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第五章 圆
第三节 与圆有关的计算
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 弧长、扇形的面积 ☆☆☆ 从近年各地中考来看，与圆相关的计算考查频率还是比较高，主要结合圆周角和圆心角相关知识围绕计算正多边形相关知识、弧长、扇形面积、不规则图形的面积及圆锥相关知识命题，题型主要以选填题为主，难度不大。预测2024年中考还会延续这种命题趋势，并也有可能出现创新型题目.
考点2 圆柱和圆锥 ☆☆
考点3 正多边形 ☆☆
考点4不规则图形的面积 ☆☆
1．圆的周长公式：C＝2πR(半径为R)．
圆的面积公式：S＝πR2(半径为R)．
2．在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l＝．
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形(弧长为l)面积的计算公式为：S扇形＝＝lR.
3．圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长和宽分别是底面圆的周长和圆柱的高．
圆柱侧面积公式：S圆柱侧＝2πrh；圆柱全面积公式：S圆柱全＝2πrh＋2πr2(其中圆柱的底面半径为r，高为h)．
4．圆锥的侧面积和全面积：
圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的母线长为l，底面半径为r，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr．
(1)圆锥的侧面积公式：S圆锥侧＝πrl．
(2)圆锥的全面积公式：S圆锥全＝πr2＋πrl．
(3)圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数的计算公式：θ＝·360°．
5．正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心．外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多
边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边
形的边心距．作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应正多边形．
6．不规则图形面积的计算
求与圆有关的不规则图形的面积时,最基本的思想就是转化思想,即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积.常用的方法有:
(1)直接用公式求解.
(2)将所求面积分割后,利用规则图形的面积求解.
(3)将阴影中某些图形等积变形后移位,重组成规则图形求解.
(4)将所求面积分割后,利用旋转,将部分阴影图形移位后,组成规则图形求解.
■考点一　弧长、扇形的面积
◇典例1：1．（2023 温州）若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为 　4π　．
【考点】弧长的计算．
【答案】4π．
【点拨】根据弧长公式计算即可．
【解析】解：由弧长公式得，
故答案为：4π．
【点睛】本题考查了弧长的计算，熟记弧长的公式，即（l表示弧长，n是弧所对圆心角的度数，r表示半径）．
2．（2023 北仑区一模）如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，则阴影部分面积为（　　）
A．14π B．7π C． D．2π
【考点】扇形面积的计算．
【答案】B
【点拨】根据S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC，求解即可．
【解析】解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC
＝﹣
＝
＝7π，
故选：B．
【点睛】本题考查扇形的面积，解题的关键是熟记扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）．
◆变式训练
1．（2021 长兴县模拟）一个扇形的面积是3π cm2，圆心角是120°，则此扇形的半径是　3　cm．
【考点】扇形面积的计算．
【答案】3．
【点拨】设此扇形的半径为r cm，利用扇形的面积公式得到＝3π，然后解关于r的方程即可．
【解析】解：设此扇形的半径为r cm，
根据题意得＝3π，
解得r＝3．
即此扇形的半径为3cm．
故答案为3．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）．
2．（2023 绍兴模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，，，以AC为直径的⊙O交AB于点D，则的长为 　π　．
【考点】弧长的计算．
【答案】π．
【点拨】根据已知条件得到∠COD的度数，在利用锐角三角函数得到半径的值，最后利用弧长公式即可得解答．
【解析】解：连接OD，
∵∠C＝90°，，，
∴，
∴∠BAC＝30°，
∴∠COD＝60°，，
∴AC＝6，
∴OC＝3，
∴的长为：，
故答案为：π．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，圆周角定理，弧长公式，掌握锐角三角函数是解题的关键．
■考点二 圆柱和圆锥
◇典例2：（2022 宁波）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为（　　）
A．36πcm2 B．24πcm2 C．16πcm2 D．12πcm2
【考点】圆锥的计算；扇形面积的计算．
【答案】B
【点拨】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解析】解：圆锥的侧面积＝×2π×4×6＝24π（cm2）．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
◆变式训练
1．（2022 宜兴市校级一模）如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是　20πcm2　．
【考点】圆柱的计算．
【答案】20πcm2
【点拨】根据柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长和矩形的面积公式进行计算．
【解析】解：这个圆柱的侧面积＝5×2π×2＝20π（cm2）．
故答案为20πcm2．
【点睛】本题考查了圆柱的计算：圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．
2．（2023 诸暨市模拟）已知圆锥的底面半径为5cm，高线长为12cm，则圆锥的侧面积为（　　）cm2．
A．130π B．120π C．65π D．60π
【考点】圆锥的计算．
【答案】C
【点拨】先利用勾股定理求得圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2列式计算即可．
【解析】解：∵圆锥的底面半径为5cm，高线长为12cm，
∴圆锥的底面周长＝2π×5＝10π（cm），母线长＝＝13（cm），
∴圆锥的侧面积＝×10π×13＝65π（cm2）．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．
■考点三 正多边形
◇典例3：（2023 龙港市二模）如图，要拧开一个边长为a的正六边形螺帽，则扳手张开的开口b至少为（　　）
A．2a B． C． D．
【考点】正多边形和圆．
【答案】B
【点拨】根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解析】解：如图，正六边形ABCDEF的外接圆为⊙O，连AE，OA，BE，则点O在BE上，
∵正六边形ABCDEF，
∴AB＝AF＝EF＝a，∠F＝∠FAB＝120°，
∴∠FAE＝∠FEA＝＝30°，
∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△BEF中，AB＝a，∠AEB＝×60°＝30°，
∴AE＝AB＝a，
即b＝a，
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
◆变式训练
1．（2023 绍兴模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，其半径为1，作OF⊥BC交⊙O于点F，则的长为（　　）
A．π B． C． D．
【考点】正多边形和圆．
【答案】C
【点拨】连接OA，OB，OC，求出∠AOF再用弧长公式列式计算即可．
【解析】解：连接OA，OB，OC，如图：
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB＝∠BOC＝360°÷5＝72°，OB＝OC，
∵OF⊥BC，
∴∠BOF＝∠BOC＝36°，
∴∠AOF＝108°，
∴的长为＝π，
