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2023-2024学年重庆市育才中学教育集团九年级（上）第三次自主作业数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程式属于一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称轴图形的是( )
A. B. C. D.
3.代数式的估值在( )
A. 之间 B. 之间 C. 之间 D. 之间
4.学校学生中学为指导行知文化讲解志愿者进行技术培训，三期共培训人，其中第一期培训人，求每期培训人数的平均增长率，设平均增长率为，根据题意列出的方程为( )
A. B.
C. D.
5.图是由一些点组成的图形，按此规律，在第个图形中，点的个数为( )
A. B. C. D.
6.如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，以点为位似中心，在原点的另一侧按：的相似比将放大，则点的对应点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，的半径为，以为圆心，为半径的弧交于，两点，则弦等于( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，二次函数的顶点为，其图象与轴的交点，的横坐标分别为和下列结论：；；；当时，是等腰直角三角形其中结论正确的个数是( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
9.如图，已知正方形的边长为，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当：：时，则( )
A.
B.
C.
D.
10.已知两个多项式，，为实数，将、进行加减乘除运算：
当时，则；
若，则或；
若多项式的取值与无关，则，；
代数式化简后总共有种不同表达式；
多项式的最小值为．
上面说法正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.计算： ______．
12.将一个抛物线沿轴的正方向平移个单位后能与抛物线重合，则这个抛物线的解析式是______．
13.设、是方程的两个实数根，则的值为______．
14.如图，一次函数的图象与二次函数的图象相交于点，，则解集是______．
15.如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽度为，两侧蹑地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞的高度为______精确到
16.一副三角板按图的形式摆放，把含角的三角板固定，含角的三角板绕直角顶点逆时针旋转，设旋转的角度为在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时，的度数为______．
17.关于的一元一次不等式组的解集为且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的积为______．
18.定义：对于任意一个三位自然数，若满足十位数字比百位数字大，个位数字比十位数字大，那么称这个三位数为“向上数”；对于任意一个三位自然数，若满足十位数字比百位数字小，个位数字比十位数字小，那么称这个三位数为“向下数”将“向上数”的倍记为，“向下数”的倍记为，若是整数，则称每对，为“七上八下数对”在所有“七上八下数对”中，的最大值是______．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：
；
．
20.本小题分
如图，在菱形中，对角线、相交于点．
尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点保留作图痕迹，不写作法；
求证：四边形为矩形．
证明：，
______，
四边形是菱形，
，，，
，
，
______，
又，
四边形为平行四边形，
______，
，
______，
，
四边形为矩形．
21.本小题分
为了迎接中考体考，在临考前初三年级进行了全真模拟考试，并对各个项目进行了统计和分析某数学兴趣小组从初三年级男、女同学中各随机抽取名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析跳绳个数记为，共分为五组：，，，，下面给出了部分信息：
被抽取的男同学的跳绳个数在组的数据是：，，，，，
被抽取的女同学的跳绳个数在组的数据是：，，，，，，，
被抽取的男、女同学跳绳个数的平均数、中位数、众数如下表：
平均数 中位数 众数
男同学
女同学
填空： ______， ______， ______；
根据以上数据分析，你认为该校初三______男、女同学一分钟跳绳更优秀，请说明理由写出一条理由即可；
若该校初三年级参加此次体育模拟考试的男生有人，女生有人，请你估计全年级跳绳个数不少于个的人数．
22.本小题分
某零食店销售牛轧糖、雪花酥种糖果，如果用元可购买千克牛轧糖和千克雪花酥，用元可购买千克牛轧糖和千克雪花酥．
求牛轧糖、雪花酥每千克的价格分别为多少元？
已知该零食店在月共售出牛轧糖千克、雪花酥千克春节将近，月份超市将牛轧糖每千克的售价提升元，雪花酥的价格不变，结果与月相比牛轧糖销量下降了千克，雪花酥销量上升千克，但牛轧糖的销量仍高于雪花酥，销售总额比月多出元，求的值．
23.本小题分
如图，四边形中，，，，点从出发，沿着折线运动，到达点停止运动设点运动的路程为，连接，记的面积为，请解答下列问题：
