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第四章 图形的性质
第十六节 直角三角形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 直角三角形的性质与判定 ☆☆ 广东数学中考中，直角三角形相关知识是解决几何题的重要工具，一般在较为综合的试题中体现，考查难度有简单，也有中等偏上难度的题，常考知识有：直角三角形的相关性质定理、勾股定理及其逆定理等，像含30°、45°这些特殊角的直角三角形，更加是热门出题方向。结合近些年的中考情况，在复习这一板块的知识时，需要熟练掌握直角三角形的各种性质与判定方法，同时学会构造含特殊角的直角三角形解决问题。
考点2 含30度角的直角三角形 ☆☆
考点3 直角三角形斜边上的中线 ☆☆
考点4 勾股定理及其应用 ☆☆
考点5 等腰直角三角形 ☆☆
考点1 直角三角形的性质与判定
性质 直角三角形的两个锐角_____
直角三角形斜边上的中线等于斜边长的_____
在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于_____的一半
判定 有一个角是_____的三角形是直角三角形
有两个角_____的三角形是直角三角形
考点2 含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
考点3 直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的_____．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
考点4 勾股定理及其应用
1.勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于_____的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在_____中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
2.勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的_____，用_____的两条边的平方和与_____的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
3.勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
考点5 等腰直角三角形
（1）两条_____相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．
考点1 直角三角形的性质与判定
◇例题
1.（2023 惠州校级模拟）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线b上，若∠1＝40°，则∠2的度数为 　 　．
◆变式训练1．（2023 曲江区校级三模）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
2．（2023 麻章区二模）直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（　　）
A．100度 B．120度 C．135度 D．140度
3．（2023 大埔县一模）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．（2023 罗湖区校级自主招生）如图，已知Rt△ABC中，∠B＝30°，BE＝AC，求AB+DE＝480时，DE的长度为 　 　．
考点2 含30度角的直角三角形
◇例题
1.（2023 海珠区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝4，则AC＝　 　．
◆变式训练
1．（2023 香洲区校级一模）如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝8，则BD的长为（　　）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
2．（2023 高州市二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB交BC于点D，∠BAC＝120°，AD＝5，则BC的长为（　　）
A．7.5 B．10 C．15 D．20
3．（2023 龙岗区校级一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16，点P是斜边AB上一点，过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，当△APQ的面积为时，x的值为 　．
4．（2023 海珠区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，边AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接AD．若BD＝6，则AC＝　 　．
考点3 直角三角形斜边上的中线
◇例题
1.（2023 中山市校级一模）如图，在Rt△ABC中∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则AB的长为（　　）
A． B． C．2 D．4
◆变式训练
1．（2023 开平市二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF⊥BC于 F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，若△DEF的周长是11，则AF＝ 　．
2．（2023 深圳模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的中点，过点B作BD⊥AB，交CE的延长线于点D，若BD＝4，CD＝8，则AC＝　 ．
3．（2023 江门二模）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为 　 ．
考点4 勾股定理及其应用
◇例题
1.（2023 潮阳区一模）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，根据图中数据，可得出正方形A的面积是（　　）
A．12 B．24 C．30 D．10
2.（2022 禅城区校级模拟）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝　 　°（点A，B，P是网格线交点）．
3.（2023 南山区一模）紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图1．当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，⊙O为某紫砂壶的壶口，已知A，B两点在⊙O上，直线l过点O，且l⊥AB于点D，交⊙O于点C．若AB＝30mm，CD＝5mm，则这个紫砂壶的壶口半径r的长为 　 　mm．
◆变式训练
1.（2023 潮南区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
