资源简介

7.5 正态分布
分层练习
题型一 正态密度函数
（2024下·高二课时练习）
1．已知正态分布密度函数，，则分别是（ ）
A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和
（2024下·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）
2．设随机变量，则X的密度函数为（ ）
A． B．
C． D．
（2024下·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期中）
3．设随机变量，X的正态密度函数为，则 .
（2024下·高二课时练习）
4．函数(其中)的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
题型二 概率分布曲线的认识
（2024下·江苏常州·高二统考期中）
5．如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（ ）.
A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③②
（2024·北京·高三强基计划）
6．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．对任意正数， D．对任意正数，
（2024上·广东佛山·高三统考阶段练习）
7．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2024下·河南南阳·高二统考期末）
8．已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
（2024上·全国·高三专题练习）
9．某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ）

A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值
B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值
C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
题型三 正态曲线的性质
（2024下·高二课前预习）
10．判断正误，正确的写正确，错误的写错误．
（1）正态曲线中参数的意义分别是样本的均值与方差．( )
（2）正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数的变化而变化的．( )
（3）正态曲线可以关于y轴对称．( )
（4）若，则.( )
（5）正态曲线是一条钟形曲线.( )
（6）正态曲线在轴的上方，并且关于直线对称.( )
（2024上·江西·高三校联考阶段练习）
11．若随机变量，则（ ）
A．的密度曲线与轴只有一个交点 B．的密度曲线关于对称
C． D．若，则，
（2024上·广东揭阳·高三统考期中）
12．设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
题型四 根据正态曲线的对称性求参数
（2024上·广西北海·高二统考期末）
13．已知随机变量，且，则（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
（2024下·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）
14．设随机变量服从正态分布，若，则实数 ．
（2024下·广西南宁·高三南宁二中校考开学考试）
15．随机变量服从正态分布，，，则（ ）
A． B． C．1 D．
（2024·全国·模拟预测）
16．设随机变量服从正态分布，若，且，则 ．
（2024·广西玉林·校联考模拟预测）
17．某工厂生产一批零件（单位：），其尺寸服从正态分布，且，，则 ．
（2024上·河南·高三阶段练习）
18．已知随机变量，且，则，则二项式展开式中含的项为
（2024上·湖北武汉·高三武钢三中校考阶段练习）
19．已知随机变量，，且，则 .
题型五 特殊区间的概率
（2024·全国·高二课堂例题）
20．求正态曲线与x轴在下列区间内所围的面积：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
（2024·全国·模拟预测）
21．某精密制造企业根据长期检测结果得到其产品的质量差服从正态分布，把质量差在内的产品称为优等品，在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称正品，其余的产品作为废品处理．根据大量的产品检测数据，得到产品质量差的样本数据统计如图，将样本平均数作为的近似值，将样本标准差作为的估计值，已知质量差，则下列说法中正确的是（ ）
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
A．样本数据的中位数为
B．若产品质量差为mg，则该产品为优等品
C．该企业生产的产品为正品的概率是
D．从该企业生产的正品中随机抽取件，约有件优等品
（2024上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）
22．已知随机变量X服从正态分布，则下列选项正确的是（参考数值：随机变量服从正态分布，则（ ）
，，）
A． B．
C． D．
（2024·全国·模拟预测）
23．某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是（ ）
（若随机变量，则，，）
A．236 B．246 C．270 D．275
（2024·全国·模拟预测）
24．在日常生活中，许多现象都服从正态分布.若，记，，，经统计，某零件的尺寸大小（单位：dm）从正态分布，则（ ）
A． B． C． D．
（2024上·江苏镇江·高三统考开学考试）
25．已知某工厂生产零件的尺寸指标，单位为.该厂每天生产的零件尺寸在的数量为818600，则可以估计该厂每天生产的零件尺寸在15.15以上的数量为（ ）
参考数据：若，则，，.
A．1587 B．2275 C．2700 D．1350
（2024上·黑龙江·高二校联考期末）
26．已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 .