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是掌握弧长公式和求出所对的圆心角度数．
2．（2023 余杭区二模）如图，正九边形外接圆的半径是R，则这个正九边形的边长为（　　）
A．Rsin20° B．Rsin40° C．2Rsin20° D．2Rsin40°
【考点】正多边形和圆；解直角三角形．
【答案】C
【点拨】过O作OC⊥AB于点C，则AC＝BC＝AB，解直角三角形即可得到结论．
【解析】解：如图所示，
过O作OC⊥AB于点C，则AC＝BC＝AB，
∵此多边形是正九边形，
∴∠AOB＝＝40°，
∴∠AOC＝＝20°，
在Rt△AOC中，AC＝OAsin∠AOC＝R×sin20°，
∴AB＝2AC＝2Rsin20°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用及正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
■考点四 不规则图形的面积
◇典例4：（2022 吴兴区校级二模）如图，AB是半圆O的直径，且AB＝10，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是 　　．（结果保留π）
【考点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；垂径定理．
【答案】．
【点拨】过点O作OD⊥BC于点D，交于点E，则可判断点O是的中点，由折叠的性质可得OD＝OE＝R＝3，在Rt△OBD中求出∠OBD＝30°，继而得出∠AOC，求出扇形AOC的面积即可得出阴影部分的面积．
【解析】解：过点O作OD⊥BC于点D，交于点E，连接OC，
则点E是的中点，由折叠的性质可得点O为的中点，
∴S弓形BO＝S弓形CO，
在Rt△BOD中，OD＝DE＝R＝，OB＝R＝5，
∴∠OBD＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴S阴影＝S扇形AOC＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是作出辅助线，判断点O是的中点，将阴影部分的面积转化为扇形的面积．
◆变式训练
1．（2023 淳安县一模）如图，菱形ABCD中，分别以点B，D为圆心，以长为半径画弧，分别交边BC，AD于点E，F．若AB＝4，∠BAD＝60°，则图中阴影部分的面积为 　　．（结果不取近似值）
【考点】扇形面积的计算；近似数和有效数字；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
【答案】．
【点拨】根据菱形的性质求出对角线的长，进而求出菱形的面积，再根据扇形面积的计算方法求出扇形ADE的面积，可得答案．
【解析】解：如图，连接AC交BD于点O，则AC⊥BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACD＝30°，AB＝BC＝CD＝DA＝4，
在Rt△AOB中，AB＝4，∠BAO＝30°，
∴BO＝AB＝2，AO＝AB＝2，
∴S阴影部分＝2S扇形BOE
＝2×
＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，菱形的性质，掌握扇形面积的计算方法以及菱形的性质是正确解答的前提．
2．（2023 舟山二模）如图，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，AC＝1，分别以A，B，C为圆心做弧，得到曲线CDEF，那么曲线CDEF和线段CF围成的图形（图中阴影部分）的面积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】扇形面积的计算；等腰直角三角形．
【答案】A
【点拨】图形中的阴影部分由三个扇形组成，分别求出扇形的半径，就能求出面积．
【解析】解：△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，AC＝1，
∴AB＝，BD＝+1，EC＝+2，
阴影的面积＝扇形ACD的面积+扇形EBD的面积+扇形ECF的面积
＝×π×1+×π×+××
＝．
故选：A．
【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，知道扇形面积计算公式S＝．
1．（2023 婺城区模拟）如果一个扇形的半径是2，弧长是，则此扇形的圆心角的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【考点】弧长的计算．
【答案】B
【点拨】根据l＝，结合题意可得出扇形圆心角的度数．
【解析】解：∵扇形的弧长为，半径为2，
∴＝，
解得：n＝45°．
故选：B．
【点睛】此题考查了弧长的计算，属于基础题，解答本题的关键是掌握弧长的公式，及公式中所含字母代表的含义．
2．（2023 金华模拟）已知一个底面半径为3cm的圆锥，它的母线长是5cm，则这个圆锥的侧面积是（　　）cm2．
A．15π B．45π C．30π D．20π
【考点】圆锥的计算．
【答案】A
【点拨】根据圆锥侧面积的公式：底面周长×母线长÷2，进行计算即可得．
【解析】解：圆锥的侧面积：2π×3×5÷2＝15π（cm2），
故选：A．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，掌握圆锥侧面积的公式是关键．
3．（2021 绍兴）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则∠BPC的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【考点】正多边形和圆；正方形的性质；圆周角定理．
【答案】B
【点拨】根据正方形的性质得到BC弧所对的圆心角为90°，则∠BOC＝90°，然后根据圆周角定理求解．
【解析】解：连接OB、OC，如图，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴所对的圆心角为90°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BPC＝∠BOC＝45°．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理和正方形的性质，确定BC弧所对的圆心角为90°，是本题解题的关键．
4．（2021 海曙区模拟）《九章算术》第一章“方田”中讲述了扇形面积的计算方法：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田面积为（　　）
A．平方步 B．平方步 C．120平方步 D．240平方步
【考点】扇形面积的计算；弧长的计算．
【答案】C
【点拨】先求出扇形所在圆的半径，再根据扇形的面积公式求出答案即可．
【解析】解：∵扇形所在圆的直径是16步，
∴扇形所在圆的半径是8步，
∵弧长是30步，
∴扇形的面积是＝120（平方步），
即这块田面积为120平方步，
故选：C．
【点睛】本题考查了扇形的面积计算和弧长计算，注意：扇形的面积＝弧长×半径．
5．（2022 台州）一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长80m，宽60m的矩形，有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（　　）
A．（840+6π）m2 B．（840+9π）m2 C．840m2 D．876m2
【考点】扇形面积的计算；矩形的性质．
【答案】B
【点拨】直接根据图形中外围面积和可得结论．
【解析】解：如图，
该垃圾填埋场外围受污染土地的面积＝80×3×2+60×3×2+32π
＝（840+9π）m2．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形和扇形的面积，掌握扇形的面积公式是解本题的关键．
6．（2023 金东区二模）如图，在正六边形ABCDEF中，BC＝2，点O在对角线AD上，BO⊥OF，以O为圆心，OB为半径画弧，分别交AB，AF于点M，N．则的长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】正多边形和圆；弧长的计算；圆周角定理．
【答案】D
【点拨】根据正六边形的性质以及等腰直角三角形的性质可求出OB，∠OBF＝∠OFB＝45°，再根据等腰三角形的性质求出∠AOM的度数，得到∠MON的度数，由弧长公式进行计算即可．
【解析】解：如图，连接BF，OM，ON，由正六边形的对称性可知OB＝OF，即△BOF是等腰直角三角形，
∴∠OBF＝∠OFB＝45°，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝120°，∠ABF＝∠AFB＝30°，
∴BF＝AB×2＝2，
∴OB＝OF＝BF＝，
∵OB＝OM，∠OBM＝45°+30°＝75°，
∴∠BOM＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠AOM＝45°﹣30°＝15°，
同理∠AON＝15°，
∴∠MON＝30°，
∴的长为＝，
