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必考专题：长方体（一）解决问题-数学五年级下册北师大版
1．做一个无盖的棱长为6分米的正方体铁盒，至少需要多大的面积的铁皮？（盖子的接口处可以忽略不计）
2．游泳中心新建了一个长50米、宽25米、深2米的游泳池。现要在游泳池四周和底面都贴上瓷砖，如果每平方米需要32元，一共需要多少元？
3．元宵节，奇思要制作一个底面是边长25cm的正方形，高是40cm的长方体灯笼，至少需要准备多少米的木条来搭这个灯笼框架？
4．为营造绿色环保氛围，儿童公园建了一座长25米，宽16米，高8米的长方体环保宣传书屋，现需要在这个书屋的四周外增涂上环保漆，去除门窗面积11.5平方米，请问需要涂环保漆的面积是多少平方米？
5．某种品牌的牙膏盒长和宽都是5厘米，高为20厘米。淘气在计算这个牙膏盒的表面积时列式为：“”。
（1）这个列式正确吗？在括号里写“正确”或“错误”。（ ）
（2）“”在计算哪些面的面积？在下面的展开图上涂一涂。
6．下图是一个无盖长方体的展开图，求它的表面积是多少？
7．母亲节，乐乐给妈妈买了一份礼物，这份礼物的礼品盒刚好是一个棱长为10cm的正方体。如果用包装纸把礼物包起来，用纸是这个正方体表面积的1.5倍。
（1）要把这个礼物用包装纸包起来，至少需要准备多少cm2的包装纸？
（2）如果在礼物的外面系上彩带，打结部分用了30cm的彩带，至少需要多少cm的彩带？
8．一个正方体，它的棱长总和是36分米，它的表面积是多少平方分米？
9．如图，一个正方体茶盒和一个长9厘米，宽5厘米，高7厘米的长方体茶盒的棱长总和相等。
（1）这个正方体茶盒的棱长是多少厘米？
（2）如果要在这个正方体茶盒的表面全部贴上包装纸，至少需要多少平方厘米的包装纸？
10．用三个长12厘米、宽8厘米、高4厘米的长方体，拼成一个表面积最小的长方体，这个长方体的表面积是多少？
11．张红制作了贺卡和小星是，准备装在一个正方体纸盒组送给李老师。包装这个盒子的用纸是其表面积的1.3倍。至少要买多少平方分米的包装纸？
12．如图，将8个棱长为5厘米的小正方体放在墙角处。露在外面的面积是多少平方厘米？
13．如图，在这个长方体中截下一个最大的正方体后，发现剩下图形的表面积比原长方体的表面积减少了，减少了多少平方厘米？先在图中画出示意图，再计算。
14．一个长方体的食品盒，长为10厘米，宽为6厘米，高为12厘米，如果围它贴一圈商标纸（上、下面不贴）。商标纸每平方厘米0.7元，贴一个这样的食品盒至少需要多少元？
15．有5块长方体形状的肥皂，量得每块肥皂的长是10cm，宽是6cm，高是2cm。如果把这5块肥皂用包装纸包在一起，怎样包装最节省包装纸？至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处忽略不计）
16．大小不同的两个正方体积木粘在一起，构成下图所示的立体图形，其中小积木的下底面的四个顶点，恰好是大积木的上底面各边的中点。如果大积木的棱长为4分米，那么这个立体图形的表面积是多少平方分米？
17．下面是一个长方体展开图的三个面（每个小方格边长是1厘米）。
（1）请你画出长方体展开图的另外三个面。
（2）这个长方体的表面积是多少平方厘米？
18．一节长方体通风管长15分米，横截面是边长2.5分米的正方形。做10节这样的通风管需要多少平方米的铁皮？
19．露在外面的面。将按下面的方式摆放在桌面上。
（1）按照这样的方式摆放，2个小正方体有（ ）个面露在外面；
（2）按照这样的方式摆放，4个小正方体有（ ）个面露在外面；
（3）如果露在外面的面有11个，是摆了（ ）个小正方体；
（4）这种摆法，露在外面的面的个数和小正方体的个数之间有什么变化规律？可以用文字或列表、关系式等方式说明。
20．一个长方体，如果高减少，就变成了一个棱长的正方体。那么长方体变成正方体后的表面积减少了多少？
21．火柴盒大家一定很熟悉吧，丽丽测得下面这个火柴盒外壳的长是5cm，宽是4cm，高是1.6cm。
（1）火柴盒外壳的上、下两个面都贴有商标纸，这两个面的面积和是多少？
（2）外壳的前、后两个面上贴的是擦火柴的专用纸，该专用纸的面积共是多少？
（3）外壳由硬纸板做成，做这个外壳共需多少硬纸板？
（4）外壳的里面是内盒，忽略纸板厚度，做这个内盒要用多少硬纸板？
参考答案：
1．180平方分米
【分析】根据题意可知，求至少需要多大的面积的铁皮，就是求这个无盖正方体5个面的面积和，根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×5，代入数据，即可解答。
