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条件概率与全概率公式
基础知识
1 条件概率
① 定义
一般地，设为两个事件,且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率.
解释
(1) 求“事件已发生，事件发生的概率”，可理解：如图，事件已发生，则为样本空间，此时事件发生的概率是包含的样本点数与包含的样本点数的比值，即
(通俗些理解，条件概率只是缩小了样本空间，就是以为样本空间计算的概率)
Eg: 某地7月份吹南风(事件)的概率是，下雨(事件)的概率是，即吹南风又下雨的概率是，那在吹南风的条件下下雨的概率是, 在下雨的条件下吹南风的的概率是.
(2) 当时，当且仅当事件与相互独立时，有.
② 概率的乘法公式
对任意两个事件与，若，则
设，则
(1)；
(2) 如果和互斥，那么 ；
(3) 设和互为对立事件，则.
2 全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有
我们称它为全概率公式.
解释
(1)如下图，外圈是样本空间，分成互斥事件；内圈是样本空间，对应分成互斥事件；
则.
(2) 它表示求样本空间内任意一事件的概率的方法.
3 贝叶斯公式
设是一组两两互斥的事件，且，
解释
贝叶斯公式告诉我们两个条件概率之间的关系.
基本方法
【题型1】对条件概率概念和性质的理解
【典题1】 设为两个事件，已知，则
A. 0.24 B. 0.375 C. 0.4 D. 0.5
【典题2】 事件，且两两独立，若，则为 .
【巩固练习】
1.(★)设集合，且，则下列说法正确的是
A. B. C. D.
2.(★★) (多选)已知为随机事件，则下列表述中不正确的是
A.
B.
C.
D.
3.(★★★)已知事件满足，则不能说明事件相互独立的是( )
A. B.
C. D.
4.(★★★)(多选)设为同一随机试验的两个随机事件，若，则( )
A. B. C. D.
【题型2】 求条件概率
【典题1】 在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换 元件的概率为0.2 ，需要更换 元件的概率为0.1 ，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是( )
A. B. C. D.
【典题2】 (多选)2023 年旅游市场强劲复苏，7，8 月的暑期是旅游高峰期. 甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计划 2024 年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择. 事件为“甲选择北京”，事件为“乙选择上海”，则下列结论正确的是( )
A. 事件互斥 B.
C. D.
【巩固练习】
1.(★) 抛郑一枚质地均匀的骰子两次，记 两次的点数均为偶数 两次的点数之和为8，则
A. B. C. D.
2.(★)某工厂生产了一批产品，需等待检测后才能销售. 检测人员从这批产品中随机抽取了 5 件产品来检测，现已知这 5 件产品中有3 件正品，2 件次品，从中不放回地取出产品，每次 1 件，共取两次. 已知第一次取得次品，则第二次取得正品的概率是( )
A. B. C. D.
3.(★★) 甲、乙两名游客慕名来到四川旅游，准备分别从九寨沟、峨眉山、海螺沟、都江堰、青城山这 5 个景点中随机选一个. 事件 : 甲和乙选择的景点不同，事件 : 甲和乙恰好有一人选择九寨沟. 则条件概率
A. B. C. D.
4.(★★★)2023 杭州亚运会于9 月 23 日至 10 月 8 日举办，组委会将甲、乙、丙、丁 4 名志愿者随机派往黄龙体育中心、杭州奥体中心、浙江大学紫金港校区三座体育馆工作，每座体育馆至少派 1 名志愿者，表示事件“志愿者甲派往黄龙体育中心”；表示事件“志愿者乙派往黄龙体育中心”；C表示事件“志愿者乙派往杭州奥体中心”，则( )
A. 事件相互独立 B. 事件为互斥事件
C. D.
5.(★★★)（多选）一个密闭的容器中装有2 个红球和 4 个白球，所有小球除颜色外均相同. 现从容器中不放回地抽取两个小球. 记事件 : “至少有1 个红球”，事件 : “至少有1 个白球”，事件，则( )
A. 事件不互斥 B. 事件相互独立
C. D.
【题型3】 全概率公式的运用
【典题1】 设为两个事件，已知，则 )
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
【典题2】在一个抽奖游戏中，主持人从编号为的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭. 主持人知道奖品在哪个箱子里. 游戏规则是主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得. 现有抽奖人甲选择了 2 号箱，在打开 2 号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子. 按游戏规则，主持人将随机打开甲的选择之外的一个空箱子.
