资源简介

8.5 空间直线、平面的平行
思维导图
考法解读
考法一 证线线平行
【例1-1】（2024·湖南）已知三条不同的直线l，m，n，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例1-2】（2024河北）如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（ ）
A．3条 B．4条
C．5条 D．6条
【例1-3】（2023山西）已知E E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD A1D1的中点.求证：∠BEC=∠B1E1C1.
【一隅三反】
1．（2023甘肃）如图，在正方体中，直线平面，且直线与直线不平行，则下列一定不可能的是（ ）
A．l与AD平行 B．l与AD不平行 C．l与AC平行 D．l与BD平行
2．（2023河南）下列结论中正确的是（ ）
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③
3．（2024山东）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB=AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是 .
4．（2023·高一课时练习）如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行．
5．（2024北京）如图，三棱柱中，，，分别为，，的中点.求证：.
考法二 线面平行的判定定理
【例2-1】（2023下·河南洛阳 ）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，E为的中点.
(1)证明：平面；
(2)设，，求点D到平面的距离.
【例2-2】（2024上·内蒙古 ）如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱上的一点，且．
(1)证明：平面；
(2)求四棱锥的体积．
【例2-3】（2024上·重庆 ）如图，在直三棱柱中，，，，点M、N分别为和的中点．
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)证明：平面．
【一隅三反】
1．（2024·全国· 专题练习）如图，四棱锥中，四边形是矩形，，，为正三角形，且平面平面，、分别为、的中点．证明：平面；
2．（2024上·北京平谷 ）如图，在四棱锥中，侧棱底面，四边形为平行四边形，，，，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
3．（2023上·四川南充 ）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)三棱锥的体积大小．
4．（2024·全国· 专题练习）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是正方形，，，，点为的中点.
求证：平面；
考法三 面面平行的判定定理
【例3】（2024湖南）如图，在四棱锥中，，，平面，，.设M，N分别为，的中点.

(1)求证：平面平面；
(2)求三棱锥的体积.
【一隅三反】
1．（2023·广西）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点．证明：平面平面；
2．（2023·广西）正方体中，，和的中点分别为，在，和上各有一点，依次为，且，都等于棱长的，求证：平面平面．
3（2023下·辽宁阜新·高一校考期末）已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.求证：
(1)E、F、D、B四点共面
(2)平面平面.
考法四 线面平行的性质定理
【例4-1】（2023下·河南洛阳·高一校考阶段练习）如图，四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形.求证：.
【例4-2】（2024江苏）如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（ ）

A．1 B．2 C． D．
【一隅三反】
1．（2023下·辽宁锦州）已知四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，点在棱上，且满足平面，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·四川成都 ）如图，在四面体中，是中点，是中点.在线段上存在一点，使得平面，则的值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．
3（2024上·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中底面是正方形，四条侧棱均相等，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH.求证：.
4．（2023·黑龙江）如图，在四棱锥中，平面，，，且，点为棱上一点（不与重合），平面交棱于点．
求证：.
考法五 面面平行的性质定理
【例5-1】（2024上·北京 ）已知正方体，平面与平面的交线为l，则（ ）
A． B． C． D．
【例5-2】（2023上·江苏连云港 ）如图，在几何体中，四边形是边长为3的正方形，平面与平面的交线为.
(1)证明：；
(2)若平面平面，H为的中点，，，，求该几何体的体积.
【例5-3】（2024·全国· 专题练习）如图，在直四棱柱中，四边形为梯形，∥，，，，点在线段上，且，为线段的中点．
求证：∥平面.
【一隅三反】
1．（2023上·广西南宁 ）（多选）如图，在三棱柱中，已知点，分别在，上，且经过的重心，点，分别是，的中点，且平面平面，下列结论正确的是（ ）
A． B．平面
C． D．平面平面
2．（2024·安徽）如图，三棱台中，，是的中点，点在线段上，，平面平面．证明：.
3．（2024·福建）如图所示，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点，点是线段上的点（不包括两个端点）．设平面与平面相交于直线，求证：.
4．（2024·江西）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点．证明：平面.