参考数据：若，则.
题型六 指定区间的概率
（2024上·江西·高二校联考期末）
27．若随机变量X服从正态分布，，则（ ）
A．0.45 B．0.55 C．0.1 D．0.9
（2024上·陕西渭南·高二统考期末）
28．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
（2024下·浙江丽水·高三校考开学考试）
29．已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
（2024上·江苏·高三统考期末）
30．随机变量，若，，则（ ）
A．0.25 B．0.5 C．0.75 D．0.85
（2024下·浙江·高三校联考开学考试）
31．随机变量服从正态分布.若，则（ ）
A． B． C． D．
题型七 标准正态分布的应用
（2024·广东深圳·统考二模）
32．已知随机变量X服从正态分布，定义函数为X取值不超过x的概率，即．若，则（ ）
A． B．
C．在上是减函数 D．
（2024·江苏徐州·校考模拟预测）
33．随机变量服从正态分布，随机变量服从标准正态分布，若，则 ．（用字母表示）
（2024下·广东茂名·高二统考期末）
34．记（k，b为实常数），若，，则 .
（2024·高二课时练习）
35．设，求，.
（2024·山东潍坊·二模）
36．设随机变量X服从标准正态分布，那么对于任意a，记，已知，则= ．
（2024下·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）
37．下列关于正态分布的叙述中，正确的是（ ）
A．X的均值为0
B．X的方差为1
C．X的概率密度函数为，
D．若，则
（2024·全国·高二课堂例题）
38．某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布，求：（参考数据：，）
(1)随机抽取1罐，其净重超过的概率；
(2)随机抽取1罐，其净重在与之间的概率.
（2024·广东汕头·统考三模）
39．某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．假设该省此次高一学生化学学科原始分Y服从正态分布．若，令，则．请解决下列问题：若以此次高一学生化学学科原始分D等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为 分（结果保留1位小数）
附：若，．
题型八 正态分布的实际应用
（2024上·江西·高二江西省安义中学校联考期末）
40．某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于分为优秀．
(1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例；
(2)若该市有名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数．
参考数据：若，则，，．
（2024下·重庆·高三重庆八中校考开学考试）
41．从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差，为监控该产品的生产质量，每天抽取10个产品进行检测，若出现了质量指标值在之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
①假设生产状态正常，记表示一天内抽取的10个产品中尺寸在之外的产品数，求
②请说明上述监控生产过程方法的合理性．
附：
（2024·陕西西安·统考一模）
42．某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛．已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布直方图如图：

(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数X的分布列及数学期望；
(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？
附：若，则，，；．
（2024上·江苏扬州·高三统考期末）
43．某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为200元/人，赔付金额为5万元/人.假设该保险产品的客户为10000名，每人被赔付的概率均为，记10000名客户中获得赔偿的人数为.
(1)求，并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望；
(2)二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布，但是，随着二项分布的试验次数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次数较大时，可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题，我们知道若，则，当较大且较小时，我们为了简化计算，常用的值估算的值.
请根据上述信息，求：
①该公司今年这一款保险产品利润为50~100万元的概率；
②该公司今年这一款保险产品亏损的概率.
参考数据：若，则.
（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）
44．某旅游城市推出“一票通”景区旅游年卡，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市所有签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：
旅游消费支出
频数 12 388 452 138 10
(1)根据样本数据，可认为市民的旅游费用支出服从正态分布，若该市总人口为700万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7000元以上；
(2)若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该签约景区游玩.现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该签约景区游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，求3人总得分为4分的概率.
（参考数据：）
（2024下·高二课时练习）
45．设随机变量，已知，则（ ）
A．0.95 B．0.05 C．0.975 D．0.425
（2024下·浙江·高三瓯海中学校联考开学考试）
46．某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从，成绩不低于120分为优秀，依此估计优秀的学生人数约为（ ）附：若，则.