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，圆周角定理以及弧长的计算，掌握正六边形的性质以及弧长的计算公式是正确解答的前提．
7．（2022 丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（　　）
A．m B．m C．m D．（+2）m
【考点】弧长的计算；勾股定理；矩形的性质．
【答案】C
【点拨】先作出合适的辅助线，然后根据题意和图形，可以求得优弧所对的圆心角的度数和所在圆的半径，然后根据弧长公式计算即可．
【解析】解：连接AC，BD，AC和BD相交于点O，则O为圆心，如图所示，
由题意可得，CD＝2m，AD＝2m，∠ADC＝90°，
∴tan∠DCA＝＝＝，AC＝＝4（m），
∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m，
∴∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∴优弧ADCB所对的圆心角为300°，
∴改建后门洞的圆弧长是：＝（m），
故选：C．
【点睛】本题考查弧长公式、勾股定理、圆周角定理、矩形的性质，解答本题的关键是求出优弧所对的圆心角的度数和所在圆的半径．
8．（2023 金华模拟）如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为90°，甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以12m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说法错误的是（　　）
A．甲车从G口出，乙车从F口出 B．立交桥总长为252m
C．从F口出比从G口出多行驶72m D．乙车在立交桥上共行驶16s
【考点】弧长的计算；一次函数的应用．
【答案】D
【点拨】根据题意，根据弧长公式并结合图象问题可得．
【解析】解：根据两车运行时间，可知甲车从G口出，乙车从F口出，故A正确；
由图象可知，两车通过、、弧时每段所用时间均为3s，
通过直行道AB，CG，EF时，每段用时为4s．
所以立交桥总长为（3×3+4×3）×12＝252m，故B正确；
根据两车运行路线，从F口驶出比从G口多走，弧长之和，
用时为6s，则多走72m，故C正确；
根据题意乙车行驶时间为：4×2+3×3＝17秒，故D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解答时要注意数形结合．
9．（2023 临平区二模）如图，扇形纸片AOB的半径为2，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】扇形面积的计算；圆周角定理．
【答案】A
【点拨】根据折叠的想法得到AC＝AO，BC＝BO，推出四边形AOBC是菱形，连接OC交AB于D，根据等边三角形的性质得到∠CAO＝∠AOC＝60°，求得∠AOB＝120°，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解析】解：沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，
∴AC＝AO，BC＝BO，
∵AO＝BO，
∴四边形AOBC是菱形，
连接OC交AB于D，
∵OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAO＝∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OC＝2，
∴AC＝2，AD＝AC＝，
∴AB＝2AD＝2，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣S菱形AOBC＝﹣×2×2＝π﹣2．
故选：A．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
10．（2021 湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连接BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（　　）
A．π B．π+ C． D．2π
【考点】扇形面积的计算；轴对称的性质；矩形的性质．
【答案】B
【点拨】由临界状态确定出C1的运动路径，明确点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域为：扇形BC'C''和△BCC''，再分别计算两部分面积即可．
【解析】解：如图，当P与A重合时，点C关于BP的对称点为C′，
当P与D重合时，点C关于BP的对称点为C″，
∴点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域为：扇形BC'C''和△BCC''，
在△BCD中，∵∠BCD＝90°，BC＝，CD＝1，
∴tan∠DBC＝，
∴∠DBC＝30°，
∴∠CBC″＝60°，
∵BC＝BC''，
∴△BCC''为等边三角形，
∴S扇形BC′C″＝＝π，
作C''F⊥BC于F，
∵△BCC''为等边三角形，
∴BF＝，
∴C''F＝tan60°×＝，
∴S△BCC''＝，
∴线段CC1扫过的区域的面积为：π+．
故选：B．
【点睛】本题考查了以矩形为背景的轴对称，扇形的面积计算，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是画出线段CC1扫过的图形．
11．（2021 开化县模拟）如图，点C，点D，点E分别是以AB，AC，BC为直径的半圆弧的一个三等分点，再分别以AD，DC，CE，BE为直径向外侧作4个半圆，若图中阴影部分的面积为，则AB的长为（　　）
A． B．2 C．4 D．
【考点】扇形面积的计算．
【答案】A
【点拨】根据所给的图形结合三角函数的知识可得出AC、BC、BE、CE的长度，然后根据四边形ABED为直角梯形，外层4个半圆无重叠得出S阴影＝S△ADC+S△BCE，设AD＝a，构建方程，可得结论．
【解析】解：设AD＝a，
由题意，∠ACB＝90°，∠ACD＝30°，∠BCE＝60°，
∴∠DCE＝180°，
∴D、C、E三点共线，
点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分点，
∴对的圆心角为＝60°，
∴∠ABC＝30°，
同法可得∠ACD＝∠CBE＝30°，
∴AC＝2a，AB＝4a，BC＝2a，CD＝a，EC＝a，BE＝3a，
∵四边形ABED为直角梯形，外层4个半圆无重叠．
∴S阴影＝S梯形ABED+（AD2+CD2+CE2+BE2）﹣S△ABC﹣（AC2+BC2），
＝S△ADC+S△BCE＝，
∴×a×a+×a×3a＝，
解得a＝（负根已经舍去），
∴AB＝4a＝2．
故选：A．
【点睛】本题考查了面积及等积变换的知识，难度较大，关键是仔细观察图形得出要求阴影部分面积的另一种表达方式，从而进行变换求解．
12．（2021 台州）如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC．若AB＝12，则点B经过的路径长度为 　2π　．（结果保留π）
【考点】弧长的计算；旋转的性质．
【答案】2π
【点拨】利用弧长公式计算即可．
【解析】解：长度＝＝2π，
故答案为：2π．
【点睛】本题考查弧长公式，旋转变换等知识，解题的关键是记住弧长l＝．
13．（2022 常山县模拟）一个圆柱的底面半径为5cm，母线长为6cm，则这个圆柱的侧面积为 　60π　cm2．
【考点】圆柱的计算；认识立体图形；几何体的表面积．
【答案】60π．
【点拨】圆柱侧面积＝底面周长×高．
【解析】解：圆柱的底面周长为：π×2×5＝10π（cm），
侧面积为10π×6＝60π（cm2）．
故答案为：60π．
【点睛】本题主要考查了圆柱侧面积的计算方法，解题的关键是牢记圆柱的侧面积公式．
14．（2023 宁波）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为 　1500π　cm2．（结果保留π）
【考点】圆锥的计算．
【答案】1500π．
【点拨】根据扇形面积公式计算即可．
【解析】解：烟囱帽的侧面积为：×2π×30×50＝1500π（cm2），
故答案为：1500π．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算，熟记圆锥的侧面展开图是扇形以及扇形面积公式是解题的关键．
15．（2023 金华）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 　π　cm．
【考点】弧长的计算．
【答案】π．
【点拨】连接OE，OD，由等腰三角形的性质推出∠C＝∠ODB，得到OD∥AC，推出∠EOD＝∠AEO，由OE＝OA，∠OEA＝∠BAC＝50°，因此∠∠EOD＝∠BAC＝50°，由弧长公式即可求出的长．
【解析】解：连接OE，OD，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠EOD＝∠AEO，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠BAC＝50°，
∴∠EOD＝∠BAC＝50°，
