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第五章：数列章末重点题型复习（1）
题型一 等差数列的基本量
【例1】（2024上·广东深圳·高二校考期末）
1．已知数列中，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024上·广东江门·高二统考期末）
2．已知等差数列的前项和为-196，则的值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【变式1-2】（2024上·四川成都·高三石室中学校考期末）
3．设等差数列的前项和为，且 ，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式1-3】（2024上·广西·高二南宁三中校联考期末）
4．已知等差数列的前5项之和为25，，则公差为（ ）
A．6 B．3 C．4 D．5
【变式1-4】（2024·上海·高二专题练习）
5．已知等差数列满足，则 .
题型二 等差数列单调性
【例2】（2022·广东惠州·统考一模）
6．设等差数列的公差为d，若，则“”是“（）”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-1】（2024上·北京·高一北京市十一学校校考期末）
7．已知无穷等差数列的公差为，则“”是“存在无限项满足”（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-2】（多选）（2022·高二课时练习）
8．（多选）已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【变式2-3】（2023下·山东德州·高二统考期中）
9．写出一个同时具有下列性质①②的数列的通项公式： ．
①；②单调递增．
【变式2-4】（2023上·高二课时练习）
10．已知，是等差数列的图象上的两点．
(1)求数列的通项公式；
(2)画出数列的图象；
(3)判断数列的单调性．
题型三 等差数列片段和
【例3】（2024上·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期末）
11．已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式3-1】（2024上·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）
12．设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024上·重庆九龙坡·高二统考期末）
13．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．30 B．26 C．56 D．42
【变式3-3】（2024上·天津·高二统考期末）
14．设为等差数列的前项和，且，，则 .
【变式3-4】（2023上·高二课前预习）
15．在等差数列中，若，求.
题型四 两个等差数列比值问题
【例4】（2023上·陕西咸阳·高二校考阶段练习）
16．设等差数列，的前项和分别为，，，都有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024上·黑龙江牡丹江·高二牡丹江一中校考期末）
17．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023上·贵州黔东南·高二统考期末）
18．设两个等差数列和的前项和分别为和，且，则 .
【变式4-3】（2023上·河南洛阳·高二校联考阶段练习）
19．已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的集合是 .
【变式4-4】（2023·海南·校联考模拟预测）
20．等差数列前项和分别为，且，则 .
题型五 等差数列前n项和最值问题
【例5】（2024上·河南周口·高二西华县第一高级中学校联考阶段练习）
21．已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为（ ）
A．20 B．24 C．36 D．40
【变式5-1】（2024上·广东东莞·高二统考期末）
22．已知数列的前n项和，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．是等差数列
C．是递减数列 D．
【变式5-2】（2024上·广东深圳·高二校考期末）
23．首项为正数，公差的等差数列，其前项和为，则下列命题中正确的有（ ）
A．若，则，
B．若，，则中最大
C．若，则使的最大的n为21
D．若（为常数），则
【变式5-3】（2024上·广东深圳·高二统考期末）
24．已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为
【变式5-4】（2023上·海南省直辖县级单位·高二校考期末）
25．在等差数列中，已知：，.
(1)求数列的公差及通项公式；
(2)求数列的前项和的最小值，并指出此时正整数的值.
题型六 等差数列含绝对值前n项和问题
【例6】（2024上·吉林长春·高二校考期末）
26．已知为等差数列,,.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【变式6-1】（2023上·陕西榆林·高二校联考阶段练习）
27．已知各项都为正数的数列 的前 项和为 , 且满足 .
(1)求数列的通项公式;
(2)若，求数列的前项和.
【变式6-2】（2023上·福建三明·高二校考阶段练习）
28．已知为等差数列的前n项和，若.
(1)求数列的通项公式与；
(2)求数列的前50项和.
【变式6-3】（2023上·河南·高三校联考期中）
29．已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【变式6-4】（2023上·湖北·高三鄂南高中校联考期中）
30．已知为等差数列的前项和，若，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
题型七 等差数列奇偶项和
【例7】（2023上·陕西榆林·高二校联考阶段练习）
31．已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则( )
A． B． C． D．
【变式7-1】（2023上·甘肃定西·高二甘肃省临洮中学校考阶段练习）
32．已知等差数列共有21项，若奇数项的和为110，则偶数项的和为（ ）
A．100 B．105 C．90 D．95
【变式7-2】（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）
33．已知首项为2的等差数列，的前30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2023上·江苏·高二专题练习）
34．已知数列是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是 ．
【变式7-4】（2024上·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校联考期末）
35．已知等差数列的项数为，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列的项数是 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】以条件可知为等差数列，求得通项公式后，进一步计算即可.
【详解】因为，且，
所以是以1为首项，为公差的等差数列，
故，
则，
故，
故选：B.
