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第四章 图形的性质
第十八节 圆
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1：圆的有关概念与性质 ☆☆☆ 圆的知识内容在全国各地的中考均属于必考知识，其中主要包括：圆的有关概念、圆的对称性、圆周角及圆心角、直线与圆的位置关系、扇形弧长及面积、圆锥侧面积的计算等内容，广东中考每年涉及到圆的考查有15分上下，比重是比较大的，多以中等难度的选择、填空题以及中等较偏难的综合性解答题考查为主，再选择题或者填空考查对于大多数考生来说属于较易拿分题，在解答题中，证切线是比较有机会考查且拿分的，一轮复习的时候务必掌握好相关基础知识，力争把非难题的分值拿下来，平时多加练习，万变不离其宗，回归知识本身，合理运用知识解答。
考点2：点与圆、直线与圆的位置关系 ☆☆☆
考点3：与圆有关的计算 ☆☆☆
考点1：圆的有关概念与性质
1．与圆有关的概念和性质
圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．
弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．
弦心距：圆心到弦的距离．
2．圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；
圆具有旋转不变性．
3．圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆（圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小）．
4．垂直于弦的直径
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理及其推论可概括为：
过圆心
垂直于弦
直径 平分弦 知二推三
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧
5．圆心角、弧、弦之间的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．
6．圆周角
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论1：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
考点2：点与圆、直线与圆的位置关系
1．点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
点P在圆外d＞r；
点P在圆上d＝r；
点P在圆内d＜r．
2.圆的确定：
①过一点的圆有无数个；
②过两点的圆有无数个；
③经过在同一直线上的三点不能作圆；
④不在同一直线上的三点确定一个圆。
3．直线和圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
图形
公共点个数 0个 1个 2个
数量关系 d>r d=r d（1）切线的判定
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)
（2）切线的性质：切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径．
（3）切线长和切线长定理
切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
4．三角形的外接圆相关概念
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．
5．三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．
考点3：与圆有关的计算
1.正多边形的有关概念：
(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.
(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.
(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）
(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.
2.正多边形与圆的关系：
(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.
（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.
（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
3.正多边形性质：
(1)任何正多边形都有一个外接圆.
(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
（5）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是；所以正n边形的中心角等于它的外角.
（6）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.
4．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=；扇形的面积S==．
5．圆锥与侧面展开图
（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
（2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，
6．圆锥的侧面积为S圆锥侧=．
圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．
在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．
考点1：圆的有关概念与性质
◇例题
1.（2022 南山区校级模拟）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是（　　）