考法六 平行性质求线段长度
【例6-1】（2024吉林）如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】（2023上·河南信阳 ）在边长为3的正方体中．平面与平面之间的距离为 .
【一隅三反】
1．（2023福建 ）如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则 .
2．（2024上·上海 ）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为 ．
3．（2023上·湖南 ）如图，在棱长为3的正方体中，在线段上，且是侧面上一点，且平面，则线段的最大值为 .
强化练习
单选题
1．（2024河北 ）下列说法正确的是（ ）
A．如果一条直线上的某一点在平面α内，那么这条直线也在平面α内
B．如果两条直线与同一个平面所成的角相等，那么这两条直线互相平行
C．如果两条直线与同一条直线垂直，那么这两条直线互相垂直
D．如果两条直线与同一条直线平行，那么这两条直线互相平行
2．（2024·浙江 ）已知直线和平面，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023上·天津和平 ）设是三条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）设，为两个平面，则的充要条件是（ ）
A．内有两条直线与平行 B．内有无数条直线与平行
C．，平行于同一条直线 D．内有两条相交直线与平行
5．（2024·宁夏 ）若是异面直线，且平面，那么与平面的位置关系是（ ）
A． B．与相交
C． D．以上三种情况都有可能
6．（2023河南）给出下列4个命题，其中正确的命题是（ ）
①垂直于同一直线的两个平面平行；②垂直于同一平面的两个平面平行；
③平行于同一直线的两个平面平行；④平行于同一平面的两个平面平行.
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
7．（2023上·江苏南通 ）已知两个不同的平面，两条不同的直线，，，则“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2024·全国· 专题练习）如图是一个四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，四个三角形为正三角形，分别是的中点，在此四棱锥中，则（ ）
A．与是异面直线，且平面
B．与是相交直线，且平面
C．与是异面直线，且平面
D．与是相交直线，且平面
多选题
9．（2023下·浙江 ）下列命题是真命题的是（ ）
A．平行于同一直线的两条直线平行 B．平行于同一平面的两条直线平行
C．平行于同一直线的两个平面平行 D．平行于同一平面的两个平面平行
10．（2023广东）已知三棱柱中，分别是的中点，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
11．（2024上海）已知直线l，m，平面，，则下列说法错误的是（ ）.
A．，，则
B．，，，，则
C．，，，则
D．，，，，，则
12．（2023·浙江金华 ）在正方体中，与交于点，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
填空题
13．（2024上·安徽 ）已知为所在平面外一点，是中点，是上一点．若平面，则的值为 ．
14．（2024·陕西咸阳 ）如图，为平行四边形所在平面外一点，分别为上一点，且，当平面时， .

15．（2024北京）如图，是棱长为1正方体的棱上的一点，且平面，O为的中点，则与的位置关系为 ；线段的长度为 .

16（2023下·江苏淮安 ）如图，正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且∥平面，则线段MN的最大值为 .

解答题
17．（2023上·内蒙古呼伦贝尔 ）如图，在正方体中，E是的中点.

(1)求证：平面；
(2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积．
18（2023上·河北承德 ）如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别是的中点．

(1)证明：平面；
(2)若平面经过点，且与棱交于点．请作图画出在棱上的位置，并求出的值．
19．（2023上·四川内江 ）如图，在四棱锥中，底面为正方形，分别是的中点．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面.
20．（2023上·四川南充 ）如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．

(1)求证：平面PAD；
(2)若PB中点为Q，求证：平面平面PAD．
21（2023下·河北承德·高一校联考阶段练习）如图，正方体的棱长为3，点在棱上，点在棱上，在棱上，且是棱上一点.