A．23 B．46 C．159 D．317
（2024上·湖南常德·高三统考期末）
47．某校高三年级800名学生在高三的一次考试中数学成绩近似服从正态分布，若某学生数学成绩为102分，则该学生数学成绩的年级排名大约是（ ）
（附：，，）
A．第18名 B．第127名 C．第245名 D．第546名
（2024上·浙江金华·高三统考期末）
48．某次数学联考成绩的数据分析，20000名考生成绩服从正态分布，则80分以上的人数大约是（ ）
参考数据：若，则
A．3173 B．6346 C．6827 D．13654
（2024下·全国·高三校联考阶段练习）
49．一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为，其中为输出信号功率最大值（单位：），为频率（单位：），为输出信号功率的数学期望，为输出信号的方差，带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对应函数图象的宽度。现已知输出信号功率为（如图所示），则其带宽为（ ）
A． B． C． D．
（2024上·全国·高三校联考开学考试）
50．某校高三数学摸底考试成绩（单位：分）近似服从正态分布，且，该校高三数学摸底考试成绩超过90分的人数有930人，则（ ）
A．估计该校高三学生人数为1200
B．估计该校学生中成绩不超过90分的人数为70．
C．估计该校学生中成绩介于90到110分之间的人数为425．
D．估计该校学生中成绩不超过90分的人数比超过130分的人数多．
（2024下·广西桂林·高二桂林中学校联考开学考试）
51．已知随机变量，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
（2024下·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）
52．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ）（若，则）
A．
B．
C．
D．取得最大值时，的估计值为53
（2024上·河北·高三校联考期末）
53．若随机变量，，X、Y的分布密度曲线如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
（2024上·河南驻马店·高三统考期末）
54．为了解高三学生体能情况，某中学对所有高三男生进行了1000米跑测试，测试结果表明所有男生的成绩（单位：分）近似服从正态分布，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若从高三男生中随机挑选1人，则他的成绩在内的概率为0.2
B．若从高三男生中随机挑选1人，则他的成绩在内的概率为0.4
C．若从高三男生中随机挑选2人，则他们的成绩都不低于75的概率为0.25
D．越大，的值越小
（2024下·河南·高三校联考开学考试）
55．已知随机变量，若，则实数的值为 ．
（2024·全国·高三专题练习）
56．为准备2022年北京一张家口冬奥会，某冰上项目组织计划招收一批9~14岁的青少年参加集训，以选拔运动员，共有10000名运动员报名参加测试，其测试成绩（满分100分）服从正态分布，成绩为90分及以上者可以进入集训队，已知80分及以上的人数为228人，请你通过以上信息，推断进入集训队的人数为 ．附：，，．
（2024上·河南·高三专题练习）
57．已知且，，则 ．
（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）
58．在工业生产中轴承的直径服从，购买者要求直径为，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在之内，则至少为 ；（若，则）
（2024下·山东·高三烟台二中校联考开学考试）
59．某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且．
(1)请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）；
(2)奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每个人摸奖相互独立，设恰好有个人摸到一等奖的概率为，求当取得最大值时的值．
附：若，则．
（2024下·山东济宁·高三校考开学考试）
60．2021年是中国共产党建党100周年，为引导和带动青少年重温中国共产党的百年光辉历程，某市组织全市中学生参加中国共产党百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，统计结果如图所示．
(1)试估计这100名学生得分的中位数（保留小数点后两位有效数字）；
(2)从样本中得分不低于70分的学生中，按比例用分层随机抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在的人数为，试求的分布列和均值；
(3)用样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算．现从所有参加知识竞赛的学生中随机抽取2000人，若这2000名学生的得分相互独立，试问得分高于90分的人数最有可能是多少？
参考数据：若随机变量，则，．
（2024·全国·模拟预测）
61．某校随机抽取了100名本校高一男生进行立定跳远测试，根据测试成绩得到如下的频率分布直方图.
