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第四章 图形的性质
第十五节 等腰三角形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1等腰三角形的性质 ☆☆☆ 等腰三角形的相关知识内容是初中几何中的重要知识点之一，很多几何模型都与其有关，像经典的“手拉手”模型，半角、二倍角三角函数等都与等腰三角形紧密联系。在广东的中考中，等腰三角形相关知识单独出题的可能性较小，多以综合形式出现，由于等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形结合其他考点出成题的几率特别大，分值占比也是比较多的，作为常出现在中等偏上难度试题中的知识内容，在复习时要多注意其中的基本图形理解和辅助线添法。
考点2 等腰三角形的判定 ☆☆
考点3 等边三角形的性质 ☆☆☆
考点4 等边三角形的判定 ☆☆
考点5 三角形的中位线 ☆☆
考点1等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合，即“三线合一”。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）等腰三角形的其他性质：
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则④等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=
考点2 等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形性质 等腰三角形判定
中线 1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角； 2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。 1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形； 2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形
角平分线 1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边； 2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。 1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形； 2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
高线 1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边； 2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。 1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形； 2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。
角 等边对等角 等角对等边
边 底的一半<腰长<周长的一半 两边相等的三角形是等腰三角形
考点3 等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
考点4 等边三角形的判定
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
考点5 三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
（2）要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
考点1 等腰三角形的性质
◇例题
1.（2023 顺德区模拟）如图，AE是△ABC的外角∠CAD的平分线，且AB＝AC，∠ABC＝65°，则∠DAE＝　 　°．
【答案】65
【分析】先由等边对等角可得∠B＝∠C，根据三角形的外角性质及角平分线定义可得∠DAE＝∠ABC，则可得结果．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠B+∠C＝∠DAE+∠CAE，
∴∠DAE＝∠ABC＝65°．
故答案为：65．
◆变式训练
1．（2023 香洲区一模）如图，在等腰△ABC中，∠B＝∠C＝65°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数等于（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】B
【分析】首先利用线段垂直平分线的性质推出∠DAC＝∠DCA，根据等腰三角形的性质可求出∠ABC＝∠ACB，易求∠BCD的度数．
【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB＝65°．
∴∠A＝50°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD＝50°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝15°．
故选：B．
2．（2023 江门三模）已知直线MN∥PQ，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中直角顶点A在直线MN上，斜边BC与直线PQ交于BC的中点D，连接AD．若∠1＝20°，则∠NAD的度数为（　　）
A．70° B．65° C．45° D．75°
【答案】A
【分析】利用等腰三角形的性质可得AD⊥BC，从而可得∠ADB＝90°，然后利用角的和差关系可得∠ADP＝70°，再利用平行线的性质即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠1＝20°，
∴∠ADP＝∠ADB﹣∠1＝70°，
∵MN∥PQ，
∴∠NAD＝∠ADP＝70°，
故选：A．
3．（2023 南海区校级三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠1＝　 　．
【答案】57.5°．
【分析】根据等腰三角形的性质推出∠B＝∠ACB＝70°，根据三角形外角性质得到∠ACD＝110°，根据角平分线定义求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠B＝∠ACB（180°﹣50°）＝65°，
∴∠ACD＝∠B+∠A＝115°，
∵CE平分△ABC的外角∠ACD，
∴∠1∠ACD＝57.5°，
故答案为：57.5°．
4．（2023 花都区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DA＝DB，BE⊥AD，垂足为E，若，则线段BC的长为 　 　．
【答案】．
【分析】作AF⊥BC，判断出△ABF≌△BAE（AAS），得出BF＝AE即可．
【解答】解：如图，
作AF⊥BC，
∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠ABD，
∵BE⊥AD，