2．（2023 惠城区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E．若AE＝2EC，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 越秀区一模）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点E，且AC⊥BD，AC＝AD，∠CBD＝∠CAD，CB＝5，，则AD的长是（　　）
A．9 B．10 C． D．
4．（2023 东莞市校级一模）下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（　　）
A．3cm，4cm，5cm B．4cm，3cm，
C．6cm，8cm，9cm D．1cm，，
5．（2022 南海区校级三模）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5．将△ABC沿着点A到点C的方向平移到△DEF的位置，图中阴影部分面积为4，则平移的距离为（　　）
A．3 B． C．3 D．2
6．（2022 广东三模）在四边形ACBD中，AC⊥BC且BC＝2，AD＝3，AB＝4，BD＝5，则∠CAD＝　 　．
7．（2023 龙岗区校级一模）如图，一根树在离地面3米处断裂，树的顶部落在离底部4米处，树折断之前有　 　米．
8．（2023 潮州模拟）如图，一根长为18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度h cm，则h的取值范围是 　 　．
3．（2023 中山市三模）某高铁站入口的双翼闸机如图所示，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm．双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°．一名旅客携带一件长方体行李箱进站，行李箱规格为60×80×100（长×宽×高，单位：cm）．当双翼收回进闸机箱内时，该旅客的行李箱是否可以通过闸机？请说明理由．
考点5 等腰直角三角形
◇例题
（2023 中山市二模）如图，△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，点A，B，E在同一直线上，BD⊥AE，垂足为点B，点C在BD上，AB＝4，BE＝10．将△ABC沿BE方向平移，当这两个三角形重叠部分的面积等于△ABC面积的一半时，△ABC平移的距离为 　．
◆变式训练
1.（2023 深圳一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝10，用尺规作图的方法作线段AD和线段DE，保留作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，则△BDE的周长是（　　）
A．8 B．5 C． D．10
2．（2023 广东模拟）如图，直线l与m平行，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠2＝20°，则∠1的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
3．（2023 深圳模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是BC上的一点，AC＝DC，AB⊥AE，且AE＝AB，连接DE交AC的延长线于点F，，则　 ．
1．（2021 广州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若CD＝1，则AD的长为 ．
2．（2021 深圳）如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD＝10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF周长为 　 　．
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC＝12，BC＝16，则AE的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，CD⊥AC交AB于点D，CD＝1，则AB的长是（　　）
A．3 B． C．4 D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D．若BD＝6，则AC的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．下列四组数，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．30，40，50
C．6，7，8 D．32，42，52
5．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝1：1：2 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝1：2：
6．12世纪，印度一位著名数学家婆什迦罗在他的名著《丽罗娃提》中记载了一个有趣的问题：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”
这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置2尺远，由此可知湖水的深度是（　　）
A．4.25尺 B．3.75尺 C．2.25尺 D．2尺
7．下列给出的四组数中，不能构成直角三角形三边的一组是（　　）
A．1，2， B．2，3，4 C．3，4，5 D．5，12，13
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，D为边AB的中点，则∠BCD＝　　°．
9．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝8，则CD的长是 　　．
10．如图是单位长度为1的正方形网格，格点上A、B两点间的距离为 　　．
11．已知直角三角形三边长分别是a+1，a+2，a+3，则a的值为 　　．
12．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，AD＝3cm，则CD的长是 　　cm．
13．某校秉承“学会生活，学会学习，学会做人”的办学理念，将本校的办学理念做成宣传牌（AB），放置在教室的黑板上面（如图所示）．在三月雷锋活动中小明搬来一架梯子（AE＝5米）靠在宣传牌（AB）A处，底端落在地板E处，然后移动的梯子使顶端落在宣传牌（AB）的B处，而底端E向外移到了1米到C处（CE＝1米）．测量得BM＝4米．求宣传牌（AB）的高度（结果用根号表示）．
14．如图，在△ABC中，D是BC上一点，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求BC的长．
