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长方体和正方体的体积易错应用题-数学五年级下册人教版
1．一个长方体的长、宽、高都扩大2倍，这个长方体的体积扩大多少倍？
2．实验小学要建一个长方体游泳池，长20米，宽15米，深3米。
（1）如果在底部和四周贴上边长为5分米的瓷砖，至少需要多少块才能够用？
（2）如果将水池注入1.4米深的水，一共能注多少吨水？（1立方米水重1吨）
3．有一个长方体容器，其中一个侧面有一个边长的正方形开口。往容器放了一些水，然后将容器倒过来摆放，水会减少，如下图，这个容器最初放了多少立方厘米的水？（容器的厚度忽略不计）
4．在一个长30厘米、宽10厘米、高20厘米的长方体的顶点处，切掉一个棱长为5厘米的小正方体（如图），求剩下部分的表面积和体积。
5．现有空的长方体容器A和水深24厘米的长方体容器B（如图），要将容器B的水倒一部分给A，使两容器水的高度相同，这时水深是几厘米？
6．王官村乡村振兴改造公路，工人叔叔把3立方米的沥青混凝土铺在一条宽6米的公路上，铺了5厘米厚，这些混凝土能铺多少米长的公路？
7．如图，在一个长方体容器中盛有一定量的水，原来的水面高度为6cm。把一个零件投到容器里浸没在水中后，水面升高到8cm。这个零件的体积是多少？
8．从一个长为8厘米，宽为7厘米，高为6厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下的几何体的表面积是多少平方厘米？
9．一个长方体木料的长是8分米，宽是3分米，高是7分米。把它锯成一个最大的正方体木料后，剩下木料的体积是多少立方分米？
10．如图，一个棱长为5分米的正方体，在它6个面的正中和8个顶点处，分别挖去一个棱长为1分米的小正方体，剩下立体图形的体积和表面积分别是多少？
11．由几个棱长为2厘米的小正方体搭成的立体，分别从前面、左面和上面看到的图形如下图。求出这个立体图形的体积。
12．下面是支援湖北抗击疫情，对口罩进行包装的长方体纸箱的展开图，根据有关数据，你能求出这个长方体纸箱的体积吗？
13．从一个长方体截下一个体积是9立方分米的小长方体后，还剩下一个棱长是3分米的正方体，原来这个长方体的表面积是多少？
14．把长8厘米、宽7厘米、高5厘米的木块锯成棱长是2厘米的正方体木块，可锯成多少块？
15．把一块棱长为6厘米的正方体橡皮捏成长方体的形状．这个长方体的长是9cm，宽是6cm，它的高是多少厘米？
16．看图回答问题。
（1）把一块铁扔进去水池，水面上升2分米，这块铁的体积是多少立方分米？
（2）这个水池占地面积是多少平方分米？
（3）在水池的四周和底面刷上涂料，每平方米涂料50元，共要多少元？
17．一段方钢长4分米，横截面是一个边长5厘米的正方形，这段方钢的体积是多少？
18．有一个正方体铝块，棱长是9cm。如果把它锻造成一个长为15cm，宽为3cm的长方体，长方体的高是多少厘米？
19．一个长方体容器（如图），里面的水深5厘米，把这个容器盖紧后竖放，使从里面量宽10厘米，高8厘米的面朝下，这时里面的水深是多少厘米？

20．能工巧匠。
张师傅要把一张铁皮（如图）焊接成一个无盖的长方体水箱。他计划从四个角各裁剪一个小正方形（正方形的边长取整数），然后折起来无缝焊接。但不知道怎样裁剪水箱的容积最大？
（1）请你用所学的知识结合下面的统计表探索填空。
序号 正方形的边长/分米 水箱长/分米 水箱宽/分米 高/分米 容积/立方分米
方案1 1
方案2 2
方案3 3
（2）用自己的语言给张师傅说说你推荐方案的具体内容是什么？为什么？
参考答案：
1．8倍
【分析】解答时，可以先设出长方体的长是3厘米、宽是2厘米、高是1厘米，如果长、宽和高都扩大2倍，则分别为6厘米、4厘米和2厘米
【详解】原来长方体的体积是3×2×1=6（立方厘米）扩大以后的体积是6×4×2=48（立方厘米），所以长方体的体积扩大了48÷6=8倍。