直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质；
结合图象，当的面积大于四边形面积的时，直接写出的取值范围结果保留一位小数，误差不超过
24.本小题分
如图，在小晴家所住的高楼的正西方有一座小山坡，坡面与水平面的夹角为在点处测得楼顶的仰角为，在山顶处测得楼顶的仰角为，和的水平距离为米在同一平面内，参考数据：，
求坡面的长度？结果保留根号
一天傍晚，小晴从出发去山顶散步，已知小晴从到的速度为每分钟米，从沿着上山的速度为每分钟米，若她：出发，请通过计算说明她在：前能否到达山顶处？结果精确到
25.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两交点分别是，，与轴交于点，连接．
求该抛物线的解析式；
点为直线上方抛物线上的点，过作于点，交于点，为射线上的点，连接，且，求的最大值，以及此时点的坐标；
在的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后的抛物线与轴交于点，点为平移后抛物线对称轴上的点，为平面内一点，直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形为菱形的点的坐标．
26.本小题分
如图，等腰为底与等腰为底，，判断与的数量关系，并说明理由；
如图在，在矩形中，，，，点在线段上运动，将绕点顺时针旋转得到，使，连接，当时，求的长度；
如图，矩形中，若，，点在线段上运动，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，连结，中点为，中点为，若，直接写出的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、属于一元三次方程，不符合题意；
B、属于分式方程，不符合题意；
C、属于二元二次方程，不符合题意；
D、属于一元二次方程，符合题意，
故选：．
利用一元二次方程的定义判断即可．
此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故选：．
根据中心对称图形以及轴对称图形的定义即可作出判断．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，正确理解定义是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故选：．
先估算的值，进而可求出的取值范围．
此题考查了估算无理数的大小，在确定形如的无理数的整数部分时，常用的方法是“夹逼法”，其依据是平方和开平方互为逆运算．
4.【答案】
【解析】解：设平均增长率为，则第二期培训人，第三期培训人，
根据题意得：．
故选：．
设平均增长率为，根据第一期培训了人，可得出第二、三期培训人数，根据三期共培训人数第一期培训人数第二期培训人数第三期培训人数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由时间问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：第个图形中点的个数为；
第个图形中点的个数为；
第个图形中点的个数为；
第个图形中点的个数为；
第个图形中点的个数为．
故选：．
分析数据可得：第个图形中点的个数为；第个图形中点的个数为；第个图形中点的个数为；第个图形中点的个数为；则知第个图形中点的个数为据此可以求得答案．
此题属于图形与数字结合规律的题目．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，总结归纳出变化规律是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：以点为位似中心，在原点的另一侧按：的相似比将放大，将的横纵坐标先扩大为原来的倍为，再变为相反数为．
故选：．
直接利用位似变换的性质和异侧位似变换的坐标变化规律结合点坐标直接得出点的坐标．
此题主要考查了位似变换，掌握位似图形的性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：连接，，
的半径为，以为圆心，为半径的弧交于，两点，
，，
，
，
．
故选A．
连接，，根据题意可知，，继而即可推出，根据特殊角的三角函数值，即可推出的值．
本题主要考查垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，关键在于推出，，然后正确的特殊角的三角函数值，即可推出结论．
8.【答案】
【解析】解：其图象与轴的交点，的横坐标分别为和，则函数的对称轴为：，
由，即，故不符合题意；
图象可知当时，，故符合题意；
由抛物线的性质可得、，由，即，则，故不符合题意；
由题意可得函数的表达式为：，则点、、的坐标分别为：、，，
，，，
是等腰直角三角形，即符合题意．
综上，符合题意的有个．
故选：．
先确定抛物线的对称轴为，即，即可判断；由图象可知当时，，即可判断；由抛物线的性质可得、，再根据对称轴，即，即可判断；由题意可得函数的表达式为：，则点、、的坐标分别为：、，，然后根据两点间距离公式即可判定．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系、二次函数与方程的关系等知识点，利用对称轴的范围求与的关系是解答本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：连接，
四边形是正方形，
，，
，，，
四边形是矩形，
，，
是等腰直角三角形，
