩形；
（2）解：连接AD，
∵四边形AHOB是矩形，
∴AH＝OB＝，
∵AD＝AB＝4，
∴DH＝＝＝3，
∵AH⊥CD，
∴CD＝2DH＝6．
【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，正确都作出辅助线是解题的关键．
19．（2022 绍兴）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B＝90°，连结OD，AD．
（1）若∠ACB＝20°，求的长（结果保留π）．
（2）求证：AD平分∠BDO．
【考点】切线的性质；平行线的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【答案】（1）；
（2）证明见解析．
【点拨】（1）连结OA，由∠ACB＝20°，得∠AOD＝40°，由弧长公式即得的长为；
（2）根据AB切⊙O于点A，∠B＝90°，可得OA∥BC，有∠OAD＝∠ADB，而OA＝OD，即可得∠ADB＝∠ODA，从而AD平分∠BDO．
【解析】（1）解：连结OA，如图：
∵∠ACB＝20°，
∴∠AOD＝40°，
∴＝＝；
（2）证明：∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，
∵∠B＝90°，
∴OA∥BC，
∴∠OAD＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ODA，
∴AD平分∠BDO．
【点睛】本题考查与圆有关的计算及圆的性质，解题的关键是掌握弧长公式及圆的切线的性质．
20．（2022 富阳区二模）如图，以正方形ABCD的边AB为直径作⊙O，E是⊙O上一点，EF⊥AB于点F，AF＞BF，作直线DE交BC于点G，CD＝10，EF＝4．
（1）求AF的长；
（2）求证：DG是⊙O的切线．
【考点】切线的判定；正方形的性质；圆周角定理．
【答案】（1）AF＝8；（2）证明见解析．
【点拨】（1）已知直径易知半径．连接OE，在Rt△OEF中运用勾股定理求OF，再求AF，BF；
（2）欲证DG为切线，则证OE⊥DG．连接OD，证明△OAD≌△OED即可．已有两边对应相等，只需证明DE＝AD．为此作EH⊥AD于H，运用勾股定理可证．
【解析】（1）解：如图，连接OE．
∵正方形边长为10，AB是直径，
∴OB＝OE＝5．
∵EF⊥AB，EF＝4，
∴OF＝＝3，
∴BF＝2，
∴AF＝8；
（2）证明：如图，连接OD，作EH⊥AD于H点．
∴四边形AFED为直角梯形，
∴EH＝AF＝8，HD＝10﹣4＝6．
∴DE＝＝10．
∴AD＝DE．
又OA＝OE，OD公共边，
∴△OAD≌△OED（SSS），
∴∠OED＝∠OAD＝90°，
又OE是⊙O的半径，
∴DG是⊙O的切线．
【点睛】此题考查了正方形的性质、圆的切线的判定、勾股定理等知识点，综合性较强，难度较大
21．（2022 金华模拟）如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当BD＝6，AB＝10时，求BG的长．
【考点】直线与圆的位置关系；等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理．
【答案】（1）AC与⊙O相切；
（2）．
【点拨】（1）连接OE，如图，根据等腰三角形的性质得到BD⊥AC，再证明OE∥BD，则OE⊥AC，然后根据切线的判定方法得到结论；
（2）连接FG，如图，设⊙O的半径为r，则OE＝r，OA＝10﹣r，利用OE∥BD得到＝，求出r得到BF＝，再根据圆周角定理得到∠FGB＝90°，则FG∥AD，根据平行线分线段成比例得到＝，从而可求出BG．
【解析】解：（1）AC与⊙O相切．
理由如下：连接OE，如图，
∵AB＝BC，D是AC中点，
∴BD⊥AC，
∵BE平分∠ABD，
∴∠OBE＝∠DBE，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠OEB＝∠DBE，
∴OE∥BD，
∴OE⊥AC，
而OE为⊙O的半径，
∴AC为⊙O的切线；
（2）连接FG，如图，
设⊙O的半径为r，则OE＝r，OA＝10﹣r，
∵OE∥BD，
∴＝，即＝，
解得r＝，
∴BF＝2r＝，
∵BF为⊙O的直径，
∴∠FGB＝90°，
∴FG∥AD，
∴＝，即＝，
∴BG＝．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交 d＜r；直线l和⊙O相切 d＝r；直线l和⊙O相离 d＞r．也考查了等腰三角形的性质和圆周角定理．
22．（2022 衢州二模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若tan∠BCD＝，OP＝1，求线段BF的长．
【考点】切线的判定；解直角三角形；垂径定理；圆周角定理．
【答案】见解析
【点拨】（1）欲证明直线BF是⊙O的切线，只要证明AB⊥BF即可．
（2）连接OC，设OC＝OB＝x，则PB＝x﹣1，解直角三角形求得PC＝2（x﹣1），在Rt△OPC中，利用勾股定理求出OB＝，进而求得PD＝PC＝，AB＝，AP＝由△APD∽△ABF，＝，即可解决问题．
【解析】（1）证明：∵∠AFB＝∠ABC，∠ABC＝∠ADC，
∴∠AFB＝∠ADC，
∴CD∥BF，
∴∠APD＝∠ABF，
∵CD⊥AB，
∴AB⊥BF，
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）解：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴PD＝CD，
设OC＝OB＝x，
∴PB＝x﹣1，
∵tan∠BCD＝，
∴PC＝2（x﹣1），
在Rt△POC中，OC2＝PC2+OP2，
∴x2＝（2x﹣2）2+12，
解得x＝，x＝1（舍去），
∴OB＝，
∴PD＝PC＝，AB＝，AP＝
∵∠PAD＝∠BAF，∠APD＝∠ABF，
∴△APD∽△ABF，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝．
【点睛】本题考查切线的判定，垂径定理、勾股定理．相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会条件常用辅助线，属于中考常考题型．
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第五章 圆
第二节 与圆有关的位置关系
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 点与圆的位置关系 ☆ 与圆相关的位置关系也是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。关键是掌握基础知识、基本方法。
考点2 直线与圆的位置关系 ☆☆
考点3切线的性质 ☆☆☆
考点4 切线的判定 ☆☆
1.点与圆的位置关系
点与圆有三种位置关系,主要根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系得出.具体关系如下:
①点P在圆内 ． ②点P在圆上 ． ③点P在圆外 ．
2. 直线与圆的位置关系
（1）相离:如果直线和圆 公共点,那么称直线与圆相离.
