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2009年江苏省高考数学重点内容分类精析
一．集合（集合及其表示A；子集B，交集、并集、补集B）
满足，且的集合的个数是 2
设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意都有（除数），则称P是一个数域，例如有理数Q是数域。有下列命题：①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；③若有理数，则数集必为数域；④数域必为无限集。
其正确的命题的序号是 ①④ （把你认为正确的命题的序号都填上）
二．函数概念与基本初等函数Ⅰ（函数的概念B；函数的基本性质B）
若函数的定义域是，则函数的定义域是 [0，1]
定义在R上的函数满足，，则等于
6
设函数，则的值为
三．函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数与对数B；指数与对数的图象和性质B；对数函数的图象和性质B；幂函数A；函数与方程A；函数模型及其应用B））
6．则下列四个结论正确的是 ③ （填正确序号）
① ② ③； ④
7．已知函数为常当选），函数的定义为：对每一个给定的实数，
求对所有实数成立的充分必要条件（用表示）
设是两个实数，满足且，若，求证：函数在区间上的单调增区间的长度之和为（闭区间的长度定义为）
解：（1）由的定义可知，（对所有实数）等价于
（对所有实数）这又等价于，即
对所有实数均成立. （*）
由于的最大值为，
故（*）等价于，即，这就是所求的充分必要条件
（2）分两种情形讨论
（i）当时，由（1）知（对所有实数）
则由及易知，
再由的单调性可知，
函数在区间上的单调增区间的长度
为（参见示意图1）
（ii）时，不妨设，则，于是
当时，有，从而；
当时，有
从而 ；
当时，，及，由方程
解得图象交点的横坐标为
⑴
显然，
这表明在与之间。由⑴易知

综上可知，在区间上， （参见示意图2）
故由函数及的单调性可知，在区间上的单调增区间的长度之和为，由于，即，得
⑵
故由⑴、⑵得
综合（i）（ii）可知，在区间上的单调增区间的长度和为。
已知二次函数
若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
问：是否存在常数当时，的值域为区间D，且D的长度为
9．水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为
（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份（）,问一年内哪几个月份是枯水期？
（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）.
解：本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.
（Ⅰ）①当时，，化简得,
解得，或，又，故.
②当时，，化简得,
解得，又,故.
综合得,或；
故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月.
(Ⅱ)(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.
由V′（t）=
令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).
当t变化时，V′(t) 与V (t)的变化情况如下表：
t
(4,8)
8
(8,10)
V′(t)
+
0
-
V(t)
极大值
由上表，V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e2+50-108.52(亿立方米).
故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米
四．函数概念与基本初等函数Ⅱ（三角函数的有关概念B；同角三角函数的基本关系式B；正弦、余弦的诱导公式B；正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质B；函数的图象和性质A；两角和（差）的正弦、余弦、和正切C；二倍角的正弦、余弦和正切B；积化和差、和差化积、半角公式A）
10．函数的最小值和最大值分别为
11．已知函数（，）为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间．
解：（Ⅰ）
．
因为为偶函数，所以对，恒成立，
因此．
即，
整理得．因为，且，所以．
又因为，故．所以．
由题意得，所以．故．因此．
（Ⅱ）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，
所以．
当（），
即（）时，单调递减，
因此的单调递减区间为（）．
12．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．
（1）按下列要求建立函数关系式：
（Ⅰ）设（rad），将表示成的函数；
（Ⅱ）设（km），将表示成的函数；
请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。
函数概念与基本初等函数Ⅱ（两角和（差）的正弦、余弦和正切；二倍角的正弦、余弦和正切；几个三角不等式）
解：（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则,
故，又OP＝，
所以，
所求函数关系式为
②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA =OB=
所求函数关系式为
（Ⅱ）选择函数模型①，
令0 得sin ，因为，所以=，
当时， ，是的减函数；
当时， ，是的增函数，所以当=时，。
这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边km处。
13．已知函数的最大值是1，其图象经过点M（，
（1）求的解析式；（2）已知，且，求的值。
解析：（1）依题意有，则，将点代入得，
而，，，故；
（2）依题意有，而，
，
。
五．解三角形（正弦定理、余弦定理及其应用B）
14．满足条件的三角形的面积的最大值
15．的三内角的对边边长分别为，若，则
16．如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2。
（1）求cos∠CBE的值；（2）求AE。
解：(1) 因为
所以，
(2)在中，，故由正弦定理得