(1)计算主持人打开 4 号箱的概率；
(2)当主持人打开 4 号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选 2 号箱，还是改选 1 号或 3 号箱？(以获得奖品的概率最大为决策依据)
【巩固练习】
1.(★) 已知为两个随机事件，，则
A. 0.1 B. C. 0.33 D.
2.(★) 某人周一至周五每天 至 出发去上班，其中在 至 出发的概率为0.4 ，在该时间段出发上班迟到的概率为0.1 ；在 至 出发的概率为0.6 ，在该时间段出发上班迟到的概率为0.2 ，则小王某天在 至 6:50 出发上班迟到的概率为( )
A. 0.3 B. 0.17 C. 0.16 D. 0.13
3.(★★)已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.03 和 0.01 ，则一辆汽车中途停车修理的概率为( )
A. 1 B. C. D.
4.(★★★)某卡车为乡村小学运送书籍，共装运 10 箱，其中 5 箱英语书、 2 箱数学书、 3 箱语文书. 到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失了哪一箱. 现从剩下的 9 箱中任意打开 2 箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为( )
A. B. C. D.
5.(★★★)甲罐中有5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有4 个红球，3 个白球和 3 个黑球(球除颜色外，大小质地均相同). 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 和 表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件. 下列结论正确的个数是( )
(1)事件相互独立；(2) 是两两互斥的事件；
(3) ；(4) ；(5)
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
6.(★★★)甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球。甲盒装有4 个白球，8 个黑球，乙盒装有1 个白球，5 个黑球，丙盒装有3 个白球，3 个黑球.
(1)随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出 1 个球，求摸出的球是黑球的概率；
(2)已知(1)中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.
7.(★★★★)某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地网约车用户(后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行)对甲，乙两个公司的乘车费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评价，得到如下统计结果：
①用户选择甲公司的频率为0.32 ，选择乙公司的频率为0.68 ；
②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为0.62 ，选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为0.78 ；
③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.68 ，选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.61 ；
④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为0.21 ，选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为0.32 .
将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.
(1)分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并比较用户对哪个因素满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小.
(2)若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行 并说明理由。
【题型4】 贝叶斯公式的运用
【典题1】 已知12 件产品中有4 件次品，在先取 1 件的情况下，任取 2 件产品皆为正品，则先取 1 件为次品的概率为 .
【典题2】设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区的总人数比为，而三个地区感染此病的比例分别为. 现从这三个地区任意抽取一个人. 求:
(1)此人感染此病的概率；
(2)若此人感染此病，此人选自甲地区的概率为多少.
【巩固练习】
1.(★★) 甲口袋中有3 个红球，2 个白球，乙口袋中有4 个红球，3 个白球，先从甲口袋中随机取出 1 球放入乙口袋，分别以表示从甲口袋取出的球是红球、白球的事件；再从乙口袋中随机取出 1 球，以表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则
A. B. C. D.
2.(★★) 设5 支枪中有2 支未经过试射校正，3 支已经过试射校正. 一射手用校正过的枪射击中靶的概率是0.9 ，用未经过校正的枪射击中靶概率是0.4 . 今任取 1 支枪射靶，结果未中靶，则此枪为未经校正过的概率为( )
A. 0.5 B. 0.6 C. 0.8 D. 0.4
3.(★★★)现有两台车床加工同一型号的零件，第 1 台车床加工的零件次品率为，第 2 台车床加工的零件次品率为，加工出来的零件混放在一起. 已知第 1 台车床加工的零件数与第 2 台车床加工的零件数之比为，从这些零件中任取一个.
(1)求这个零件是次品的概率；
(2)已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率.
4.(★★★)现有甲、乙两个袋子，其中甲袋中有6 个红球和 2 个白球，乙袋中有3 个红球和 5 个白球，两袋子中小球形状和大小完全相同. 从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中一次摸出两个球，称为一次试验. 已知选择甲袋子的概率为，选择乙袋子的概率为. 拟进行多次重复试验，直到摸出的两个球均为红球，不再试验.
(1)求第一次试验摸出两个红球的概率；
(2)已知需进行第二次试验，计算第一次试验摸出的两个球来自甲袋的概率.