A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”
B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”
C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”
D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”
【答案】C
【分析】根据两点确定一条直线，圆的认识，菱形的性质以及矩形的性质进行判断即可．
【解答】解：A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“四边形的不稳定性”，故本选项错误，不合题意；
B．车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离相等”，故本选项错误，不合题意；
C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”，故本选项正确，符合题意
D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故本选项错误，不合题意．
故选：C．
2.（2023 陆丰市二模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝130°，OA＝3，若弦BC∥AO，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接OC，如图，利用等腰三角形的性质和平行线的性质可计算出∠AOC＝50°，然后根据弧长公式计算的长．
【解答】解：连接OC，如图，
∵BC∥OA，
∴∠AOB+∠OBC＝180°，∠C＝∠AOC，
∵∠AOB＝130°，
∴∠OBC＝50°，
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠OBC＝50°，
∴∠AOC＝50°，
∴的长．
故选：C．
3.（2023 东莞市校级模拟）如图，在半径为13的⊙O中，M为弦AB的中点，若OM＝12，则AB的长为 　．
【答案】10．
【分析】连接OM，OA，根据垂径定理得出OM⊥AB，根据勾股定理求出AM，再求出AB即可．
【解答】解：连接OM，OA，
∵M为AB的中点，O过圆心O，
∴OM⊥AB，AM＝BM，
∴∠OMA＝90°，
由勾股定理得：BM＝AM5，
∴AB＝AM+BM＝10，
故答案为：10．
4.（2023 龙岗区校级一模）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为 　 　m．
【答案】1.3．
【分析】设半径为r m，根据垂径定理可以列方程求解即可．
【解答】解：设圆的半径为r m，
由题意可知，DFCDm，EF＝2.5m，
Rt△OFD中，OF，r+OF＝2.5，
所以r＝2.5，
解得r＝1.3．
故答案为：1.3．
5.（2023 东莞市一模）如图，AB是⊙O的弦，C是的中点，OC交AB于点D，若AB＝8cm，CD＝2cm，求⊙O的半径．
【答案】⊙O的半径为5cm．
【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系和垂径定理得出各线段之间的关系，再利用勾股定理求解出半径即可．
【解答】解：如图，连接OA，
∵C是的中点，
∴D是弦AB的中点，
∴OC⊥AB，AD＝BD＝4cm，
∵OD＝3cm，
在Rt△OAD中，
OA2＝AD2+OD2，即OA2＝42+（OA﹣2）2，
∴OA＝5m．
即⊙O的半径为5cm．
◆变式训练
1．（2022 潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（　　）
A． B．8 C．6 D．5
【答案】D
【分析】连结CD，根据直角三角形斜边中线定理求解即可．
【解答】解：如图，连结CD，
∵CD是直角三角形斜边上的中线，
∴CDAB10＝5．
故选：D．
2．（2023 福田区校级三模）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OCOD，则∠ABD的度数为（　　）
A．90° B．95° C．100° D．105°
【答案】D
【分析】连接OB，则OCOB，由OC⊥AB，则∠OBC＝30°，再由OD∥AB，即可求出答案．
【解答】解：如图：
连接OB，则OB＝OD，
∵OCOD，
∴OCOB，
∵OC⊥AB，
∴∠OBC＝30°，
∵OD∥AB，
∴∠BOD＝∠OBC＝30°，
∴∠OBD＝∠ODB＝75°，
∠ABD＝30°+75°＝105°．
故选：D．
3．（2023 荔湾区校级二模）下列语句中，正确的有（　　）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③长度相等的两条弧是等弧；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理等对每一项进行分析即可求出正确答案．
【解答】解：①同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；
②平分弦的直径垂直于弦，被平分的弦不能是直径，故此选项错误；
③能重合的弧是等弧，而长度相等的弧不一定能够重合，故此选项错误；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，此选项正确；
故正确的有1个，
故选：A．
4．（2022 龙岗区模拟）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（　　）
A．25° B．50° C．65° D．75°
【答案】C
【分析】根据圆周角定理得出∠AOC＝2∠ABC，求出∠AOC＝50°，再根据等腰三角形的性质和进行内角和定理求出即可．
【解答】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC＝75°，
∴∠AOC75°＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA（180°﹣∠AOC）＝65°，
故选：C．