∵OD＝AB＝×6＝3（cm），
∴的长＝＝π（cm）．
故答案为：π．
【点睛】本题考查弧长的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由等腰三角形的性质推出OD∥AC，从而求出∠EOD的度数．
16．（2023 余杭区模拟）如图，在菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F，若AB＝4，∠ABC＝120°，则图中阴影部分的面积为 　8﹣　．（结果保留π）
【考点】扇形面积的计算；菱形的性质．
【答案】8﹣．
【点拨】根据菱形的性质和直角三角形的性质，可以求得AC和BD的长，再根据图形可知：S阴影＝S菱形ABCD﹣S扇形ABD，代入数据计算即可．
【解析】解：连接BD交AC于点O，如图所示，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，AB＝4，
∴∠DAB＝60°，AC⊥BD，AB＝AD＝4，
∴∠DAO＝30°，∠AOD＝90°，
∴DO＝2，AO＝2，
∴BD＝4，AC＝4，
∴S阴影＝S菱形ABCD﹣S扇形ABD
＝﹣
＝﹣
＝8﹣，
故答案为：8﹣．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出AC和BD的长．
17．（2023 杭州）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则＝　2　．
【考点】正多边形和圆．
【答案】2．
【点拨】连接OA，OC，OE，首先证明出△ACE 是⊙O的内接正三角形，然后证明出△BAC≌△OAC（ASA），得到 S△ABC＝S△AEE＝S△CDE S△AOC＝S△OAE＝S△OCE，进而求解即可．
【解析】解：如图所示，连接OA，OC，OE．
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴AC＝AE＝CE，
∴△ACE是⊙O的内接正三角形，
∵∠B＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣∠B）＝30°，
∵∠CAE＝60°，
∴∠OAC＝∠OAE＝30°，
∴∠BAC＝∠OAC＝30°，
同理可得，∠BCA＝∠OCA＝30°，
又∵AC＝AC，
∴△BAC≌△OAC（ASA），
∴S△BAC＝S△AOC，
圆和正六边形的性质可得，S△BAC＝S△AFE＝S△CDE，
由圆和正三角形的性质可得，S△OAC＝S△OAE＝S△OCE，
∵S1＝S△BAC+S△AEF+S△CDE+S△OAC+S△OAE+S△OCE＝2（S△OAC+S△OAE+S△OCE）＝2S2，
∴，
故答案为：2
【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知 识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
18．（2023 浙江二模）如图，已知⊙O的半径为，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC、BD，DB＝DC，∠BDC＝45°．
（1）求的长；
（2）求证：AD平分△ABC的外角∠EAC．
【考点】弧长的计算；圆周角定理；圆内接四边形的性质．
【答案】（1）π；
（2）见解析．
【点拨】（1）连接OB，OC，根据圆周角定理得∠BOC＝2∠BDC＝90°，再根据弧长公式计算即可；
（2）根据圆内接四边形的性质得到∠DCB＝∠EAD，根据等腰三角形的性质得到∠DCB＝∠DBC，根据圆周角定理得到∠DBC＝∠DAC，等量代换得到答案．
【解析】（1）解：如图，连接OB，OC，
∵∠BDC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝90°，
∴的长为＝π；
（2）证明：∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠CAD＝∠DCB，
∵∠DCB+∠DAB＝180°，∠EAD+∠DAB＝180°，
∴∠EAD＝∠DCB，
∴∠EAD＝∠CAD，
∴AD平分△ABC的外角∠EAC．
【点睛】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的外角等于它的内对角是解题的关键．
19．（2023 平湖市一模）如图，将含30°角的直角三角板ABC放入半圆O中，A，B，C三点恰好在半圆O上，点E是BC的中点，连结OE并延长交圆O于点D．
（1）求证：OD∥AC；
（2）若AB＝8，求阴影部分的面积．
【考点】扇形面积的计算；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【答案】（1）证明见解答；
（2）﹣4．
【点拨】（1）根据圆周角定理得到∠C＝90°，根据垂径定理得到OD⊥BC，由平行线的判定即可得到结论；
（2）连接OC，先根据圆周角定理可得∠AOC＝60°，根据含30°角的性质得AC＝4，根据勾股定理得BC的长，计算△ABC的面积，由三角形中线的性质可得△AOC的面积，最后由扇形和三角形的面积公式即可得到答案．
【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴OD⊥BC，
∴∠BEO＝90°，
∴∠C＝∠BEO，
∴OD∥AC；
（2）解：连接OC，
在Rt△ACB中，∠B＝30°，AB＝8，
∴∠AOC＝2∠B＝60°，AC＝AB＝4，BC＝＝4，
∴S△AOC＝S△ABC＝××＝4，
∴阴影部分的面积＝S扇形OAC﹣S△AOC＝﹣4＝﹣4．
【点睛】本题考查了扇形的面积，平行线的判定，勾股定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
20．（2022 金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法 如图2．
1．作直径AF．
2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．
3．连接AM，MN，NA．
（1）求∠ABC的度数．
（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点A开始，以DN长为边长，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
【考点】正多边形和圆；作图—基本作图；等边三角形的判定．
【答案】（1）108°；
（2）△AMN是正三角形，理由见解答；
（3）15．
【点拨】（1）根据正五边形内角和，可以计算出∠ABC的度数；
（2）先判断，然后根据题意和图形说明理由即可；
（3）根据题意和（2）中的结果，计算出∠NOD的度数，然后即可计算出n的值．
【解析】解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC＝＝108°，
即∠ABC＝108°；
（2）△AMN是正三角形，
理由：连接ON，NF，如图，
由题意可得：FN＝ON＝OF，
∴△FON是等边三角形，
∴∠NFA＝60°，
∴∠NMA＝60°，
同理可得：∠ANM＝60°，
∴∠MAN＝60°，
∴△MAN是正三角形；
（3）连接OD，如图，
∵∠AMN＝60°，
∴∠AON＝120°，
∵∠AOD＝＝144°，
∴∠NOD＝∠AOD﹣∠AON＝144°﹣120°＝24°，
∵360°÷24°＝15，
∴n的值是15．
【点睛】本题考查正多边形和圆、等边三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
1．（2021 衢州）已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是（　　）
A．π B．3π C．5π D．15π
【考点】扇形面积的计算．
【答案】D
【点拨】把已知数据代入扇形面积公式计算，即可得到答案．
【解析】解：扇形面积＝，
故选：D．
【点睛】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：是解决本题的关键．
2．（2023 慈溪市一模）已知圆锥的底面周长为3cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（　　）
A．9πcm2 B．9cm2 C．18πcm2 D．18cm2
【考点】圆锥的计算．
【答案】B
【点拨】根据圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2列式计算即可．
【解析】解：圆锥的侧面积＝×3×6＝9（cm2）．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积计算方法，解题的关键是掌握圆锥的侧面积：S侧＝ 2πr l＝πrl．
3．（2023 金东区一模）如图，在4×4的方格中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形，O，A，B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于（　　）