(1)求证：四点共面；
(2)若平面∥平面，求证：为的中点.
22（2024·全国·模拟预测）如图，在直四棱柱中，四边形为梯形，，，，，点在线段上，且，为线段的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的表面积．8.5 空间直线、平面的平行
思维导图
考法解读
考法一 证线线平行
【例1-1】（2024·湖南）已知三条不同的直线l，m，n，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若，又，则，故充分性成立，
反之，若，又，则，故必要性成立.
故“”是“”的充要条件.
故选：C.
【例1-2】（2024河北）如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（ ）
A．3条 B．4条
C．5条 D．6条
【答案】B
【解析】由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，
因为与棱B1C1平行的棱还有3条：AD, BC，A1D1，所以共有4条.
故选：B.
【例1-3】（2023山西）已知E E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD A1D1的中点.求证：∠BEC=∠B1E1C1.
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，连接EE1，
∵E1 E分别为A1D1 AD的中点，∴A1E1AE，且A1E1=AE
∴四边形A1E1EA为平行四边形，∴A1AE1E.，且A1A=E1E.
又∵A1AB1B，且A1A=B1B
∴E1EB1B，且E1E=B1B
∴四边形E1EBB1为平行四边形，
∴E1B1EB.同理E1C1EC.
又∠C1E1B1与∠CEB方向相同，
∴∠C1E1B1=∠CEB.
【一隅三反】
1．（2023甘肃）如图，在正方体中，直线平面，且直线与直线不平行，则下列一定不可能的是（ ）
A．l与AD平行 B．l与AD不平行 C．l与AC平行 D．l与BD平行
【答案】A
【解析】假设，则由，知，这与直线与直线不平行矛盾，
所以直线与直线不平行.故选：A.
2．（2023河南）下列结论中正确的是（ ）
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③
【答案】B
【解析】①错误，两条直线可以异面；②正确，平行的传递性；③错误，和另一条直线可以相交也可以异面；④正确，平行的传递性.故选：B.
3．（2024山东）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB=AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是 .
【答案】平行
【解析】在△ABC中，AE∶EB=AF∶FC，∴EF∥BC，三棱柱ABC-A1B1C1中，有BC∥B1C1，
∴EF∥B1C1.故答案为：平行
4．（2023·高一课时练习）如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行．
【答案】证明见详解
【解析】∵E、H分别是AB、AD的中点，则，
又∵F、G分别是BC、CD上的点，且，则，∴，故直线EH与直线FG平行．
5．（2024北京）如图，三棱柱中，，，分别为，，的中点.求证：.
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为，分别是，的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，所以.同理可证，
又与方向相同，所以.
考法二 线面平行的判定定理
【例2-1】（2023下·河南洛阳 ）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，E为的中点.
(1)证明：平面；
(2)设，，求点D到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）连接，交于点O，连接，
∵四边形是平行四边形，∴是的中点，
又∵E为的中点，∴是三角形的中位线，∴，
又∵平面，平面，∴平面；
.
（2）∵平行四边形中，，，，
∴，
则，故，
又∵平面，∴，，都是直角三角形，
∵，∴，，，
∴，∴，∴，
因为是的中点，所以，且，
所以，
，
设点到平面的距离为，
由得：，
解得.
【例2-2】（2024上·内蒙古 ）如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱上的一点，且．
(1)证明：平面；
(2)求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）连接交于点，连接．
在底面中，因为，，
由，可得，
因为，即，
所以在中，，故，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）取的中点，连接，由，，
得为等边三角形，所以．
在等边三角形中，，
所以．
因为．
【例2-3】（2024上·重庆 ）如图，在直三棱柱中，，，，点M、N分别为和的中点．
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)证明：平面．
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】（1）直三棱柱中，，作，且，
连接，作，且，连接，，则得到长方体，
底面为边长为2的正方形，对角线长．
连接相交于，连接,
由于分别是，的中点，所以
则为异面直线与所成角或其补角，
，，,
则，
,
中，；
故异面直线与所成角的余弦值
（2）在正方形中，为的中点，
也为的中点，又为的中点，则，
在长方体中，,所以四边形为平行四边形，故，，平面，平面，平面．
【一隅三反】
1．（2024·全国· 专题练习）如图，四棱锥中，四边形是矩形，，，为正三角形，且平面平面，、分别为、的中点．证明：平面；
【答案】证明见解析
【解析】分别为的中点，
．又，所以，
又平面，平面，
所以平面.
2．（2024上·北京平谷 ）如图，在四棱锥中，侧棱底面，四边形为平行四边形，，，，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)答案见详解(2)
【解析】（1）如图：连接，交于，连接，
因为四边形是平行四边形，所以为中点，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，平面，所以，
又，，平面，，所以平面，
平面，所以.
所以底面为矩形.
因为为中点，所以、到平面的距离相等，设为.
由，
而，，
中，，，，所以是直角三角形，且，
所以，即为所求.
3．（2023上·四川南充 ）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)三棱锥的体积大小．
【答案】(1)证明见解析；(2)1.
【解析】（1）在正方体中，连接，取的中点，连接，
有M为的中点，则，又E为BC的中点，
于是，则四边形是平行四边形，，
又F为CD的中点，则有，即四边形是平行四边形，，
因此，又平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，
而正方体的棱长为1，平面，则点到平面的距离为到平面的距离1，
所以三棱锥的体积.
4．（2024·全国· 专题练习）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是正方形，，，，点为的中点.
求证：平面；
【答案】证明见解析
【解析】连接交于，连接，因为四边形是正方形，所以是的中点，
又因为为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；
考法三 面面平行的判定定理
【例3】（2024湖南）如图，在四棱锥中，，，平面，，.设M，N分别为，的中点.