∴∠AFB＝∠BEA，
在△ABF和△BAE中，
，
∴△ABF≌△BAE（AAS），
∴BF＝AE，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BFBC，
∴BC＝2AE．
故答案为：．
考点2 等腰三角形的判定
◇例题
1.（2023 龙川县三模）正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A、B是两格点，使得△ABC为等腰三角形的格点C的个数是（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
【答案】C
【分析】分三种情况：当AB＝AC时，当BA＝BC时，当CA＝CB时，即可解答．
【解答】解：如图：
分三种情况：
当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，则点C1即为所求；
当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，则点C2即为所求；
当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，则点C3，C4，C5，C6A即为所求；
综上所述，使得△ABC为等腰三角形的格点C的个数是6个，
故选：C．
2.（2023 霞山区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F．则△AEF的周长为（　　）
A．9 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【分析】根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，求证∠EDB＝∠EBD，可得BE＝ED，DF＝FC，然后利用AB+AC即可求出△AEF的周长．
【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠EBD＝∠DBC，
∵过点D作BC的平行线交AB于点E，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴BE＝ED，
∴∠EDB＝∠EBD，
同理可得DF＝FC，
∴△AEF的周长即为AB+AC＝7+5＝12．
故选：C．
◆变式训练
1.（2023 广东模拟）如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在AE上，且∠ABD＝∠ACD，若补充一个条件，可以使BE＝CE，则可以补充的条件为 　 　．（填写“E为BC中点”不得分）
【答案】AE是∠BAC的平分线（答案不唯一）．
【分析】要使BE＝CE，则要判断AE是∠BAC的平分线，△ABC是等腰三角形，据此进行分析即可．
【解答】解：①当补充条件是：AE是∠BAC的平分线，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，
在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD与≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AE是BC边上的中线，
∴BE＝CE；
②当补充条件是：∠BDE＝∠CDE，
可得∠BAE＝∠CAE，
∴AE是∠BAC的平分线，
同①可得BE＝CE；
故答案为：AE是∠BAC的平分线（答案不唯一）．
2．（2023 福田区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，边AC上有一点D，使CD＝BC，点E是线段AB的延长线上的一点，连接BD，CE，且∠AEC＝45°，若AB＝5，AD，则CE的长为 　2　．
【答案】2．
【分析】过D作DM∥BC交AB于M，设CD＝x，则BC＝x，AC＝x，由勾股定理得到：x2＝52，即可求出BC的长，由等腰直角三角形的性质求出BD的长，由
平行线等分线段定理得到MB的长，由△ECB∽△DBM，得到EC：BD＝BC：BM，代入有关数据即可求出CE的长．
【解答】解：过D作DM∥BC交AB于M，
设CD＝x，则BC＝x，AC＝x，
∵∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴x2＝52，
∴x（舍去负值），
∴BC＝CD，
∴CD＝AD，
∵DM∥BC，
∴AM＝MBAB，
∵∠BCA＝90°，BC＝CD，
∴△CBD是等腰直角三角形，
∴∠CBD＝45°，BDBC，
∴∠E＝∠CBD＝45°，
∵DM∥BC，
∴∠EBC＝∠BMD，∠BDM＝∠CBD，
∴∠E＝∠BDM，
∴△ECB∽△DBM，
∴EC：BD＝BC：BM，
∴CE：：，
∴CE＝2．
故答案为：2．
3.（2023 潮南区模拟）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为（　　）
A．2 B．3 C．2 D．4
【答案】D
【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据AE＝AD，可以得到AD的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长．
【解答】解：∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，
∴AE＝2DF＝4，
∵AE＝AD，
∴AD＝4，
在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，
∴BDAC＝AD＝4，
故选：D．
4．（2023 雷州市一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（　　）
A．AD＝AE B．DB＝EC C．∠ADE＝∠C D．DEBC
【答案】D
【分析】由DE与BC平行，得到三角形ADE与三角形ABC相似，由相似得比例，根据AB＝AC，得到AD＝AE，进而确定出DB＝EC，再由两直线平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代换得到∠ADE＝∠C，而DE不一定为中位线，即DE不一定为BC的一半，即可得到正确选项．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，∠ADE＝∠B，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，DB＝EC，∠B＝∠C，
∴∠ADE＝∠C，
而DE不一定等于BC，
故选：D．
5．（2022 濠江区一模）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O的直线DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．
（1）求证：DE＝BD+CE．
（2）若AD＝3，BD＝CE＝2，求BC的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得DO＝DB，EO＝EC，进一步即可得证；
（2）先求出DE和AB的长，根据平行线的性质，可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得AD：AB＝DE：BC，进一步即可求出BC的长．