1.(★★)已知为某随机试验的两个事件，为事件的对立事件. 若，则
A. B. C. D.
2.(★★) “狼来了”的故事大家小时候应该都听说过: 小孩第一次喊 “狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊 “狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了. 从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为0.1 ；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是0.5. 最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是0.9 . 已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是( )
A. B. C. D.
3.(★★)某批麦种中，一等麦种占 ，二等麦种占 等麦种种植后所结麦含有50 粒以上麦粒的概率分别为，则这批麦种种植后所结麦穗含有50 粒以上麦粒的概率为( )
A. 0.48 B. 0.52 C. 0.56 D. 0.65
4.(★★★)已知甲袋中有6 只红球，4 只白球，乙袋中有8 只红球，6 只白球，随机取一只袋，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为( )
A. B. C. D.
5.(★★★)甲罐中有5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有4 个红球，3 个白球和 3 个黑球(球除颜色外，大小质地均相同). 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 和 表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件. 下列结论正确的个数是( )
(1)事件相互独立 (2)
(3) (4)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
6.(★★)伟大出自平凡，英雄来自人民. 在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会 6 名男生和 8 名女生骨干成员中选出 2 人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用 表示事件“抽到的 2 名队长性别相同”，表示事件“抽到的 2 名队长都是男生”，则 .
7.(★★)设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产 规格的芯片，现有20 块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6 块、 6 块、 8 块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为. 现从这 20 块芯片中任取 1 块芯片，若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为 .
8.(★★★)甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次. 甲每次射击命中的概率是，乙命中的概率是 ，两人每次射击是否命中都互不影响，则甲乙二人全部命中的概率为 ；在两人至少命中两次的条件下，甲恰好命中两次的概率为 .
9.(★★★)第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪
元. ChatGPT 所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT 中. 某学习小组设计了如下问题进行探究: 甲和乙两个箱子中各装有5 个大小相同的小球，其中甲箱中有3 个红球、 2 个白球，乙箱中有4 个红球、 1 个白球.
(1)从甲箱中随机抽出 2 个球，在已知抽到红球的条件下，求 2 个球都是红球的概率；
(2)郑一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4 ，从甲箱子随机抽出 1 个球；如果点数大于等于5 ，从乙箱子中随机抽出 1 个球. 若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率.
10.(★★★★)如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为，其中 1 号箱装有1 个黑球和 3 个白球，2 号箱装有2 个黑球和 2 个白球，3 号箱装有3 个黑球，这些球除颜色外完全相同. 小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件表示 “球取自第 号箱”，事件表示 “取得黑球”.
(1)求 的值；
(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由.条件概率与全概率公式
基础知识
1 条件概率
① 定义
一般地，设为两个事件,且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率.
解释
(1) 求“事件已发生，事件发生的概率”，可理解：如图，事件已发生，则为样本空间，此时事件发生的概率是包含的样本点数与包含的样本点数的比值，即
(通俗些理解，条件概率只是缩小了样本空间，就是以为样本空间计算的概率)
Eg: 某地7月份吹南风(事件)的概率是，下雨(事件)的概率是，即吹南风又下雨的概率是，那在吹南风的条件下下雨的概率是, 在下雨的条件下吹南风的的概率是.
(2) 当时，当且仅当事件与相互独立时，有.
② 概率的乘法公式
对任意两个事件与，若，则
设，则
(1)；
(2) 如果和互斥，那么 ；
(3) 设和互为对立事件，则.
2 全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有
我们称它为全概率公式.
解释
(1)如下图，外圈是样本空间，分成互斥事件；内圈是样本空间，对应分成互斥事件；
则.
(2) 它表示求样本空间内任意一事件的概率的方法.
3 贝叶斯公式
设是一组两两互斥的事件，且，
解释
贝叶斯公式告诉我们两个条件概率之间的关系.
基本方法
【题型1】对条件概率概念和性质的理解
【典题1】 设为两个事件，已知，则
A. 0.24 B. 0.375 C. 0.4 D. 0.5
解析 设为两个事件，由已知，
得，
所以，
故选: .
【典题2】 事件，且两两独立，若，则为 .
解析 根据题意，可得，
由两两独立，可知，
所以.
由，
可得，
故.
【巩固练习】
1.(★)设集合，且，则下列说法正确的是
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为，所以，
所以.
因为，
所以.
故选: C.
2.(★★) (多选)已知为随机事件，则下列表述中不正确的是
A.
B.
C.
D.
答案 AB
解析 对选项，当事件为独立事件，则，故错误；
对选项，当事件为互斥事件时，，
故错误；
对选项，故正确；
对选项，故正确.