A．2π B．π C．2π D．π
【考点】弧长的计算；勾股定理．
【答案】B
【点拨】由题目给出的图形可知△AOB为等腰直角三角形，求出扇形的半径及圆心角的弧度数，然后直接代入弧长公式求解．
【解析】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴由图可知，，且OA＝2．
由弧长公式可得：扇形OAB的弧长等于＝＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了弧长公式，考查了学生的读图能力，是基础的计算题．
4．（2023 拱墅区校级模拟）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝6，∠A＝60°，则的长为 （　　）
A． B．π C．2π D．3π
【考点】弧长的计算．
【答案】B
【点拨】连接OD、OE，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出∠DOE＝60°，再根据弧长公式计算，得到答案．
【解析】解：连接OD、OE，
∵∠A＝60°，
∴∠B+∠C＝120°，
∵OB＝OD，OE＝OC，
∴∠ODB＝∠B，∠OEC＝∠C，
∴∠BOD+∠EOC＝360°﹣120°×2＝120°，
∴∠DOE＝60°，
∴的长为：＝π，
故选：B．
【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
5．（2023 路桥区二模）小科同学将一张直径为16的圆形卡纸平均分成4份，用其中一份作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
【考点】圆锥的计算．
【答案】A
【点拨】先求出圆形卡纸的周长，再求出圆锥的底面圆的周长，最后根据圆的周长公式求出半径即可．
【解析】解：圆形卡纸的周长为16π，
∵＝4π，
∴圆锥的底面圆的周长为4π，
设圆锥的底面半径为r，
则2πr＝4π，
解得：r＝2，
即这个圆锥的底面半径为2，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，能求出圆锥的底面圆的周长是解此题的关键．
6．（2023 鄞州区模拟）如图所示，某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，底面半径OB＝6米，则圆锥的侧面积是多少平方米（结果保留π）（　　）
A．60π B．50π C．48π D．80π
【考点】圆锥的计算．
【答案】A
【点拨】先利用勾股定理计算出AB的长，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．则根据扇形的面积公式可计算出圆锥的侧面积．
【解析】解：在Rt△ABO中，AB＝＝＝10，
所以圆锥的侧面积＝×2π×6×10＝60π（平方米）．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
7．（2020 金华模拟）如图，一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，圆柱底面直径为4，母线为6，则蚂蚁爬行的最短路线长为（　　）
A． B． C．4π D．6π
【考点】圆柱的计算；平面展开﹣最短路径问题．
【答案】A
【点拨】要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾股定理来求．
【解析】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A，B的最短距离为线段AB的长，
BC＝6，AC为底面半圆弧长，AC＝2π，
所以AB＝＝．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，本题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算．
8．（2022 钱塘区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以点D为圆心，DA的长为半径画弧，交BC于点E，交DC的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．﹣ D．﹣2
【考点】扇形面积的计算；矩形的性质．
【答案】B
【点拨】连接DE，利用矩形的性质以及勾股定理求出CE的长以及∠CDE的度数，进而利用图中阴影部分的面积＝S扇形DEF﹣S△DEC，求出答案．
【解析】解：连接DE，
在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠BCD＝90°，
∴DE＝AD＝4，
∴CE＝＝2，
∴CE＝DE，
∴∠EDC＝30°，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形DEF﹣S△DEC
＝﹣×2×2
＝﹣2．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质等知识，正确得出CE的长以及∠CDE的度数是解题关键．
9．（2023 永康市一模）如图，已知正五边形ABCDE的边长为2，连接对角线构成另一个正五边形FGHIJ，则正五边形FGHIJ的边长为（　　）
A．1 B． C． D．
【考点】正多边形和圆．
【答案】C
【点拨】根据正五边形的性质，得到∠AEB＝∠ABE＝∠BAG＝∠EAF＝∠FAG＝36°，∠EAG＝∠EGA＝72°，得到EA＝EG＝2，证明△BAG∽△BEA列式计算即可．
【解析】解：∵正五边形ABCDE的边长为2，
AB＝BC＝CD＝DE＝EA＝2，∠BAE＝∠AED＝∠EDC＝∠DCB＝∠CBA＝108°，
∴∠AEB＝∠ABE＝∠BAG＝∠EAF＝∠FAG＝36°，∠EAG＝∠EGA＝72°，
∴EA＝EG＝2，△BAG∽△BEA，BG＝AG＝EF＝FA，
∴，
∴，
解得（舍去），
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了正五边形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解方程，熟练掌握正五边形的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键．
10．（2021 龙湾区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，CA为直径作半圆围成两月牙形，过点C作DF∥AB分别交三个半圆于点D，E，F．若＝，AC+BC＝15，则阴影部分的面积为（　　）
A．16 B．20 C．25 D．30
【考点】扇形面积的计算；勾股定理；圆周角定理．
【答案】C
【点拨】阴影部分面积可以看成是以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形ABC的面积减去一个以AB为直径的半圆的面积．
【解析】解：连接AF、BE，
∵AC是直径，
∴∠AFC＝90°．
∵BC是直径，
∴∠CDB＝90°．
∵DF∥AB，
∴四边形ABDF是矩形，
∴AB＝DF，
取AB的中的O，作OG⊥CE．
∵，设DF＝10k，CE＝6k，
∵CG＝CE＝3k，OC＝OA＝5k，
∴OG＝4K，
∴AF＝BD＝4K，CF＝DE＝2K，
∴AC＝．
∵AC+BC＝15，
∴2k+4k＝15，
∴k＝，
∴AC＝5，BC＝10，
S阴影＝直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC﹣直径为AB的半圆的面积
＝π（）2+π（）2+AC×BC﹣π（）2
＝π（AC）2+π（BC）2﹣π（AB）2+AC×BC
＝π（AC2+BC2﹣AB2）+AC×BC
＝AC×BC
＝×5×10
＝25．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了扇形面积的计算公式，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差．
11．（2021 温州）若扇形的圆心角为30°，半径为17，则扇形的弧长为 　π　．
【考点】弧长的计算．
【答案】π．
【点拨】根据弧长公式代入即可．
【解析】解：根据弧长公式可得：
l＝＝＝π．
故答案为：π．
【点睛】本题考查弧长的计算，掌握弧长公式是解题关键．
12．（2023 洞头区二模）若扇形的圆心角为60°，半径为3，则该扇形的面积为 　1.5π　．
【考点】扇形面积的计算．
【答案】1.5π
【点拨】直接利用扇形的面积公式求解即可．
【解析】解：根据题意，扇形的圆心角为60°，半径为3，
则该扇形的面积为S＝＝1.5π，
故答案为：1.5π．
【点睛】本题考查扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解答本题的关键．
13．（2020 大兴区一模）将面积为225cm2的正方形硬纸片围成圆柱的侧面，则此圆柱的底面直径为　　cm（结果保留π）．
【考点】圆柱的计算．
【答案】
【点拨】圆柱的底面直径＝底面周长÷π．
【解析】解：由面积为225cm2的正方形可知正方形的边长＝＝15cm，即是圆柱底面的周长，所以用这硬纸片围成圆柱的侧面的直径＝cm，