5．（2023 封开县一模）已知：如图OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（　　）
A．45° B．40° C．35° D．50°
【答案】A
【分析】判断出∠AOB＝90°，再利用圆周角定理求解．
【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠ACB∠AOB＝45°．
故选：A．
6．（2023 佛山一模）如图，在⊙O中，∠O＝50°，则∠A的度数是（　　）
A．25° B．30° C．50° D．100°
【答案】A
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【解答】解：如图，在⊙O中，∠O＝50°，∠A∠O，则∠A＝25°．
故选：A．
7．（2023 南海区校级模拟）如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则⊙O半径是（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【分析】连接OA，如图，先根据垂径定理得到AE＝BE＝8，然后利用勾股定理计算出OA即可．
【解答】解：连接OA，如图，
∵CD⊥AB，
∴AE＝BEAB16＝8，
在Rt△OAE中，OA10，
即⊙O半径为10．
故选：D．
8．（2023 荔湾区校级二模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是 　　．
【答案】．
【分析】根据垂径定理得到AE＝EC，根据勾股定理求出AC，证明△AEO∽△AFC，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
∵AB⊥CD，
∴∠AFC＝∠AEO＝90°，
∵OE＝3，OB＝5，
∴AE4，
∴AC＝8，
∵∠A＝∠A，∠AEO＝∠AFC，
∴△AEO∽△AFC，
∴，即，
解得：FC，
∵CD⊥AB，
∴CD＝2CF，
故答案为：．
9．（2023 东莞市校级一模）如图，某同学准备用一根内半径为5cm的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度AB为8cm，则槽的深度CD为 　2　cm．
【答案】2．
【分析】根据垂径定理得到，再利用勾股定理即可求出答案．
【解答】解：如图，由题意可知，OA＝5cm，OC⊥AB，则cm，
在Rt△ADO中，由勾股定理得，
OD3（cm），
∴CD＝OC﹣OD
＝5﹣3
＝2（cm）．
故答案为2．
考点2：点与圆、直线与圆的位置关系
◇例题
1.（2023 南海区校级模拟）已知在平面直角坐标系中，P点坐标为（3，4），若以原点O为圆心，半径为5画圆，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定
【分析】先计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法求解．
【解答】解：∵点P的坐标是（3，4），
∴OP＝＝5，
而⊙O的半径为5，
∴OP等于圆的半径，
∴点P在⊙O上．
故选：B．
2.（2022 潮南区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD＝6，DE＝5，求⊙O的直径．
【答案】（1）直线DE与⊙O相切，理由见解析；
（2）．
【分析】（1）连接DO，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由∠BDC＝90°，E为BC的中点得到DE＝CE＝BE，则利用等腰三角形的性质得∠EDC＝∠ECD，∠ODC＝∠OCD，由于∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，于是根据切线的判定定理即可得到DE与⊙O相切；
（2）根据勾股定理和相似三角形的判定与性质即可得到结论．
【解答】解：（1）直线DE与⊙O相切，
理由：连接DO，如图，
∵∠BDC＝90°，E为BC的中点，
∴DE＝CE＝BE，
∴∠EDC＝∠ECD，
又∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
而∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切；
（2）由（1）得，∠CDB＝90°，
∵CE＝EB，
∴DEBC，
∴BC＝10，
∴BD8，
∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，
∴△BCA∽△BDC，
∴，
∴，
∴，
∴⊙O直径的长为．
◆变式训练
1.（2023 斗门区一模）已知的⊙O半径为3cm，点P到圆心O的距离OP＝2cm，则点P（　　）
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．无法确定
【分析】根据点到圆心的距离d和圆的半径r之间的大小关系，即可判断；
【解答】解：∵⊙O的半径为r＝3cm，点P到圆心的距离OP＝d＝2cm，
∴d＜r，
∴点P在圆内，
故选：C．
2．（2022 金平区校级模拟）在平面直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为（3，5），半径为方程x2﹣2x﹣15＝0的一个根，那么⊙A与x轴的位置关系是 　 ．
【答案】相切．
【分析】解方程x2﹣2x﹣15＝0得到⊙A的半径为5，于是得到⊙A的半径＝圆心A到x轴的距离，即可得到结论．
【解答】解：解方程x2﹣2x﹣15＝0得，x1＝5，x2＝﹣3，
∴⊙A的半径为5，
∵⊙A的圆心坐标为（3，5），
∴点A到x轴的距离为5，
∴⊙A的半径＝圆心A到x轴的距离，
∴⊙A与x轴的位置关系是相切，
故答案为：相切．
3．（2023 茂南区二模）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，OP＝2，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）2π．
【分析】（1）根据等边对等角得∠CPB＝∠CBP，根据垂直的定义得∠OBC＝90°，即OB⊥CB，则CB与⊙O相切；