(1)求证：平面平面；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：∵M，N分别为，的中点，∴，
又平面，平面，∴平面.
在中，，，∴.
又，∴.
∵平面，平面，∴平面.
又，∴平面平面.
（2）∵，，，∴，
∴三棱锥的体积.
【一隅三反】
1．（2023·广西）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点．证明：平面平面；
【答案】证明见解析
【解析】因D，E，F分别是棱，，的中点．
且图形为直三棱柱，则，
得四边形为平行四边形，．
又平面，平面，则平面．
又平面ABD，，
故平面平面
2．（2023·广西）正方体中，，和的中点分别为，在，和上各有一点，依次为，且，都等于棱长的，求证：平面平面．
【答案】证明见解析
【解析】如图，因为正方体中且都等于棱长的，
即，，所以，，
又因为，和的中点分别为，
即，，所以，，
所以，，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面，平面，所以平面，
又因为，平面，
所以平面平面.
3（2023下·辽宁阜新·高一校考期末）已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.求证：
(1)E、F、D、B四点共面
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）证明：分别是、的中点，所以，
又，所以四边形是平行四边形，
.，即确定一个平面，故E、F、D、B四点共面.
（2）（2）M、N分别是、的中点，
.又平面，平面，平面.
连接，如图所示，则，.
四边形是平行四边形.
.
又平面，平面.
平面.
都在平面,且,所以平面平面.
考法四 线面平行的性质定理
【例4-1】（2023下·河南洛阳·高一校考阶段练习）如图，四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形.求证：.
【答案】证明见解析
【解析】∵四边形为平行四边形，∴，
又平面，平面，
∴平面.
而平面平面，平面，
∴，∴.
【例4-2】（2024江苏）如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（ ）

A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接CD，交PE于点G，连接FG，

因为平面PEF，平面ADC，平面平面，所以，
因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是的重心，所以.
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023下·辽宁锦州）已知四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，点在棱上，且满足平面，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如下图，四棱锥中，连接AC交BQ，BD分别于点N，O，连接MN，
因底面ABCD为平行四边形，则O是AC中点，也是BD中点，
而点Q是AD中点，于是得点N是重心，从而得，
因平面，平面，平面平面，
因此得，于是得，所以.
故选：C.

