资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第四章 图形的性质
第十七节 平行四边形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 平行四边形的概念和性质 ☆☆ 平行四边形知识内容主要包括平行四边形的性质与判定、矩形的性质与判定、菱形的性质与判定、正方形的性质与判定，作为比较重要的几何知识，在广东中考中占有一定的考查比重，从往年考查来看，考查的频率还是相对较高，基础知识的单独考查一般就是选择或填空题，若考查知识的综合性运用则在解答题里以中等或较难的综合题进行考查，例如和三角形全等、解直角三角形以及函数动点问题进行综合应用考查。平行四边形的复习要多注重基础，性质与判定的掌握是重点，几何思维的培养是难点，多进行反复练习，达到迎接中考的水准，便可显得轻松自如。
考点2 平行四边形的判定 ☆☆
考点3 平行四边形的判定与性质 ☆☆
考点4矩形的性质与判定 ☆☆
考点5菱形的性质与判定 ☆☆
考点6正方形的性质与判定 ☆☆
考点1平行四边形的概念和性质
1.平行四边形的概念
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。
2.平行四边形的性质
（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。
（2）平行四边形的对边平行且相等。
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
（3）平行四边形的对角线互相平分。
（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。
考点2 平行四边形的判定
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
考点3 平行四边形的性质与判定
（1）平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
（2）两条平行线的距离
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
平行线间的距离处处相等。
（3）平行四边形的面积
S平行四边形=底边长×高=ah
考点4矩形的性质与判定
1.矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2.矩形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
（2）矩形的四个角都是直角
（3）矩形的对角线相等
（4）矩形是轴对称图形
3.矩形的判定
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
4.矩形的面积
S矩形=长×宽=ab
考点5 菱形的性质与判定
1.菱形的概念
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2.菱形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
（2）菱形的四条边相等
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
（4）菱形是轴对称图形
3.菱形的判定
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4.菱形的面积
S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
考点6 正方形的性质与判定
1.正方形的概念
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2.正方形的性质
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
3.正方形的判定
（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
先证它是矩形，再证有一组邻边相等。
先证它是菱形，再证有一个角是直角。
（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：
先证明它是平行四边形；
再证明它是菱形（或矩形）；
最后证明它是矩形（或菱形）
4.正方形的面积
设正方形边长为a，对角线长为b
S正方形=
考点1平行四边形的概念和性质
◇例题
1.（2023 新会区一模）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是（　　）
A．2 B．1 C．3 D．3.5
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质证明DF＝CD，AE＝AB，进而可得AF和ED的长，然后可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴∠DFC＝∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC＝3；
同理可得：AE＝AB＝3，
∴AF＝DE，
∵AD＝4，
∴AF＝4﹣3＝1，
∴EF＝4﹣1﹣1＝2．
故选：A．
◆变式训练
1．（2023 南海区校级三模）如图，将 ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠1等于（　　）
A．110° B．35° C．70° D．55°
【答案】C
【分析】根据平行四边形的对角相等求出∠BCD的度数，再根据平角等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的∠A＝110°，
∴∠BCD＝∠A＝110°，
∴∠1＝180°﹣∠BCD＝180°﹣110°＝70°．
故选：C．
2．（2023 佛山模拟）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝4，BD＝6，则AB的长可能是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】由平行四边形的性质得OA2，OBBD＝3，由OB﹣OA＜AB＜OB+OA，得1＜AB＜5，而1＜4＜5，可知A符合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝6，
∴OA＝OC4＝2，OB＝ODBD6＝3，
∴OB﹣OA＝3﹣2＝1，OB+OA＝3+2＝5，
∵OB﹣OA＜AB＜OB+OA，
∴1＜AB＜5，
∵在4，5，6，7四个数中，1＜4＜5，
∴A符合题意，
故选：A．
3．（2023 蓬江区校级三模）如图，在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝120°，则∠D的度数为（　　）
A．120° B．60° C．30° D．150°
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质，可求得∠A的度数，又由平行线的性质，求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A+∠C＝120°，
∴∠A＝60°，
∴∠D＝180°﹣∠A＝120°．
故选：A．
考点2 平行四边形的判定
◇例题
1.（2022 海珠区校级模拟）如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形．
【答案】证明见解析．
【分析】证出△ABC≌△DEF（ASA），得出AB＝DE，再结合AB∥DE，即可证出四边形ABED是平行四边形．
【解答】证明：∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F．
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
∴BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB＝DE．
又∵AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
◆变式训练
1．（2023 香洲区校级一模）下列条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB＝AD，CB＝CD D．AB∥CD，AB＝CD
【答案】D
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，逐一验证即可得出结论．
【解答】解：如图示，根据平行四边形的判定方法，只有D正确．
故选：D．
2．（2023 中山市模拟）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】证明见解析部分．
【分析】根据平行线的性质得到∠DFE＝∠BEF，再利用全等三角形的判定与性质得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE即可解答．
【解答】证明：∵DF∥BE，
∴∠DFE＝∠BEC，
∴在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
3．（2023 丰顺县一模）如图，点E，A，C，F在同一直线上，ED∥BF，AE＝CF，∠EDA＝∠FBC．
求证：（1）△ADE≌△CBF；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（1）由平行线的性质得∠E＝∠F，再由AAS证△ADE≌△CBF即可；
（2）由全等三角形的性质得AD＝CB，∠DAE＝∠BCF，再证AD∥CB，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵ED∥BF，
∴∠E＝∠F，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS）；
（2）由（1）可知，△ADE≌△CBF，
∴AD＝CB，∠DAE＝∠BCF，
∴∠DAC＝∠BCA，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
考点3 平行四边形的判定与性质
◇例题