15．为了绿化环境，我县某中学有一块空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量AD＝8m，CD＝6m，∠D＝90°，AB＝26m，BC＝24m．求出该空地的面积．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4．动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A、B重合），作∠DPQ＝60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示线段DC的长；
（2）当点Q与点C重合时，求t的值．
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第四章 图形的性质
第十六节 直角三角形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 直角三角形的性质与判定 ☆☆☆ 广东数学中考中，直角三角形相关知识是解决几何题的重要工具，一般在较为综合的试题中体现，考查难度有简单，也有中等偏上难度的题，常考知识有：直角三角形的相关性质定理、勾股定理及其逆定理等，像含30°、45°这些特殊角的直角三角形，更加是热门出题方向。结合近些年的中考情况，在复习这一板块的知识时，需要熟练掌握直角三角形的各种性质与判定方法，同时学会构造含特殊角的直角三角形解决问题。
考点2 含30度角的直角三角形 ☆☆
考点3 直角三角形斜边上的中线 ☆☆
考点4 勾股定理及其应用 ☆☆
考点5 等腰直角三角形 ☆☆
考点1 直角三角形的性质与判定
性质 直角三角形的两个锐角互余
直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半
在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边长的一半
判定 有一个角是90°的三角形时直角三角形
有两个角互余的三角形是直角三角形
考点2 含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
考点3 直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
考点4 勾股定理及其应用
1.勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
2.勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
3.勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
考点5 等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．
考点1 直角三角形的性质与判定
◇例题
1.（2023 惠州校级模拟）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线b上，若∠1＝40°，则∠2的度数为 　 　．
【答案】50°．
【分析】由平行线的性质可得∠3＝∠1＝40°，然后根据平角的性质可得∠3+∠2+90°＝180°即可求得∠2．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝40°，
∵∠3+∠2+90°＝180°，
∴∠2＝50°．
故答案为：50°．
◆变式训练
1．（2023 曲江区校级三模）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】C
【分析】如图，作CK∥a利用平行线的性质可得∠ACB＝∠1+∠2＝40°，再利用直角三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：如图，作CK∥a．
∵a∥b，CK∥a，
∴CK∥b，
∴∠1＝∠3＝15°，∠4＝∠2＝25°，
∴∠ACB＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
故选：C．
2．（2023 麻章区二模）直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（　　）
A．100度 B．120度 C．135度 D．140度
【答案】C
【分析】作出图形，根据直角三角形两锐角互余可得∠BAC+∠ABC＝90°，再根据角平分线的定义可得∠OAB+∠OBA＝45°，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：如图，∵∠C＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，
∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA90°＝45°，
∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝180°﹣45°＝135°．
故选：C．
3．（2023 大埔县一模）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】根据直角三角形的性质求出∠CED，再根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°，
则∠CED＝90°﹣40°＝50°，
∵l∥AB，
∴∠1＝∠CED＝50°，
故选：C．
4．（2023 罗湖区校级自主招生）如图，已知Rt△ABC中，∠B＝30°，BE＝AC，求AB+DE＝480时，DE的长度为 　 　．
【答案】120．
【分析】根据30°角正切值可求得 ，结合AB+DE＝480，即可列方程，求解即可得出答案．
【解答】解：∵∠B＝30°，，
在Rt△BDE 中，，即，
∴，
在Rt△ABC中，，即，
故AB+DE＝3DE+DE＝4DE＝480，
∴DE＝120．
故答案为：120．
考点2 含30度角的直角三角形
◇例题
1.（2023 海珠区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝4，则AC＝　2　．
【答案】2．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝BE，再根据等边对等角可得∠BAE＝∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEC＝30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AC的长．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE＝4，
∴∠BAE＝∠B＝15°，
∴∠AEC＝∠BAE+∠B＝15°+15°＝30°，
∵∠C＝90°，
∴ACAE4＝2．
故答案为：2．
◆变式训练
1．（2023 香洲区校级一模）如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝8，则BD的长为（　　）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得BC的长，再据含30°角的直角三角形的性质可得BD的长．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，
∴BCAB＝4，∠B＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝30°，