（2）根据三角形的内角和定理得到∠APO＝60°，推出△PBD是等边三角形，得到∠PCB＝∠CBP＝60°，求得BC＝2，根据勾股定理得到OB2，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）CB与⊙O相切，
理由：连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵CP＝CB，
∴∠CPB＝∠CBP，
∵∠CPB＝∠APO，
∴∠CBP＝∠APO，
在Rt△AOP中，
∵∠A+∠APO＝90°，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
即：∠OBC＝90°，
∴OB⊥CB，
又∵OB是半径，
∴CB与⊙O相切；
（2）∵∠A＝30°，∠AOP＝90°，OP＝2，
∴∠APO＝60°，AP＝2OP＝4，
∴AO＝BO2，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠A＝30°，
∴∠BOP＝∠APO﹣∠OBA＝30°＝∠OBP，
∴OP＝PB＝2，
∵∠BPD＝∠APO＝60°，PC＝CB，
∴△PBC是等边三角形，
∴∠PCB＝∠CBP＝60°，
∴BC＝PB＝2，
∴图中阴影部分的面积＝S△OBC﹣S扇形OBD2×22π．
4．（2022 香洲区校级三模）如图，已知△ABC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，点E为的中点，连接CE交AB于点F，且AF＝AC．
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，sinA，求CE的长．
【答案】（1）见解答；
（2）CE．
【分析】（1）连接BE，求出∠EBD+∠BFE＝90°，推出∠ACE＝∠AFC，∠EBD＝∠BCE，求出∠ACE+∠BCE＝90°，根据切线的判定推出即可．
（2）根据BC＝4，sinA，求出AB＝5，AC＝3，AF＝3，BF＝2，根据∠EBD＝∠BCE，∠E＝∠E证△BEF∽△CEB，推出EC＝2EB，设EB＝x，EC＝2x，由勾股定理得出x2+4x2＝16，求出即可．
【解答】（1）AC与⊙O相切，
证明：连接BE，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠E＝90°，
∴∠EBD+∠BFE＝90°，
∵AF＝AC，
∴∠ACE＝∠AFC，
∵E为弧BD中点，
∴∠EBD＝∠BCE，
∴∠ACE+∠BCE＝90°，
∴AC⊥BC，
∵BC为直径，
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：∵⊙O的半为2
∴BC＝4，
在Rt△ABC中，sinA，
∴AB＝5，
∴AC3，
∵AF＝AC，
∴AF＝3，BF＝5﹣3＝2，
∵∠EBD＝∠BCE，∠E＝∠E，
∴△BEF∽△CEB，
∴，
∴EC＝2EB，
设EB＝x，EC＝2x，
由勾股定理得：x2+4x2＝16，
∴x（负数舍去），
即CE．
考点3：与圆有关的计算
◇例题
1．（2023 德庆县二模）若扇形的半径是12cm弧长是20πcm，则扇形的面积为（　　）
A．120πcm2 B．240πcm2 C．360πcm2 D．60πcm2
【答案】A
【分析】根据扇形的面积公式，计算即可．
【解答】解：该扇形的面积为：（cm2）．
故选：A．
2.（2023 南海区模拟）如图，已知圆O的内接正六边形的边长为4，H为边AF的中点，则图中阴影部分的面积是 　 ．
【答案】4．
【分析】根据圆内接正六边形的性质得出∠COD＝60°，OC＝OD＝CD＝4，CD∥AF，由S△HCD＝2S△COD，得出S阴影部分＝S扇形COD+S△COD，根据扇形面积、正三角形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OC、OD，
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，
∴∠COD，OC＝OD＝CD＝4，CD∥AF，
∴S△HCD＝2S△COD，
∴S阴影部分＝S扇形COD+S△COD
4×（4）
4，
故答案为：4．
3．（2023 东莞市校级模拟）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C，D分别在OA，上，连接BC，CD，点D，O关于直线BC对称，的长为π，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接BD、OD，交BC与E，根据对称求出BD＝OB，求出△DOB是等边三角形，求出∠DOB＝60°，求出∠AOD＝30°根据弧长公式求出OB＝6，根据阴影部分的面积＝S扇形BOD+S△COE﹣S△BOE求得即可．
【解答】解：连接BD、OD，交BC与E，
由题意可知，BD＝BO，
∵OD＝OB，
∴OD＝OB＝DB，
∴∠BOD＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝30°，
∵的长为π，
∴，
∴r＝6，
∴OB＝6，
∴OE3，BEOB＝3，
∴CEOE，
∴阴影部分的面积＝S扇形BOD+S△COE﹣S△BOE6π﹣3．
故选：A．
◆变式训练
1．（2023 南山区二模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程 中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（　　）
A．π B．2π C． D．
【答案】D
【分析】如图，过A作AC⊥OB于C，得到圆的内接正八边形的圆心角为45°，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：如图，过A作AC⊥OB于C，
∵圆的内接正八边形的圆心角为45°，OA＝1，
∴AC＝OC，
∴S△OAB1，
∴这个圆的内接正八边形的面积为82，
故选：D．
2．（2023 东莞市一模）如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于（　　）
A． B． C．π D．2π
【答案】C