1.（2023 榕城区一模）如图，将 ABCD的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F，AE＝CF．求证：四边形DEBF是平行四边形．
【答案】证明过程见解答．
【分析】连接BD，与AC交于点O，由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证得OE＝OF，即可得出结论．
【解答】证明：连接BD，与AC交于点O．如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
又∵AE＝CF，
∴OA+AE＝OC+CF，
即OE＝OF，
∵OB＝OD，
∴四边形EBFD是平行四边形．
◆变式训练
1．（2023 阳山县二模）如图1，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论：
①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形；
②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（　　）
A．①②都正确 B．①错误，②正确
C．①②都错误 D．①正确，②错误
【答案】B
【分析】根据作图过程可得AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，由l1∥l2，可得∠ADB＝∠CBD，然后可以证明四边形ABCD是菱形，进而可以解决问题．
【解答】解：根据作图过程可知：AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，
∵l1∥l2，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝CB，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD对角线互相垂直．
∴①错误，②正确．
故选B．
2．（2023 丰顺县一模）如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC边上，添加下列条件中的一项，不能保证四边形AFCE是平行四边形的是（　　）
①AF＝CE；②BF＝DE；③∠AFC＝∠AEC；④∠BAF＝∠DCE
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，进而利用平行四边形的判定解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴BF＝DE，
∴AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，故②正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF+∠AFC＝180°，
∵∠AFC＝∠AEC，
∴∠EAF+∠AEC＝180°，
∴AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形，故③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠DCB，
∵∠BAF＝∠DCE，
∴∠EAF＝∠FCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AFB，
∵∠EAF＝∠FCE，
∴∠AFB＝∠FCE，
∴AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形，故④正确；
①AF＝CE，不能得出边形AFCE是平行四边形，
故选：A．
3．（2023 东莞市一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是边AC、AB的中点，连接CE、DE，过D点作DF∥CE交BC的延长线于F点．
（1）证明：四边形DECF是平行四边形；
（2）若AB＝13cm，AC＝5cm，求四边形DECF的周长．
【答案】（1）证明过程请看解答；
（2）25．
【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）先由勾股定理得BC＝12，再由三角形中位线定理得DEBC＝6，然后由平行四边形的性质得DE＝CF＝6，DF＝CE，再由勾股定理得DF，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是边AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴DE∥CF，
∵DF∥CE，
∴四边形DECF是平行四边形；
（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC12，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DEBC12＝6，
∵四边形DECF是平行四边形，
∴DE＝CF＝6，DF＝CE，
∵D是边AC的中点，
∴CDAC5，
∵∠ACB＝90°，CF是BC的延长线，
∴∠DCF＝90°，
在Rt△DCF中，由勾股定理得：DF，
∴四边形DECF的周长＝2（DE+DF）＝2×（6）＝25．
4．（2023 封开县二模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，且O是BD的中点
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，AB＝8，求四边形ABCD的周长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB＝CD即可解决问题．
（2）证明四边形ABCD是菱形，即可求四边形ABCD的周长．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∵OB＝OD，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴AB＝CD．
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD的周长＝4×AB＝32
考点4 矩形的判定与性质
◇例题
1.（2023 越秀区模拟）如图，要使 ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　）
A．∠ABC＝90° B．∠ABD＝∠CBD C．AC⊥BD D．AB＝BC
【答案】A
【分析】由矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判断．
【解答】解：A、∠ABC＝90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，得到 ABCD是矩形，故A符合题意；
B、∠ABD＝∠CBD，由AD∥BC得到∠ADB＝∠CBD，因此∠ABD＝∠ADB，所以AB＝AD， ABCD是菱形，故B不符合题意；
C、AC⊥BD，由平行线四边形的性质，得到AC垂直平分BD，因此AB＝AD， ABCD是菱形，故C不符合题意；
D、AB＝BC，此时 ABCD是菱形，故D不符合题意．
故选：A．
2.（2024 深圳模拟）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F．
（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：　AO＝CO　，使得OE＝OF，并说明理由；
（2）若OE＝OF，AB＝6，BC＝8，求EF的长．
【答案】（1）AO＝CO；（2）EF．
【分析】（1）利用三角形全等可以说明；
（2）根据勾股定理先求出AC的长度，再根据三角形全等得出AO＝CO＝5，然后根据三角函数得出关于EO的方程，最后即可求得EF．
【解答】解：（1）AO＝CO；
理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO，
∵EF⊥AC，
∴∠AOF＝∠COE，
又∵AO＝CO，
∴△AOF≌COE（ASA），
∴OE＝OF．
（2）∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC10，
∵EF⊥AC，
∴∠AOF＝∠COE，
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO，
又∵EO＝FO，
∴△AOF≌COE（AAS），
∴AO＝CO＝5，
在Rt△COE中，tan∠OCE，
在Rt△ACB中，tan∠ACB，
∴，
∴，
∴EF．
3.（2023 榕城区二模）如图， ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．
（1）求证：BE＝DF；
（2）设k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．
【答案】2．
【分析】（1）利用平行四边形的性质，即可得到BO＝OD，EO＝FO，进而得出四边形BFDE是平行四边形，进而得到BE＝DF；
（2）先确定当OE＝OD时，四边形DEBF是矩形，从而得k的值．
【解答】（1）证明：如图，连接DE，BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，AO＝OC，
∵E，F分别为AO，OC的中点，
∴EOOA，OFOC，
∴EO＝FO，
∵BO＝OD，EO＝FO，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE＝DF；
（2）解：当k＝2时，四边形DEBF是矩形；理由如下：
当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形，
∴当OD＝OE时，四边形DEBF是矩形，
∵AE＝OE，
∴AC＝2BD，
∴当k＝2时，四边形DEBF是矩形．
◆变式训练
1．（2023 曲江区校级三模）如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点．若AB＝6，BC＝8，则△BOE的周长为（　　）
A．10 B．8+2 C．8+2 D．14
【答案】C