2．（2023上·四川成都 ）如图，在四面体中，是中点，是中点.在线段上存在一点，使得平面，则的值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．
【答案】C
【解析】如图所示，

取MD中点O，连接OP，OQ，∵为MD中点，为中点，∴.
又∵平面，平面，∴平面.
又平面，，平面，平面，∴平面平面.
又平面，平面，平面平面，平面平面，
∴，∴在中，.
故选：C.
3（2024上·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中底面是正方形，四条侧棱均相等，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH.求证：.
【答案】证明见解析
【解析】因为平面，平面，
且平面平面，所以，
同理可证，因此.
4．（2023·黑龙江）如图，在四棱锥中，平面，，，且，点为棱上一点（不与重合），平面交棱于点．
求证：.
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵平面平面，
∴平面，
又平面，平面平面，∴.
考法五 面面平行的性质定理
【例5-1】（2024上·北京 ）已知正方体，平面与平面的交线为l，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，在正方体中，
平面平面，平面平面，
平面平面，.
对于A，，，故A正确；
对于B，因为与相交，所以与不平行，故B错误；
对于C，因为与不平行，所以与不平行，故C错误；
对于D，因为与不平行，所以与不平行，故D错误；
故选：A.

【例5-2】（2023上·江苏连云港 ）如图，在几何体中，四边形是边长为3的正方形，平面与平面的交线为.
(1)证明：；
(2)若平面平面，H为的中点，，，，求该几何体的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：∵，而平面，平面，
∴平面，又∵平面，
平面平面，∴，∴.
（2）∵，，H为中点，∴.
而，∴，∵平面平面.
平面平面，平面，∴平面.
过E分别作交于点I，交于点J，连接.
∴.
【例5-3】（2024·全国· 专题练习）如图，在直四棱柱中，四边形为梯形，∥，，，，点在线段上，且，为线段的中点．
求证：∥平面.
【答案】证明见解析
【解析】由题意可得∥，
且平面，平面，可得∥平面；
因为∥且，可知四边形为平行四边形，则∥，
且平面，平面，可得∥平面；
且，且，平面，
可得平面∥平面，
由平面，可得∥平面．
【一隅三反】
1．（2023上·广西南宁 ）（多选）如图，在三棱柱中，已知点，分别在，上，且经过的重心，点，分别是，的中点，且平面平面，下列结论正确的是（ ）
A． B．平面
C． D．平面平面
【答案】ABC
【解析】由三棱柱性质可知平面平面，又平面平面，平面平面，
由面面平行的性质可知；
又点，分别是，的中点，可知，即可得，所以A正确；
由，平面，平面，所以平面，即B正确；
又经过的重心，所以，且，，
所以，可知C正确；
因为四点共面，且易知与相交，所以平面与平面相交，因此D错误；
故选：ABC
2．（2024·安徽）如图，三棱台中，，是的中点，点在线段上，，平面平面．证明：.
【答案】证明见解析
【解析】证明：取的中点，连接，，
因为是的中点，所以，，
因为三棱台中，，，，所以，
所以，，即四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面，平面平面，所以．
3．（2024·福建）如图所示，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点，点是线段上的点（不包括两个端点）．设平面与平面相交于直线，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】因为点，分别为棱、的中点，则，
在三棱柱中，四边形为平行四边形，
所以，，则，
因为平面，平面，所以，平面，
因为平面，平面平面，所以，，
故．
4．（2024·江西）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点．证明：平面.