(1)若该校高一男生的立定跳远成绩X（单位：厘米）服从正态分布，其中为上面样本数据的平均值（每组数据用该组数据的中间值代替）.在该校所有高一男生中任意选取4人，记立定跳远成绩在厘米以上（包含）的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)已知该校高二男生有800名，男生立定跳远成绩在250厘米以上得满分.若认为高二男生立定跳远成绩也服从（1）中所求的正态分布，请估计该校高二男生立定跳远得满分的人数（结果保留整数）.
附：若，则，
，.
（2024上·江西·高三校联考期末）
62．面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分.
(1)若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）；
(2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的数学期望.
附：若（），则，，.
（2024上·河南·高三校联考专题练习）
63．为了普及传染病防治知识，增强学生的健康意识和疾病防犯意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛（满分分），竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其它学生不得奖.教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生恰有一名学生获奖的概率.
(2)若该校所有参赛学生的成绩近似地服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①若该校共有名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中超过分的学生人数（结果四舍五入到整数）；
②若从所有参赛学生中（参赛学生人数大于）随机抽取名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在分以上的学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
附：若随机变量服从正态分布，则，，.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】
将化为正态密度函数的定义形式，即可求出.
【详解】，
.
故选：B.
2．A
【分析】根据正态分布的定义可求得，从而可求X的密度函数.
【详解】因为，所以，即，
所以X的密度函数为A.
故选：A
3．0
【分析】由正态密度函数结构直接可得.
【详解】由正态密度函数结构特征可知，.
故答案为：0
4．A
【分析】函数图象的对称轴为直线，由判断各选项..
【详解】函数图象的对称轴为直线，因为，所以排除B，D；
又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确.
故选：A.
5．A
【分析】先利用正态分布求出三个变量的标准差，再利用当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”进行判定.
【详解】由题意，得，，，
因为当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且，
所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为①，②，③.
故选：A.
6．C
【分析】由正态密度曲线的性质结合图像可得，可判断AB，由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可判断CD.
【详解】A选项：、的密度曲线分别关于、对称，
因此结合所给图像可得，所以，故A错误；
B选项：又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”，
所以，所以，故B错误；
CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知：
对任意正数，．,故C正确，D错误．
故选：C．
7．C
【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，随机变量服从正态分布，且，
可得随机变量的方差为，即，所以A错误；
对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量，
所以，所以B错误；
对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积，
所以，所以C正确；
对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，，
即，所以D错误.
故选：C.
8．C
【分析】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小.
【详解】由题图中的对称轴知：，
与(一样)瘦高，而胖矮，
所以.
故选：C
9．AC
【分析】根据正态密度函数的图象，得到，，即可求解.
【详解】X，Y均服从正态分布，，
结合正态密度函数的图象可知，可得，，
故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误；
甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误．
故选：AC
10． 错误 错误 正确 正确 正确 错误
【分析】根据正态曲线的定义，性质判断正误，得到答案.
【详解】（1）正态曲线中参数的意义分别是样本的均值与标准差，错误；
（2）正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积为1，错误；
（3）当时，正态曲线关于y轴对称，正确；
（4）若，由对称性可知，正确；
（5）正态曲线是一条钟形曲线，正确；
（6）正态曲线在轴的上方，并且关于直线对称，错误.
故答案为：错误，错误，正确，正确，正确，错误
11．ACD
【分析】根据密度函数的解析式可判断A；根据密度函数的性质可判断BCD.
【详解】若，则其密度函数，因此的密度曲线与轴只有一个交点，故A正确；
的密度曲线关于直线对称，故B错误；
，故C正确；
，，故D正确.
故选：ACD.
12．C
【分析】根据正态分布曲线的性质判断大小关系即可.
【详解】由、分布曲线关于轴对称，
则，
∵越大，正态分布曲线越扁平，
∴.
故选：C
13．B
【分析】根据正态分布曲线的特点，利用函数曲线的对称性，即可求出答案。
【详解】由随机变量，所以函数曲线关于直线对称，
又，且，所以.
故选：B
14．2
【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式计算即得.
【详解】由正态分布的对称性，得，所以.