（2）相切:如果直线和圆有 的公共点,那么称直线和圆相切,这条直线叫做圆的 ,这个唯一的公共点叫做圆的 .
（3）.相交:如果直线和圆有 个公共点,那么称直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线,这两个公共点叫做 .
（4）直线与圆有 种位置关系,具体的位置关系取决于圆心O到直线l的距离d和☉O的半径r之间的大小关系,几种位置关系的区别如下表:
3.切线的判定和性质
（1）切线的判定方法
①与圆有 公共点的直线是圆的切线(切线的定义); ②圆心到直线的距离等于 的直线是圆的切线; ③经过半径外端点并且 于这条半径的直线是圆的切线(切线的判定定理).
（2）切线的性质
①切线与圆只有 公共点; ② 到切线的距离等于半径; ③切线 过切点的半径.
（3）切线长
①定义:经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.
②性质定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的 相等.
4．三角形的内切圆：与三角形三边都 的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的 ，三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心是三角形的三条 的交点，内切圆的半径是内心到三边的距离．
■考点一　点与圆的位置关系
◇典例1：（2022 浦江县模拟）在平面直角坐标系中，若⊙A的半径为5，A点的坐标是（4，0），P点的坐标是（0，3），则点P与⊙A的位置关系是（　　）
A．点P在⊙A内 B．点P在⊙A外 C．点P在⊙A上 D．不能确定
◆变式训练
1．（2022 吴兴区校级二模）如果⊙O的半径为6cm，OP＝7cm，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定
2．（2023 宁波模拟）在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，⊙A的半径为2，要使点B在⊙A内时，实数b的取值范围是（　　）
A．b＞2 B．b＞6 C．b＜2或b＞6 D．2＜b＜6
■考点二 直线与圆的位置关系
◇典例2：（2023 南浔区二模）已知平面内有⊙O与直线AB，⊙O的半径为3cm，点O到直线AB的距离为3cm，则直线AB与⊙O的位置关系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能判断
◆变式训练
1．（2023 滨江区二模）已知⊙O的直径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
2．（2021 慈溪市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，以C为圆心，r为半径作圆．若该圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为　 　．
■考点三 切线的性质
◇典例3：（2021 丽水）如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交AB于点D，过点D作半圆O的切线，交AC于点E．
（1）求证：∠ACB＝2∠ADE；
（2）若DE＝3，AE＝，求的长．
◆变式训练
1．（2023 瓯海区一模）如图，AB，AC分别切⊙O于B，C两点，若∠OBC＝26°，则∠A的度数为（　　）
A．32° B．52° C．64° D．72°
2．（2023 龙港市二模）如图，AB与⊙O相切于点B，若⊙O的半径为2，AB＝3，则AO的长为（　　）
A． B． C． D．4
3．（2023 湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连结OB．
（1）求证：BD＝BC．
（2）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的长．
■考点四　 切线的判定
◇典例4：（2023 义乌市模拟）如图，⊙O的直径AB＝4，∠ABC＝30°，BC交⊙O于点D，D是BC的中点．
（1）求BC的长；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．
◆变式训练
1．（2023 金华模拟）如图，BC为△ABC的外接圆⊙O的直径，在线段BO上取点F作BC的垂线交AB于点E，点G在FE的延长线上，且GA＝GE．
（1）求证：AG与⊙O相切．
（2）已知直径BC＝20，AC＝12．若BE＝OB，试求OE的长．
1．（2020 拱墅区二模）已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
2．（2021 舟山）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
3．（2023 拱墅区二模）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（　　）
A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
4．（2023 西湖区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，若BC＝1，，则AC的长为（　　）
A．3 B．2 C． D．1
5．（2022 拱墅区模拟）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2023 婺城区模拟）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（　　）
A．13cm B．8cm C．6.5cm D．随直线MN的变化而变化
7．（2023 金东区三模）如图，直线y＝﹣x+6与坐标轴交于A，B两点，点C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连结OM，则线段OM的最小值是（　　）
A．+1 B．﹣1 C．2 D．
8．（2023 诸暨市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，．⊙C的半径长为2，P是△ABC边上一动点（可以与顶点重合），并且点P到⊙C的切线长为m．若满足条件的点P有4个，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（2021 西湖区校级三模）已知⊙O的半径为4，若PO＝4，则点P在圆 　　．
10．（2021 金华模拟）已知⊙O的直径为5，设圆心O到直线l的距离为d，当直线l与⊙O相交时，d的取值范围是 ．
11．（2021 杭州）如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，且OP＝2．若PT是⊙O的切线，T为切点，连结OT，则PT＝　　．
12．（2023 舟山）如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是 　　．