【答案】证明见解析
【解析】证明：如图所示：

取的中点，连接、、，
因为且，故四边形为平行四边形，
所以且，
因为为的中点，所以且，
因为、分别为、的中点，
所以且，
所以且，故四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为、分别为、的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，、平面，
所以平面平面，
因为平面，故平面．
考法六 平行性质求线段长度
【例6-1】（2024吉林）如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在棱长为的正方体中，取中点G，连接，如图，
因为为的中点，则，即有四边形为平行四边形，
有，则四边形为平行四边形，有，
又为的中点，则，四边形为平行四边形，则有，
因此直线到直线的距离等于点F到直线的距离，因为，
则四边形为平行四边形，有，在中，，
边上的高，由三角形面积得：，，
所以直线到直线的距离为.
故选：D
【例6-2】（2023上·河南信阳 ）在边长为3的正方体中．平面与平面之间的距离为 .
【答案】
【解析】由于故四边形为平行四边形，
故平面,平面,所以平面，
同理可得平面，又平面，
因此平面，
故点到平面的距离即为平面与平面之间的距离，
设到平面的距离为，为边长为的等边三角形，
故,所以，
故，
故答案为：

【一隅三反】
1．（2023福建 ）如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则 .
【答案】
【解析】根据题意，因为平面，平面，
且平面平面
所以.
又是的中点，所以是的中点.
因为在中，，故.
故答案为：
2．（2024上·上海 ）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为 ．
【答案】
【解析】过点分别作交于点，交于点，
连接，
要想平面，则四边形为平行四边形，故，
设，则，故，
由勾股定理得，
其中，
当且仅当时，等号成立，
故.
故答案为：
3．（2023上·湖南 ）如图，在棱长为3的正方体中，在线段上，且是侧面上一点，且平面，则线段的最大值为 .
【答案】
【解析】如图，
在线段上取一点，使得，在线段上取一点，使得，连接，
因为，所以，
又，所以，
因为平面平面，所以平面，
同理，因为平面平面，所以平面，
又，所以平面平面，因此，在线段上.
因为，
所以线段的最大值为.
故答案为：
强化练习
单选题
1．（2024河北 ）下列说法正确的是（ ）
A．如果一条直线上的某一点在平面α内，那么这条直线也在平面α内
B．如果两条直线与同一个平面所成的角相等，那么这两条直线互相平行
C．如果两条直线与同一条直线垂直，那么这两条直线互相垂直
D．如果两条直线与同一条直线平行，那么这两条直线互相平行
【答案】D
【解析】如果一条直线上的某一点在平面α内，那么这条直线与平面α相交或在平面α内，A不正确；
如果两条直线与同一个平面所成的角相等，那么这两条直线的位置关系不确定，B不正确；
如果两条直线与同一条直线垂直，那么这两条直线可能相交、平行或异面，C不正确；
由平行公理可知，如果两条直线与同一条直线平行，那么这两条直线互相平行，D正确.
故选：D.
2．（2024·浙江 ）已知直线和平面，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，则存在使得且，
若且，则，
又且，所以，充分性成立；
设，，则有，但不平行，即必要性不成立.
故选：A.
3．（2023上·天津和平 ）设是三条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【解析】对于A，因为是三条不同的直线，，
所以，故A正确；
对于B，若，则或，故B错误；
对于C，若，则或或或直线与平面相交，故C错误；
对于D，若，则与平行或相交，故D错误.
故选：A.
4．（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）设，为两个平面，则的充要条件是（ ）
A．内有两条直线与平行 B．内有无数条直线与平行
C．，平行于同一条直线 D．内有两条相交直线与平行
【答案】D
【解析】
如图所示正方体中，
设平面为，平面为，
显然平面中有无数条直线与平面平行，但，故A、B错误；
又，但，故C错误；
由面面平行的判定定理和性质定理可知D正确.
故选：D
5．（2024·宁夏 ）若是异面直线，且平面，那么与平面的位置关系是（ ）
A． B．与相交
C． D．以上三种情况都有可能
【答案】D
【解析】在长方体中，平面视为平面，直线为直线a，点E，F分别为棱的中点，
如图， 显然有平面，当直线b为直线时，直线是异面直线，此时；