【分析】易知OE是中位线，则OECD＝3，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得BE的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据矩形性质可求BO，从而求出△BOE周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，
∵点O是AC的中点，E为AD的中点，
∴OECD＝3，AEAD＝4，
在Rt△ABE中，AE＝4，AB＝6，
根据勾股定理得，BE，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，
AC10．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵点O是AC的中点，
∴BO＝5．
∴△BOE周长为5+3+28+2．
故选：C．
2．（2023 遂溪县一模）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若∠ACB＝30°，AB＝8，则MN的长为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】根据矩形的性质和含30°的直角三角形的性质得出AC＝BD＝16，进而求出BD＝2BO，再依据中位线的性质推知MNBO．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AC，BD交于点O，∠ACB＝30°，AB＝8，
∴BD＝AC＝2AB＝2×8＝16，
∴BD＝2BO，即2BO＝16．
∴BO＝8．
又∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴MN是△CBO的中位线，
∴MNBO＝4．
故选：B．
3．（2023 揭阳一模）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，点E为AD的中点．若AB＝6，BC＝8，则△BOE的周长为（　　）
A．12 B． C． D．14
【答案】C
【分析】根据题意可得OE是△ACD的中位线，则，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得BE，在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC，再根据直角三角形的性质可求得BO，从而求出△BOE的周长．
【解答】解：∵点O是矩形ABCD对角线AC的中点，E点为AD中点，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，，，
在Rt△ABE中，，
在Rt△ABC中，，
∴，
则△BOE的周长为：，
故选：C．
4．（2023 东莞市校级模拟）如图，在等腰三角形MNO中，MO＝NO，点Q是MN中点，点S是QO中点，过点O作OP∥MN交NS的延长线于点P，连接MP．
求证：四边形OPMQ是矩形．
【答案】证明见解析．
【分析】证△OPS≌△QNS（ASA），得PS＝NS，再证四边形OPMQ是平行四边形，然后由等腰三角形的性质得OQ⊥MN，则∠OQM＝90°，即可得出结论．
【解答】证明：∵OP∥MN，
∴∠POS＝∠NQS，
∵点S是QO中点，
∴OS＝QS，
在△OPS和△QNS中，
，
∴△OPS≌△QNS（ASA），
∴PS＝NS，
∴四边形OPMQ是平行四边形，
∵MO＝NO，点Q是MN中点，
∴OQ⊥MN，
∴∠OQM＝90°，
∴平行四边形OPMQ是矩形．
5．（2023 东莞市校级模拟）如图，在等腰三角形MNO中，MO＝NO，点Q是MN中点，点S是QO中点，过点O作OP∥MN交NS的延长线于点P，连接MP．
求证：四边形OPMQ是矩形．
【答案】证明见解析．
【分析】证△OPS≌△QNS（ASA），得PS＝NS，再证四边形OPMQ是平行四边形，然后由等腰三角形的性质得OQ⊥MN，则∠OQM＝90°，即可得出结论．
【解答】证明：∵OP∥MN，
∴∠POS＝∠NQS，
∵点S是QO中点，
∴OS＝QS，
在△OPS和△QNS中，
，
∴△OPS≌△QNS（ASA），
∴PS＝NS，
∴四边形OPMQ是平行四边形，
∵MO＝NO，点Q是MN中点，
∴OQ⊥MN，
∴∠OQM＝90°，
∴平行四边形OPMQ是矩形．
6．（2023 榕城区二模）如图， ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．
（1）求证：BE＝DF；
（2）设k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．
【答案】2．
【分析】（1）利用平行四边形的性质，即可得到BO＝OD，EO＝FO，进而得出四边形BFDE是平行四边形，进而得到BE＝DF；
（2）先确定当OE＝OD时，四边形DEBF是矩形，从而得k的值．
【解答】（1）证明：如图，连接DE，BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，AO＝OC，
∵E，F分别为AO，OC的中点，
∴EOOA，OFOC，
∴EO＝FO，
∵BO＝OD，EO＝FO，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE＝DF；
（2）解：当k＝2时，四边形DEBF是矩形；理由如下：
当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形，
∴当OD＝OE时，四边形DEBF是矩形，
∵AE＝OE，
∴AC＝2BD，
∴当k＝2时，四边形DEBF是矩形．
考点5 菱形的判定与性质
◇例题
1.（2023 潮州模拟）如图，四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点O，DH⊥AB交AO于点E，连接OH，下列结论错误的是（　　）
A．AC OH＝AB DH B．△AEH≌△DEC
C．OB2+OC2＝AD2 D．∠DAO＝∠ODE
【答案】B
【分析】根据菱形的性质和勾股定理逐一进行判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形ABCD的面积AC BD，
∵DH⊥AB，
∴菱形ABCD的面积＝AB DH，
∴AC BD＝AB DH，
∵∠DHB＝90°，OB＝OD，
∴OHBD，
∴BD＝2OH，
∴AC 2OH＝AB DH，
∴AC OH＝AB DH，故A正确；
根据题意不能得到△AEH≌△DEC，故B错误；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AC⊥BD，
∴OB2+OC2＝BC2＝AD2，故C正确；
∵∠AOD＝∠DHB＝90°
∴∠DAO+∠ADO＝∠ODE+∠OBA＝90°，
∵AD＝AB，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴∠DAO＝∠ODE，故D正确；
综上所述：结论错误的是B，
故选：B．
2.（2022 越秀区校级二模）如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（　　）
A．点D在∠BAC的平分线上
B．AB＝AC
C．∠A＝90°
D．点D为BC的中点
【答案】A
【分析】先证四边形AFDE是平行四边形，然后逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
如图，连接AD，
∴三角形ADE和三角形ADF的面积相等，
∴当点D在∠BAC的平分线上，点D到AE，AF的距离相等，
∴AF＝AE，
∴平行四边形AFDE是菱形；
B，D不能得平行四边形AFDE是菱形；
C能得平行四边形AFDE是矩形；
故选：A．
3.（2023 新会区校级一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作∠ADC的角平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD∥CE．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AD＝10，△ACD的周长为36，求菱形AECD的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）96．
【分析】（1）证四边形AECD是平行四边形，∠CDE＝∠AED，再证∠AED＝∠ADE，则AD＝AE，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得OA＝OC，CD＝AD＝10，OD＝OE，AC⊥DE，再求出AC＝16，则OA＝OC＝8，然后由勾股定理得OD＝6，则DE＝2OD＝12，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥CE，
∴四边形AECD是平行四边形，∠CDE＝∠AED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形AECD是菱形，
∴OA＝OC，CD＝AD＝10，OD＝OE，AC⊥DE，
∵△ACD的周长为36，
∴AC＝36﹣AD﹣CD＝36﹣10﹣10＝16，
∴OA＝OC＝8，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD6，
∴DE＝2OD＝12，
∴菱形AECD的面积AC DE16×12＝96．
◆变式训练
1．（2024 深圳模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．24 B．30 C． D．
【答案】A
【分析】先根据菱形的性质证明AB＝BC＝CD＝AD，再根据已知条件证明△ABC是等边三角形，求出AB＝BC＝AC＝6，从而求出菱形周长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∴菱形ABCD的周长为：
AB+BC+CD+AD
＝6+6+6+6
＝24，
故选：A．
2．（2023 高要区一模）如图，点E，F分别在 ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连接DE，DF．若∠1＝∠2．
（1）证明：△DAE≌△DCF．
（2）证明： ABCD为菱形．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质和菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（AAS），