，
：：，
：：，
，，
，
在和中，
≌，
，
故选：．
先证四边形是矩形，可得，，由等腰直角三角形的性质可得，可求，的长，由勾股定理可求的长，由“”可证≌，可得．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，故正确；
由得，，
整理，得：，
解得：或，故正确；
，
，
解得：，，故正确；
；
由，；；；
时，原式；
时，原式；
时，原式；
时，原式；故有四种情况，故错误；
．
，
，
，故错误；
故选：．
把字母的值代入运算，即可判断正确；由题意得方程求解，可判断正确；得关于参数的方程组求解，，故正确；将整式代入化简，根据绝对值的性质公式分情况讨论，可知有四种情况，故错误；，由配方法知，故错误．
本题考查整式的运算，完全平方公式，绝对值的化简，解二元一次方程组．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
根据零指数幂和负整数指数幂化简即可．
本题考查实数的混合运算，解题的关键是根据零指数幂和负整数指数幂化简．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，，沿轴负方向平移个单位，得到．
故答案为：．
把沿轴负方向平移个单位后得到要求的抛物线．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．
13.【答案】
【解析】解：、是方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：．
根据根与系数的关系可得出，，再将化成，最后整体代入即可解答．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：体现在图象上就是一次函数的图象在二次函数的图象的下方．
由图知，图象在点，之间，
．
故答案为：．
将不等式转化为函数图象的位置关系求解．
本题考查二次函数与不等式，将不等式转化为函数的上下关系是求解本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系．
由题意可知各点的坐标，，，．
设抛物线的解析式为：，把，代入，得
，
解得，
该抛物线的解析式为：，
则
．
故答案为：．
由题意可知各点的坐标，，，，又由抛物线的顶点在轴上，即可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法即可求得此二次函数的解析式，继而求得这个门洞的高度．
此题考查了二次函数在实际生活中的应用．题目难度适中，解此题的关键是理解题意，求得相应的函数解析式，注意待定系数法的应用．
16.【答案】或或
【解析】解：如图，当时，；
如图，当时，，
；
如图当时，，
．
当时，旋转角大于，不符合题意．
故答案为：或或．
旋转过程中会出现多种平行，，，，分别运算即可．
本题考查了旋转和平行线的性质，在旋转过程中出现多种平行要逐个分析判定是本题的关键．
17.【答案】
【解析】解：，
由得：，
解得：，
该不等式组的解集为，
，
．
给，
两边都乘以，得：，
解得：，
，分式方程有整数解，
，，，，即，，
，
，
，
，即，
，
所有整数解的积为．
故答案为：．
先求出不等式组的解集，再根据已知解集确定出的范围，然后将分式方程去分母转化为整式方程求解，再根据分式方程有整数解确定出整数的值，最后求积即可．
本题主要考查了解分式方程、解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
18.【答案】
【解析】解：设的百位数字为，的百位数字为，
则，
，
为整数，
为整数，
，，
要是的值最大，则需要的值最大，
当时，，
．
故答案为：．
先根据题意列出代数式，再根据整除的意义求解．
本题考查了整数的运算，掌握整除的意义及验证发求值是解题的关键．
19.【答案】解：
；
．
【解析】根据平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
先分解分式，再约分，然后通分，再化简即可．
本题考查分式的混合运算、平方差公式和单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】
【解析】解：如下图：
证明：，
，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
又，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
四边形为矩形，
故答案为：，，，．
根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法作图；
根据“三个角是直角的四边形是矩形”进行证明．
本题考查了基本作图，掌握矩形的判定定理是解题的关键．
21.【答案】 女
【解析】解：由题意知，被抽取的男同学跳绳个数数据的第、个数据分别为、，
所以其中位数，
被抽取的女同学跳绳个数在组人数所占百分比为，
组人数所占百分比，即，
被抽取的女同学跳绳个数的众数，
故答案为：、、；
认为该校初三女同学一分钟跳绳更优秀，
因为男、女生跳绳个数的平均数相等，而女生跳绳个数的中位数大于男生跳绳个数，
所以女生跳绳个数的高分分数多于男生，
所以认为该校初三女同学一分钟跳绳更优秀答案不唯一，合理均可，
故答案为：女；
人，
答：估计全年级跳绳个数不少于个的人数约为人．
根据中位数和众数的定义可得、的值，先求出被抽取的女同学跳绳个数在组人数所占百分比，再根据百分比之和为可得的值；
根据众数、中位数及平均数的意义求解即可得出答案；