2．B
【分析】利用等差数列前项和公式求解.
【详解】依题意，等差数列首项为-1，公差为-2，由前项和，
解得.
故选：B
3．A
【分析】先求得，再利用求解即可.
【详解】由，可得，
则.
故选：A.
4．A
【分析】由等差数列的性质，，得，则公差，求解即可.
【详解】在等差数列中，，所以，所以公差.
故选：A.
5．
【分析】由是等差数列可得，从而即可求出结果.
【详解】解：由是等差数列，得，又，
所以.
故答案为：.
6．C
【分析】利用指数函数的单调性、数列增减性的定义以及等差数列的定义，结合充分、必要性定义判断即可.
【详解】充分性：若，则，即，∴，即，所以充分性成立；必要性：若，即，∴，则，必要性成立.因此，“”是“”的充要条件.
故选：C.
7．C
【分析】根据题意，结合等差数列的单调性，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由等差数列的公差为，则数列为递增数列，
所以存在无限项满足成立，即充分性成立；
反之：由等差数列的公差为，在数列为单调数列，
若存在无限项满足成立，则数列为递增数列，则，即必要性成立，
所以“”是“存在无限项满足”充要条件.
故选：C.
8．ABC
【分析】根据等差数列的通项性质可判断是等差数列，根据等差数列的单调性即可逐一判断.
【详解】由,知，故数列是等差数列，且公差为．
由等差数列的单调性可得，若，则公差，所以数列是递增数列，故A，B一定成立；
若，则，所以数列是递增数列，所以，故C一定成立；当时，不成立，故D不一定成立．
故选：ABC．
9．（符合此种形式即可）
【分析】先猜想数列是一个等差数列，进而根据性质①得到首项与公差的关系，然后根据性质②得到答案.
【详解】假设数列为等差数列，设其公差为d，首项为，由性质①可得： ，
即，
再根据②可知，公差，显然（）满足题意.
故答案为：（符合此种形式即可）
10．(1)
(2)答案见解析
(3)为递减数列．
【分析】（1）根据已知的两点，列出关于数列基本量的方程组，解出首项、公差d；
（2）函数图像是在解析式对应直线方程上的离散的点，再坐标系中描出这些点；
（3）直接根据公差的正负判断数列的单调性.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d．
因为，是等差数列的图象上的两点，
所以，，即，解得．
因此，．
（2）等差数列的图象是均匀分布在直线上的一系列离散的点，如下图所示：

（3）因为公差，所以等差数列为递减数列．
11．C
【分析】根据等差数列中成等差数列求解即可.
【详解】在等差数列中，
，，所以，
故构成公差为的等差数列，
所以，
即.
故选：C
12．B
【分析】根据等差数列片段和性质及已知，设，求得，即可得结果.
【详解】由等差数列片段和性质知：是等差数列.
由，可设，则，于是依次为，
所以，所以.
故选：B
13．D
【分析】先通过求出，再利用求解即可.
【详解】设等差数列的公差为
由已知，
则
，
得，
.
故选：D.
14．39
【分析】由题意成等差数列，结合，即可求解.
【详解】由题意为等差数列的前项和，且，，
所以，
而成等差数列，
所以.
故答案为：39.
15．
【分析】根据等差数列构造和数列仍成等差数列的性质可得.
【详解】是等差数列，
成等差数列，
∴，
16．D
【分析】利用等差数列的性质与前项和公式即可得解.
【详解】因为等差数列，的前项和分别为，且，
所以.
故选：D.
17．A
【分析】根据，结合等差数列的前项和公式，构造出符合题意的一组与的通项公式，再进行计算即可．
【详解】根据题意，数列、都是等差数列，显然两个数列都不是常数列，
，
因为等差数列前项和公式为，
所以不妨令为常数，且，
所以时，，．
，，，.
故选：A
18．
【分析】设，则，可求得、的值，即可得解.
【详解】设，则，
则，，则.
故答案为：.
19．
【分析】将等差数列之比转换为它的前n项和的比即可得解.
【详解】由
，
因为为整数且，所以.
故答案为：.
20．##
【分析】通过等差数列性质其前项和，结合已知可得，即可解出答案.
【详解】由等差数列性质可得，解得，
故答案为：.
21．C
【分析】根据给定条件，结合等差数列性质求出及通项公式，再确定所有非负数项即可得解.
【详解】等差数列中，公差，即数列是递减等差数列，
显然，而，且，解得，则，
，由，得，因此数列前9项均为非负数，从第10项起均为负数，
所以的最大值为.
故选：C.
22．BC
【分析】对于A，结合二次函数图象的对称轴即可求解判断；对于B，根据等差数列的定义即可判定；对于C，利用求得后，结合函数性质即可判定；对于D，根据等差数列的性质及通项公式即可求解判断.