【分析】由“凸轮”的外围是以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成，得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝1，然后根据弧长公式计算出三段弧长，三段弧长之和即为凸轮的周长．
【解答】
解：∵△ABC为正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝1，
∴，
根据题意可知凸轮的周长为三个弧长的和，
即凸轮的周长3π．
故选：C．
3．（2023 蕉岭县一模）如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D＝30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝3cm；③扇形OCAB的面积为12π；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】利用垂径定理可对①进行判断；根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠D＝60°，则△OAC为等边三角形，根据等边三角形的性质和垂径定理可计算出BC＝6cm，则可对②进行判断；通过判断△AOB为等边三角形，再根据扇形的面积公式可对③进行判断；利用AB＝AC＝OA＝OC＝OB可对④进行判断．
【解答】解：∵点A是劣弧的中点，
∴OA⊥BC，所以①正确；
∵∠AOC＝2∠D＝60°，OA＝OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴BC＝2×66，所以②错误；
同理可得△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴扇形OCAB的面积为12π，所以③正确；
∵AB＝AC＝OA＝OC＝OB，
∴四边形ABOC是菱形，所以④正确．
故选：D．
1．（2023 广东）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝（　　）
A．20° B．40° C．50° D．80°
【答案】B
【分析】由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，而∠BAC＝50°，即得∠ABC＝40°，故∠D＝∠ABC＝40°，
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝40°，
∵，
∴∠D＝∠ABC＝40°，
故选：B．
2．（2023 广州）如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A＝α，则（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分别为（　　）
A．2r，90°﹣α B．0，90°﹣α C．2r， D．0，
【答案】D
【分析】如图，连接IF，IE．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可．
【解答】解：如图，连接IF，IE．
∵△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴BF＝BD，CD＝CE，IF⊥AB，IE⊥AC，
∴BF+CE﹣BC＝BD+CD﹣BC＝BC﹣BC＝0，∠AFI＝∠AEI＝90°，
∴∠EIF＝180°﹣α，
∴∠EDF∠EIF＝90°α．
故选：D．
3．（2022 深圳）已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，DE为圆的直径，BC为圆O切线，C为切点，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为（　　）
A．1：3 B．1：2 C．：2 D．（1）：1
【答案】B
【分析】根据圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，可以先证明△ABC和△COD，再由∴S△COD＝S△COES△DCE，进而得出S△ABCS△DCE，即△ABC和△CDE面积之比为1：2．
【解答】解：解法一：如图，连接OC，
∵BC是⊙O的切线，OC为半径，
∴OC⊥BC，
即∠OCB＝90°，
∴∠COD+∠OBC＝90°，
又∵∠ABE＝90°，即∠ABC+∠OBC＝90°，
∴∠ABC＝∠COD，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DCE＝90°，即∠OCE+∠OCD＝90°，
又∠A+∠E＝90°，而∠E＝∠OCE，
∴∠A＝∠OCD，
在△ABC和△COD中，
，
∴△ABC≌△COD（AAS），
又∵EO＝DO，
∴S△COD＝S△COES△DCE，
∴S△ABCS△DCE，
即△ABC和△CDE面积之比为1：2；
解法二：如图，连接OC，过点B作BF⊥AC，
∵BC是⊙O的切线，OC为半径，
∴OC⊥BC，
即∠OCB＝90°，
∴∠COD+∠BCD＝90°，
又∵∠ABE＝90°，即∠ABC+∠BCD＝90°，
∴∠ACB＝∠COD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
又∵∠A+∠E＝90°＝∠ODC+∠E，
∴∠A＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴AFACCD，
∵△ABF∽△DEC，
∴，
∴△ABC和△CDE面积之比（AC BF）：（CD EC）
＝BF：EC
＝1：2．
故选：B．
4．（2022 深圳）下列说法错误的是（　　）
A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形
B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
【答案】C
【分析】A．应用菱形的判定方法进行判定即可得出答案；
B．应用圆周角定理进行判定即可得出答案；
C．应用矩形的判定方法进行判定即可得出答案；
D．应用正方形的判定方法进行判定即可得出答案．
【解答】解：A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，所以A选项说法正确，故A选项不符合题意；