∴BDBC＝2，
故选：B．
2．（2023 高州市二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB交BC于点D，∠BAC＝120°，AD＝5，则BC的长为（　　）
A．7.5 B．10 C．15 D．20
【答案】C
【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠B＝∠C＝30°，再根据垂直定义可得∠DAB＝90°，从而在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质BD＝2AD＝10，然后利用角的和差关系求出∠CAD＝30°，从而可得∠C＝∠CAD＝30°，再利用等角对等边可得CD＝AD＝5，最后进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C（180°﹣∠BAC）＝30°，
∵AD⊥AB，
∴∠DAB＝90°，
∴BD＝2AD＝10，∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，
∴∠C＝∠CAD＝30°，
∴CD＝AD＝5，
∴BC＝BD+CD＝10+5＝15，
故选：C．
3．（2023 龙岗区校级一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16，点P是斜边AB上一点，过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，当△APQ的面积为时，x的值为 　．
【答案】2或14．
【分析】分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论，表示出三角形的面积，根据已知的三角形面积的值得到一元二次方程，求解后根据实际意义取值即可．
【解答】解：当点Q在AC上时，
∵PQ⊥AB，∠A＝30°，AP＝x，
∴PQx，
∴△APQ的面积 AP PQ x x，
∵△APQ的面积为，
∴ x x，
解得：x1＝2，x2＝﹣2（舍去），
当点Q在BC上时，
∵AP＝x，AB＝16，
∴BP＝16﹣x，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵PQ⊥AB，
∴∠PQB＝30°，
∴PQ（16﹣x），
∴△APQ的面积 AP PQ x （16﹣x），
∵△APQ的面积为，
∴ x （16﹣x），
解得：x1＝14，x2＝2（舍去），
故答案为：2或14．
4．（2023 海珠区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，边AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接AD．若BD＝6，则AC＝　 　．
【答案】3．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BD＝AD，根据等边对等角可得∠B＝∠BAD＝15°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ADC＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得ACAD．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD＝AD＝6，
∴∠B＝∠BAD＝15°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°，
又∵∠C＝90°，
∴ACAD＝3，
故答案为：3．
考点3 直角三角形斜边上的中线
◇例题
1.（2023 中山市校级一模）如图，在Rt△ABC中∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则AB的长为（　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得BD＝DC，从而可得△BCD是等边三角形；然后利用等边三角形的性质即可求得BC的长度；最后由勾股定理求得线段AB的长度即可．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，
∴BD＝DCAC，
∵∠C＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC＝BD＝2，
∴AB2．
故选：B．
◆变式训练
1．（2023 开平市二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF⊥BC于 F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，若△DEF的周长是11，则AF＝ 　．
【答案】．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝DFAB，EFBC，然后代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，
∴DE＝DFAB，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴点F是BC的中点，
∴BF＝FC＝3，
∵BE⊥AC，
∴EFBC＝3，
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝11，
∴AB＝8，
由勾股定理知 AF，
故答案为：．
2．（2023 深圳模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的中点，过点B作BD⊥AB，交CE的延长线于点D，若BD＝4，CD＝8，则AC＝　 ．
【答案】．
【分析】先根据题意作出辅助线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AE＝BE＝CE＝x，利用勾股定理推出BE2+BD2＝DE2，即x2+42＝（8﹣x）2，解出x的值，推出AE、BE、CE和DE的长，根据∠CFE＝∠EBD和∠CEF＝∠DEB推出△CFE∽△DBE，可求出EF和CF的长，再求出AF的长，利用勾股定理即可求出AC的长．
【解答】解：如图所示，过点C作CF⊥AB于点F，
设CE＝x，则DE＝CD﹣CE＝8﹣x，
∵在Rt△ABC中，点E为AB的中点，
∴AE＝BE＝CE＝x，
∵BD⊥AB，
∴∠EBD＝90°，
∴BE2+BD2＝DE2，即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴AE＝BE＝CE＝3，DE＝8﹣3＝5，
∵CF⊥AB，
∴∠CFE＝∠CFA＝90°，
∴∠CFE＝∠EBD，
又∵∠CEF＝∠DEB，
∴△CFE∽△DBE，
∴，即，
解得：EF，CF，
∴AF＝AE﹣EF，
∵∠CFA＝90°，
∴AC；
故答案为：．
3．（2023 江门二模）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为 　 ．
【答案】．
【分析】根据三角形斜边中线的性质求得CN，CM3，由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值为：．
【解答】解：如图，连接CM、CN，