故答案为：．
【点睛】此题考查正多边形和圆，本题要先由正方形的面积求出正方形的周长，然后再求底面的直径．
14．（2023 温州二模）如图，菱形花坛ABCD的边长为9米，∠B＝60°，其中由两个正六边形组成的部分种花，则种花部分的面积为 　27　米2．
【考点】正多边形和圆；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
【答案】27．
【点拨】根据菱形的性质和正六边形的性质，求出正六边形的边长和面积即可．
【解析】解：如图，设正六边形EFGHMN的中心为O，过点O作OP⊥EF于P，
∵四边形ABCD是菱形，其边长为9米，∠B＝60°，而六边形EFGHMN是正六边形，
∴EF＝OE＝OF＝3米，∠EOF＝60°，
∴OP＝OE＝（米），
∴S正六边形EFGHMN＝6S△EOF
＝6××3×
＝（平方米），
∴两个正六边形的面积为27平方米，
故答案为：27．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及面积的计算方法是正确解答的前提．
15．（2023 舟山模拟）如图，在矩形ABCD中，，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，则图中阴影部分的面积是 　4﹣π　.（结果不取近似值）
【考点】扇形面积的计算；矩形的性质．
【答案】4﹣π．
【点拨】根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S扇形ADE进行计算．
【解析】解：图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S扇形ADE
＝2×2﹣
＝4﹣π．
故答案为：4﹣π．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）．
16．（2023 杭州一模）如图是以点O为圆心的圆形纸片，AB是⊙O的弦，将该圆形纸片沿直线AB折叠，劣弧恰好经过圆心O．若AB＝6，则图中阴影部分的面积为 　　．
【考点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；垂径定理．
【答案】．
【点拨】过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，OB，根据折叠的性质可知OA＝2OD，根据勾股定理求得AO，∠AOB＝120°，根据阴影部分面积等比空白弓形部分面积，即S扇形OAB﹣S△OAB，即可求解．
【解析】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，OB，
根据折叠的性质可知OA＝2OD，
∴，
∴∠OAD＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∵AB＝6，
∴，
∴，则，
∴阴影部分面积＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算、垂径定理以及翻折变换（折叠问题），掌握扇形面积公式是解题的关键．
17．（2023 杭州模拟）如图，扇形AOB中，∠AOB＝120°，连接AB，以A为旋转中心，将AB旋转30°得到AC，若OA＝2，则阴影部分的面积为 　　．
【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．
【答案】π﹣．
【点拨】连接BD，OD，由旋转可知∠BAC＝30°，再由OA＝OB，∠AOB＝120°可知∠BAO＝30°，可得△OAD是等边三角形，∠AOD＝∠BOD＝60°，故弓形AD与弓形BD相等，即可得S阴影＝S扇形AOB﹣S△ABD，即可得出结论．
【解析】解：连接BD，OD，
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠BAO＝30°，
由旋转可知∠BAC＝30°，
∴∠OAD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD＝∠BOD＝60°，
∴AD＝BD，OD⊥AB，AE＝BE，
∴弓形AD与弓形BD相等，即可得
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△ABD，
∵OD⊥AB，AE＝BE，∠BAO＝∠BAC＝30°，
∴DE＝OE＝OA＝1，AE＝BE＝，
∴AB＝2，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△ABD＝﹣×2×1＝π﹣．
故选：π﹣．
【点睛】本题考查了扇形的面积计算，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
18．（2022 常山县模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连结AC，BD交于点F．
（1）求证：AB＝AF．
（2）若⊙O的半径为10，求正五边形ABCDE的面积（结果精确到0.1，参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．
【考点】正多边形和圆；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；圆周角定理．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）239.0．
【点拨】（1）证明∠AFB＝∠ABF＝72°，可得结论；
（2）过点B作BH⊥OA于点H．解直角三角形求出OH，AB，可得结论．
【解析】解：（1）证明：如图，连接OA，OD，OC，OB．
∵ABCDE是正五边形，
∴∠BOC＝72°，∠AOD＝144°，
∴∠BAC＝∠BOC＝36°，∠ABF＝∠AOD＝72°，
∴∠AFB＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AB＝AF；
（2）解：过点B作BH⊥OA于点H．则BH＝OB sin36°，OH＝OB cos36°，
∴五边形ABCDE的面积＝5× AB OH
＝5××2×OB2 sin30° cos36°
＝5×102×0.59×0.81
≈239.0．
【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
19．（2023 温岭市一模）将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，三角板内部的小等腰直角三角形的两个顶点A，B恰好落在量角器边缘，对应的刻度分别是70°，130°，若CA＝5，则阴影部分面积为 　　．
【考点】扇形面积的计算；等腰直角三角形．
【答案】．
【点拨】把量角器看作半圆，构造扇形AOB，阴影部分的面积就等于扇形AOB的面积减去△AOB的面积，再利用相关的面积公式求解即可．
【解析】解：连接OA、OB，作AD⊥OB于点D，
∵等腰直角三角形ACB中，CA＝5，
∴，
∵A，B对应的刻度分别是70°，130°，
∴∠AOB＝130°﹣70°＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴，，
．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，构造扇形并得出等边三角形是解题的关键．
20．（2022 衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．
（1）求证：CD∥AB．
（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．
【考点】扇形面积的计算；平行线的判定与性质；圆周角定理．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）S阴影＝．
【点拨】（1）根据圆周角定理可得，∠ACD＝∠DBA，由已知条件可得∠CAB＝∠ACD，再根据平行线的判定方法即可得出答案；
（2）连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．由∠ACD＝30°，可得∠ACD＝∠CAB＝30°，根据圆周角定理可得∠AOD＝∠COB＝60°，即可得出∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠COB＝60°，∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，即可算出S扇形BOD＝的面积，在Rt△ODE中，根据三角函数可算出DE＝cos30°OD的长度，即可算出S△BOD＝的面积，根据S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD代入计算即可得出答案．
【解析】（1）证明：∵＝，
∴∠ACD＝∠DBA，
又∵∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴CD∥AB．
（2）如图，连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