故答案为: .
3.(★★★)已知事件满足，则不能说明事件相互独立的是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 对于，掷一枚质地均匀的股子，事件为向上的点数不超过4 ，事件为向上的点数为4 或 5 ，即 ，
满足，但 ，
所以事件不相互独立，故错误；
对于，因为，所以，
所以事件相互独立，故正确；
对于，因为，所以，
所以事件相互独立，故正确；
对于，因为，所以，
整理得 ，
所以事件相互独立，故正确.
故选: A.
4.(★★★)(多选)设为同一随机试验的两个随机事件，若，则( )
A. B. C. D.
答案 ACD
解析 由题意，正确；
，
错误；
正确；
，
正确.
故选：ACD.
【题型2】 求条件概率
【典题1】 在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换 元件的概率为0.2 ，需要更换 元件的概率为0.1 ，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是( )
A. B. C. D.
解析 设事件表示 “需要更换 元件”，事件表示 “需要更换 元件”，
事件表示 “在某次通电后有且只有一个需要更换”，
则，
，
在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是：
.
故选: C.
【典题2】 (多选)2023 年旅游市场强劲复苏，7，8 月的暑期是旅游高峰期. 甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计划 2024 年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择. 事件为“甲选择北京”，事件为“乙选择上海”，则下列结论正确的是( )
A. 事件互斥 B.
C. D.
解析 选项 ，甲选择北京和乙选择上海可能同时发生，不互斥，错误；
选项，由题意，事件总数为 种，事件的个数均为 种，
则
，即，正确；
选项，正确；
选项，错误.
故选: .
【巩固练习】
1.(★) 抛郑一枚质地均匀的骰子两次，记 两次的点数均为偶数 两次的点数之和为8，则
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意事件记 两次的点数均为偶数 ，包含的基本事件数是，共 9 个基本事件，
在 发生的条件下，两次的点数之和为8，
包含的基本事件数是共 3 个基本事件，
.
故选：C.
2.(★)某工厂生产了一批产品，需等待检测后才能销售. 检测人员从这批产品中随机抽取了 5 件产品来检测，现已知这 5 件产品中有3 件正品，2 件次品，从中不放回地取出产品，每次 1 件，共取两次. 已知第一次取得次品，则第二次取得正品的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设事件 “第一次取得次品”，事件 “第二次取得次品”，
则，
故.
故选: .
3.(★★) 甲、乙两名游客慕名来到四川旅游，准备分别从九寨沟、峨眉山、海螺沟、都江堰、青城山这 5 个景点中随机选一个. 事件 : 甲和乙选择的景点不同，事件 : 甲和乙恰好有一人选择九寨沟. 则条件概率
A. B. C. D.
答案 A
解析 由题知，，
所以.
故选: A.
4.(★★★)2023 杭州亚运会于9 月 23 日至 10 月 8 日举办，组委会将甲、乙、丙、丁 4 名志愿者随机派往黄龙体育中心、杭州奥体中心、浙江大学紫金港校区三座体育馆工作，每座体育馆至少派 1 名志愿者，表示事件“志愿者甲派往黄龙体育中心”；表示事件“志愿者乙派往黄龙体育中心”；C表示事件“志愿者乙派往杭州奥体中心”，则( )
A. 事件相互独立 B. 事件为互斥事件
C. D.
答案 D
解析 将 4 名志愿者分配到三座体育馆，每座体育馆至少派 1 名志愿者，
共有 种安排方案，
志愿者甲派往黄龙体育中心、志愿者乙派往黄龙体育中心、志愿者乙派往杭州奥体中心，
各有 种方案，
；
志愿者甲、乙均派往黄龙体育中心，有 种方案，
；
志愿者甲派往黄龙体育中心且乙派往杭州奥体中心，有 种方案，
；
对于 事件不相互独立，故错误；
对于 事件不是互斥事件，故错误；
对于，故错误；
对于，故正确.
故选: D.
5.(★★★)（多选）一个密闭的容器中装有2 个红球和 4 个白球，所有小球除颜色外均相同. 现从容器中不放回地抽取两个小球. 记事件 : “至少有1 个红球”，事件 : “至少有1 个白球”，事件，则( )
A. 事件不互斥 B. 事件相互独立
C. D.
答案 AD
解析 根据题意，事件 ：“至少有1 个红球”，事件 : “至少有1 个白球”，
事件 ，则事件为“一个红球和一个白球”，
，
依次分析选项:
对于，事件 : “一个红球和一个白球”，事件可能同时发生，
故事件不是互斥事件，正确；
对于，
由于，事件不相互独立，错误；
对于错误；
对于，同理: ，
故有正确.