13．（2023 衢州）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 　　cm．
14．（2021 温州）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，使点O′落在⊙O上，边A′B交线段AO于点C．若∠A′＝25°，则∠OCB＝　　度．
15．（2023 余杭区模拟）如图，在△ABC中，AB，BC分别为⊙O的切线，点E和点C为切点，线段AC经过圆心O且与⊙O相交于点D，若，AD＝，则OB的长为 　　．
16．（2022 宁波）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为 　　．
17．（2023 绍兴）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E．
（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数；
（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的长．
18．（2023 金东区一模）如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB于E，F为BA延长线上一点，CA恰好平分∠FCE．
（1）求证：FC与⊙O相切；
（2）连接OD，若OD∥AC，求的值．
19．（2022 富阳区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BF＝2，BD＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
1．（2023 江都区模拟）已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则⊙O的半径可能为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2022 余杭区一模）如图，若⊙O的直径为6，点O到某条直线的距离为6，则这条直线可能是（　　）
A．l1 B．l2 C．l3 D．l4
3．（2023 越秀区校级一模）已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在（　　）
A．⊙O的内部 B．⊙O的外部 C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部
4．（2021 杭州三模）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（　　）
A．点（0，3） B．点（1，3） C．点（6，0） D．点（6，1）
5．（2023 杭州一模）如图，过⊙O外一点A作⊙O的切线AD，点D是切点，连结OA交⊙O于点B，点C是⊙O上不与点B，D重合的点．若∠A＝α°，则∠C的度数为（　　）
A． B． C．2α° D．
6．（2021 柯桥区模拟）如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．（2022 金华模拟）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（　　）
A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm
8．（2023 淳安县一模）如图，AB是⊙的直径，CD是∠ACB的平分线交⊙O于点D，过D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．若AB＝4，∠E＝75°，则CD的长为（　　）
A． B．2 C． D．
9．（2023 杭州一模）如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的一点，CD与⊙O相切于点D，连接AD，BD．若∠C＝30°，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2023 慈溪市一模）如图，在正△ABC中，D，E分别在边AC，BC上，连结DE，∠ADE的平分线过△ABC的内心O，交AB于点F，连结EF．若要知道△ABC的周长，则只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（　　）
A．△CDE B．△ADF C．△BEF D．△DEF
11．（2021 绍兴模拟）圆的直径为10cm，若圆心到某直线的距离是6cm，则直线与圆的位置关系为 　 　．
12．（2021 青海）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是 　 　．
13．（2022 衢州）如图，AB切⊙O于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC．若∠A＝40°，则∠C的度数为 　 　．
14．（2022 金华）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，则⊙O的半径为 　 　cm．
15．（2023 杭州一模）如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，AC是⊙O的直径．若∠P＝60°，BC＝2，则PA的长为 　 　．
16．（2023 北仑区二模）如图，等腰△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝AC＝8，半径为2的⊙O在射线AC上运动，当⊙O与△ABC的一边相切时，线段CO的长度为 　 　．
17．（2021 绍兴模拟）如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O，交AB边于点D，D为AB的中点，DE⊥AC于点E．
（1）求证：AC＝BC．
（2）求证：DE是⊙O的切线．
18．（2023 金华）如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H．
（1）求证：四边形ABOH为矩形．
（2）已知⊙A的半径为4，OB＝，求弦CD的长．
19．（2022 绍兴）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B＝90°，连结OD，AD．
（1）若∠ACB＝20°，求的长（结果保留π）．
（2）求证：AD平分∠BDO．
20．（2022 富阳区二模）如图，以正方形ABCD的边AB为直径作⊙O，E是⊙O上一点，EF⊥AB于点F，AF＞BF，作直线DE交BC于点G，CD＝10，EF＝4．
（1）求AF的长；
（2）求证：DG是⊙O的切线．
21．（2022 金华模拟）如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当BD＝6，AB＝10时，求BG的长．
22．（2022 衢州二模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若tan∠BCD＝，OP＝1，求线段BF的长．
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