∵∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴S扇形BOD＝．
在Rt△ODE中，
∵DE＝sin60° OD＝＝，
∴S△BOD＝＝＝，
∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD＝．
∴S阴影＝．
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
21．（2022 浦江县模拟）平行四边形的对角线AC⊥AB，以AC为直径的⊙O交AD于点E．
（1）如图1，若＝2，求的值．
（2）如图2，若AC＝10，∠ACB＝15°，把边BC下方的弧以BC为对称轴向上翻折，与对角线AC交于点F，求CF的值．
【考点】弧长的计算；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质；圆周角定理．
【答案】（1）；
（2）5．
【点拨】（1）连结OE，根据＝2，得到∠AOE＝2∠EOC，根据∠AOE+∠EOC＝180°，∠EOC＝60°，根据圆周角定理得到∠EAC＝∠EOC＝30°，根据平行四边形ABCD中，对角线AC⊥AB，得到AC⊥CD，根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案；
（2）作∠BCG＝15°，交圆O于点G，连结AG，由对称性可得CF＝CG，∠ACG＝30°，根据∠AGC是直径AC所对的圆周角，得到∠AGC＝90°，根据特殊角的三角函数即可得出答案．
【解析】解：（1）连结OE，
∵＝2，
∴∠AOE＝2∠EOC，
∵∠AOE+∠EOC＝180°，
∴∠EOC＝60°，
∵∠EAC是所对的圆周角，
∴∠EAC＝∠EOC＝30°，
又∵在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥AB，
∴AC⊥CD，
∴；
（2）作∠BCG＝15°，交圆O于点G，连结AG，
由对称性可得CF＝CG，∠ACG＝30°，
∵∠AGC是直径AC所对的圆周角，
∴∠AGC＝90°，
∴CF＝CG＝AC cos30°＝．
【点睛】本题考查了圆周角定理，轴对称的性质，翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，利用对称性构造CF＝CG，∠ACG＝30°是解题的关键．
22．（2023 浦江县模拟）浦江桃形李是地方名果，是浦江县的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题．
信息及素材
素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对桃形李的种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年桃形李平均每株产量是35千克，2022年达到了50.4千克，每年的增长率是相同的．
素材二 一般采用的是长方体包装盒．
素材三 果农们通过问卷调查发现，顾客也很愿意购买美观漂亮的其它设计的包装纸盒．
任务1：求桃形李产量的年平均增长率；
任务2：现有长80cm，宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的桃形李，需要设计底面积为3300cm2的纸盒，计算此时纸盒的高；
任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），求出此时纸盒的高．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计）
【考点】正多边形和圆；一元二次方程的应用．
【答案】任务：1：20%；
任务2：10；
任务3：．
【点拨】任务1：设桃形李产量的年平均增长率为x，则2022年的产量为35（1+x）2千克，由2022年的产量解方程即可；
任务2：由图1可得裁掉正方形的边长即为图2长方体盒子的高，设裁掉正方形的边长为m（cm），根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可；
任务3：设底面正六边形为ABCDEF，连接AC、FD、BE，AC和BE交于点G，FD和BE交于点H，BE所在直线交长方形纸板的边于点M、N，根据正六边形的性质求得△ABG为含30°角的直角三角形，可得其两直角边的长度；结合等边三角形的判定和性质再求得左右两侧小三角形的高，然后根据长方形纸板的长和宽建立方程求解即可．
【解析】解：任务1：设桃形李产量的年平均增长率为x，
由题意得：
35（1+x）2＝50.4，
解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
答：桃形李产量的年平均增长率为20%；
任务2：设裁掉正方形的边长为m（cm），由题意得：
（75﹣2m）×（80﹣2m）＝3300，
化简得，4m2﹣310m+2700＝0，
整理得，（m﹣10）（4m﹣270）＝0，
解得：m1＝10，m2＝（不符合题意舍去），
答：此时纸盒的高为10cm；
任务3：如图，设底面正六边形为ABCDEF，连接AC、FD、BE，AC和BE交于点G，FD和BE交于点H，BE所在直线交长方形纸板的边于点M、N，
设底面正六边形的边长为a（cm），纸盒的高为b（cm），
∵正六边形的每条边相等，每个内角都为120°，
∴△ABC为等腰三角形，∠ABC＝120°，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，
由正六边形的性质可得BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝60°，
∴∠AGB＝90°，
∴直角三角形ABG中，BG＝a，AG＝，
同理可得直角三角形FHE中，HE＝，
∵CG＝AG＝，b+AG+GC+b＝75，
∴2b+＝75①，
∵左侧小三角形顶点B的角度＝360°﹣120°﹣90°﹣90°＝60°，
∴左侧小三角形为边长b的等边三角形，
根据图形的上下对称可得MN与长方形纸板的左右两边垂直，
∴BM为等边三角形的高，
∴BM＝，
同理可得，EN＝BM＝
∵四边形AGHF为矩形，
∴GH＝AF＝a，
∵MN＝MB+BG+GH+HE+EN＝80，
∴2a+＝80②，
联立①②式可得b＝150﹣80，
答：纸盒的高为（150﹣80）cm；
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，30°角的直角三角形的边长关系，对称的性质；掌握正六边形的性质是解题关键．
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第五章 圆
第三节 与圆有关的计算
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 弧长、扇形的面积 ☆☆☆ 从近年各地中考来看，与圆相关的计算考查频率还是比较高，主要结合圆周角和圆心角相关知识围绕计算正多边形相关知识、弧长、扇形面积、不规则图形的面积及圆锥相关知识命题，题型主要以选填题为主，难度不大。预测2024年中考还会延续这种命题趋势，并也有可能出现创新型题目.
考点2 圆柱和圆锥 ☆☆
考点3 正多边形 ☆☆
考点4不规则图形的面积 ☆☆
1．圆的周长公式：C＝ (半径为R)．
圆的面积公式：S＝ (半径为R)．
2．在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l＝ ．
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形(弧长为l)面积的计算公式为：S扇形＝ ＝lR.
3．圆柱的侧面展开图是 ，这个 的长和宽分别是底面圆的 和圆柱的 ．
圆柱侧面积公式：S圆柱侧＝ ；圆柱全面积公式：S圆柱全＝ (其中圆柱的底面半径为r，高为h)．
4．圆锥的侧面积和全面积：
圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的母线长为l，底面半径为r，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr．
(1)圆锥的侧面积公式：S圆锥侧＝ ．
(2)圆锥的全面积公式：S圆锥全＝ ．
(3)圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数的计算公式：θ＝ ．
5．正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心．外接圆的半径叫做正多边形的 ，正多
边形每一边所对的 叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边
形的边心距．作相等的 就可以等分圆周，从而得到相应正多边形．
6．不规则图形面积的计算
求与圆有关的不规则图形的面积时,最基本的思想就是转化思想,即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积.常用的方法有:
(1)直接用公式求解.
(2)将所求面积分割后,利用规则图形的面积求解.
(3)将阴影中某些图形等积变形后移位,重组成规则图形求解.
(4)将所求面积分割后,利用旋转,将部分阴影图形移位后,组成规则图形求解.