,故
17．已知函数 在单调增加，在单调减少，则
六．平面向量（平面向量的有关概念B；平面向量的加法、减法和数乘运算B；平面向量的坐标表示B；平面向量的数量积C；平面向量的平行与垂直B；平面向量的应用A）
18．已知四边形的三个顶点，，，且，
则顶点的坐标为
19．已知平面向量，，且//，则＝
20．已知为的三个内角的对边，向量
．若，且，
则角的大小分别为
21．设平面向量，若存在实数和角使向量且
（1）求的关系式；（2）若，求的最小值，并求出此时的值。
七．数列（数列的有关概念A；等差数列C；等比数列C）
22．将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为
23．将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：



……
记表中的第一列数构成的数列为，．为数列的前项和，且满足．
（Ⅰ）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当时，求上表中第行所有项的和．
解：（Ⅰ）证明：由已知，当时，，又，
所以，
又．所以数列是首项为1，公差为的等差数列．
由上可知，．
所以当时，．
因此
（Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为，且．
因为，
所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项，故在表中第31行第三列，
因此．又，所以．
记表中第行所有项的和为，
则．
24．（1）设是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．
（i）当时，求的数值；
（ii）求的所有可能值．
（2）求证：对于给定的正整数()，存在一个各项及公差均不为零的等差数列
，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．
解：（1）①当n=4时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。
若删去，则，即化简得，得
若删去，则，即化简得，得
综上，得或。
②当n=5时, 中同样不可能删去，否则出现连续三项。
若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；
当n≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)
综上所述，。
（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，
其中（）为任意三项成等比数列，则，
即，化简得 （*）
由知，与同时为0或同时不为0
当与同时为0时，有与题设矛盾。
故与同时不为0，所以由（*）得
因为，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数。
于是，对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。
例如n项数列1，，，……，满足要求。
八．不等式（基本不等式C；一元二次不等式C；线性规划A）
25．已知函数，则不等式的解集是
26．若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线 扫过中的那部分区域的面积为
27．设函数为实数。
（Ⅰ）已知函数在处取得极值，求的值；
（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。
28．设为正实数，满足，则的最小值是 3
九．复数（复数的有关概念B；复数的四则运算B；复数的几何意义A）
29．复数
30．若将复数表示为是虚数单位）的形式，则　　1　　．
31．已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是
32．已知，其中是虚数单位，那么实数
33．若复数是纯虚数，则实数a的值为
34．复数等于
35．设，且为正实数，则
36．若复数z满足z＝i(2-z)（i是虚数单位），则z＝ 　　　　　　　 .
十．导数及其应用（导数的概念A；导数的几何意义B；导数的运算B；利用导数研究函数的单调性和极大（小）值B；导数在实际问题中的应用B）
37．设曲线在点处的切线与直线垂直，则
38．设直线是曲线的一条切线，则实数的值是
39．设函数，曲线在点处的切线方程为y=3．
（Ⅰ）求的解析式：
（Ⅱ）证明：函数的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（Ⅲ）证明：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
解：（Ⅰ），
于是解得或
因，故．
（Ⅱ）证明：已知函数，都是奇函数．
所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．而．可知，函数的图像按向量平移，即得到函数的图像，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形．
（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点．
由知，过此点的切线方程为
．
令得，切线与直线交点为．
令得，切线与直线交点为．
直线与直线的交点为．
从而所围三角形的面积为．
所以，所围三角形的面积为定值．
十一。算法初步（算法的有关概念A；流程图A；基本算法语句A）
40．阅读图3的程序框图，若输入，，则输出 ，
（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“”）
解析：要结束程序的运算，就必须通过整除的条件运算，
而同时也整除，那么的最小值应为和的最小公倍
数12，即此时有。
41．执行右边的程序框图，若，则输出的 ．
解：，因此输出
十二.常用逻辑用语（命题的四则运算法则A；必要条件、充分条件、
充要条件B；简单的逻辑联结词A；全称量词与存在量词A）
42．命题“若函数在其定义域内是减函数，
则”的逆否命题是 ② （填序号）
①若，则函数在其定义域内不是减函数
②若，则函数在其定义域内不是减函数
③若，则函数在其定义域内是减函数
④若，则函数在其定义域内是减函数
43．已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ D ）
A． B． C． D．