B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等，所以B选项说法正确，故B选项不符合题意；
C．对角线相等的四边形是不一定是矩形，所以C选项说法不正确，故C选项符合题意；
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，所以D选项说法正确，故D选项不符合题意．
故选：C．
5．（2021 广州）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若∠ACB＝60°，则劣弧AB的长是（　　）
A．8πcm B．16πcm C．32πcm D．192πcm
【答案】B
【分析】首先利用相切的定义得到∠OAC＝∠OBC＝90°，然后根据∠ACB＝60°求得∠AOB＝120°，从而利用弧长公式求得答案即可．
【解答】解：由题意得：CA和CB分别与⊙O相切于点A和点B，
∴OA⊥CA，OB⊥CB，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴16π（cm），
故选：B．
6．（2023 深圳）如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线与⊙O交于点D，若∠ADC＝20°，则∠BAD＝ 　°．
【答案】35．
【分析】先根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用圆周角定理可得∠ADC＝∠ABC＝20°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BAC＝70°，从而利用角平分线的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADC＝20°，
∴∠ADC＝∠ABC＝20°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD∠BAC＝35°，
故答案为：35．
7．（2022 广东）扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留π）为 　 　．
【答案】π．
【分析】应用扇形面积计算公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：Sπ．
故答案为：π．
8．（2022 广州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是 　 　．（结果保留π）
【答案】2π．
【分析】连接OD，OE，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠A＝∠COE，再根据切线的性质和平角的定义可得∠DOE＝90°，然后利用弧长公式进行计算即可解答．
【解答】解：如图，连接OD，OE，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠OEC，
∴AB∥OE，
∴∠BDO+∠DOE＝180°，
∵AB是切线，
∴∠BDO＝90°，
∴∠DOE＝180°﹣∠BDO＝90°，
∴劣弧的长是2π．
故答案为：2π．
9．（2021 广东）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3．点D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为 　　．
【答案】．
【分析】根据∠ADB＝45°，AB＝2，作△ABD的外接圆O，连接OC，当O、D、C三点共线时，CD的值最小．将问题转化为点圆最值．可证得△AOB为等腰直角三角形，OB＝OA，同样可证△OBE也为等腰直角三角形，OE＝BE＝1，由勾股定理可求得OC的长为，最后CD最小值为OC﹣OD．
【解答】解：如图所示．
∵∠ADB＝45°，AB＝2，作△ABD的外接圆O（因求CD最小值，故圆心O在AB的右侧），连接OC，
当O、D、C三点共线时，CD的值最小．
∵∠ADB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴AO＝BO＝sin45°×AB．
∵∠OBA＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠OBE＝45°，作OE⊥BC于点E，
∴△OBE为等腰直角三角形．
∴OE＝BE＝sin45° OB＝1，
∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，
在Rt△OEC中，
OC．
当O、D、C三点共线时，
CD最小为CD＝OC﹣OD．
故答案为：．
10．（2021 广东）如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4．分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为 　　．
【答案】4﹣π．
【分析】阴影部分的面积等于△ABC的面积减去空白处的面积即可得出答案．
【解答】解：等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴AB＝ACBC＝2
∵BE＝CEBC＝2，
∴阴影部分的面积S＝S△ABC﹣S扇形BDE﹣S扇形CEF22＝4﹣π，
故答案为4﹣π．
11．（2023 广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），B（0，2），所在圆的圆心为O．将向右平移5个单位，得到（点A平移后的对应点为C）．
（1）点D的坐标是 　 　，所在圆的圆心坐标是 　 　；
（2）在图中画出，并连接AC，BD；
（3）求由，BD，，CA首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．（结果保留π）
【答案】（1）（5，2）、（5，0）；
（2）见解答；
（3）2π+10．
【分析】（1）由平移的性质知即可求解；
（2）在图中画出，并连接AC，BD即可；
（3）由封闭图形的周长2BD，即可求解．