【解答】（1）证明：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠DBO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，
∵DE∥BC，
∴∠DOB＝∠CBO，∠EOC＝∠BCO，
∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ACO，
∴DO＝DB，EO＝EC，
∴DE＝DB+CE；
（2）解：∵BD＝CE＝2，AD＝3，
∴DE＝4，AB＝AD+DB＝5，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB＝DE：BC，
即3：5＝4：BC，
∴BC．
考点3 等边三角形的性质
◇例题
1.（2023 南山区模拟）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝42°，则∠2的度数为（　　）
A．92° B．102° C．112° D．114°
【答案】B
【分析】根据等边三角形性质求出∠A＝∠ACB＝60°，根据平行线的性质求出∠2的度数．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∵∠1＝42°，
∴∠ADE＝42°，
∴∠AED＝180°﹣60°﹣42°＝78°，
∴∠AEF＝180°﹣∠AED＝180°﹣78°＝102°，
∵直线a∥直线b，
∴∠2＝∠AEF，
∴∠2＝102°，
故选：B．
◆变式训练
1．（2023 深圳三模）如图，△ABC是等边三角形，以点B为圆心，任意长为半径画弧，交AC于点E、F．再分别以E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D．连接BD交AC于点G，∠ABG度数为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】D
【分析】由作图方法可知，BD是EF的垂直平分线，则根据等边三角形的性质可得．
【解答】解：由作图方法可知，BD是EF的垂直平分线，
∴BG⊥AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴，
故选：D．
2．（2023 南山区校级三模）如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形，∠1＝50°，则∠2的大小为（　　）
A．60° B．80° C．70° D．100°
【答案】C
【分析】根据平行线性质及三角形内角和定理及等边三角形性质即可求出∠2对顶角的度数，即可得到答案．
【解答】解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵l1∥l2，∠1＝50°，
∴∠1＝∠3＝50°，
∴∠4＝180°﹣∠3﹣∠A＝70°，
∴∠2＝70°．
故选：C．
3．（2023 越秀区一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的∠1与∠2的和总是一个定值．则∠1+∠2＝　 度．
【答案】240．
【分析】由三角形外角的性质得到∠1+∠2＝∠A+∠A+∠AED+∠ADE，由三角形内角和定理，即可得到答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠1＝∠A+∠AED，∠2＝∠A+∠ADE，
∴∠1+∠2＝∠A+∠A+∠AED+∠ADE＝60°+180°＝240°．
故答案为：240．
考点4 等边三角形的判定
◇例题
（2022 惠城区一模）将两个直角三角板如图放置，其中AB＝AC，∠BAC＝∠ECD＝90°，∠D＝60°．如果点A是DE的中点，CE与AB交于点F，则∠BFC的度数为 　 　°．
【答案】120．
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AC＝AD＝AE，由∠D＝60°，得到△ACD是等边三角形，那么∠ACD＝60°，∠ACF＝30°，再根据三角形外角的性质可得出答案．
【解答】解；∵∠DCE＝90°，点A是DE的中点，
∴AC＝AD＝AE，
∵∠D＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACF＝∠DCE﹣∠ACD＝30°，
∵∠FAC＝90°，
∴∠BFC＝∠FAC+∠ACF＝90°+30°＝120°，
故答案为：120．
◆变式训练
1．（2023 深圳三模）古代大型武器投石机，是利用杠杆原理将载体以不同的抛物线投射出去的装置．图是图投石机的侧面示意图．AB为炮架的炮梢两顶点，已知A、B两点到炮轴O的距离分别为1米和8米，当炮索自然垂落垂直于地面时，落在地面上的绳索还有5米．如图，拉动炮索，炮梢绕炮轴O旋转，点A的对应点为A′，点B的对应点为B′．当炮索的顶端在地面且与炮轴在同一直线上时，若AA′垂直地面，∠BOB′＝60°，此时，B′到水平地面的距离是（　　）
A．12 B． C． D．21
【答案】C
【分析】如图所示，延长AA′交地面于C，延长BB′交地面于D，设此时炮索的位置为E，证明△BOB′、△AOA′都是等边三角形，得到AA′＝OA＝OA′＝1m，∠B′＝∠AA′O＝60°，再证明AA′∥BB′得到BB′⊥DE，则∠E＝30°，即可得到，，设A′C＝xm，则A′E＝（x+6）m，求出A′E＝12m，即可求出．
【解答】解：如图所示，延长AA′交地面于C，延长BB′交地面于D，设此时炮索的位置为E，
∵OB＝OB′，OA＝OA′，∠BOB′＝∠AOA′＝60°，
∴△BOB′、△AOA′都是等边三角形，
∴AA′＝OA＝OA′＝1m，∠B′＝∠AA′O＝60°，
∴AA′∥BB′，
∵AA′⊥DE，
∴BB′⊥DE，
∴∠E＝30°，
∴，，
设A′C＝xm，则炮索的长为x+1+5＝（x+6）m，
∴A′E＝（x+6）m，
∴2x＝x+6，
∴x＝6，
∴A′E＝12m，
∴B′E＝B′O+OA′+A′E＝21m，
∴，
∴B′到水平地面的距离是，
故选：C．
2．（2023 中山市模拟）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝45°，在△ABC的外侧作等边△BCD，则AD的长的最大值是 　．
【答案】．
【分析】作△ABC的外接圆⊙E，则三角形ABE是等腰直角三角形，将BE顺时针旋转60°，得到线段BG，连接AG、CE、BG、GD，作BH⊥AG于H，当A、G、D三点共线时，AD最大，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：作△ABC的外接圆⊙E，∵∠ACB＝45°，则三角形ABE是等腰直角三角形，将BE顺时针旋转60°，得到线段BG，连接AG、CE、BG、GD，作BH⊥AG于H，当A、G、D三点共线时，AD最大，
∵AB＝2，
∴BE＝CEAB，
∵BE＝BG，BC＝BD，∠EBG＝∠CBD＝60°，
∴∠EBC＝∠GBD，
∴△CEB≌△DGB，
∴CE＝DG＝BG，
∵∠AGB＝∠ACB＝45°，
∵BH⊥AG于H，
∴BH＝HG＝1，，
AG+GD≥AD，
故答案为：．