解析：不难判断命题为真命题，命题为假命题，从而上述叙述中只有 为真命题
十三、推理与证明（合情推理与演绎推理B；分析法和综合法A；反证法A）
44．已知数列，，，．
记．．
求证：当时，
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）。
（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．
①当时，因为是方程的正根，所以．
②假设当时，，
因为
，
所以．
即当时，也成立．
根据①和②，可知对任何都成立．
（Ⅱ）证明：由，（），
得．
因为，所以．
由及得，
所以．
（Ⅲ）证明：由，得
所以，
于是，
故当时，，
又因为，
所以．
十四、概率统计（抽样方法A；总体分布的估计A；总体特征数的估计B；变量的相关性A）
概率、统计（随机事件与概率A；古典概型B；几何概型A；互斥事件及其发生的概率A；统计案例A）
45．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为
解：古典概型问题，基本事件总数为。能组成以3为公差的等差数列有（1，4，7），（2，5，8），，（12，15，18）共12组，因此概率
46．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.
（Ⅰ）求乙投球的命中率；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.
解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B
由题意得
解得或（舍去），所以乙投球的命中率为
（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知
可能的取值为0，1，2，3，故
的分布列为
0
1
2
3
的数学期望
47．在平面直角坐标系中，设是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向中随机投一点，则所投点在中的概率是　 　　
本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．
十五。空间几何体（柱、锥、台、球及其简单组合体A；三视图与直观图A；柱、锥、台、球的表面积和体积A）
48．将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为

解析：解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案①
49．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是
解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为
十六。点、线、面之间的位置关系（平面及及基本性质A；直线与平面平行、垂直的判定与性质B；两平面平行、垂直的判定与性质B）
50．如图，在四面体中，，点分别是的中点．
求证：（1）直线面；（2）平面面．
证： （1）∵E,F分别是的中点．
∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，
∵EF∥面ACD，AD面ACD，∴直线EF∥面ACD；
（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，
∵CB=CD，F是ＢＤ的中点，∴CF⊥BD
又EF∩CF=F, ∴BD⊥面EFC，∵BD面BCD，∴面面
51．如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，．
（Ⅰ）设是上的一点，证明：平面平面；
（Ⅱ）求四棱锥的体积．
解：（Ⅰ）证明：在中，
由于，，，
所以．故．
又平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，
又平面，
故平面平面．
（Ⅱ）解：过作交于，
由于平面平面，
所以平面．因此为四棱锥的高，
又是边长为4的等边三角形．因此．
在底面四边形中，，，
所以四边形是梯形，在中，斜边边上的高为，
此即为梯形的高，所以四边形的面积为．
故．
十七。平面解析几何初步（直线的斜率和倾斜角B；直线方程C；直线的平行关系与垂直关系B；两条直线的交点B；两点间的距离，点到直线的距离B；圆的标准方程和一般方程C；直线和圆、圆和圆、的位置关系B）
52．在平面直角坐标系中，记二次函数（）与两坐标轴有
三个交点．经过三个交点的圆记为．
（1）求实数b的取值范围；
（2）求圆的方程；
（3）问圆是否经过定点（其坐标与的无关）？请证明你的结论．
十八、圆锥曲线与方程（中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质B；中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质A；顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质A）
53．过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为______________
解：将椭圆与直线方程联立：，得交点；
故
54．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①; ②; ③; ④＜.
其中正确式子的序号是
解：由焦点到顶点的距离可知②正确，由椭圆的离心率知③正确，故应选Ｂ．
55．设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
解析：（1）由得，
当得，G点的坐标为，
，，
过点G的切线方程为即，
令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，
即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；
（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，
同理 以为直角的只有一个；
若以为直角，则点在以为直径的圆上，而以为直径的圆与抛物线有两个交点。
所以以为直角的有两个；
因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。

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