故选: .
【题型3】 全概率公式的运用
【典题1】 设为两个事件，已知，则 )
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
解析 由，得，
由，即，
.
故选: C.
【典题2】在一个抽奖游戏中，主持人从编号为的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭. 主持人知道奖品在哪个箱子里. 游戏规则是主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得. 现有抽奖人甲选择了 2 号箱，在打开 2 号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子. 按游戏规则，主持人将随机打开甲的选择之外的一个空箱子.
(1)计算主持人打开 4 号箱的概率；
(2)当主持人打开 4 号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选 2 号箱，还是改选 1 号或 3 号箱？(以获得奖品的概率最大为决策依据)
解析 设 分别表示 号箱子里有奖品，
设 分别表示主持人打开 号箱子，
则，且两两互斥，
由题意可知，事件，
，，
(1) 由全概率公式，得主持人打开 4 号箱的概率
.
(2)由题意得，
，
，
，
通过概率大小比较，甲应该改选 1 号或 3 号箱.
【巩固练习】
1.(★) 已知为两个随机事件，，则
A. 0.1 B. C. 0.33 D.
答案 B
解析 由全概率公式得，，
，
.
故选: .
2.(★) 某人周一至周五每天 至 出发去上班，其中在 至 出发的概率为0.4 ，在该时间段出发上班迟到的概率为0.1 ；在 至 出发的概率为0.6 ，在该时间段出发上班迟到的概率为0.2 ，则小王某天在 至 6:50 出发上班迟到的概率为( )
A. 0.3 B. 0.17 C. 0.16 D. 0.13
答案 C
解析 由题意可知：小王某天在 6:30 至 6:50 出发上班迟到的概率为:
，
故选: .
3.(★★)已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.03 和 0.01 ，则一辆汽车中途停车修理的概率为( )
A. 1 B. C. D.
答案 C
解析 事件表示一辆汽车中途停车修理，事件表示该汽车是货车，事件表示该汽车是客车，
则，
则
.
故选: C.
4.(★★★)某卡车为乡村小学运送书籍，共装运 10 箱，其中 5 箱英语书、 2 箱数学书、 3 箱语文书. 到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失了哪一箱. 现从剩下的 9 箱中任意打开 2 箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 用表示丢失一箱后现从剩下的 9 箱中任意打开 2 箱，结果都是英语书，
用表示丢失的一箱为 分别表示英语书，数学书，语文书，
由全概率公式得从剩下的 9 箱中任意打开 2 箱，结果都是英语书的概率为:
，
丢失的一箱也是英语书的概率为:
.
故选: .
5.(★★★)甲罐中有5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有4 个红球，3 个白球和 3 个黑球(球除颜色外，大小质地均相同). 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 和 表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件. 下列结论正确的个数是( )
(1)事件相互独立；(2) 是两两互斥的事件；
(3) ；(4) ；(5)
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
答案 C
解析 显然，是两两互斥的事件，
且，
而 ，(1)错误，(2)正确；
，
所以，(3)正确；
，(4)正确；
，(5)错误，综上: 结论正确个数为3.
故选: .
6.(★★★)甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球。甲盒装有4 个白球，8 个黑球，乙盒装有1 个白球，5 个黑球，丙盒装有3 个白球，3 个黑球.
(1)随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出 1 个球，求摸出的球是黑球的概率；
(2)已知(1)中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.
答案 (1) ；(2) .
解析 (1)记取到甲盒子为事件，取到乙盒子为事件为，取到丙盒子为事件，取到黑球为事件，
由全概率公式得摸出黑球的概率为:
.
(2)摸出的球是黑球，则由条件概率得此球属于乙箱子的概率为:
.
7.(★★★★)某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地网约车用户(后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行)对甲，乙两个公司的乘车费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评价，得到如下统计结果：
①用户选择甲公司的频率为0.32 ，选择乙公司的频率为0.68 ；
②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为0.62 ，选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为0.78 ；
③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.68 ，选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.61 ；
④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为0.21 ，选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为0.32 .
将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.
(1)分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并比较用户对哪个因素满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小.