3．（2023 南山区模拟）如图，等边三角形ABC边长为2，点D在BC边上，且BD＜CD，点E在AB边上且AE＝BD，连接AD，CE交于点F，在线段FC上截取FG＝FA，连接BG，则线段BG的最小值是 　 　．
【答案】22．
【分析】如图所示，连接CH，取AC的中点N，连接BN，由全等三角形的性质得到FH＝MH，即点H为MF的中点，则∠ACH＝90°，推出点H在以AC为直径的圆上运动，故当B、H、N三点共线时，BH有最小值，求出BN，则BH最小1．
【解答】解：如图所示，连接CH，取AC的中点N，连接BN，延长AD到M，使得FM＝FC，则△FCM是等边三角形，
∵∠ACB＝∠FCM，
∴∠ACF＝∠BCM，
∵CA＝CB，CF＝CM，
∴△BHM≌△GHF（SAS），
∴FH＝MH，即点H为MF的中点，
∵△FMC 是等边三角形，
∴CH⊥MF，即∠AHC＝90°，
∴点H在以AC为直径的圆上运动，
∴当B、H、N三点共线时，BH有最小值，
∴△ABC是等边三角形，N是AC的中点，
∴BN⊥AC，CNAC＝1，
∴BN，
∴BH最小1．
∵BG＝2BH＝22．
故答案为：22．
考点5三角形的中位线
◇例题
1.（2023 东莞市校级一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，且AD＝8，BC＝12，点E为AC中点，则DE的值为（　　）
A．5 B．5.8 C．6 D．6.5
【答案】A
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，AD⊥BC，根据勾股定理求出AC的长度，最后根据直角三角形斜边上是中线等于斜边的一半，即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是角平分线，
∴，AD⊥BC，
根据勾股定理可得：，
∵点E为AC中点，
∴，
故选：A．
◆变式训练
1．（2023 南海区模拟）如图，BD是Rt△ABC斜边AC的中线，E，F分别是BD，CD的中点，连接EF．若∠A＝60°，AD＝4，则EF的长为 （　　）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出BC，再根据三角形中位线定理即可求出EF．
【解答】解：∵E，F分别是BD，CD的中点，AD＝4，
∴AC＝8，EF是△BCD的中位线，
∴EFBC，
在Rt△ABC中，∠A＝60°，
∴∠C＝30°，
∴ABAC＝4，
∴BC4，
∴EF42．
故选：B．
2．（2023 雷州市一模）如图，在△ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，则DF的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出FE，计算即可．
【解答】解：∵点D、点E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC，
∵BC＝12，
∴DE＝6，
在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝8，
∴FEAC＝4，
∴DF＝DE﹣FE＝6﹣4＝2，
故选：B．
3．（2023 南海区校级三模）如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的动点，点Q是边BC上的定点，连接AP，PQ，E，F分别是AP，PQ的中点，连接EF．点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度（　　）
A．保持不变 B．逐渐变小
C．先变大，再变小 D．逐渐变大
【答案】A
【分析】连接AQ，根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：连接AQ，
∵点Q是边BC上的定点，
∴AQ的大小不变，
∵E，F分别是AP，PQ的中点，
∴EFAQ，
∴线段EF的长度保持不变，
故选：A．
4．（2023 龙岗区校级一模）如图，AB、CD相交于点O，OC＝2，OD＝3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF＝2，则AC的长为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DB，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【解答】解：∵EF是△ODB的中位线，
∴DB＝2EF＝2×2＝4，
∵AC∥BD，
∴△AOC∽△BOD，
∴AC：BD＝OC：OD，
即，
解得AC．
故选：A．
1．（2022 广东）如图，在△ABC中，BC＝4，点D，E分别为AB，AC的中点，则DE＝（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】由题意可得DE是△ABC的中位线，再根据三角形中位线的性质即可求出DE的长度．
【解答】解：∵点D，E分别为AB，AC的中点，BC＝4，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC4＝2，
故选：D．
2．（2020 广州）△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE．若∠C＝68°，则∠AED＝（　　）
A．22° B．68° C．96° D．112°
【答案】B
【分析】根据三角形的中位线定理得到DE∥BC，根据平行线的性质即可求得∠AED＝∠C＝68°．
【解答】解：∵点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠C，
∵∠C＝68°，
∴∠AED＝∠C＝68°．
故选：B．
3．（2020 广东）已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为（　　）
A．8 B．2 C．16 D．4
【答案】A
【分析】根据中位线定理可得DFAC，DEBC，EFAC，继而结合△ABC的周长为16，可得出△DEF的周长．
【解答】解：∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，
∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线，
∴DFAC，DEBC，EFAC，
故△DEF的周长＝DE+DF+EF（BC+AB+AC）16＝8．
故选：A．
4．（2023 广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点M是边AC上一动点，点D，E分别是AB，MB的中点，当AM＝2.4时，DE的长是 　 .若点N在边BC上，且CN＝AM，点F，G分别是MN，AN的中点，当AM＞2.4时，四边形DEFG面积S的取值范围是 　 　．
【答案】1.2；3＜S≤4．
【分析】依据题意，根据三角形中位线定理可得DEAM＝1.2；设AM＝x，从而DEx，由DE∥AM，且DEAM，又FG∥AM，FGAM，进而DE∥FG，DE＝FG，从而四边形DEFG是平行四边形，结合题意可得DE边上的高为（4x），故四边形DEFG面积S＝4xx2，进而利用二次函数的性质可得S的取值范围．
【解答】解：由题意，点D，E分别是AB，MB的中点，
∴DE是三角形ABM的中位线．
∴DEAM＝1.2．
如图，