2．（1）2040块
（2）420吨
【分析】（1）由题意可知，用贴瓷砖的面积除以一块瓷砖的面积即可求出需要多少块；贴瓷砖的面积等于长方体五个面的面积，即贴瓷砖的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，据此解答即可；
（2）根据长方体的体积公式：V＝abh，据此求出水池中水的体积，再用水的体积乘1立方米水的重量即可求解。
【详解】（1）20×15＋（20×3＋15×3）×2
＝300＋（60＋45）×2
＝300＋105×2
＝300＋210
＝510（平方米）
＝51000（平方分米）
51000÷（5×5）
＝51000÷25
＝2040（块）
答：至少需要2040块才能够用。
（2）20×15×1.4×1
＝300×1.4×1
＝420×1
＝420（吨）
答：一共能注420吨水。
【点睛】本题考查长方体的表面积和体积，熟记公式是解题的关键。
3．840立方厘米
【分析】分析题意可知，水的高度减少了15－4＝11cm，也就是11cm的水的体积是616cm ，用体积616cm 除以高11cm求出容器的底面积。再运用长方体体积计算公式V＝sh，计算最初水的体积。
【详解】656÷（15－4）×15
＝656÷11×15
＝840（立方厘米）
答：这个容器最初放了840立方厘米的水。
【点睛】利用体积除以高先求出长方体底面积是解题的关键。
4．2200平方厘米；5875立方厘米
【分析】（1）挖去一个小正方体后，长方体的表面积没有发生改变，利用长方体的表面积公式即可求解；
（2）挖去一个小正方体后，剩下部分的体积就等于大长方体的体积减去小正方体的体积，利用长方体、正方体的体积公式即可求解。
【详解】表面积：
（平方厘米）
体积：
（立方厘米）
答：剩下部分的表面积是2200平方厘米，剩下部分体积是5875立方厘米。
【点睛】本题关键是要分析出切割完以后表面积及体积的变化情况。
5．8厘米
【分析】根据题干分析可得，可设两个容器的水深相同为x厘米，则容器A中的水的体积是：40×30×x立方厘米；容器B中的水的体积是30×20×x立方厘米，根据两个容器内水的体积之和等于B容器中高为24厘米时的水的体积，即可列出方程，求出x的值即可解答问题。
【详解】解：设两个容器的水深相同为x厘米，根据题意可得方程：
40×30×x＋30×20×x＝30×20×24
1200x＋600x＝14400
1800x＝14400
x＝8
答：这时两个容器水深是8厘米。
【点睛】此题考查了长方体的容积公式的计算应用，抓住水的体积不变列出方程解决问题。
6．10米
【分析】沥青混凝土的体积不变，先统一单位，再通过长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可求出这些混凝土能铺多少米长的公路。
【详解】5厘米＝0.05米
3÷6÷0.05＝10（米）
答：这些混凝土能铺10米长的公路。
【点睛】此题的解题关键是熟练运用长方体的体积公式求解。
7．120cm
【分析】上升的水的体积就是零件的体积，根据长方体的体积公式进行解答。
【详解】10×6×（8－6）
＝60×2
＝120（cm ）
答：这个零件的体积是120cm 。
8．220平方厘米
【分析】
如上图所示，从长方体上截下一个最大的正方体，正方体的棱长等于长方体中最短的棱的长度，即长方体的高6厘米。截下正方体后，剩下的几何体比长方体表面积只减少了正方体上下2个面的面积。长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方形面积＝边长×边长，用长方体表面积减去2个正方形的面积即是剩下的几何体的表面积。
【详解】（8×7＋8×6＋7×6）×2－6×6×2
＝（56＋48＋42）×2－72
＝146×2－72
＝292－72
＝220（平方厘米）；