△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，
∴AB，
∵DE＝6，点M、N分别是DE、AB的中点，
∴CN，CM3，
当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，
∴MN的最小值为：．
故答案为：．
考点4 勾股定理及其应用
◇例题
1.（2023 潮阳区一模）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，根据图中数据，可得出正方形A的面积是（　　）
A．12 B．24 C．30 D．10
【答案】B
【分析】利用勾股定理，进行计算即可解答．
【解答】解：由勾股定理可得：
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，
∴正方形A的边长的平方＝18+6＝24，
∴正方形A的面积＝24，
故选：B．
2.（2022 禅城区校级模拟）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝　 　°（点A，B，P是网格线交点）．
【答案】见试题解答内容
【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，
故答案为：45．
3.（2023 南山区一模）紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图1．当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，⊙O为某紫砂壶的壶口，已知A，B两点在⊙O上，直线l过点O，且l⊥AB于点D，交⊙O于点C．若AB＝30mm，CD＝5mm，则这个紫砂壶的壶口半径r的长为 　 　mm．
【答案】25mm．
【分析】根据题意，得到OD＝（r﹣5）mm，BDAB＝15mm，OB＝r mm利用勾股定理计算即可．
【解答】解：∵AB＝30mm，CD＝5mm，半径r mm，l⊥AB，
∴OD＝（r﹣5）mm，BDAB＝15mm，OB＝r mm，
根据勾股定理，得（r﹣5）2+152＝r2，
解得r＝25．
故答案为：25mm．
◆变式训练
1.（2023 潮南区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用勾股定理求得AB＝10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BFCD．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB10．
又∵CD为中线，
∴CDAB＝5．
∵F为DE中点，BE＝BC即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，则BFCD＝2.5．
故选：B．
2．（2023 惠城区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E．若AE＝2EC，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设BC＝a，AC＝b，根据已知可得AEb，根据题意可得：AD＝AEb，BC＝BD＝a，从而可得ABb+a，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：设BC＝a，AC＝b，
∵AE＝2EC，
∴AEACb，
由题意得：AD＝AEb，BC＝BD＝a，
∴AB＝AD+BDb+a，
∵∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴b2+a2＝（b+a）2，
解得：ab，
∴，
故选：D．
3．（2023 越秀区一模）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点E，且AC⊥BD，AC＝AD，∠CBD＝∠CAD，CB＝5，，则AD的长是（　　）
A．9 B．10 C． D．
【答案】B
【分析】设CE＝x，AE＝y，分别用x，y表示出sin∠CBD和sin∠CAD，由sin∠CBD＝sin∠CAD，列出方程关于x，y的方程，再根据勾股定理DE2＝CD2﹣CE2＝AD2﹣AE2，列出方程关于x，y的方程，两方程联立解出x，y的值，从而得到AD的长度．
【解答】解：设CE＝x，AE＝y，
则AC＝AD＝x+y，
∵AC⊥DB，
∴sin∠CBD，
sin∠CAD，
∵∠CBD＝∠CAD，
∴sin∠CBD＝sin∠CAD，
∴，
整理得，x4+2x3y+x2y2+25x2＝2000①，
在Rt△CED和Rt△AED中，
DE2＝CD2﹣CE2＝AD2﹣AE2，
∴（4）2﹣x2＝（x+y）2﹣y2，
∴y②，
把②代入①式并整理得，
25x2＝400，
∴x＝4，
∴y6，
∴AD＝x+y＝4+6＝10．
故选：B．
4．（2023 东莞市校级一模）下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（　　）
A．3cm，4cm，5cm B．4cm，3cm，
C．6cm，8cm，9cm D．1cm，，
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理，判断较小两边的平方和是否等于第三边的平方，则可以判断各个选项的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决．
【解答】解：A、32+42＝52，故选项A中的三条线段能构成直角三角形；
B、32+（）2＝42，故选项B中的三条线段能构成直角三角形；
C、62+82≠92，故选项C中的三条线段不能构成直角三角形；
D、12+（）2＝（）2，故选项D中的三条线段能构成直角三角形．
故选：C．
5．（2022 南海区校级三模）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5．将△ABC沿着点A到点C的方向平移到△DEF的位置，图中阴影部分面积为4，则平移的距离为（　　）
A．3 B． C．3 D．2
【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，求出△ABC的面积，根据平移的性质得出AC＝DF＝3，△DEF的面积＝△ABC的面积＝6，再根据面积比等于相似比的平方得出即可．
【解答】解：∵AB＝4，AC＝3，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠A＝90°，
∵将△ABC沿着点A到点C的方向平移到△DEF的位置，
∴△DEF的面积＝△ABC的面积6，DF＝AC＝3，
∵图中阴影部分面积为4，
∴，
∴，
解得：DC，
即平移的距离是CF＝AC﹣DC＝3，
故选：A．
6．（2022 广东三模）在四边形ACBD中，AC⊥BC且BC＝2，AD＝3，AB＝4，BD＝5，则∠CAD＝　 　．
【答案】120°．
【分析】根据勾股定理的逆定理得出△ABD是直角三角形，进而利用三角形的度数解答即可．
【解答】解：∵AD＝3，AB＝4，BD＝5，
∴BD2＝AD2+AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠DAB＝90°，
∵AC⊥BC，BC＝2，AB＝4，
∴∠BAC＝30°，
∴∠CAD＝∠DAB+∠BAC＝90°+30°＝120°，
故答案为：120°．
7．（2023 龙岗区校级一模）如图，一根树在离地面3米处断裂，树的顶部落在离底部4米处，树折断之前有　 　米．
【答案】见试题解答内容
【分析】图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可．
【解答】解：∵32+42＝25，5，5+3＝8m，
∴树折断之前的高度为8米．
故答案为：8．
8．（2023 潮州模拟）如图，一根长为18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度h cm，则h的取值范围是 　 　．
【答案】5≤h≤6．
【分析】根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：当牙刷与杯底垂直时h最大，h最大＝18﹣12＝6（cm）．
当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图，此时，AB13（cm），
则h＝18﹣13＝5（cm）．
∴h的取值范围是5≤h≤6．
故答案为：5≤h≤6．
3．（2023 中山市三模）某高铁站入口的双翼闸机如图所示，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm．双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°．一名旅客携带一件长方体行李箱进站，行李箱规格为60×80×100（长×宽×高，单位：cm）．当双翼收回进闸机箱内时，该旅客的行李箱是否可以通过闸机？请说明理由．
【答案】可以通过，见解析．
【分析】过点A作AE垂直PC于点E，过点B作BF垂直QD于点F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【解答】解：如图1，过点A作AE垂直PC于点E，过点B作BF垂直QD于点F．
∵∠ACE＝30°，∠BDF＝30°，
∴，．
当双翼收回进闸机箱内时，闸机入口宽度PQ＝AE+AB+BF＝27+10+27＝64（cm）．
∵长方体行李箱长为60cm，且60cm＜64cm，
∴当双翼收回进闸机箱内时，该旅客的行李箱可以通过闸机．
考点5 等腰直角三角形
◇例题
（2023 中山市二模）如图，△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，点A，B，E在同一直线上，BD⊥AE，垂足为点B，点C在BD上，AB＝4，BE＝10．将△ABC沿BE方向平移，当这两个三角形重叠部分的面积等于△ABC面积的一半时，△ABC平移的距离为 　．
【答案】4﹣2或10．
【分析】根据平移的性质和等腰直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝4，DB＝BE＝10，
∴△ABC的面积AB BC4×4＝8，
当这两个三角形重叠部分的面积等于△ABC面积的一半时，
∴△A'BE的面积4，
∴A'B＝2，
∴AA'＝AB﹣A'B＝4﹣2，
即平移的距离为4﹣2，
当点B平移到与点E重合时，也满足，此时平移的距离为：10，
故答案为：4﹣2或10．
◆变式训练
1.（2023 深圳一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝10，用尺规作图的方法作线段AD和线段DE，保留作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，则△BDE的周长是（　　）
A．8 B．5 C． D．10
【答案】D
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠B＝45°，根据尺规作图可知AD平分∠CAB，根据角平分线的性质定理解答即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝45°，
由尺规作图可知，AD平分∠CAB，DE⊥AB又，∠ACB＝90°，
∴DE＝DC，又∠B＝45°，
∴DE＝BE，
∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝AC+BE＝AE+BE＝AB＝10，
故选：D．
2．（2023 广东模拟）如图，直线l与m平行，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠2＝20°，则∠1的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】B
【分析】过点B作BD∥l，然后根据平行公理可得BD∥l∥m，再根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，然后求出∠4，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠4，即可得解．
【解答】解：如图，过点B作BD∥l，
∵直线l∥m，
∴BD∥l∥m，
∴∠2＝∠ABD＝20°，
∵△ABC是有一个角是45°的直角三角板，
∴∠CBD＝45°﹣∠ABD＝45°﹣20°＝25°，
∴∠1＝∠CBD＝25°．
故选：B．
3．（2023 深圳模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是BC上的一点，AC＝DC，AB⊥AE，且AE＝AB，连接DE交AC的延长线于点F，，则　 ．
【答案】．
【分析】在DC上截取CG＝CF，连接AG，设AC＝3x，CF＝2x，先证明△ACG≌△DCF（SAS），再证明△EAF≌△ABG（AAS），从而推出BD＝4x，即可求解．
【解答】解：在DC上截取CG＝CF，连接AG，
∵，
设AC＝3x，CF＝2x，
∵AC＝DC，
∴CD＝3x，
∵CG＝CF，
∴CG＝2x，
∵∠ACB＝90°，
在Rt△ACG和Rt△DCF中，
，
∴△ACG≌△DCF（SAS），
∴∠CAG＝∠CDF，
∵∠AGB＝∠CAG+90°，∠EFA＝90°+∠CDF，
∴∠AGB＝∠EFA，
∵AB⊥AE，
∴∠EAB＝90°，
∵∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴∠CAD＝45°，
∴∠EAF+∠BAD＝45°，
∵∠ADC＝45°＝∠ABC+∠BAD，
∴∠EAF＝∠ABC，
在△EAF和△ABG中，
，
∴△EAF≌△ABG（AAS），
∴BG＝AF＝5x，
∵GD＝3x﹣2x＝x，
∴BD＝4x，
∴；
1．（2021 广州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若CD＝1，则AD的长为 ．
【答案】2．
【分析】由线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，利用含30°角的直角三角形的性质可求解BD的长，进而求解．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠A＝30°，
∴∠ABD＝30°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝30°+30°＝60°，