■考点一　弧长、扇形的面积
◇典例1：（2023 温州）若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为 　 　．
2．（2023 北仑区一模）如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，则阴影部分面积为（　　）
A．14π B．7π C． D．2π
◆变式训练
1．（2021 长兴县模拟）一个扇形的面积是3π cm2，圆心角是120°，则此扇形的半径是　 　cm．
2．（2023 绍兴模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，，，以AC为直径的⊙O交AB于点D，则的长为 　 　．
■考点二 圆柱和圆锥
◇典例2：（2022 宁波）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为（　　）
A．36πcm2 B．24πcm2 C．16πcm2 D．12πcm2
◆变式训练
1．（2022 宜兴市校级一模）如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是　 ．
2．（2023 诸暨市模拟）已知圆锥的底面半径为5cm，高线长为12cm，则圆锥的侧面积为（　　）cm2．
A．130π B．120π C．65π D．60π
■考点三 正多边形
◇典例3：（2023 龙港市二模）如图，要拧开一个边长为a的正六边形螺帽，则扳手张开的开口b至少为（　　）
A．2a B． C． D．
◆变式训练
1．（2023 绍兴模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，其半径为1，作OF⊥BC交⊙O于点F，则的长为（　　）
A．π B． C． D．
2．（2023 余杭区二模）如图，正九边形外接圆的半径是R，则这个正九边形的边长为（　　）
A．Rsin20° B．Rsin40° C．2Rsin20° D．2Rsin40°
■考点四 不规则图形的面积
◇典例4：（2022 吴兴区校级二模）如图，AB是半圆O的直径，且AB＝10，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是 　　．（结果保留π）
◆变式训练
1．（2023 淳安县一模）如图，菱形ABCD中，分别以点B，D为圆心，以长为半径画弧，分别交边BC，AD于点E，F．若AB＝4，∠BAD＝60°，则图中阴影部分的面积为 　　．（结果不取近似值）
2．（2023 舟山二模）如图，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，AC＝1，分别以A，B，C为圆心做弧，得到曲线CDEF，那么曲线CDEF和线段CF围成的图形（图中阴影部分）的面积为（　　）
A． B． C． D．
1．（2023 婺城区模拟）如果一个扇形的半径是2，弧长是，则此扇形的圆心角的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．（2023 金华模拟）已知一个底面半径为3cm的圆锥，它的母线长是5cm，则这个圆锥的侧面积是（　　）cm2．
A．15π B．45π C．30π D．20π
3．（2021 绍兴）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则∠BPC的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．（2021 海曙区模拟）《九章算术》第一章“方田”中讲述了扇形面积的计算方法：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田面积为（　　）
A．平方步 B．平方步 C．120平方步 D．240平方步
5．（2022 台州）一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长80m，宽60m的矩形，有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（　　）
A．（840+6π）m2 B．（840+9π）m2 C．840m2 D．876m2
6．（2023 金东区二模）如图，在正六边形ABCDEF中，BC＝2，点O在对角线AD上，BO⊥OF，以O为圆心，OB为半径画弧，分别交AB，AF于点M，N．则的长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2022 丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（　　）
A．m B．m C．m D．（+2）m
8．（2023 金华模拟）如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为90°，甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以12m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说法错误的是（　　）
A．甲车从G口出，乙车从F口出 B．立交桥总长为252m
C．从F口出比从G口出多行驶72m D．乙车在立交桥上共行驶16s
9．（2023 临平区二模）如图，扇形纸片AOB的半径为2，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．（2021 湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连接BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（　　）
A．π B．π+ C． D．2π
11．（2021 开化县模拟）如图，点C，点D，点E分别是以AB，AC，BC为直径的半圆弧的一个三等分点，再分别以AD，DC，CE，BE为直径向外侧作4个半圆，若图中阴影部分的面积为，则AB的长为（　　）
A． B．2 C．4 D．
12．（2021 台州）如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC．若AB＝12，则点B经过的路径长度为 　　．（结果保留π）
13．（2022 常山县模拟）一个圆柱的底面半径为5cm，母线长为6cm，则这个圆柱的侧面积为 　　cm2．
14．（2023 宁波）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积
为 　 　cm2．（结果保留π）
15．（2023 金华）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 　　cm．
16．（2023 余杭区模拟）如图，在菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F，若AB＝4，∠ABC＝120°，则图中阴影部分的面积为 　　．（结果保留π）
17．（2023 杭州）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则＝　　．
18．（2023 浙江二模）如图，已知⊙O的半径为，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC、BD，DB＝DC，∠BDC＝45°．
（1）求的长；
（2）求证：AD平分△ABC的外角∠EAC．
19．（2023 平湖市一模）如图，将含30°角的直角三角板ABC放入半圆O中，A，B，C三点恰好在半圆O上，点E是BC的中点，连结OE并延长交圆O于点D．
（1）求证：OD∥AC；
（2）若AB＝8，求阴影部分的面积．
20．（2022 金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法 如图2．
1．作直径AF．
2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．
3．连接AM，MN，NA．
（1）求∠ABC的度数．
（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点A开始，以DN长为边长，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
1．（2021 衢州）已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是（　　）
A．π B．3π C．5π D．15π
2．（2023 慈溪市一模）已知圆锥的底面周长为3cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（　　）
A．9πcm2 B．9cm2 C．18πcm2 D．18cm2
3．（2023 金东区一模）如图，在4×4的方格中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形，O，A，B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于（　　）
A．2π B．π C．2π D．π
4．（2023 拱墅区校级模拟）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝6，∠A＝60°，则的长为 （　　）
A． B．π C．2π D．3π
5．（2023 路桥区二模）小科同学将一张直径为16的圆形卡纸平均分成4份，用其中一份作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
6．（2023 鄞州区模拟）如图所示，某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，底面半径OB＝6米，则圆锥的侧面积是多少平方米（结果保留π）（　　）
A．60π B．50π C．48π D．80π
7．（2020 金华模拟）如图，一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，圆柱底面直径为4，母线为6，则蚂蚁爬行的最短路线长为（　　）
A． B． C．4π D．6π
8．（2022 钱塘区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以点D为圆心，DA的长为半径画弧，交BC于点E，交DC的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．﹣ D．﹣2
9．（2023 永康市一模）如图，已知正五边形ABCDE的边长为2，连接对角线构成另一个正五边形FGHIJ，则正五边形FGHIJ的边长为（　　）
A．1 B． C． D．
10．（2021 龙湾区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，CA为直径作半圆围成两月牙形，过点C作DF∥AB分别交三个半圆于点D，E，F．若＝，AC+BC＝15，则阴影部分的面积为（　　）
A．16 B．20 C．25 D．30
11．（2021 温州）若扇形的圆心角为30°，半径为17，则扇形的弧长为 　　．
12．（2023 洞头区二模）若扇形的圆心角为60°，半径为3，则该扇形的面积为 　　．
13．（2020 大兴区一模）将面积为225cm2的正方形硬纸片围成圆柱的侧面，则此圆柱的底面直径为　　cm（结果保留π）．
14．（2023 温州二模）如图，菱形花坛ABCD的边长为9米，∠B＝60°，其中由两个正六边形组成的部分种花，则种花部分的面积为 　 　米2．
15．（2023 舟山模拟）如图，在矩形ABCD中，，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，则图中阴影部分的面积是 　　.（结果不取近似值）
16．（2023 杭州一模）如图是以点O为圆心的圆形纸片，AB是⊙O的弦，将该圆形纸片沿直线AB折叠，劣弧恰好经过圆心O．若AB＝6，则图中阴影部分的面积为 　　．
17．（2023 杭州模拟）如图，扇形AOB中，∠AOB＝120°，连接AB，以A为旋转中心，将AB旋转30°得到AC，若OA＝2，则阴影部分的面积为 　　．
18．（2022 常山县模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连结AC，BD交于点F．
（1）求证：AB＝AF．
（2）若⊙O的半径为10，求正五边形ABCDE的面积（结果精确到0.1，参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．
19．（2023 温岭市一模）将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，三角板内部的小等腰直角三角形的两个顶点A，B恰好落在量角器边缘，对应的刻度分别是70°，130°，若CA＝5，则阴影部分面积为 　　．
20．（2022 衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．
（1）求证：CD∥AB．
（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．
21．（2022 浦江县模拟）平行四边形的对角线AC⊥AB，以AC为直径的⊙O交AD于点E．
（1）如图1，若＝2，求的值．
（2）如图2，若AC＝10，∠ACB＝15°，把边BC下方的弧以BC为对称轴向上翻折，与对角线AC交于点F，求CF的值．
22．（2023 浦江县模拟）浦江桃形李是地方名果，是浦江县的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题．
信息及素材
素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对桃形李的种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年桃形李平均每株产量是35千克，2022年达到了50.4千克，每年的增长率是相同的．
素材二 一般采用的是长方体包装盒．
素材三 果农们通过问卷调查发现，顾客也很愿意购买美观漂亮的其它设计的包装纸盒．
任务1：求桃形李产量的年平均增长率；
任务2：现有长80cm，宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的桃形李，需要设计底面积为3300cm2的纸盒，计算此时纸盒的高；
任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），求出此时纸盒的高．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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