设AM＝x，
∴DEAMx．
由题意得，DE∥AM，且DEAM，
又FG∥AM，FGAM，
∴DE∥FG，DE＝FG．
∴四边形DEFG是平行四边形．
由题意，GF到AC的距离是x，BC8，
∴DE边上的高为（4x）．
∴四边形DEFG面积S＝2xx2，（x﹣4）2+4．
∵2.4＜x≤6，
∴3≤S≤4．
故答案为：1.2；3≤S≤4．
1．已知等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是（　　）
A．17或22 B．22 C．17 D．13
【答案】B
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：分两种情况：
当腰为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形；
当腰为9时，9+9＞4，9﹣9＜4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4＝22．
故选：B．
2．等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°，则顶角的度数为（　　）
A．60° B．150° C．60°或120° D．60°或150°
【答案】C
【分析】分别从△ABC是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．
【解答】解：如图（1），
∵AB＝AC，BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝30°，
∴∠A＝60°；
如图（2），
∵AB＝AC，BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∵∠ABD＝30°，
∴∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝120°；
综上所述，它的顶角度数为：60°或120°．
故选：C．
3．如图，在△ABC中，AC＝18cm，BC＝20cm，点M从点A出发以每秒2cm的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒1.6cm的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当△CMN是以MN为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是（　　）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【答案】D
【分析】设运动的时间为x秒，则AM＝2x，AN＝18﹣3x，当AMN是等腰三角形时，AM＝AN，则18﹣3x＝2x，解得x即可．
【解答】解：设运动的时间为x秒，
在△ABC中，BC＝20cm，AC＝18cm，
点M从点A出发以每秒2cm的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒1.6cm的速度向点B运动，
当△CMN是等腰三角形时，CM＝CN，
CM＝18﹣2x，CN＝1.6x
即18﹣2x＝1.6x，
解得x＝5．
∴CM＝CN＝8（cm），
故选：D．
4．如图，l1∥l2，点B在直线l1上，点A在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°，则∠2的度数是（　　）
A．70° B．65° C．60° D．55°
【答案】A
【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠BAC＝25°，利用平行线的性质得到∠BEA＝95°，再根据三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：如图，
∵AB＝BC，∠C＝25°，
∴∠C＝∠BAC＝25°，
∵l1∥l2，∠1＝60°，
∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，
∵∠BEA＝∠C+∠2，
∴∠2＝95°﹣25°＝70°．
故选：A．
5．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】C
【分析】当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形；当AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【解答】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
6．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（　　）
A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2
【答案】C
【分析】根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBCS△ABC，代入求出即可．
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴S△PBCS△ABC9cm2＝4.5cm2，
故选：C．
7．如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，则AC的长为（　　）
A．3 B． C．9 D．
【答案】D
【分析】取CE的中点F，连接DF，根据三角形中位线定理得到DFBE＝3，DF∥BE，根据勾股定理求出AF，进而求出AC．
【解答】解：如图，取CE的中点F，连接DF，
∵BD＝DC，EF＝FC，
∴DF是△CEB的中位线，
∴DFBE＝3，DF∥BE，
∵AD⊥BE，
∴AD⊥DF，
∴AF3，
∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，
∴AH＝HD，
∵DF∥HE，
∴AE＝EF，
∴AC，
故选：D．
8．如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，AB＝2，则BD＝　 　．
【答案】1．
【分析】根据等边三角形的性质得BC＝AB＝2，进而再根据AD是BC上的高可得出BD的长．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，AB＝2，
∴AB＝BC＝2，
∵AD是BC上的高，
∴BD＝CDBC＝1，
故答案为：1．
9．如图，△ABC为等边三角形，∠2＝∠3，则∠BEC的度数是 　．
【答案】120°．
【分析】先根据等边三角形的性质得∠BCA＝60°，再根据∠2＝∠3可得∠BCE＝∠BCA﹣∠3＝60°﹣∠2，由此得∠2+∠BCE＝∠2+60°﹣∠2＝60°，然后再由三角形的内角和定理可得出∠BEC的度数．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BCA＝60°，
又∵∠2＝∠3，
∴∠BCE＝∠BCA﹣∠3＝60°﹣∠2，
∴∠2+∠BCE＝∠2+60°﹣∠2＝60°，
∴∠BEC＝180°﹣（∠2+∠BCE）＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120°