（2）∵△DAE≌△DCF，
∴AD＝CD，
∴ ABCD为菱形．
3．（2023 南海区一模）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E、F、G分别是AB、CE、AC中点，直线DF交AC点G．
（1）求证：四边形AEDG是菱形；
（2）若DG⊥CE，求∠BCE的度数．
【答案】（1）见解析过程；
（2）30°．
【分析】（1）由直角三角形的性质可得BE＝DE＝AEAB，DG＝AGAC，可得AE＝DE＝DG＝AG，即可得结论；
（2）通过证明△BDE是等边三角形，可得∠B＝60°，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵点E、F分别是AB、CE中点，
∴BE＝DE＝AEAB，DG＝AGAC，
∴AE＝DE＝DG＝AG，
∴四边形AEDG是菱形；
（2）解：∵四边形AEDG是菱形，
∴AB∥DG，
∵DG⊥CE，
∴∠BEC＝90°，
又∵BD＝CD，
∴BD＝CD＝DE，
∴BD＝DE＝BE，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠BCE＝30°．
考点6 正方形的判定与性质
◇例题
1.（2022 越秀区二模）下列命题中，真命题是（　　）
A．有两边相等的平行四边形是菱形
B．有一个角是直角的四边形是直角梯形
C．四个角相等的菱形是正方形
D．两条对角线相等的四边形是矩形
【答案】C
【分析】做题时首先知道各种四边形的判定方法，然后作答．
【解答】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，有两边相等的平行四边形是菱形，并没有说明是邻边，故A错误；
B、有一个角是直角的四边形是直角梯形，还可能是正方形或矩形，故B错误；
C、四个角相等的菱形是正方形，故C正确；
D、两条对角线相等的四边形是矩形，还可能是梯形或正方形，故D错误．
故选：C．
2.（2023 潮阳区一模）如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F．已知DE，则CF的长为（　　）
A． B．2 C． D．2
【答案】B
【分析】过点E作EH⊥BC，交AD于G，证明△DGE是等腰直角三角形，由DE，可得DG＝EG＝1．易证△AGE≌△EHF，则EG＝HF＝1，进而得出结论．
【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC交BC于点H，交AD于G，
在正方形ABCD中，AD∥BC，∠EBH＝∠ADB＝45°，
∴四边形AGHB和四边形DGHC是长方形，△DGE是等腰直角三角形，
∴AG＝BH＝EH，DG＝EG＝1，
∴CH＝DG＝1，
∵AG⊥GH，AE⊥EF，
∴∠AGE＝∠AEF＝∠FHE＝90°，
∴∠GAE+∠AEG＝∠FEH+∠AEG＝90°，
∴∠GAE＝∠FEH，
∴△AGE≌△EHF（ASA），
∴GE＝FH＝1；
∴CF＝CH+FH＝2．
故选：B．
3.（2023 东莞市校级二模）如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为26；④当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】①由矩形的性质得到∠OBC＝90°，根据折叠的性质得到OB＝OD，∠PDO＝∠OBP＝90°，∠BOP＝∠DOP，推出四边形OBPD是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形OBPD为正方形；故①正确；
②过D作DH⊥OA于H，得到OA＝10，OB＝6，根据直角三角形的性质得到DH3，根据三角形的面积公式得到△OAD的面积为OA DH3×10＝15，故②正确；
③连接OC，于是得到OD+CD≥OC，即当OD+CD＝OC时，CD取最小值，根据勾股定理得到CD的最小值为26；故③正确；
④根据已知条件推出P，D，A三点共线，根据平行线的性质得到∠OPB＝∠POA，等量代换得到∠OPA＝∠POA，求得AP＝OA＝10，根据勾股定理得到BP＝BC﹣CP＝10﹣8＝2，故④正确．
【解答】解：①∵四边形OACB是矩形，
∴∠OBC＝90°，
∵将△OBP沿OP折叠得到△OPD，
∴OB＝OD，∠PDO＝∠OBP＝90°，∠BOP＝∠DOP，
∵∠BOP＝45°，
∴∠DOP＝∠BOP＝45°，
∴∠BOD＝90°，
∴∠BOD＝∠OBP＝∠ODP＝90°，
∴四边形OBPD是矩形，
∵OB＝OD，
∴四边形OBPD为正方形；故①正确；
②过D作DH⊥OA于H，
∵点A（10，0），点B（0，6），
∴OA＝10，OB＝6，
∴OD＝OB＝6，∠BOP＝∠DOP＝30°，
∴∠DOA＝30°，
∴DH3，
∴△OAD的面积为OA DH3×10＝15，故②正确；
③连接OC，
则OD+CD≥OC，
即当OD+CD＝OC时，CD取最小值，
∵AC＝OB＝6，OA＝10，
∴OC2，
∴CD＝OC﹣OD＝26，
即CD的最小值为26；故③正确；
④∵OD⊥AD，
∴∠ADO＝90°，
∵∠ODP＝∠OBP＝90°，
∴∠ADP＝180°，
∴P，D，A三点共线，
∵OA∥CB，
∴∠OPB＝∠POA，
∵∠OPB＝∠OPD，
∴∠OPA＝∠POA，
∴AP＝OA＝10，
∵AC＝6，
∴CP8，
∴BP＝BC﹣CP＝10﹣8＝2，故④正确；
故选：D．
◆变式训练
1．（2023 南海区校级一模）给出下列判断，正确的是（　　）
A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，故不符合题意；
B、对角线相等且平分的四边形是矩形，故不符合题意；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故不符合题意；
D、有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，故符合题意；
故选：D．
3．（2023 揭阳二模）如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，以AD的长为半径画弧，交对角线AC于点E，再分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于图中的点F处，连接AF并延长，与BC的延长线交于点P，则∠P＝（　　）
A．90° B．45° C．30° D．22.5°
【答案】D
【分析】根据正方形的性质得到∠DAC＝∠ACD＝45°，由作图知，∠CAP∠DAC＝22.5°，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝∠ACD＝45°，
由作图知，∠CAP∠DAC＝22.5°，
∴∠P＝180°﹣∠ACP﹣∠CAP＝22.5°，
故选：D．
4.（2022 龙岗区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．
（1）求证：四边形AFDE为正方形；
（2）若AD＝2，求四边形AFDE的面积．
【答案】（1）见解答．
（2）4．
【分析】（1）根据题目条件可得四边形AFDE为平行四边形，进而可通过角平分线证明其邻边相等，再加上一个90°角，即可说明是正方形，
（2）根据正方形的性质先求出边长，即可得面积．
【解答】（1）证明：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形．
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠EAD．
∵DE∥AB，
∴∠EDA＝∠FAD．
∴∠EDA＝∠EAD．
∴AE＝DE．
∴四边形AFDE是菱形．
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AFDE是正方形．
（2）解：∵四边形AFDE是正方形，AD＝2，
∴AF＝DF＝DE＝AE2．
∴四边形AFDE的面积为2×2＝4．
5.（2022 禅城区校级二模）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．只要证明△EMD≌△ENF即可解决问题；
（2）只要证明△ADG≌△CDE，可得AG＝EC即可解决问题；
（3）如图，作EH⊥DF于H．想办法求出EH，HM即可解决问题；
【解答】解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF，
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．
（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝ACAD＝4．
（3）如图，作EH⊥DF于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB
∴DF2，
∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥DF，
∴DH＝HF，
∴EHDF，
∵AF∥CD，
∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，
∴FM，
∴HM＝HF﹣FM，
在Rt△EHM中，EM．
1．（2020 广东）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°列式进行计算即可求解．
【解答】解：设多边形的边数是n，则
（n﹣2） 180°＝540°，
解得n＝5．
故选：B．
2．（2022 广东）如图，在 ABCD中，一定正确的是（　　）
A．AD＝CD B．AC＝BD C．AB＝CD D．CD＝BC
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
故选：C．
3．（2019 广州）如图， ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（　　）
A．EH＝HG
B．四边形EFGH是平行四边形
C．AC⊥BD
D．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍
【答案】B