故答案为：2
15．A
【分析】根据正态分布的对称性得到答案.
【详解】由对称性可知，
故.
故选：A
16．3
【分析】根据态分布的性质分析求解.
【详解】因为，所以．
又因为，则，所以.
故答案为：3.
17．
【分析】求得，再利用正态密度曲线的对称性可求得的值.
【详解】因为服从正态分布，且，，
则，
所以，.
故答案为：.
18．
【分析】先可以根据正态分布的对称性以及得出，然后写出展开式的通项，令的幂指数等于6，求出的值，即可求得展开式中含的项.
【详解】因为随机变量，且，所以，
则，其展开式，
令，解得，
故二项式展开式中含的项为.
故答案为：
19．##0.5
【分析】根据二项分布及正态分布的期望求解即可.
【详解】，，
，，，
，解得，
故答案为：
20．(1)0.5
(2)
(3)
(4)
【分析】若，则正态曲线与x轴在区间内所围的面积为在这个区间内的概率.
【详解】（1）因为正态曲线是关于对称的，而且正态曲线与x轴所围成的图形面积为1，因此所求面积为 .
（2）正态曲线与x轴在内所围的面积为.
（3）正态曲线与x轴在内所围的面积为.
（4）正态曲线与x轴在内所围的面积为.
21．BCD
【分析】A：先确定中位数所在区间，然后根据前两组的频率计算中位数；B：根据正态分布确定出，然后确定出优等品对应的质量差区间，由此作出判断；C：先确定出正品质量差区间，然后根据正态分布曲线的对称性计算出概率；D：计算出优等品的概率然后结合C选项的结果可求优等品的件数.
【详解】对于A：的频率为，的频率为，
的频率为，且，
设样本数据的中位数为，所以，则，解得，故A错误；
对于B：由题意知，，
优等品质量差在即内，而，故B正确；
对于C：一等品质量差在即内，则正品质量差在和内，即在内，
所以产品为正品的概率为
，故C正确；
对于D：优等品质量差在内，所以产品为优等品的概率为0.6827，
从正品中随机抽取件，有件优等品，故D正确．
故选：BCD.
22．AC
【分析】根据正态曲线的对称性及参考数据可得答案.
【详解】∵随机变量X服从正态分布，
正态曲线关于直线对称，且，，从而A正确，B错误，
根据题意可得，，，
∴，故C正确；
与不关于直线对称，故D错误．
故选：AC．
23．B
【分析】根据正态分布在特定区间的概率及正态曲线的对称性进行计算即可得解.
【详解】由题可知，，，.
所以300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是天．
故选：B．
24．C
【分析】根据正态分布的对称性即可得所求.
【详解】由题意知，，则，，，.
结合正态曲线的对称性可得.
故选：C.
25．D
【分析】由正态分布得，，零件尺寸在的概率为，零件尺寸在15.15以上的概率为，根据已知求得其概率后可得所求零件数．
【详解】由已知，，，
零件尺寸在15.15以上的概率为，
设零件尺寸在15.15以上的零件数为，
则，，
故选：D．
26．0.84##
【分析】根据题意确定，根据正态分布的对称性结合已知区间的概率，即可求得答案.
【详解】由题意知，该产品服从，则，
所以
，
即抽到“可用产品”的概率为0.84，
故答案为：0.84
27．B
【分析】利用正态分布的对称性可求答案.
【详解】因为随机变量X服从正态分布，所以；
所以.
故选：B.
28．A
【分析】根据正态分布的性质求解即可，
【详解】因为随机变量服从正态分布，，
所以.
故选：A.
29．A
【分析】根据题意，利用正态分布曲线的对称性，结合，即可求解.
【详解】由随机变量X服从正态分布，
因为，可得，
所以.
故选：A.
30．C
【分析】解：根据随机变量，得到，再由求得m即可.
【详解】解：因为随机变量，
所以，
，
解得，
所以，
故选：C
31．B
【分析】根据条件，利用对称性得到，，再利用条件概率公式即可求出结果.