10．如图所示，某居民小区为了美化居住环境，要在一块三角形ABC空地上围一个四边形花坛BCFE，已知点E、F分别是边AB、AC的中点，量得BC＝16米，则EF的长是 　 米．
【答案】8．
【分析】根据三角形的中位线定理计算即可．
【解答】解：∵点E、F分别是边AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴，
∵BC＝16米，
∴EF＝8米，
故答案为：8．
11．等边△ABC的边长6cm．则其面积为　 　．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意画出图形，根据等边三角形的性质得出AB＝AC＝C，∠B＝60°，由锐角三角函数的定义求出AD的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：如图所示：
∵△ABC是等边三角形，AB＝6cm，
∴AB＝AC＝C，∠B＝60°，
∴AD＝AB sin60°＝63，
∴S△ABCBC AD3×3cm2，
故答案为：cm2．
12．已知等腰△ABC的周长是32，且腰长比底边长的2倍少4，求等腰△ABC的三条边的长．
【答案】12，12，8．
【分析】利用等腰三角形的性质，设出未知数，列方程组即可求解；
【解答】解：设等腰△ABC的腰长为x，底边长为y，
根据题意得，，
解得，，
∴等腰△ABC的三边的长为12，12，8．
13．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，EF的中点，求证：GH⊥EF．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形中位线的性质得到FGAD，EGBC，由AD＝BC，于是得到FG＝GE，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
∴FGAD，EGBC，
∵AD＝BC，
∴FG＝GE，
∵H是EF的中点，
∴GH⊥EF．
14．如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE＝CF，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用“HL”证明△BED和△CFD全等，再根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠C，然后根据等角对等边得到AB＝AC，再求得∠B＝60°，即可解答．
【解答】证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC（等角对等边）．
∵∠BDE＝30°，DE⊥AB，
∴∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
15．如图1，已知CA平分∠MCN，AB∥CN．
（1）求证：AB＝CB；
（2）作∠ABC的平分线，分别交AC，CN于E，D两点（如图2），若∠MCN＝60°，AB＝2，求CE的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义证明∠MCA＝∠BAC，根据等角对等边即可得出答案；
（2）先求出，根据等腰三角形的性质得出BE⊥AC，根据直角三角形的性质求出1，最后根据勾股定理求出结果即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥CN，
∴∠BAC＝∠ACN，
∵CA平分∠MCN，
∴∠MCA＝∠ACN，
∴∠MCA＝∠BAC，
∴BA＝BC．
（2）解：∵∠MCN＝60°，CA平分∠MCN，
∴，
∵BA＝BC，BD平分∠CBA，
∴BE⊥AC
∵BA＝BC＝2
∴1，
∴．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F，若AF＝BF．
求证：（1）△ADF是等腰三角形．
（2）DF＝2EF．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和余角的性质可证得∠D＝∠DFA，根据等腰三角形的判定即可证得结论；
（2）过A作AH⊥DE于H，由等腰三角形的性质可得DH＝FH，根据全等三角形的判定证得△AFH≌△BFE，得到DH＝FH＝EF，即可求出DF＝2EF．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠B+∠BFE＝∠C+∠D＝90°，
∴∠D＝∠BFE，
∵∠BFE＝∠DFA，
∴∠D＝∠DFA，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）过A作AH⊥DE于H，
∵DE⊥BC，
∴∠AHF＝∠BEF＝90°，
由（1）知，AD＝AF，
∴DH＝FH，
在△AFH和△BFE中，
，
∴△AFH≌△BFE（AAS），
∴FH＝EF，
∴DH＝FH＝EF，
∴DF＝2EF．
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第四章 图形的性质
第十五节 等腰三角形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1等腰三角形的性质 ☆☆☆ 等腰三角形的相关知识内容是初中几何中的重要知识点之一，很多几何模型都与其有关，像经典的“手拉手”模型，半角、二倍角三角函数等都与等腰三角形紧密联系。在广东的中考中，等腰三角形相关知识单独出题的可能性较小，多以综合形式出现，由于等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形结合其他考点出成题的几率特别大，分值占比也是比较多的，作为常出现在中等偏上难度试题中的知识内容，在复习时要多注意其中的基本图形理解和辅助线添法。
考点2 等腰三角形的判定 ☆☆
考点3 等边三角形的性质 ☆☆☆
考点4 等边三角形的判定 ☆☆
考点5 三角形的中位线 ☆☆
考点1等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个_____相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合，即“三线合_____”。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）等腰三角形的其他性质：
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为_____，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则④等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=
考点2 等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角_____，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角都_____的三角形是等边三角形
推论2：有一个角是_____的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的_____。