答：剩下的几何体的表面积是220平方厘米。
【点睛】此题抓住题干得出此长方体中最大正方体的棱长特点，找出切割后减少的面积即可解决问题。
9．141立方分米
【分析】长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。把长方体木料锯成的一个最大正方体木料的棱长等于长方体的宽，剩余木料体积＝长方体木料体积－正方体木料体积。
【详解】8×3×7－3×3×3
＝168－27
＝141（立方分米）
答：剩下木料的体积是141立方分米。
【点睛】本题主要考查长方体、正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
10．111立方分米；174平方分米
【分析】原来正方体的体积为5×5×5＝125 （立方分米），表面积为：5×5×6＝150（平方分米）；在它6个面的正中处挖去一个棱长为1分米的小正方体，会减少6×（1×1×1）＝6 （立方分米）的体积，会增加（1×1）×4×6＝24 （平方分米）的表面积；在它的8个顶点处挖去一个棱长为1分米的小正方体，会减少8×（1×1×1）＝8 （立方分米）的体积，不改变表面积。故剩下立体图形的体积为125－6－8＝111 （立方分米） ，剩下立体图形的表面积为150＋24＝174 （平方分米），据此解答即可。
【详解】5×5×5－6×（1×1×1）－8×（1×1×1）
＝125－6－8
＝111（立方分米）；
答：剩下立体图形的体积为111立方分米；
5×5×6＋（1×1）×4×6
＝150＋24
＝174（平方分米）；
答：剩下立体图形的表面积为174平方分米。
【点睛】解答本题的关键是结合题图明确表面积是增加了还是减少了，体积一定会减少。
11．48立方厘米
【分析】根据从前面、左面和上面看到的图形，可确定这个立体图形的摆法如图：，是由6个小正方体组成的立体图形，根据正方体的体积公式：V＝a3，先求出1个小正方体的体积，再乘6即可求出立体图形的体积。
【详解】根据分析得，这个立体图形是由6个小正方体组成。
2×2×2×6＝48（立方厘米）
答：这个立体图形的体积是48立方厘米。
【点睛】此题的解题关键是根据三视图确定几何体的摆法，从而确定小正方体的个数，再利用正方体的体积公式即可得解。
12．120dm3
【分析】这个长方体纸箱的长是8分米，宽是5分米，22分米包括两条长和两条高，先求出纸箱的高，再根据长方体体积公式列式解答。
【详解】（22－8×2）÷2
＝（22－16）÷2
＝6÷2
＝3（分米）
8×5×3＝120（立方分米）
答：这个长方体纸箱的体积是120立方分米。
【点睛】本题考查了长方体体积，关键是根据长方体展开图找到长、宽、高的数据，根据长方体体积＝长×宽×高进行计算。
13．66平方分米
【分析】由已知“从一个长方体截下一个体积是9立方分米的小长方体后，还剩下一个棱长是3分米的正方体”，可知长方体的截面是边长3分米的正方形，利用长方体的体积公式即可求出截去的小长方体的长，从而可以求出原来的长方体的高，然后利用长方体的表面积公式解答即可。
【详解】9÷（3×3）
＝9÷9
＝1（分米）
3＋1＝4（分米）
3×4×4＋3×3×2
＝48＋18
＝66（平方分米）
答：原来长方体的表面积是66平方分米。
【点睛】此题主要考查长方体的表面积计算方法，解答关键是根据体积除以底面积求出截去部分的长方体的长，利用表面积公式解答即可。
14．24块
【分析】先分别求出长方体的长、宽、高里面各有几个2厘米，再根据长方体的体积的计算方法解答即可。
【详解】8÷2＝4（个）
7÷2＝3（个）……1（厘米）
5÷2＝2（个）……1（厘米）
4×3×2＝24（块）
答：可锯24块。
【点睛】把长方体锯成若干个正方体时，正方体的个数就是分别从长方体长宽高中可以锯成的正方体的个数的乘积。
15．4厘米
【详解】6×6×6÷9÷6=4（厘米）