【详解】因为，所以，
又，所以，
故选：B.
32．AD
【分析】利用正态分布的对称性，利用概率进行转化结合选项可以得出答案.
【详解】因为随机变量X服从正态分布，
所以，A正确；
，因为，所以，
所以不可能，B不正确；
因为，所以当增大时，也增大，C不正确；
，D正确.
故选：AD.
33．
【分析】根据随机变量服从标准正态分布，得到，再结合随机变量服从正态分布可得答案.
【详解】随机变量服从标准正态分布，根据对称性可知，
因为，所以，即，
随机变量服从正态分布，根据对称性可知，
，则，即.
故答案为：.
34．-3或3
【分析】随机变量 正态分布，则均值为，方差为；若，随机变量服从正态分布，则的均值为，方差为，代入公式计算即可.
【详解】由题知，，则随机变量（为实常数），服从的分布为 ，而又因为，所以有，解得或，所以-3或3.
故答案为-3或3.
35．；
【分析】根据标准正态分布曲线的对称性求解即可.
【详解】,
,
查表得，，
；
由标准正态分布曲线的对称性可知，
，
查表可得
36．0.4##
【分析】根据正太分布密度曲线的对称性即可求解.
【详解】由题可知，
.
故答案为：0.4.
37．ABD
【分析】根据正态分布的概念与性质逐项分析判断.
【详解】因为，则X的均值为0，X的方差为1，故A、B正确；
X的概率密度函数为，，故C错误；
对于可知：Y的均值为1，Y的方差为4，可得，
则，故D正确；
故选：ABD.
38．(1)0.4207；
(2)0.9544.
【分析】（1）（2）将正态分布转化为标准正态分布形式，结合正态分布的对称性求概率即可.
【详解】（1）.
故随机抽取1罐，其净重超过的概率是0.4207，
（2）
.
故随机抽取1罐，其净重在与之间的概率为0.9544.
39．59.9
【分析】利用的转换关系，再根据正态分布的对称性即可求出答案
【详解】因为，由可得，又，根据正态分布的对称性可知，由题意可知划线分大约为59.9.
故答案为：59.9
40．(1)
(2)人
【分析】（1）结合正态分布的对称性和特定区间概率即可求出结果；
（2）结合正态分布的对称性和特定区间概率即可得到答案.
【详解】（1）设学生的物理得分为随机变量，
则，所以，，
所以，
，
所以物理成绩优秀的人数占总人数的比例为．
（2）由题意，得，，
即，，
所以，，
所以．
又，
所以全市物理成绩在内的学生人数估计为人．
41．(1);
(2);说明见解析.
【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数与方差计算公式计算即可；
（2）根据正态分布的定义及性质计算、分析即可.
【详解】（1）由题意可知：（
），
[
]，
（2）①由题意可知生产状态正常，此时一个产品尺寸在之内的概率为，
所以；
②如果生产状态正常，此时一个产品尺寸在之外的概率只有，
一天内抽取10个零件中，发现尺寸在之外的概率只有，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为生产线在这一天的生产过程中可能出现异常，需要对当天的生产过程进行检查，可见这种监管过程方法合理.
42．(1)，分布列见解析，
(2)有资格参加复赛
【分析】（1）根据超几何分布的概率计算即可求解分布列，
（2）根据正态分布的对称性即可求解.
【详解】（1）预赛成绩在范围内的样本量为：，
预赛成绩在范围内的样本量为：，
设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X，可能取值为0,1,2，则，
又，
则X的分布列为：
X 0 1 2
P
故．
（2），
，则，又，
故，
故全市参加预赛学生中，成绩不低于91分的有人，
因为，故小明有资格参加复赛，
43．(1)，75万元
(2)①0.683；②0.0015
【分析】（1）确定以及，根据二项分布的均值公式，即可求得答案；
（2）由题意确定，求出产品利润为50~100万元时X的范围以及产品亏损时的X的范围，结合正态分布的特殊区间的概率，即可求得答案.