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形性质 等腰三角形判定
中线 1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角； 2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。 1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形； 2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形
角平分线 1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边； 2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。 1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形； 2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
高线 1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边； 2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。 1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形； 2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。
角 等边对等角 等角对等边
边 底的一半<腰长<周长的一半 两边相等的三角形是等腰三角形
考点3 等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都_____的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的_____三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
考点4 等边三角形的判定
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
考点5 三角形中的中位线
连接三角形两边_____的线段叫做三角形的中位线。
（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
（2）要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线_____于第三边，并且等于它的_____。
三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
考点1 等腰三角形的性质
◇例题
1.（2023 顺德区模拟）如图，AE是△ABC的外角∠CAD的平分线，且AB＝AC，∠ABC＝65°，则∠DAE＝　 　°．
◆变式训练
1．（2023 香洲区一模）如图，在等腰△ABC中，∠B＝∠C＝65°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数等于（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
2．（2023 江门三模）已知直线MN∥PQ，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中直角顶点A在直线MN上，斜边BC与直线PQ交于BC的中点D，连接AD．若∠1＝20°，则∠NAD的度数为（　　）
A．70° B．65° C．45° D．75°
3．（2023 南海区校级三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠1＝　 　．
4．（2023 花都区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DA＝DB，BE⊥AD，垂足为E，若，则线段BC的长为 　 　．
考点2 等腰三角形的判定
◇例题
1.（2023 龙川县三模）正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A、B是两格点，使得△ABC为等腰三角形的格点C的个数是（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
2.（2023 霞山区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F．则△AEF的周长为（　　）
A．9 B．11 C．12 D．13
◆变式训练
1.（2023 广东模拟）如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在AE上，且∠ABD＝∠ACD，若补充一个条件，可以使BE＝CE，则可以补充的条件为 　 　．（填写“E为BC中点”不得分）
2．（2023 福田区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，边AC上有一点D，使CD＝BC，点E是线段AB的延长线上的一点，连接BD，CE，且∠AEC＝45°，若AB＝5，AD，则CE的长为 　 　．
3.（2023 潮南区模拟）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为（　　）
A．2 B．3 C．2 D．4
4．（2023 雷州市一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（　　）
A．AD＝AE B．DB＝EC C．∠ADE＝∠C D．DEBC
5．（2022 濠江区一模）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O的直线DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．
（1）求证：DE＝BD+CE．
（2）若AD＝3，BD＝CE＝2，求BC的值．
考点3 等边三角形的性质
◇例题
1.（2023 南山区模拟）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝42°，则∠2的度数为（　　）
A．92° B．102° C．112° D．114°
◆变式训练
1．（2023 深圳三模）如图，△ABC是等边三角形，以点B为圆心，任意长为半径画弧，交AC于点E、F．再分别以E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D．连接BD交AC于点G，∠ABG度数为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
2．（2023 南山区校级三模）如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形，∠1＝50°，则∠2的大小为（　　）
A．60° B．80° C．70° D．100°
3．（2023 越秀区一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的∠1与∠2的和总是一个定值．则∠1+∠2＝　 度．