【分析】根据题意和图形，可以判断各个选项中的结论是否成立，本题得以解决．
【解答】解：∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在 ABCD中，AB＝2，AD＝4，
∴EHAD＝2，HGAB＝1，
∴EH≠HG，故选项A错误；
∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，
∴EH，
∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；
由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；
∵点E、F分别为OA和OB的中点，
∴EF，EF∥AB，
∴△OEF∽△OAB，
∴，
即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，
故选：B．
4．（2022 广州）如图，在 ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝22，则△BOC的周长为 　 　．
【答案】21．
【分析】根据平行四边形对角线互相平分，求出OC+OB的长，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OCAC，BO＝ODBD，AD＝BC＝10，
∵AC+BD＝22，
∴OC+BO＝11，
∴△BOC的周长＝OC+OB+BC＝11+10＝21．
故答案为：21．
1．（2019 深圳）如图，已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为4，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列结论正确的有几个（　　）
①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③∠AGE＝∠AFC；④若AF＝1，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】①△BEC≌△AFC （SAS），正确；②由△BEC≌△AFC，得CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，由∠BCE+∠ECA＝∠BCA＝60°，得∠ACF+∠ECA＝60，所以△CEF是等边三角形，正确；③因为∠AGE＝∠CAF+∠AFG＝60°+∠AFG，∠AFC＝∠CFG+∠AFG＝60°+∠AFG，所以∠AGE＝∠AFC，故③正确；④过点E作EM∥BC交AC下点M点，易证△AEM是等边三角形，则EM＝AE＝3，由AF∥EM，则．故④正确，
【解答】解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝120°，
∴∠B＝60°，
∴△ABC，△ACD是等边三角形，
∴∠B＝∠CAF＝60°，
∵BE＝AF，BC＝AC，
∴△BEC≌△AFC （SAS），正确；
②∵△BEC≌△AFC，
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∵∠BCE+∠ECA＝∠BCA＝60°，
∴∠ACF+∠ECA＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
故②正确；
③∵∠AGE＝∠CAF+∠AFG＝60°+∠AFG；
∠AFC＝∠CFG+∠AFG＝60°+∠AFG，
∴∠AGE＝∠AFC，
故③正确；
④过点E作EM∥BC交AC于点M，
易证△AEM是等边三角形，则EM＝AE＝3，
∵AF∥EM，
∴则．
故④正确，
故①②③④都正确．
故选：D．
2．（2023 深圳）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】证得四边形ECDF为平行四边形，当CD＝CD＝4时， ECDF为菱形，此时a＝BE＝BC﹣CE＝6﹣4＝2．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CE∥FD，CD＝AB＝4，
∵将线段AB水平向右平得到线段EF，
∴AB∥EF∥CD，
∴四边形ECDF为平行四边形，
当CD＝CE＝4时， ECDF为菱形，
此时a＝BE＝BC﹣CE＝6﹣4＝2．
故选：B．
3．（2021 深圳）在正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，在BC延长线上取点F使EF＝ED，过点F作FG⊥ED交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N，以下结论中：①tan∠GFB；②NM＝NC；③；④S四边形GBEM．正确的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】利用三角函数求得①正确；证明△DEC≌△FEM（AAS）得DM＝FC，再证△DMN≌△FCN，得②正确；由三角形全等，勾股定理得③错误；BE＝EC＝1，CF1，由三角函数，得④正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵AB＝2，点E是BC边的中点，
∴CE＝1，
∵∠DNM＝∠FNC，
∵FG⊥DE，
∴∠DMN＝90°，
∴∠DMN＝∠NCF＝90°，∠GFB＝∠EDC，
tan∠GFB＝tan∠EDC，①正确；
②∵∠DMN＝∠NCF＝90°，∠MND＝∠FNC，
∴∠MDN＝∠CFN
∵∠ECD＝∠EMF，EF＝ED，∠MDN＝∠CFN
∴△DEC≌△FEM（AAS）
∴EM＝EC，
∴DM＝FC，
∠MDN＝∠CFN，∠MND＝∠FNC，DM＝FC，
∴△DMN≌△FCN（AAS），
∴MN＝NC，故②正确；
③∵BE＝EC，ME＝EC，
∴BE＝ME，
在Rt△GBE和Rt△GME中，BE＝ME，GE＝GE，
∴Rt△GBE≌Rt△GME（HL），
∴∠BEG＝∠MEG，
∵ME＝EC，∠EMC＝∠ECM，
∵∠EMC+∠ECM＝∠BEG+∠MEG，
∴∠GEB＝∠MCE，
∴MC∥GE，
∴，
∵EF＝DE，
CF＝EF﹣EC1，
∴，故③错误；
④由上述可知：BE＝EC＝1，CF1，
∴BF1，
∵tanF＝tan∠EDC，
∴GBBF，
∴S四边形GBEM．故④正确，
故选：B．
4．（2020 广州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为12，再根据S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF的值．
【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，
∴矩形ABCD的面积为48，AC10，
∴AO＝DOAC＝5，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为12，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12AO×EODO×EF，
∴125×EO5×EF，
∴5（EO+EF）＝24，
∴EO+EF，
故选：C．
5．（2022 广州）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】连接EF，由正方形ABCD的面积为3，CE＝1，可得DE1，tan∠EBC，即得∠EBC＝30°，又AF平分∠ABE，可得∠ABF∠ABE＝30°，故AF1，DF＝AD﹣AF1，可知EFDE（1），而M，N分别是BE，BF的中点，即得MNEF．
【解答】解：连接EF，如图：
∵正方形ABCD的面积为3，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵CE＝1，
∴DE1，tan∠EBC，
∴∠EBC＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABF∠ABE＝30°，
在Rt△ABF中，AF1，
∴DF＝AD﹣AF1，
∴DE＝DF，△DEF是等腰直角三角形，
∴EFDE（1），
∵M，N分别是BE，BF的中点，
∴MN是△BEF的中位线，
∴MNEF．
故选：D．
6．（2022 广东）菱形的边长为5，则它的周长是 　．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据菱形的性质即可解决问题；
【解答】解：∵菱形的四边相等，边长为5，
∴菱形的周长为5×4＝20，
故答案为20．
7．（2021 广东）如图，在 ABCD中，AD＝5，AB＝12，sinA．过点D作DE⊥AB，垂足为E，则sin∠BCE＝　 　．
【答案】．
【分析】过点B作BF⊥EC于点F，根据DE⊥AB，AD＝5，sinA，可得DE＝4，根据勾股定理可得AE＝3，再根据平行四边形的性质可得AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，BE＝AB﹣AE＝12﹣3＝9，根据tan∠CEB＝tan∠DCE，可得EF＝3BF，再根据勾股定理可得BF的长，进而可得结果．
【解答】解：如图，过点B作BF⊥EC于点F，
∵DE⊥AB，AD＝5，sinA，
∴DE＝4，
∴AE3，
在 ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，
∴BE＝AB﹣AE＝12﹣3＝9，
∵CD∥AB，
∴∠DEA＝∠EDC＝90°，∠CEB＝∠DCE，
∴tan∠CEB＝tan∠DCE，
∴，
∴EF＝3BF，
在Rt△BEF中，根据勾股定理，得
EF2+BF2＝BE2，
∴（3BF）2+BF2＝92，
解得，BF，
∴sin∠BCE．
故答案为：．
8．（2023 广东）综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒．
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：（1）直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系；
（2）证明（1）中你发现的结论．
【答案】（1）∠ABC＝∠A1B1C1；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可求解；