(2)若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行 并说明理由。
答案 (1)用户对等待时间满意的概率最大，对乘车费用满意的概率最小 ；
(2) 该用户选择乙公司出行的概率更大.
解析 (1)解：设事件 ：用户选择甲公司的网约车出行，事件 ：用户对等待时间满意，事件 ：用户对乘车舒适度满意，事件 ：用户对乘车费用满意.
则
，
所以，用户对等待时间满意的概率最大，对乘车费用满意的概率最小.
(2) 解: 由题知，，
，
所以，，故该用户选择乙公司出行的概率更大.
【题型4】 贝叶斯公式的运用
【典题1】 已知12 件产品中有4 件次品，在先取 1 件的情况下，任取 2 件产品皆为正品，则先取 1 件为次品的概率为 .
解析 设事件表示先取 1 件为次品，则 这完备事件组，
，
令事件为后取的 2 件皆为正品，
则，
由贝斯叶公式得后取 2 件产品皆为正品，则先取 1 件为次品的概率为:
.
故答案为: .
【典题2】设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区的总人数比为，而三个地区感染此病的比例分别为. 现从这三个地区任意抽取一个人. 求:
(1)此人感染此病的概率；
(2)若此人感染此病，此人选自甲地区的概率为多少.
解析 (1)设表示 “此人感染此病”，
表示此人选自甲、乙、丙三个地区，
由题意得，
，
由全概率公式得:
此人感染此病的概率:
.
(2)由贝叶斯公式得若此人感染此病，此人选自甲地区的概率为:
.
【巩固练习】
1.(★★) 甲口袋中有3 个红球，2 个白球，乙口袋中有4 个红球，3 个白球，先从甲口袋中随机取出 1 球放入乙口袋，分别以表示从甲口袋取出的球是红球、白球的事件；再从乙口袋中随机取出 1 球，以表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则
A. B. C. D.
答案 A
解析 ，
，
.
故选: A.
2.(★★) 设5 支枪中有2 支未经过试射校正，3 支已经过试射校正. 一射手用校正过的枪射击中靶的概率是0.9 ，用未经过校正的枪射击中靶概率是0.4 . 今任取 1 支枪射靶，结果未中靶，则此枪为未经校正过的概率为( )
A. 0.5 B. 0.6 C. 0.8 D. 0.4
答案 C
解析 记 为“校正过的枪支”，为“射击中靶”，
则，
故，
.
故选: C.
3.(★★★)现有两台车床加工同一型号的零件，第 1 台车床加工的零件次品率为，第 2 台车床加工的零件次品率为，加工出来的零件混放在一起. 已知第 1 台车床加工的零件数与第 2 台车床加工的零件数之比为，从这些零件中任取一个.
(1)求这个零件是次品的概率；
(2)已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率.
答案 (1) ；(2) .
解析 (1)根据题意，记事件为“车床加工的零件为次品”，事件为“该零件由第 台车床加工的零件”，，
则，
已知第 1 台车床加工的零件数与第 2 台车床加工的零件数之比为，
则，，
故 ；
(2)根据题意，由贝叶斯公式.
4.(★★★)现有甲、乙两个袋子，其中甲袋中有6 个红球和 2 个白球，乙袋中有3 个红球和 5 个白球，两袋子中小球形状和大小完全相同. 从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中一次摸出两个球，称为一次试验. 已知选择甲袋子的概率为，选择乙袋子的概率为. 拟进行多次重复试验，直到摸出的两个球均为红球，不再试验.
(1)求第一次试验摸出两个红球的概率；
(2)已知需进行第二次试验，计算第一次试验摸出的两个球来自甲袋的概率.
答案 (1) ；(2) .
解析 (1)设试验一次，“选择甲袋”为事件，“选择乙袋”为事件，
“摸出的两个球均为红球”为事件，
，
即第一次试验摸出两个红球的概率为；
(2) ，
，
所以已知需进行第二次试验，第一次试验摸出的两个球来自甲袋的概率为.
1.(★★)已知为某随机试验的两个事件，为事件的对立事件. 若，则
A. B. C. D.
答案 A
解析 由概率性质可知，，
即 ，
由，可得，
所以.
故选: A.
2.(★★) “狼来了”的故事大家小时候应该都听说过: 小孩第一次喊 “狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊 “狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了. 从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为0.1 ；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是0.5. 最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是0.9 . 已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设事件表示 “小孩诚实”，事件表示 “小孩说谎”，
则，
则，
，
故，
故.