【详解】（1）由题可知，
则，
记该公司今年这一款保险产品利润为变量，则，
所以万元.
（2）因为，当较大且较小时，，则.
由于较大，，其中，
若该公司今年这一款保险产品利润，则，
；
若该公司今年这一款保险产品利润，则，
.
答：（1），该公司今年这一款保险产品利润的期望为75万元；
（2）①该公司今年这一款保险产品利润为万元的概率为0.683；
②亏损的概率为0.0015.
44．(1)15.925万
(2)
【分析】（1），旅游费用支出在7000元以上的概率为，即可估计有多少万市民旅游费用支出在7000元以上；
（2）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为，再由独立事件的乘法公式求解即可.
【详解】（1），
所以旅游费用支出在7000元以上的概率为
，
，估计有15.925万市民旅游费用支出在7000元以上
（2）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为，
设3人总得分为4分为事件，则
即3人总得分为4分的概率.
45．A
【分析】服从标准正态分布，利用标准正态分布的对称性可求得其概率．
【详解】.
故选：A.
46．C
【分析】依题意，计算数据后乘以总人数即可.
【详解】由，得，
则，
估计优秀的学生人数约为.
故选：C
47．B
【分析】根据正态分布的特征，求出数学成绩不低于102分对应的概率，从而可求出对应的人数，确定排名．
【详解】因为成绩近似服从正态分布,，则，
且，
所以，
因此该校数学成绩不低于102分的人数即年级排名大约是．
故选：B．
48．A
【分析】借助正态分布的概率的对称性计算即可得.
【详解】由题意可得，又，
故，
则80分以上的人数大约是人.
故选：A.
49．D
【分析】根据给定信息，列出方程并求解即可作答.
【详解】依题意，由，，得，即，
则有，解得，，
所以带宽为.
故选：D
50．B
【分析】由正态分布曲线的对称性可求得，由频数、频率和总数的关系可求得结果．
【详解】解：由，得，
．
估计该校学生人数为：人，A不正确；
估计该校学生中成绩不超过90分的人数为，B正确；
估计该校学生中成绩介于90到110分之间的人数为，C错误；
由，
估计该校学生中成绩不超过90分的人数与超过130分的人数相等，D错误，
故选：B．
51．ABD
【分析】根据正态分布的对称性即可判断AB，根据正态分布的均值与方差的性质即可判断CD.
【详解】对A，由题意得，故A正确；
对B，，故B正确；
对C，，因为，则，故C错误；
对D，因为，则，故D正确；
故选：ABD.
52．ACD
【分析】直接利用题意判断A；利用条件概率、全概率公式等进行转化判断B；利用正态分布的性质判断C；设，由函数的单调性判断D.
【详解】依题意，，A正确；
由，则，
又，
于是，即，
因此，即，则，B错误；
由
又，C正确；
，
设，由，
解得，即，
由，解得，即，
所以最大时的估计值为53，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点睛：利用全概率公式求随机事件B的概率问题，把事件B分拆成两个互斥事件与的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.
53．AD
【分析】根据给定的图象，结合正态曲线的性质，逐项分析判断即得.
【详解】观察图象知，的均值比的均值小，的标准差比的标准差大，即，，即A正确，B错误；
，，
而，则，C错误；
由，，得，
因此，D正确.
故选：AD
54．ABC
【分析】利用正态曲线的对称性判断ABD,由独立事件的概率判断C.
【详解】，
，故A，B正确.
无论为何值，，若从高三男生中随机挑选2人，
则他们的成绩都不低于75的概率为，故C正确，D错误.
故选：ABC
55．1
【分析】根据正态分布性质得到方程，解出即可.
【详解】由正态分布的性质可知，解得．
故答案为：1.
56．13
【分析】先计算出，利用正态分布曲线的对称性得到，由，对照参数得到，从而计算出进入集训队的人数.
【详解】正态分布，可知，
分及以上的人数为人，则，
由正态分布曲线的对称性可得：，得，
所以，则，
则分及以上的人数为人.