（2）根据勾股定理和勾股定理的逆定理和正方形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∠ABC＝∠A1B1C1；
（2）∵A1B1为正方形对角线，
∴∠A1B1C1＝45°，
设每个方格的边长为1，
则AB，
AC＝BC，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴由勾股定理的逆定理得△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠A1B1C1．
1．在平行四边形ABCD中，∠A＝100°，则∠C的大小是（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【答案】D
【分析】根据平行四边形的对角相等，即可求得答案．
【解答】解：在 ABCD中，∠A＝100°，且∠A＝∠C，
∴∠C＝∠A＝100°．
故选：D．
2．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠B＝100°，则∠DEA等于（　　）
A．100° B．80° C．60° D．40°
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质求解．
【解答】解：在 ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DAB＝180°﹣∠B＝180°﹣100°＝80°．
∵AE平分∠DAB，
∴∠AED∠DAB＝40°．
故选：D．
3．如图，△ABC是等边三角形，P是形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为18，则PD+PE+PF＝（　　）
A．18 B．9
C．6 D．条件不够，不能确定
【答案】C
【分析】因为要求证明PD+PE+PF的值，而PD、PE、PF并不在同一直线上，构造平行四边形，求出等于AB，根据三角形的周长求出AB即可．
【解答】解：延长EP交AB于点G，延长DP交AC与点H，
∵PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，
∴四边形AFPH、四边形PDBG均为平行四边形，
∴PD＝BG，PH＝AF．
又∵△ABC为等边三角形，
∴△FGP和△HPE也是等边三角形，
∴PE＝PH＝AF，PF＝GF，
∴PE+PD+PF＝AF+BG+FG＝AB6，
故选：C．
4．如图，已知平行四边形ABCD中，∠B＝4∠A，则∠C＝（　　）
A．144° B．72° C．36° D．18°
【答案】C
【分析】由在 ABCD中，可得∠A+∠B＝180°，又由∠B＝4∠A，即可求得∠A的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A＝∠C，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝4∠A，
∴∠C＝∠A180°＝36°．
故选：C．
5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，AB上，满足DE＝AF，连接CE，DF，点P，Q分别是DF，CE的中点，连接PQ．若∠ADF＝α．则∠PQE可以用α表示为（　　）
A．α B．45°﹣α C． D．3α﹣45°
【答案】B
【分析】连接DQ，根据正方形的性质先证明△ADF≌△DCE，得出∠DCE＝α，DF＝CE，进而得出DQ＝PD，∠PDQ＝90°﹣2α，根据三角形的内角和表示出∠PQD即可求解．
【解答】解：连接DQ，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠CDE＝90°，
∵AF＝DE，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴DF＝CE，∠ADF＝∠DCE＝α，
∵点P，Q分别是DF，CE的中点，
∴PDDF＝DQCE，
∴∠DPQ＝∠DQP，∠CDQ＝α，
∴∠PDQ＝90°﹣2α，∠DQE＝2α，
∴∠PQD45°+α，
∴∠PQE＝45°+α﹣2α＝45°﹣α，
故选：B．
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，BC＝12，以点O为圆心作圆，若⊙O与直线AD相交、与直线CD相离，则⊙O的半径r的取值范围是（　　）
A． B． C． D．r＜6
【答案】C
【分析】分别求出⊙O与直线AD、直线CD相切时的半径即可解答．
【解答】解：当⊙O与直线AD相切时，rAB，
当⊙O与直线CD相切时，rBC＝6，
∴⊙O与直线AD相交、与直线CD相离，⊙O的半径r的取值范围是r＜6，
故选：C．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D在BC边上，以BD，BA为边作 BAED，则DE的长度为 ．
【答案】．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据平行四边形对边相等即可得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，
∴，
∵四边形BAED是平行四边形，
∴，
故答案为：．
8．如图，E是直线CD上的一点．已知 ABCD的面积为52cm2，则△ABE的面积为　 　cm2．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行四边形面积的表示形式及三角形的面积表达式可得出△ABE的面积为平行四边形的面积的一半．
【解答】解：根据图形可得：△ABE的面积为平行四边形的面积的一半，
又∵ ABCD的面积为52cm2，
∴△ABE的面积为26cm2．
故答案为：26．
9．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（0，2），B（1，0），C（3，2），点D在第一象限内，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是 　（2，4）　．
【答案】D（2，4）．
【分析】根据题意，画出图形，即可得出结论．
【解答】解：由题意，画出平行四边形ABCD，如图所示：
由图可知：D（2，4）．
故答案为：D（2，4）．
10．如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，求证：四边形BEDF是平行四边形．
【答案】证明见解答过程．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，∠ABC＝∠ADF，又由BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，可证得∠CBE＝∠CFD，即可证得BE∥DF，则可判定四边形BEDF是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，
∴∠EDF＝∠CFD，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴，，
∴∠CBE＝∠EDF，
∴∠CBE＝∠CFD，
∴BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
11．如图，四边形ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F、G．
求证：AF＝DG
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD，再利用同角的余角相等求出∠BAF＝∠ADG，再利用“角角边”证明△BAF和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AF＝DG，
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°，
∵BF⊥AE，DG⊥AE，
∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，
∵∠DAG+∠BAF＝90°，
∴∠ADG＝∠BAF，
在△BAF和△ADG中，
∵，
∴△BAF≌△ADG（AAS），
∴AF＝DG，
12．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E、点F分别是对角线AC上的点，且AE＝CF，过点E作EG⊥BF，交BC于点G，平移BF，使B、F的对应点分别是G、H，连接DH．
（1）当△ADE是以AE为腰长的等腰三角形时，求CE的长；
（2）连接BF、DE，判断四边形DEGH的形状，并说明理由．
【答案】（1）CE的长为2或5；
（2）四边形DEGH是矩形，证明见解答．
【分析】（1）运用勾股定理可得AC＝10，分两种情况：当AE＝AD＝8时，则CE＝AC﹣AE＝10﹣8＝2；当AE＝DE时，∠EAD＝∠EDA，推出∠ECD＝∠EDC，得DE＝CE，进而得出AE＝CE，可得CE＝5；
（2）先证明△ADE≌△CBF（SAS），可得DE＝BF，∠AED＝∠CFB，即∠DEC＝∠AFB，由平行线的判定可得DE∥BF，结合平移可得DE∥GH，DE＝GH，证得四边形DEGH是平行四边形，再证得∠EGH＝90°，即可得出四边形DEGH是矩形．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，BC＝AD＝8，CD＝AB＝6，
∴AC10，
当AE＝AD＝8时，
则CE＝AC﹣AE＝10﹣8＝2；
当AE＝DE时，∠EAD＝∠EDA，
∵∠EAD+∠ECD＝90°，∠EDA+∠EDC＝90°，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴DE＝CE，
∴AE＝CE，
∴CEAC＝5；
综上所述，当△ADE是以AE为腰长的等腰三角形时，CE的长为2或5；
（2）四边形DEGH是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB，
∴180°﹣∠AED＝180°﹣∠CFB，
即∠DEC＝∠AFB，
∴DE∥BF，
由平移得：BF∥GH，BF＝GH，
∴DE∥GH，DE＝GH，
∴四边形DEGH是平行四边形，
∵EG⊥BF，
∴EG⊥GH，
∴∠EGH＝90°，