∵∠C＝90°，
∴∠CBD＝30°，
∵CD＝1，
∴BD＝2CD＝2，
∴AD＝2．
故答案为2．
2．（2021 深圳）如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD＝10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF周长为 　 　．
【答案】5+5．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FD，根据直角三角形的性质求出DE，根据勾股定理求出AE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵AD的垂直平分线交AC于点F，
∴FA＝FD，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴DEAD＝5，
∴AE5，
∴△DEF周长＝DE+DF+EF＝DE+FA+EF＝DE+AE＝5+5，
故答案为：5+5．
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC＝12，BC＝16，则AE的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】首先根据勾股定理求得斜边AB的长度，然后结合等腰三角形的性质来求AE的长度．
【解答】解：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，
由勾股定理知：AB20．
∵AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．
∴AE＝BEAB＝10．
故选：C．
2．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，CD⊥AC交AB于点D，CD＝1，则AB的长是（　　）
A．3 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】由等腰三角形的性质推出∠A＝∠B＝30°，求出∠ACB＝120°，由垂直的定义得到∠ACD＝90°，由含30度角的直角三角形的性质推出AD＝2CD＝2×1＝2，求出∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，得到∠BCD＝∠B，因此BD＝CD＝1，于是得到AB＝AD+BD＝2+1＝3．
【解答】解：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD＝90°，
∴AD＝2CD＝2×1＝2，
∵∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝120°﹣90°＝30°，
∴∠BCD＝∠B，
∴BD＝CD＝1，
∴AB＝AD+BD＝2+1＝3．
故选：A．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D．若BD＝6，则AC的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由线段垂直平分线的性质推出DA＝DB＝6，由等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B＝15°，由三角形外角的性质得到∠ADC＝∠B+∠DAB＝30°，由含30度角的直角三角形的性质推出ACDA＝3．
【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，
∴DA＝DB＝6，
∴∠DAB＝∠B＝15°，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝30°，
∵∠C＝90°，
∴ACDA＝3．
∴故选：A．
4．下列四组数，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．30，40，50
C．6，7，8 D．32，42，52
【答案】B
【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足a2+b2＝c2，称为勾股数．由此判定即可．
【解答】解：A．∵0.3，0.4，0.5不是整数，
∴不是勾股数，不符合题意；
B．∵302+402＝502，
∴是勾股数，符合题意；
C．∵62+72≠82，
∴不是勾股数，不符合题意；
D．∵（32）2+（42）2≠（52）2，
∴不是勾股数，不符合题意．
故选：B．
5．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝1：1：2 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝1：2：
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理分别进行分析可得答案．
【解答】解：A、根据三角形内角和定理可以计算出∠A＝45°，∠B＝45°，∠C＝90°，可判定△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、32+42＝52，根据勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形，故此选项不合题意；
C、根据三角形内角和定理可以计算出∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，可判定△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、可利用勾股定理逆定理判定△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
故选：C．
6．12世纪，印度一位著名数学家婆什迦罗在他的名著《丽罗娃提》中记载了一个有趣的问题：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”
这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置2尺远，由此可知湖水的深度是（　　）
A．4.25尺 B．3.75尺 C．2.25尺 D．2尺
【答案】B
【分析】设湖水的深度为x尺，则AD＝BD＝（x+0.5）尺，在Rt△BCD中，由勾股定理得出方程求解即可．
【解答】解：由题意可知，AC＝0.5尺，BC＝2尺，
设湖水的深度为x尺，则AD＝BD＝（x+0.5）尺，
在Rt△BCD中，由勾股定理得，
BD2＝CD2+BC2，
即（x+0.5）2＝x2+22，
解得x＝3.75，
即湖水的深度为3.75尺，
故选：B．
7．下列给出的四组数中，不能构成直角三角形三边的一组是（　　）
A．1，2， B．2，3，4 C．3，4，5 D．5，12，13
【答案】B
【分析】先分别求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，再看看是否相等即可．
【解答】解：A．∵12+22＝1+4＝5，（）2＝5，
∴12+22＝（）2，
∴以1，2，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵22+32＝4+9＝13，42＝16，