故答案为：.
57．0.1##
【分析】利用正态曲线的性质求解．
【详解】由知，正态曲线关于直线对称．
因为，所以．
又，
所以．
故答案为：0.1．
58．0.1##
【分析】依题意得，则，由，得，即可求解.
【详解】若，则）
因为工业生产中轴承的直径服从，
所以，则，
由，
得，
则要使拒绝的概率控制在之内，则至少为.
故答案为：##
59．(1)159
(2)取得最大值时n的值为8
【分析】（1）利用正态分布的对称性可求，故可估算年龄不低于60岁的人数.
（2）利用不等式组可求取得最大值时的值.
【详解】（1）因为，所以，
则，
所以现场年龄不低于60岁的人数大约为(人)．
（2）依题意可得，，
设，
所以，
所以
所以，因为整数，所以，
所以当取得最大值时的值为8．
60．(1)71.67
(2)分布列见解析，
(3)3
【分析】（1）根据频率分布直方图求中位数的方法，直接求解即可；
（2）由分层抽样的特点求得得分在[80,90）的人数为3，利用超几何分布求出随机变量对应的概率，列出分布列，结合数学期望的求解公式计算即可求解；
（3）由频率分布直方图求出平均数可得，结合正态分布的原则求出，即可求解.
【详解】（1）设这100名学生得分的中位数的估计值为，则
，
即.
（2）从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈，
其中得分在[80,90）的人数为.
若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在[80,90）的人数为，则的所有可能取值为0，1，2，3.
则，，
，，
则的分布列为
0 1 2 3
P
所以.
（3）由频率分布直方图估计这100名学生得分的平均数为
45×10×0.010＋55×10×0.015＋65×10×0.020＋75×10×0.030＋85×10×0.015＋95×10×0.010＝70.5，
所以取，由已知，，.
所以，
故这2000名学生得分高于90分的人数最有可能为.
61．(1)分布列见解析，
(2)127
【分析】（1）由频率分布直方图求得，进一步有，所以有二项分布，由此即可求出对应的概率、分布列以及数学期望；
（2）由题意，结合题中所给参考数据求得即可进一步得解.
【详解】（1），
∴，∴，
∴，，
，，
∴的分布列为：
0 1 2 3 4
∴.
（2）记该校高二男生立定跳远成绩为Y厘米，则，
∴
，
∴估计该校高二男生立定跳远得满分的人数为.
62．(1)16
(2)
【分析】（1）由正态分布的性质可求得，由此可估计进入面试的人数．
（2）由已知得的可能取值为0，2，4，6，8，10，分别求得取每一个可能的值的概率，得的分布列，根据数学期望公式可求得答案.
【详解】（1）因为服从正态分布，所以，，，
所以.
进入面试的人数，.
因此，进入面试的人数大约为16.
（2）由题意可知，的可能取值为0，2，4，6，8，10，
则；
；
；
；
；
.
所以.
63．(1)
(2)①；②分布列见解析，.
【分析】（1）求出获奖人数，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）求出的值.
①求得，利用原则可求出的值，再乘以可得结果；
②分析可知，，利用二项分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【详解】（1）解：由样本频率分布直方图知，样本中获一等奖的人数为，
获二等奖的人数为，
若三等奖的人数为，
获奖人数共有，人没有获奖，
从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为.
设“抽取两名学生中有一名学生获奖”的事件为，则事件包含的基本事件的个数为，
因为每个基本事件出现的可能性相等，所以，
即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为.
（2）解：由样本频率分布直方图得样本平均数估计值为
，
所有参赛学生的成绩近似地服从正态分布.
①因为，
，
所以，参赛学生中成绩超过分的人数约为；
②由，得，
即从所有学生中随机抽取名学生，该生的成绩在分以上的概率为，
所以随机变量，随机变量的可能值为、、、，
且，，
，
所以随机变量的分布列为
随机变量的数学期望.
答案第1页，共2页
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