【详解】6×6×5
＝36×5
＝180（平方分米）
答：至少需要180平方分米大的面积的铁皮。
【点睛】本题考查正方体表面积公式的应用，关键是熟记公式。
2．49600元
【分析】根据题意，先求贴瓷砖的面积，即长方体游泳池5个面积的面积和；根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出贴瓷砖的面积，再乘32，即可求出需要的钱数。
【详解】[50×25＋（50×2＋25×2）×2]×32
＝[1250＋（100＋50）×2]×32
＝[1250＋150×2]×32
＝[1250＋300]×32
＝1550×32
＝49600（元）
答：一共需要49600元。
【点睛】熟练掌握长方体表面积公式是解答本题的关键。
3．3.6米
【分析】根据“长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4”，即可求出至少需要准备多少米的木条来搭这个灯笼框架。
【详解】（25＋25＋40）×4
＝90×4
＝360（厘米）
360厘米＝3.6米
答：至少需要准备3.6米的木条来搭这个灯笼框架。
【点睛】解答本题关键是熟练运用长方体的棱长和公式。注意单位的转化。
4．644.5平方米
【分析】书屋的四周外墙涂上环保漆，就是求长方体4个侧面的面积和，再减去门窗面积即可。
【详解】书屋外墙面积：
（25×8＋16×8）×2
＝（200＋128）×2
＝328×2
＝656（平方米）
总共需要涂环保漆的面积：
656－11.5＝644.5（平方米）
答：需要涂环保漆的面积是644.5平方米。
【点睛】本题考查了长方体表面积的计算，并且需要结合本题的实际确定求的是哪些面的面积。
5．（1）正确；
（2）4个侧面的面积；涂色见详解
【分析】（1）根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，当长方体有两个相对的面是正方形时，其他4个面是完全相同的长方形，由此可知，淘气在计算这个牙膏盒的表面积时列式为：“5×20×4＋5×5×2”是正确的。
（2）“5×20×4”在计算牙膏盒4个侧面的面积，据此解答。
【详解】（1）淘气在计算这个牙膏盒的表面积时列式为：“5×20×4＋5×5×2”是正确的。
（2）“5×20×4”在计算牙膏盒4个侧面的面积，作图如下：
【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用，长方体的表面积公式及应用，关键是熟记公式。
6．118平方分米
【分析】通过观察长方体的展开图可知，这个长方体的长是8分米，宽是5分米，先用11减5，最后再除以2就是高的长度，根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab＋2ah＋2bh，把数据代入公式解答。
【详解】高：（11－5）÷2
＝6÷2
＝3（分米）
8×5＋8×3×2＋5×3×2
＝40＋48＋30
＝118（平方分米）
答：它的表面积是118平方分米。
【点睛】本题主要考查长方体的表面积计算，熟练掌握它的公式并灵活运用。
7．（1）900平方厘米；（2）110厘米
【分析】（1）根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式求出这个正方体的表面积，然后用这个正方体的表面积再乘1.5即可。
（2）通过观察图形可知，捆扎这个礼品盒需要彩带的长度等于这个正方体的8条棱的长度加上打结用的30厘米。据此列式解答。
【详解】（1）10×10×6×1.5
＝100×6×1.5
＝600×1.5
＝900（平方厘米）
答：至少需要准备900平方厘米的包装纸。
（2）10×8＋30
＝80＋30
＝110（厘米）
答：至少需要110厘米的彩带。
【点睛】此题主要考查正方体的表面积公式、棱长总和公式的灵活运用，关键是熟记公式。
8．（36÷12）2×6＝54平方分米
【详解】已知正方体的棱长总和，可得正方体棱长为36÷12＝3分米，从而可以求得表面积．
9．（1）7厘米
（2）294平方厘米
【分析】（1）根据长方体棱长总和公式：（长＋宽＋高）×4，把数代入公式即可求出长方体的棱长总和，由于长方体棱长总和和正方体相等，根据正方体棱长总和公式：棱长×12，把数代入公式即可求出正方体茶盒的棱长；
（2）由于要在这个正方体茶盒的表面全部贴上包装纸，即相当于求正方体的表面积，根据正方体的表面积公式：棱长×棱长×6，把数代入公式即可求解。