∴22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C．∵32+42＝9+16＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵52+122＝25+144＝169，132＝169，
∴52+122＝132，
∴以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，D为边AB的中点，则∠BCD＝　　°．
【答案】40．
【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”得到∠B＝40°，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到CD＝BD，则等边对等角，即∠BCD＝∠B＝40°．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵D为线段AB的中点，
∴CD＝BD，
∴∠BCD＝∠B＝40°．
故答案为：40．
9．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝8，则CD的长是 　　．
【答案】4．
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CDAB，
∵AB＝8，
∴CD8＝4．
故答案为：4．
10．如图是单位长度为1的正方形网格，格点上A、B两点间的距离为 　　．
【答案】5．
【分析】利用网格根据勾股定理即可求出A、B两点间的距离．
【解答】解：根据网格可知：A、B两点间的距离5．
故答案为：5．
11．已知直角三角形三边长分别是a+1，a+2，a+3，则a的值为 　　．
【答案】2．
【分析】直接根据勾股定理列出关于a的方程，求出a的值即可．
【解答】解：∵△ABC的三边长分别为a+1，a+2，a+3，△ABC是直角三角形，
∴（a+3）2＝（a+1）2+（a+2）2，
解得a＝2或a＝﹣2（舍去）．
∴a＝2．
故答案为：2．
12．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，AD＝3cm，则CD的长是 　　cm．
【答案】6．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A＝30°，根据线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，根据等腰三角形的性质求出∠A＝∠ABD＝30°，根据角的和差求出∠CBD＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：连接BD．
∵BA＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C（180°﹣120°）＝30°，
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD＝BD＝3cm，
∴∠A＝∠ABD＝30°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝90°，
∴CD＝2AD＝6（cm），
故答案为：6．
13．某校秉承“学会生活，学会学习，学会做人”的办学理念，将本校的办学理念做成宣传牌（AB），放置在教室的黑板上面（如图所示）．在三月雷锋活动中小明搬来一架梯子（AE＝5米）靠在宣传牌（AB）A处，底端落在地板E处，然后移动的梯子使顶端落在宣传牌（AB）的B处，而底端E向外移到了1米到C处（CE＝1米）．测量得BM＝4米．求宣传牌（AB）的高度（结果用根号表示）．
【答案】宣传牌（AB）的高度为（4）米．
【分析】直接利用勾股定理得出EM，AM的长，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：AE＝BC＝5米，BM＝4米，EC＝1米，
在Rt△MBC中，MC3（米），
则EM＝3﹣1＝2（米），
在Rt△AEM中，AM（米），
故AB＝AM﹣BM＝（4）米，
答：宣传牌（AB）的高度为（4）米．
14．如图，在△ABC中，D是BC上一点，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求BC的长．
【答案】（1）90°；
（2）21．
【分析】（1）根据AB＝10，BD＝6，AD＝8，利用勾股定理的逆定理证明△ABD是直角三角形，即可求解；
（2）在Rt△ACD中利用勾股定理即可求出CD的长，进而可得出结论．
【解答】解：（1）∵BD2+AD2＝62+82＝102＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ADB＝90°；
（2）在Rt△ACD中，
∵∠ADC＝90°，
∴CD15，
∴BC＝BD+CD＝6+15＝21．
15．为了绿化环境，我县某中学有一块空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量AD＝8m，CD＝6m，∠D＝90°，AB＝26m，BC＝24m．求出该空地的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接AC，在直角三角形ACD中可求得AC的长，由AC、AB、BC的长度关系可得三角形ABC为一直角三角形，AB为斜边；由此看，四边形ABCD的面积等于Rt△ABC面积减Rt△ACD的面积解答即可．
【解答】解：连接AC，
在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝62+82＝102，
在△ABC中，AB2＝262，BC2＝242，
而102+242＝262，
即AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD AC BCAD CD，
10×248×6＝96m2，
答：该空地的面积为96m2．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4．动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A、B重合），作∠DPQ＝60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示线段DC的长；
（2）当点Q与点C重合时，求t的值．
【答案】（1）2t．
（2）t＝1．
【分析】（1）通过∠A＝30°，AP＝2t可得ADt，再由DC＝AC﹣AD求解．
（2）由∠DPQ＝60°，PD⊥AC，∠A＝30°可得△APQ是等腰三角形，进而求解．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，
∴．
在Rt△APD中，∠ADP＝90°，∠A＝30°，AP＝2t，
∴．
∴（0＜t＜2）．
（2）如图，在Rt△PDQ中，∠DPQ＝60°，
∴∠PQD＝30°＝∠A，
∴PA＝PQ，
∴△APQ是等腰三角形．
∵PD⊥AC，
∴AD＝DQ．
∵点Q与点C重合，
∴AD+DQ＝AC，
∴2AD＝AC．
即．
解得t＝1．
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