故选: D.
3.(★★)某批麦种中，一等麦种占 ，二等麦种占 等麦种种植后所结麦含有50 粒以上麦粒的概率分别为，则这批麦种种植后所结麦穗含有50 粒以上麦粒的概率为( )
A. 0.48 B. 0.52 C. 0.56 D. 0.65
答案 B
解析 种植一等麦种和二等麦种的事件分别为，所结麦穗含有50 粒以上麦粒为事件，
依题意，，
由全概率公式得，
.
故选: .
4.(★★★)已知甲袋中有6 只红球，4 只白球，乙袋中有8 只红球，6 只白球，随机取一只袋，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设事件为取出的球是红球，事件为该球来自甲袋，事件为该球来自乙袋，
则由题意知: ，
由全概率公式可得： ，
所以.
故答案为: .
5.(★★★)甲罐中有5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有4 个红球，3 个白球和 3 个黑球(球除颜色外，大小质地均相同). 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 和 表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件. 下列结论正确的个数是( )
(1)事件相互独立 (2)
(3) (4)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
答案 C
解析 由题意得，是两两互斥的事件，
且，
而 ，(1)错误；
，所以，(2)正确；
，(3)正确；
，(4)错误，
综上: 结论正确的个数为2 .
故选: C.
6.(★★)伟大出自平凡，英雄来自人民. 在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会 6 名男生和 8 名女生骨干成员中选出 2 人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用 表示事件“抽到的 2 名队长性别相同”，表示事件“抽到的 2 名队长都是男生”，则 .
答案
解析 设事件为“抽到的 2 名队长性别相同”，事件为“抽到的 2 名队长都是男生”，
由已知得，
则.
故答案为: .
7.(★★)设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产 规格的芯片，现有20 块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6 块、 6 块、 8 块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为. 现从这 20 块芯片中任取 1 块芯片，若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为 .
答案
解析 设取到次品为事件，甲厂生产的芯片为事件，
则，，
则取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为.
故答案为: .
8.(★★★)甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次. 甲每次射击命中的概率是，乙命中的概率是 ，两人每次射击是否命中都互不影响，则甲乙二人全部命中的概率为 ；在两人至少命中两次的条件下，甲恰好命中两次的概率为 .
答案
解析 根据题意，设 “甲恰好命中 1 次”， “甲命中 2 次”， “乙命中 1 次”， “两人至少命中两次”，
若甲乙二人全部命中，即事件，则；
而 ，
则，
若甲恰好命中两次，即事件 ，
故在两人至少命中两次的条件下，
甲恰好命中两次的概率.
故答案为: .
9.(★★★)第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪
元. ChatGPT 所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT 中. 某学习小组设计了如下问题进行探究: 甲和乙两个箱子中各装有5 个大小相同的小球，其中甲箱中有3 个红球、 2 个白球，乙箱中有4 个红球、 1 个白球.
(1)从甲箱中随机抽出 2 个球，在已知抽到红球的条件下，求 2 个球都是红球的概率；
(2)郑一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4 ，从甲箱子随机抽出 1 个球；如果点数大于等于5 ，从乙箱子中随机抽出 1 个球. 若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率.
答案 (1) ；(2) .
解析 (1)记事件表示 “抽出的 2 个球中有红球”，事件表示 “两个球都是红球”，
则 ，
故.
(2)设事件表示 “从乙箱中抽球”，则事件表示 “从甲箱中抽球”，事件表示 “抽到红球”，
，
，
故.
10.(★★★★)如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为，其中 1 号箱装有1 个黑球和 3 个白球，2 号箱装有2 个黑球和 2 个白球，3 号箱装有3 个黑球，这些球除颜色外完全相同. 小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件表示 “球取自第 号箱”，事件表示 “取得黑球”.
(1)求 的值；
(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由.
答案 (1) ；(2) 该黑球来自 3 号箱的概率最大..
解析 (1)由已知得:
，
而
.
由全概率公式可得: .
(2)因 “小明取出的球是黑球，该黑球来自 1 号箱”可表示为: ，
其概率为，
“小明取出的球是黑球，该黑球来自 2 号箱”可表示为: ，
其概率为，
“小明取出的球是黑球，该黑球来自 3 号箱”可表示为: ，
其概率为.
综上， 最大，即若小明取出的球是黑球，可判断该黑球来自 3 号箱的概率最大.

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