因，平面，平面，则，
当直线b为直线时，直线是异面直线，此时；
当直线b为直线时，直线是异面直线，此时与相交，
所以直线b与平面可能平行，可能相交，也可能在平面内.
故选：D.
6．（2023河南）给出下列4个命题，其中正确的命题是（ ）
①垂直于同一直线的两个平面平行；②垂直于同一平面的两个平面平行；
③平行于同一直线的两个平面平行；④平行于同一平面的两个平面平行.
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
【答案】D
【解析】对于①，垂直于同一直线的两个平面平行，故①正确；
对于②，垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故②错误；
对于③，平行于同一直线的两个平面相交或平行，故③错误；
对于④，平行于同一平面的两个平面平行，故④正确．
故选:D．
7．（2023上·江苏南通 ）已知两个不同的平面，两条不同的直线，，，则“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，，
当，时，若，则有可能相交，故充分性不成立；
当时，由于，，所以，，故必要性成立；
所以“，”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
8．（2024·全国· 专题练习）如图是一个四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，四个三角形为正三角形，分别是的中点，在此四棱锥中，则（ ）
A．与是异面直线，且平面
B．与是相交直线，且平面
C．与是异面直线，且平面
D．与是相交直线，且平面
【答案】B
【解析】根据题意，画出几何体，如图所示，
因为分别是的中点，可得且，
又因为且，所以且，
所以四边形为梯形，所以与为相交直线，
因为为的中点，可得且，
所以四边形为平行四边形，可得，
又因为平面，平面，所以平面.
故选：B.
多选题
9．（2023下·浙江 ）下列命题是真命题的是（ ）
A．平行于同一直线的两条直线平行 B．平行于同一平面的两条直线平行
C．平行于同一直线的两个平面平行 D．平行于同一平面的两个平面平行
【答案】AD
【解析】对于A：根据平行线的传递性可知平行于同一直线的两条直线平行，故A为真命题；
对于B：平行于同一平面的两条直线的位置关系有：平行、相交或异面，故B为假命题；
对于C：平行于同一直线的两个平面的位置关系有：平行或相交，故C为假命题；
对于D：根据空间中面面的位置关系可知平行于同一平面的两个平面平行，故D为真命题；
故选：AD.
10．（2023广东）已知三棱柱中，分别是的中点，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【答案】AB
【解析】选项A：如图1，连接，交于点，连接，
则点是的中点，又是的中点，则，
平面,平面
所以平面，所以A正确.
选项B：如图2，取的中点，连接，因为是的中点，
所以，且，又，
所以，所以四边形是平行四边形，所以，
平面，平面，所以平面，故B正确.
选项C：如图3，取的中点，连接，因为是的中点，
所以，且，又，
所以，所以四边形是平行四边形，
所以，显然与平面相交，故C错误.
选项D：如图4，连接，交于点，连接，
则平面平面，若平面，平面，则，
由于是的中点，所以点是的中点，
而显然点不是的中点，矛盾，故D错误.
故选：AB
11．（2024上海）已知直线l，m，平面，，则下列说法错误的是（ ）.
A．，，则
B．，，，，则
C．，，，则
D．，，，，，则
【答案】ABC
【解析】选项A中，m可能在内，也可能与平行，故A错误；
选项B中，与也可能相交，故B错误；
选项C中，与也可能相交，故C错误；
选项D中，依据面面平行的判定定理可知，故D正确.
故选：ABC.
12．（2023·浙江金华 ）在正方体中，与交于点，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】ABC
【解析】对于A，因为且，
所以四边形时平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，连接交于点，连接，
由正方体的分别为的中点，
因为因为且，
所以四边形时平行四边形，所以，
则且，
所以四边形时平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面，故B正确；
对于C，因为且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故C正确；
对于D，平面即为平面，
而平面与平面相交，
所以平面与平面相交，故D错误.
故选：ABC.