∴四边形DEGH是矩形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第四章 图形的性质
第十七节 平行四边形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 平行四边形的概念和性质 ☆☆ 平行四边形知识内容主要包括平行四边形的性质与判定、矩形的性质与判定、菱形的性质与判定、正方形的性质与判定，作为比较重要的几何知识，在广东中考中占有一定的考查比重，从往年考查来看，考查的频率还是相对较高，基础知识的单独考查一般就是选择或填空题，若考查知识的综合性运用则在解答题里以中等或较难的综合题进行考查，例如和三角形全等、解直角三角形以及函数动点问题进行综合应用考查。平行四边形的复习要多注重基础，性质与判定的掌握是重点，几何思维的培养是难点，多进行反复练习，达到迎接中考的水准，便可显得轻松自如。
考点2 平行四边形的判定 ☆☆
考点3 平行四边形的判定与性质 ☆☆
考点4矩形的性质与判定 ☆☆
考点5菱形的性质与判定 ☆☆
考点6正方形的性质与判定 ☆☆
考点1平行四边形的概念和性质
1.平行四边形的概念
两组对边分别_____的四边形叫做平行四边形。
平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。
2.平行四边形的性质
（1）平行四边形的邻角_____，对角_____。
（2）平行四边形的对边_____且_____。
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
（3）平行四边形的对角线互相平分。
（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。
考点2 平行四边形的判定
（1）定义：两组对边分别_____的四边形是平行四边形
（2）定理1：两组对角分别_____的四边形是平行四边形
（3）定理2：两组对边分别_____的四边形是平行四边形
（4）定理3：对角线互相_____的四边形是平行四边形
（5）定理4：一组对边_____且_____的四边形是平行四边形
考点3 平行四边形的性质与判定
（1）平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
（2）两条平行线的距离
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
平行线间的距离处处相等。
（3）平行四边形的面积
S平行四边形=底边长×高=ah
考点4矩形的性质与判定
1.矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2.矩形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
（2）矩形的四个角都是直角
（3）矩形的对角线相等
（4）矩形是轴对称图形
3.矩形的判定
（1）定义：有一个角是_____的平行四边形是矩形
（2）定理1：有三个角是_____的四边形是矩形
（3）定理2：对角线_____的平行四边形是矩形
4.矩形的面积
S矩形=长×宽=ab
考点5 菱形的性质与判定
1.菱形的概念
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2.菱形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
（2）菱形的四条边相等
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
（4）菱形是轴对称图形
3.菱形的判定
（1）定义：有一组邻边_____的平行四边形是菱形
（2）定理1：四边都_____的四边形是菱形
（3）定理2：对角线互相_____的平行四边形是菱形
4.菱形的面积
S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
考点6 正方形的性质与判定
1.正方形的概念
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2.正方形的性质
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
3.正方形的判定
（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
先证它是_____，再证有一组邻边相等。
先证它是_____，再证有一个角是直角。
（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：
先证明它是平行四边形；
再证明它是菱形（或矩形）；
最后证明它是矩形（或菱形）
4.正方形的面积
设正方形边长为a，对角线长为b
S正方形=
考点1平行四边形的概念和性质
◇例题
1.（2023 新会区一模）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是（　　）
A．2 B．1 C．3 D．3.5
◆变式训练
1．（2023 南海区校级三模）如图，将 ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠1等于（　　）
A．110° B．35° C．70° D．55°
2．（2023 佛山模拟）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝4，BD＝6，则AB的长可能是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2023 蓬江区校级三模）如图，在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝120°，则∠D的度数为（　　）
A．120° B．60° C．30° D．150°
考点2 平行四边形的判定
◇例题
1.（2022 海珠区校级模拟）如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形．
◆变式训练
1．（2023 香洲区校级一模）下列条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB＝AD，CB＝CD D．AB∥CD，AB＝CD
2．（2023 中山市模拟）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．求证：四边形ABCD是平行四边形．
3．（2023 丰顺县一模）如图，点E，A，C，F在同一直线上，ED∥BF，AE＝CF，∠EDA＝∠FBC．
求证：（1）△ADE≌△CBF；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
考点3 平行四边形的判定与性质
◇例题
1.（2023 榕城区一模）如图，将 ABCD的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F，AE＝CF．求证：四边形DEBF是平行四边形．
◆变式训练
1．（2023 阳山县二模）如图1，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论：
①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形；
②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（　　）
A．①②都正确 B．①错误，②正确
C．①②都错误 D．①正确，②错误
2．（2023 丰顺县一模）如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC边上，添加下列条件中的一项，不能保证四边形AFCE是平行四边形的是（　　）
①AF＝CE；②BF＝DE；③∠AFC＝∠AEC；④∠BAF＝∠DCE
A．① B．② C．③ D．④
3．（2023 东莞市一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是边AC、AB的中点，连接CE、DE，过D点作DF∥CE交BC的延长线于F点．
（1）证明：四边形DECF是平行四边形；
（2）若AB＝13cm，AC＝5cm，求四边形DECF的周长．
4．（2023 封开县二模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，且O是BD的中点
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，AB＝8，求四边形ABCD的周长．
考点4 矩形的判定与性质
◇例题
1.（2023 越秀区模拟）如图，要使 ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　）
A．∠ABC＝90° B．∠ABD＝∠CBD C．AC⊥BD D．AB＝BC
2.（2024 深圳模拟）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F．
（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：　 　，使得OE＝OF，并说明理由；
（2）若OE＝OF，AB＝6，BC＝8，求EF的长．
◆变式训练
1．（2023 曲江区校级三模）如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点．若AB＝6，BC＝8，则△BOE的周长为（　　）
A．10 B．8+2 C．8+2 D．14
2．（2023 遂溪县一模）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若∠ACB＝30°，AB＝8，则MN的长为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
3．（2023 揭阳一模）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，点E为AD的中点．若AB＝6，BC＝8，则△BOE的周长为（　　）
A．12 B． C． D．14
4．（2023 东莞市校级模拟）如图，在等腰三角形MNO中，MO＝NO，点Q是MN中点，点S是QO中点，过点O作OP∥MN交NS的延长线于点P，连接MP．