【详解】（1）（9＋5＋7）×4
＝21×4
＝84（厘米）
84÷12＝7（厘米）
答：这个正方体茶盒的棱长是7厘米。
（2）7×7×6
＝49×6
＝294（平方厘米）
答：至少需要294平方厘米的包装纸。
【点睛】本题主要考查长方体正方体的棱长总和公式以及正方体表面积公式，应熟练掌握它们的公式并灵活运用。
10．672平方厘米
【详解】（12×8+12×4+8×4）×2=352（平方厘米）
352×3=1056（平方厘米）
12×8×4=384（平方厘米）
1056-384=672（平方厘米）
11．31.2平方分米
【分析】由于这个正方体的礼盒棱长是20厘米，根据正方体的表面积公式：棱长×棱长×6，把数代入公式即可求解；之后再乘1.3即可求出包装纸的面积，再根据1平方分米＝100平方厘米，再转换单位即可。
【详解】20×20×6
＝400×6
＝2400（平方厘米）
2400×1.3＝3120（平方厘米）
3120平方厘米＝31.2平方分米
答：至少要买31.2平方分米的包装纸。
【点睛】本题主要考查正方体的体积公式并灵活运用。
12．400平方厘米
【分析】从正面看有6个面露在外面，从上面看有6个面露在外面，从右面看有4个面露在外面，共有（6＋6＋4）个面露在外面；再根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出一个面的面积，再乘露在外面的面的个数，即可解答。
【详解】5×5＝25（平方厘米）
25×（6＋6＋4）
＝25×16
＝400（平方厘米）
答：露在外面的面积是400平方厘米。
【点睛】解答本题的关键是数清楚露在外面的面的个数。
13．图见详解；128平方厘米
【分析】长方体中，长＞宽＞高，所以剪下的最大正方体的棱长等于长方体的高，即棱长是8厘米，由于减去一个正方体，会少了4个边长是8厘米的正方形的面积，但是还会多出来2个边长是8厘米的正方形的面积，所以相当于减少了2个边长是8厘米的正方形的面积，根据正方形的面积公式：边长×边长，把数代入公式即可求解。
【详解】如图（画图位置不唯一）
（平方厘米）
答：减少了128平方厘米。
【点睛】本题主要考查立体图形的切割，同时要清楚剪下一个最大的正方体，它的棱长等于长方体中最短的一条边。
14．268.8元
【分析】围它贴一圈商标纸（上、下面不贴），就是求长方体的侧面积，根据长×高×2＋宽×高×2，列式求出长方体的侧面积，再用侧面积×0.7，即可解答。
【详解】（6×12×2＋10×12×2）×0.7
＝（72×2＋120×2）×0.7
＝（144＋240）×0.7
＝384×0.7
＝268.8（元）
答：贴一个这样的食品盒至少需要268.8元。
【点睛】本题考查长方体表面积公式的灵活运用，关键弄清楚需要求几个面的总面积。
15．440平方厘米
【分析】根据题意可知，要想最节省包装纸，也就是肥皂的最大面重合摞起来，拼成一个长10厘米，宽6厘米，高（2×5）厘米的长方体，根据长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入公式解答。
【详解】2×5＝10（厘米）
（10×6＋10×10＋6×10）×2
＝（60＋100＋60）×2
＝220×2
＝440（平方厘米）
答：将肥皂的最大面重合摞起来包装最省包装纸，至少需要440平方厘米的包装纸。
【点睛】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
16．128平方分米
【分析】如图，因为小积木的下底面的四个顶点，恰好是大积木的上底面各边的中点，所以大正方体一个面的面积是小正方体一个面的面积的2倍，因此，这个立方体图形的表面积＝大正方体的表面积＋小正方体四个侧面的面积；据此解答。
【详解】由分析得：
6×4×4＋4×（4×4÷2）
＝96＋4×8
＝96＋32
＝128（平方分米）
答：那么这个立体图形的表面积是128平方分米。
【点睛】本题主要考查组合体的表面积计算，关键是明确大正方体一个面的面积是小正方体一个面的面积的2倍。
17．（1）见详解；
（2）62平方厘米
【分析】（1）根据长方体展开图的特征，长方体有6个面，相对的面完全相同，结合此补全长方体展开图的另外三个面；
（2）根据长方体展开图可知，该长方体长为5厘米，宽为3厘米，高为2厘米，根据长方体表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，代入数据求解即可。