16．（1）250立方分米
（2）125平方分米
（3）362.5元
【分析】（1）这块铁的体积等于水面上升的体积，水面上升的体积可看作长为25分米，宽为5分米，高为2分米的长方体，利用长方体的体积公式，代入数据求解即可。
（2）求水池的占地面积，实际是求长方体的底面积，利用长方形的面积公式，用长乘宽即可得解。
（3）在水池的四周和底面刷上涂料，刷涂料的面积相当于长方体4个侧面和1个底面的面积之和，利用长方体的表面积公式，求出需要刷涂料的面积，单位换算后，再乘每平方米涂料的费用，求出总的费用。
【详解】（1）25×5×2＝250（立方分米）
答：这块铁的体积是250立方分米。
（2）25×5＝125（平方分米）
答：这个水池占地面积是125平方分米。
（3）25×5＋25×10×2＋5×10×2
＝125＋500＋100
＝725（平方分米）
725平方分米＝7.25平方米
7.25×50＝362.5（元）
答：共要362.5元。
【点睛】本题主要考查特殊物体体积的计算方法。计算长方体的表面积时，需要弄清要求的是长方体几个面的面积。
17．1000立方厘米
【详解】4分米=40厘米
5×5×40=1000（立方厘米）
答：这段方钢的体积是1000立方厘米。
18．16.2厘米
【分析】要求长方体的高，已知长与宽，则还需知道长方体的体积。因为锻造前后铝块体积不变，故V长方体＝V正方体，所以要先求出正方体铝块的体积。
【详解】9×9×9÷（15×3）
＝729÷45
＝16.2（厘米）
答：长方体的高是16.2厘米。
【点睛】本题属于“等积变形”的题目，只要抓住变化前后不变的量——铝块体积，再展开思考和计算即可。
19．25厘米
【分析】正放时水的体积可看作长是40厘米、宽是10厘米，水深5厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出容器内水的体积；因为这个容器是盖紧的，所以无论正放还是竖放，容器内水的体积不变；竖放时，容器的长是10厘米，宽是8厘米，根据长方体的高＝体积÷（长×宽），求出此时水的深度。
【详解】40×10×5÷（8×10）
＝2000÷80
＝25（厘米）
答：这时里面的水深是25厘米。
【点睛】抓住立体图形等积变形中的“体积不变”以及灵活运用长方体的体积公式是解题的关键。
20．（1）见详解；（2）我推荐方案2，因为方案2的容积是最大的
【分析】（1）根据题意可知，用12分米减去2个正方形的边长，即可得出水箱的长，用8分米减去2个正方形的边长，即可得出水箱的宽，正方形的边长相当于水箱的高，据此根据长方体体积公式：长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答即可；
（2）比较3个方案的容积，取容积最大的那个方案即可。
【详解】（1）方案1：
长：12－1×2
＝12－2
＝10（分米）
宽：8－1×2
＝8－2
＝6（分米）
容积：10×6×1＝60（立方分米）
方案2：
长：12－2×2
＝12－4
＝8（分米）
宽：8－2×2
＝8－4
＝4（分米）
容积：8×4×2＝64（立方分米）
方案3：
长：12－3×2
＝12－6
＝6（分米）
宽：8－3×2
＝8－6
＝2（分米）
容积：6×2×3＝36（立方分米）
如下表：
序号 正方形的边长/分米 水箱长/分米 水箱宽/分米 高/分米 容积/立方分米
方案1 1 10 6 1 60
方案2 2 8 4 2 64
方案3 3 6 2 3 36
（2）64＞60＞36
答：我推荐方案2，因为方案2的容积是最大的。
【点睛】本题主要考查了长方体展开图的长、宽、高之间的关系以及长方体体积公式的灵活应用。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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