求证：四边形OPMQ是矩形．
5．（2023 东莞市校级模拟）如图，在等腰三角形MNO中，MO＝NO，点Q是MN中点，点S是QO中点，过点O作OP∥MN交NS的延长线于点P，连接MP．
求证：四边形OPMQ是矩形．
6．（2023 榕城区二模）如图， ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．
（1）求证：BE＝DF；
（2）设k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．
考点5 菱形的判定与性质
◇例题
1.（2023 潮州模拟）如图，四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点O，DH⊥AB交AO于点E，连接OH，下列结论错误的是（　　）
A．AC OH＝AB DH B．△AEH≌△DEC
C．OB2+OC2＝AD2 D．∠DAO＝∠ODE
2.（2022 越秀区校级二模）如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（　　）
A．点D在∠BAC的平分线上
B．AB＝AC
C．∠A＝90°
D．点D为BC的中点
3.（2023 新会区校级一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作∠ADC的角平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD∥CE．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AD＝10，△ACD的周长为36，求菱形AECD的面积．
◆变式训练
1．（2024 深圳模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．24 B．30 C． D．
2．（2023 高要区一模）如图，点E，F分别在 ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连接DE，DF．若∠1＝∠2．
（1）证明：△DAE≌△DCF．
（2）证明： ABCD为菱形．
3．（2023 南海区一模）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E、F、G分别是AB、CE、AC中点，直线DF交AC点G．
（1）求证：四边形AEDG是菱形；
（2）若DG⊥CE，求∠BCE的度数．
考点6 正方形的判定与性质
◇例题
1.（2022 越秀区二模）下列命题中，真命题是（　　）
A．有两边相等的平行四边形是菱形
B．有一个角是直角的四边形是直角梯形
C．四个角相等的菱形是正方形
D．两条对角线相等的四边形是矩形
2.（2023 潮阳区一模）如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F．已知DE，则CF的长为（　　）
A． B．2 C． D．2
3.（2023 东莞市校级二模）如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为26；④当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
◆变式训练
1．（2023 南海区校级一模）给出下列判断，正确的是（　　）
A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．
3．（2023 揭阳二模）如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，以AD的长为半径画弧，交对角线AC于点E，再分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于图中的点F处，连接AF并延长，与BC的延长线交于点P，则∠P＝（　　）
A．90° B．45° C．30° D．22.5°
4.（2022 龙岗区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．
（1）求证：四边形AFDE为正方形；
（2）若AD＝2，求四边形AFDE的面积．
5.（2022 禅城区校级二模）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．
1．（2020 广东）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2022 广东）如图，在 ABCD中，一定正确的是（　　）
A．AD＝CD B．AC＝BD C．AB＝CD D．CD＝BC
3．（2019 广州）如图， ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（　　）
A．EH＝HG
B．四边形EFGH是平行四边形
C．AC⊥BD
D．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍
4．（2022 广州）如图，在 ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝22，则△BOC的周长为 　 　．
1．（2019 深圳）如图，已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为4，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列结论正确的有几个（　　）
①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③∠AGE＝∠AFC；④若AF＝1，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023 深圳）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2021 深圳）在正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，在BC延长线上取点F使EF＝ED，过点F作FG⊥ED交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N，以下结论中：①tan∠GFB；②NM＝NC；③；④S四边形GBEM．正确的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2020 广州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2022 广州）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（　　）
A． B． C．2 D．
6．（2022 广东）菱形的边长为5，则它的周长是 　．
7．（2021 广东）如图，在 ABCD中，AD＝5，AB＝12，sinA．过点D作DE⊥AB，垂足为E，则sin∠BCE＝　 　．
8．（2023 广东）综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒．
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：（1）直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系；
（2）证明（1）中你发现的结论．
1．在平行四边形ABCD中，∠A＝100°，则∠C的大小是（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
2．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠B＝100°，则∠DEA等于（　　）
A．100° B．80° C．60° D．40°
3．如图，△ABC是等边三角形，P是形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为18，则PD+PE+PF＝（　　）
A．18 B．9
C．6 D．条件不够，不能确定
4．如图，已知平行四边形ABCD中，∠B＝4∠A，则∠C＝（　　）
A．144° B．72° C．36° D．18°
5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，AB上，满足DE＝AF，连接CE，DF，点P，Q分别是DF，CE的中点，连接PQ．若∠ADF＝α．则∠PQE可以用α表示为（　　）
A．α B．45°﹣α C． D．3α﹣45°
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，BC＝12，以点O为圆心作圆，若⊙O与直线AD相交、与直线CD相离，则⊙O的半径r的取值范围是（　　）
A． B． C． D．r＜6
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D在BC边上，以BD，BA为边作 BAED，则DE的长度为 ．
8．如图，E是直线CD上的一点．已知 ABCD的面积为52cm2，则△ABE的面积为　 　cm2．
9．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（0，2），B（1，0），C（3，2），点D在第一象限内，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是 　 　．
10．如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，求证：四边形BEDF是平行四边形．
11．如图，四边形ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F、G．
求证：AF＝DG
12．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E、点F分别是对角线AC上的点，且AE＝CF，过点E作EG⊥BF，交BC于点G，平移BF，使B、F的对应点分别是G、H，连接DH．
（1）当△ADE是以AE为腰长的等腰三角形时，求CE的长；
（2）连接BF、DE，判断四边形DEGH的形状，并说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