【详解】对于A，根据函数，其图象对称轴为，
所以，当或时，有最大值20，故A错误；
对于B，因为，所以，
则是等差数列，故B正确；
对于C，当时，，
又符合上式，所以，结合一次函数的性质知，是递减数列，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：BC.
23．AC
【分析】选项A，由等差数列前项和公式得关系及符号，再结合通项公式判断符号即可；选项B，先由等差数列前项和公式及性质得到数列项的正负界，再结合数列单调性分析最值可得；选项C，利用与的关系，得及，结合等差数列前项和公式及性质找到数列的正负界分析可得；选项D，利用特值取，可推出矛盾.
【详解】选项A，由，得，
由题意得，则，
所以，
，故A正确；
选项B，由，得，
，则；
，则；
所以，则等差数列首项，公差，
即数列为递减数列，当时，；当时，.
则中最大，故B错误；
选项C，由，
知且，故，
故等差数列首项，公差，
即数列为递减数列，当时，；当时，.
，，
且当时，，
故使的最大的n为21，故C项正确；
选项D，当时，，
则，不满足，故D错误.
故选：AC.
24．ACD
【分析】由、知、，即可判断AB；根据数列的单调性即可判断CD.
【详解】由，得，即，
由，得，即，所以.
A：由，可知，故A正确；
B：由，可知数列的公差，故B错误；
C：，由知随的增大而增大，
则，所以的最小值为，故C正确；
D：当时，；当时，；
当时，；当时，，
所以当时，；当时，；当时，，
又，，
所以，，
所以，即，
所以的最小值为，故D正确；
故选：ACD
25．(1)公差为2，
(2)的最小值为，此时的值为2
【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式基本量计算出公差，得到通项公式；
（2）计算出，得到最小值及此时的的值.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，
，
，
所以等差数列的公差为，通项公式.
（2）因为，
所以，
当时，有最小值，此时正整数的值为.
26．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列基本量关系求解即可；
（2）设的前n项和为的前n项和为，再根据的正负，利用表示即可.
【详解】（1）因为，，所以，；
所以，，.
（2）设的前n项和为的前n项和为.
因为；
令，得，
所以当时，，当时，,
故当时，;
当时，
故.
27．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用变形给定的递推公式，再利用等差数列求解即得.
（2）由（1）的信息求出数列的前项和，并确定其正数项、负数项，再分段求解即得.
【详解】（1）数列中，，当时，，由两式相减，
得，即，
又数列的各项都为正数，则，当时，，解得，
因此数列是首项为3，公差为3的等差数列，
所以.
（2）由（1）得，，，即，
设的前项和为，则，
当时，，当时，，
于是当时，；
当时，，
所以数列的前项和.
28．(1)，.
(2)
【分析】（1）设数列的首项为，公差为，根据题意列出方程组，求得，结合得出数列的通项公式和求和公式，即可求解；
（2）由，解得，得到，集合，代入即可求解.
【详解】（1）解：设数列的首项为，公差为，
由，可得，
又由，联立方程组，解得，
所以，.
（2）解：由，解得，所以，
则.
29．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的性质即可求解公差，进而可求解，
（2）分情况，即可根据等差数列求和公式求解.
【详解】（1）设的公差为d，依题意得，
所以，即，
化简得，解得或（舍去），
故，
（2）依题意，．
当时，，故；
当时，，
故．
故
30．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程，解方程即可；
（2）分和两种情况求和.
【详解】（1）设的公差为，则：，
.
（2），
令，
当时，，
，
当时，，
综上所述：.
31．A
【分析】根据等差数列的性质，知等差数列的奇数项、偶数项分别成等差数列，故奇数项、偶数项的和直接代入等差数列的前项和公式，结合等差中项的性质化简即可.
【详解】项数为的中奇数项共有项,
其和为
项数为的中偶数项共有项, 其和为
所以解得
故选: A.
32．A
【分析】等差数列前n项和公式的应用
【详解】由，有，偶数项的和为100．
故选：A
33．B
【分析】求出该等差数列的公差，即可得出该数列的通项公式.
【详解】由题意，，
在等差数列中，首项，
设公差为 ,前 30 项中奇数项的和为 , 偶数项的和为 , 且 ,
∴，解得：，
∴，
即，
故选：B.
34．－4
【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可.
【详解】设等差数列的项数为2m，
∵末项与首项的差为－28，∴，①
∵，
∴，②
由①②得，
故答案为：.
35．
【分析】根据等差数列的前项和公式，结合等差数列奇数项与偶数项之间的关系进行求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，
因为等差数列的项奇数项之和为140，偶数项之和为120，
所以有，
故答案为：
答案第1页，共2页
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