考点4 等边三角形的判定
◇例题
（2022 惠城区一模）将两个直角三角板如图放置，其中AB＝AC，∠BAC＝∠ECD＝90°，∠D＝60°．如果点A是DE的中点，CE与AB交于点F，则∠BFC的度数为 　 　°．
◆变式训练
1．（2023 深圳三模）古代大型武器投石机，是利用杠杆原理将载体以不同的抛物线投射出去的装置．图是图投石机的侧面示意图．AB为炮架的炮梢两顶点，已知A、B两点到炮轴O的距离分别为1米和8米，当炮索自然垂落垂直于地面时，落在地面上的绳索还有5米．如图，拉动炮索，炮梢绕炮轴O旋转，点A的对应点为A′，点B的对应点为B′．当炮索的顶端在地面且与炮轴在同一直线上时，若AA′垂直地面，∠BOB′＝60°，此时，B′到水平地面的距离是（　　）
A．12 B． C． D．21
2．（2023 中山市模拟）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝45°，在△ABC的外侧作等边△BCD，则AD的长的最大值是 　．
3．（2023 南山区模拟）如图，等边三角形ABC边长为2，点D在BC边上，且BD＜CD，点E在AB边上且AE＝BD，连接AD，CE交于点F，在线段FC上截取FG＝FA，连接BG，则线段BG的最小值是 　 　．
考点5三角形的中位线
◇例题
1.（2023 东莞市校级一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，且AD＝8，BC＝12，点E为AC中点，则DE的值为（　　）
A．5 B．5.8 C．6 D．6.5
◆变式训练
1．（2023 南海区模拟）如图，BD是Rt△ABC斜边AC的中线，E，F分别是BD，CD的中点，连接EF．若∠A＝60°，AD＝4，则EF的长为 （　　）
A．3 B． C． D．
2．（2023 雷州市一模）如图，在△ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，则DF的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023 南海区校级三模）如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的动点，点Q是边BC上的定点，连接AP，PQ，E，F分别是AP，PQ的中点，连接EF．点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度（　　）
A．保持不变 B．逐渐变小
C．先变大，再变小 D．逐渐变大
4．（2023 龙岗区校级一模）如图，AB、CD相交于点O，OC＝2，OD＝3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF＝2，则AC的长为（　　）
A． B． C．2 D．
1．（2022 广东）如图，在△ABC中，BC＝4，点D，E分别为AB，AC的中点，则DE＝（　　）
A． B． C．1 D．2
2．（2020 广州）△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE．若∠C＝68°，则∠AED＝（　　）
A．22° B．68° C．96° D．112°
3．（2020 广东）已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为（　　）
A．8 B．2 C．16 D．4
4．（2023 广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点M是边AC上一动点，点D，E分别是AB，MB的中点，当AM＝2.4时，DE的长是 　 .若点N在边BC上，且CN＝AM，点F，G分别是MN，AN的中点，当AM＞2.4时，四边形DEFG面积S的取值范围是 　 　．
1．已知等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是（　　）
A．17或22 B．22 C．17 D．13
2．等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°，则顶角的度数为（　　）
A．60° B．150° C．60°或120° D．60°或150°
3．如图，在△ABC中，AC＝18cm，BC＝20cm，点M从点A出发以每秒2cm的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒1.6cm的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当△CMN是以MN为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是（　　）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
4．如图，l1∥l2，点B在直线l1上，点A在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°，则∠2的度数是（　　）
A．70° B．65° C．60° D．55°
5．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
6．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（　　）
A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2
7．如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，则AC的长为（　　）
A．3 B． C．9 D．
8．如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，AB＝2，则BD＝　 　．
9．如图，△ABC为等边三角形，∠2＝∠3，则∠BEC的度数是 　．
10．如图所示，某居民小区为了美化居住环境，要在一块三角形ABC空地上围一个四边形花坛BCFE，已知点E、F分别是边AB、AC的中点，量得BC＝16米，则EF的长是 　 米．
11．等边△ABC的边长6cm．则其面积为　 　．
12．已知等腰△ABC的周长是32，且腰长比底边长的2倍少4，求等腰△ABC的三条边的长．
13．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，EF的中点，求证：GH⊥EF．
14．如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE＝CF，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．
15．如图1，已知CA平分∠MCN，AB∥CN．
（1）求证：AB＝CB；
（2）作∠ABC的平分线，分别交AC，CN于E，D两点（如图2），若∠MCN＝60°，AB＝2，求CE的长．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F，若AF＝BF．
求证：（1）△ADF是等腰三角形．
（2）DF＝2EF．
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