总人数分别乘以男、女生跳绳个数不少于个的人数所占比例，再求和即可得出答案．
本题考查用样本估计总体、扇形统计图、中位数、众数的意义和计算方法，从统计图表中获取数量之间的关系是解决问题的关键．
22.【答案】解：设每千克牛轧糖的价格为元，雪花酥的价格为元，
依题意得：，
解得：．
答：每千克牛轧糖的价格为元，雪花酥的价格为元．
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又，
，
．
答：的值为．
【解析】设每千克牛轧糖的价格为元，雪花酥的价格为元，根据“用元可购买千克牛轧糖和千克雪花酥，用元可购买千克牛轧糖和千克雪花酥”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可求出牛轧糖、雪花酥每千克的价格；
利用销售总额销售单价销售数量，结合月份的销售总额比月多出元，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合调整价格后牛轧糖的销量仍高于雪花酥，即可得出的值为．
本题考查了二元一次方程组的应用、解一元一次不等式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23.【答案】解：当时，
，
当时，
，，
．
，
，
关于的函数关系式为：
列表：
画该函数的图象如下：
函数性质：答案不唯一，比如：
当时，随的增大而增大，
当时，随的增大而减小；
写出一条即可．
四边形面积，
四边形面积的，
观察图象，时，自变量的取值为：．
答案不唯一，只要误差不超过即可．
故答案为：．
【解析】分当时，当时两种情况列出函数解析式，写出自变量的取值范围即可；
根据函数解析式，画出函数图象，可从增减性方面写出一条性质即可；
先求出四边形面积的是，再根据图象中时，自变量的取值范围写出即可．
本题考查研究函数的一般方法，解答时涉及分段函数，一次函数，图形面积计算，代数式运算，掌握研究函数的一般方法是解题的关键．
24.【答案】解：过点作，垂足为，
在中，，米，
米，
米，
坡面的长度为米；
若她：出发，她在：前不能到达山顶处，
理由：如图：过作，垂足为，
由题意得：，
，
，
，
在中，，米，
米，
，
，
在中，米，
在中，米，
小晴从到的速度为每分钟米，从沿着上山的速度为每分钟米，
小晴从到的需要的时间分钟，从沿着上山需要的时间分钟，
小晴从出发去山顶散步需要的时间分钟，
若她：出发，她在：前不能到达山顶处．
【解析】过点作，垂足为，在中，先利用锐角三角函数的定义求出的长，然后再利用含度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答；
过作，垂足为，根据题意可得：，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据平角定义求出，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：二次函数与轴交于点，，
，解得．
抛物线的解析式为：；
，
当时，，
．
设直线的解析式为：，
直线过点，
，解得．
直线的解析式为：．
设点，则，
，，．
，，，
过点作于，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，的最大值为，
此时；
将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即将该抛物线向左移动个单位，向上移动个单位，
平移后的抛物线的解析式为：，
平移后的抛物线的对称轴为直线，平移后的抛物线与轴的交点，
设；
当线段为菱形的对角线时，，
，，
，
，
，解得，
，
；
当线段为菱形的边时，
，，
，
，
，
当时，，即，无解；
当时，，即，
或；
或；
或
综上，点的坐标为或或
【解析】将点，代入二次函数，求得，的值即可；
先求出直线的解析式为：，设点，则，过点作于，则轴，，根据正弦函数的定义可得，由得，可得，则，利用二次函数的性质可求出最值；
先利用二次函数平移的规律得到新抛物线的解析式，然后设出点，分两种情况：线段为菱形的对角线时；线段为菱形的边时，利用菱形的性质求解即可．
本题属于二次函数综合题，考查了勾股定理，待定系数法，二次函数的性质，菱形的性质与判定，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练运用所学知识，通过分类讨论思想，精准计算，解决问题．
26.【答案】解：；
理由：，
，
即，
在和中，
，
≌，
．
点在线段上运动，如图，作于，
，
，
，，
，
由旋转的性质可得，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，，
，
，
，
≌，
，，
，
．
；
连接，并延长交的延长线于，连接，
，为的中点，
，，，
≌，
，，
是的中点，，
是的中位线，
，
矩形中，，，
，，
延长至，使，连接，
，，
同可知≌，
，，
，，
，
，
点，，三点共线，
过点作于点，
设，
在中，，，
，，
在中，，，，
，
解得负值舍去，
，
．
【解析】证明≌，由全等三角形的性质得出；
连结，延长至，使得，连结，证明≌，由全等三角形的性质得出，由勾股定理求出的长，则可得出答案；
连接，并延长交的延长线于，连接，证明≌，由全等三角形的性质得出，，由三角形中位线定理得出，得出，，延长至，使，连接，过点作于点，设，由勾股定理求出，则可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
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