【详解】（1）如图：（画图不唯一）
（2）表面积为：
（5×3＋2×5＋2×3）×2
＝（15＋10＋6）×2
＝（25＋6）×2
＝31×2
＝62（平方厘米）
答：这个长方体的表面积为62平方厘米。
【点睛】本题考查了长方体展开图的特征及应用，同时还要求熟练掌握长方体表面积公式，找出长方体的长、宽、高是解题的关键。
18．15平方米
【分析】据生活经验可知，长方体的通风管只有侧面，没有底面，根据无底无盖长方体的侧面积公式：S＝（ah＋bh）×2，把数据代入公式求出做一节这样的通风管需要铁皮的面积，然后再乘做的节数即可。
【详解】（15×2.5＋15×2.5）×2×10
＝75×2×10
＝150×10
＝1500（平方分米）
1500平方分米＝15平方米
答：做10节这样的通风管需要15平方米的铁皮。
【点睛】此题主要考查无底无盖长方体的侧面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
19．（1）8
（2）14
（3）3
（4）n个正方体露在外面的面的个数＝3n＋2（个）。
【分析】（1）1个小正方体有5个面露在外面，再增加一个正方体，根据观察，再加上3个露在外面的面；
（2）通过观察，可知每增加1个正方体露在外面的面就增加3个，由此可得4个小正方体有多少个面露在外面；
（3）通过观察，可知每增加1个正方体露在外面的面就增加3个，由此可得如果露在外面的面有11个面，为多少小正方体；
（4）通过观察，可知每增加1个正方体露在外面的面就增加3个，据此可得露在外面的面的个数和小正方体的个数之间变化规律，并列出关系式。
【详解】（1）2个小正方体露在外面的面个数：
5＋3＝8（个）
（2）4个小正方体露在外面的面个数：
8＋3＋3
＝11＋3
＝14（个）
（3）据上面所求4个正方体外露14个面，
14－3＝11（个）
所以如果露在外面的面有11个，是摆了3个小正方体；
（4）1个小正方体有5个面露在外面，可以写成5＋3×0；
2个小正方体有8个面露在外面，可以写成：5＋3×1；
3个小正方体有11个面露在外面，可以写成：5＋3×2；
则n个正方体有：5＋（n－1）×3个面露在外面；
5＋（n－1）×3
＝5＋3n－3
＝3n＋2（个）
答：这种摆法，露在外面的面的个数和小正方体的个数之间的关系是：n个正方体露在外面的面的个数＝3n＋2（个）。
【点睛】解答此题应根据题意，进行推导，得出规律：1个小正方体露出5个面，每增加1个小正方体增加3个面。
20．240平方厘米
【分析】根据题意，一个长方体如果高减少6cm，就变成一个棱长10cm的正方体，长方体的长＝长方体的宽＝正方体棱长＝10cm；求减少部分的面积，就是一个长是10cm，宽是10cm，高是6cm的长方体的侧面积；且这四个面相等；根据长方形面积公式：长×高，代入数据，即可解答。
【详解】10×6×4
＝60×4
＝240（cm2）
答：长方体变成正方体后的表面积减少了240平方厘米。
【点睛】解答本题的关键是明确减少后的长方体的长与宽和正方体棱长的关系。
21．（1）40cm2
（2）16cm2
（3）56cm2
（4）48.8cm2
【分析】（1）根据图可知，火柴盒上下两个面都是长是5cm，宽是4cm的长方形，根据长方形的面积公式：长×宽，把数代入公式即可求解，之后再乘2即可。
（2）外科的前后两个面是长是5cm，宽是1.6cm的长方形，根据长方形的面积公式：长×宽，把数代入公式即可求解，之后再乘2即可。
（3）外壳是一个4个面的长方体构成，即把前后，上下四个面相加即可求解。
（4）内壳是5个面的长方体，根据长方体的表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，把数代入公式即可求解。
【详解】（1）5×4×2
＝20×2
＝40（cm2）
答：这两个面的面积是40cm2。
（2）5×1.6×2
＝8×2
＝16（cm2）
答：该专用纸的面积共16cm2。
（3）40＋16＝56（cm2）
答：做这个外壳共需56cm2。
（4）5×4＋（5×1.6＋4×1.6）×2
＝20＋14.4×2
＝20＋28.8
＝48.8（cm2）
答：做这个内壳要用48.8cm2硬纸板。
【点睛】本题主要考查长方体的表面积，熟练掌握长方体的表面积公式并灵活运用。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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