填空题
13．（2024上·安徽 ）已知为所在平面外一点，是中点，是上一点．若平面，则的值为 ．
【答案】/
【解析】如图，连结交于点，连结.
因为，E为AD的中点，则，
又因为PA∥平面EBF，平面EBF平面PAC ，PA平面PAC，则PA∥OF，
所以.
故答案为：.
14．（2024·陕西咸阳 ）如图，为平行四边形所在平面外一点，分别为上一点，且，当平面时， .

【答案】/
【解析】如图，连结交于点，连结.

因为，所以，
因为平面，平面平面平面，
所以，所以.
故答案为：
15．（2024北京）如图，是棱长为1正方体的棱上的一点，且平面，O为的中点，则与的位置关系为 ；线段的长度为 .

【答案】 /
【解析】连接，交与，连接，则为的中点，

因为平面，平面，平面平面，
所以，故为的中点，所以，
在中.
故答案为：；.
16（2023下·江苏淮安 ）如图，正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且∥平面，则线段MN的最大值为 .

【答案】
【解析】如图，

取的中点，取的中点，连接，，，所以，
又面，面，所以平面，
又为的中点，所以，
又面，面，所以平面，
又，面，面，所以平面平面，
又因为是侧面上一点，且平面，
所以在线段上，
因为正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是
所以平面，因为平面，所以
又M为的中点，所以
所以
则，又
所以线段的最大值为．
故答案为：．
解答题
17．（2023上·内蒙古呼伦贝尔 ）如图，在正方体中，E是的中点.

(1)求证：平面；
(2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：因为在正方体中，，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为正方体的棱长是1，E是的中点，所以，
三角形ABC的面积，
三棱锥的体积.
18（2023上·河北承德 ）如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别是的中点．

(1)证明：平面；
(2)若平面经过点，且与棱交于点．请作图画出在棱上的位置，并求出的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)图见解析，
【解析】（1）连接，则为的中点，
因为为的中点，所以．
又平面平面，
所以平面．
（2）如图，过作直线与平行，
则，故共面．
延长与交于点，连接，与的交点即为点．
因为底面是正方形，是的中点，
所以，且，
因为是的中点，所以，
则，所以．

19．（2023上·四川内江 ）如图，在四棱锥中，底面为正方形，分别是的中点．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】（1）∵分别是的中点，
∴
又∵平面,平面,
∴平面.
（2）∵四边形为正方形，且分别为，边的中点，，
又∵面，面，
∴面，
由（1）知，平面，
且,平面,平面,
∴平面平面
20．（2023上·四川南充 ）如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．

(1)求证：平面PAD；
(2)若PB中点为Q，求证：平面平面PAD．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）取PD的中点E，连接AE，NE，

因为N是PC的中点，所以且，
又M是AB的中点，ABCD是正方形，所以且，
所以且，所以四边形AMNE为平行四边形，所以，
又平面PAD，平面PAD，
所以平面PAD．
（2）因为Q为PB的中点，M是AB的中点，
所以，又平面PAD，平面PAD，
所以平面PAD，
又平面PAD，，MQ，平面MNQ，
所以平面平面PAD．
21（2023下·河北承德·高一校联考阶段练习）如图，正方体的棱长为3，点在棱上，点在棱上，在棱上，且是棱上一点.

(1)求证：四点共面；
(2)若平面∥平面，求证：为的中点.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）证明：在上取一点，使得，
连接，则，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以，
同理，四边形是平行四边形，所以，且，
又，且，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以，
所以四点共面.

（2）因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以.
所以.
在中，，
在中，，
所以，即为的中点.
22（2024·全国·模拟预测）如图，在直四棱柱中，四边形为梯形，，，，，点在线段上，且，为线段的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的表面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由已知可得，又平面，平面，
平面．
且，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面．
又，且，平面，
平面平面．
又平面，
平面．
（2）在中，，，，
由余弦定理可得，
，
．
∵为线段的中点．
∴，，
由勾股定理得，，
由余弦定理得，
故，
则，
又，，，
故三棱锥的表面积为．

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