【解答】解：（1）如下图，由平移的性质知，点D（5，2），所在圆的圆心坐标是（5，0），
故答案为：（5，2）、（5，0）；
（2）在图中画出，并连接AC，BD，见下图；
（3）和长度相等，均为2πr2＝π，
而BD＝AC＝5，
则封闭图形的周长2BD＝2π+10．
12．（2023 广东）综合探究
如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′．连接AA′交BD于点E，连接CA′．
（1）求证：AA'⊥CA'；
（2）以点O为圆心，OE为半径作圆．
①如图2，⊙O与CD相切，求证：；
②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积．
【答案】（1）证明过程详见解答；
（2）①证明过程详见解答；
②．
【分析】（1）根据轴对称的性质可得AE＝A′E，AA′⊥BD，根据四边形ABCD是矩形，得出OA＝OC，从而OE∥A′C，从而得出AA′⊥CA′；
（2）①设CD⊙O与CD切于点F，连接OF，并延长交AB于点G，可证得OG＝OF＝OE，从而得出∠EAO＝∠GAO＝∠GBO，进而得出∠EAO＝30°，从而；
②设⊙O切CA′于点H，连接OH，可推出AA′＝2OH，CA′＝2OE，从而AA′＝CA′，进而得出∠A′AC＝∠A′CA＝45°，∠AOE＝∠ACA′＝45°，从而得出AE＝OE，OD＝OAAE，设OA＝OE＝x，则OD＝OA，在Rt△ADE中，由勾股定理得出1，从而求得x2，进而得出⊙O的面积．
【解答】（1）证明：∵点A关于BD的对称点为A′，
∴AE＝A′E，AA′⊥BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，
∴OE∥A′C，
∴AA′⊥CA′；
（2）①证明：如图2，
设CD⊙O与CD切于点F，连接OF，并延长交AB于点G，
∴OF⊥CD，OF＝OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝ODBD，AB∥CD，AC＝BD，OAAC，
∴OG⊥AB，∠FDO＝∠GBO，OA＝OB，
∴∠GAO＝∠GBO，
∵∠DOF＝∠BOG，
∴△DOF≌△BOG（ASA），
∴OG＝OF，
∴OG＝OE，
由（1）知：AA′⊥BD，
∴∠EAO＝∠GAO，
∵∠EAB+∠GBO＝90°，
∴∠EAO+∠GAO+∠GBO＝90°，
∴3∠EAO＝90°，
∴∠EAO＝30°，
由（1）知：AA′⊥CA′，
∴tan∠EAO，
∴tan30°，
∴；
②解：如图3，
设⊙O切CA′于点H，连接OH，
∴OH⊥CA′，
由（1）知：AA′⊥CA′，AA′⊥BD，OA＝OC，
∴OH∥AA′，OE∥CA′，
∴△COH∽△CAA′，△AOE∽△ACA′，
∴，
∴AA′＝2OH，CA′＝2OE，
∴AA′＝CA′，
∴∠A′AC＝∠A′CA＝45°，
∴∠AOE＝∠ACA′＝45°，
∴AE＝OE，OD＝OAAE，
设AE＝OE＝x，则OD＝OA，
∴DE＝OD﹣OE＝（）x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，
1，
∴x2，
∴S⊙O＝π OE2．
13．（2022 广东）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB．
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（2）若AB，AD＝1，求CD的长度．
【答案】（1）等腰直角三角形，证明见解答过程；
（2）．
【分析】（1）根据圆周角定理，等腰直角三角形的判定定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴，
∴AB＝BC，
又∵∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
（2）在Rt△ABC中，AB＝BC，
∴AC＝2，
在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，
∴CD．
即CD的长为：．
14．（2022 深圳）一个玻璃球体近似半圆O，AB为直径．半圆O上点C处有个吊灯EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中点为D，OA＝4．
（1）如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的长度．
（2）如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH，求ON的长度．
（3）如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM＝50°，HN为反射光线并与半圆O交于点N，在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．
【答案】（1）2；（2）；（3）4π．
【分析】（1）根据题意得出DF是△COM的中位线，即点D是OC的中点，据此求解即可；
（2）过点N作ND⊥OH于点D，根据题意得到△NHD是等腰直角三角形，则ND＝HD，根据锐角三角函数求出ND，OD，再根据勾股定理求解即可；
（3）如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合，当点M运动至点B时，点N运动至点T，故点N的运动路径长为OA的长，据此求解即可．
【解答】解：（1）∵OM＝1.6，DF＝0.8，EF∥AB，
∴DF是△COM的中位线，
∴点D是OC的中点，
∵OC＝OA＝4，
∴CD＝2；
（2）如图②，过点N作ND⊥OH于点D，
∵∠OHN＝45°，
∴△NHD是等腰直角三角形，
∴ND＝HD，
∵tan∠COH，∠NDO＝90°，
∴，
设ND＝3x＝HD，则OD＝4x，
∵OH＝OA＝4，
∴OH＝3x+4x＝4，
∴x，
∴ND3，OD4，
∴ON；
（3）如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合，当点M运动至点B时，点N运动至点T，故点N的运动路径长为OA的长，
∵∠HOM＝50°，OH＝OB，
∴∠OHB＝∠OBH＝65°，
∵∠OHM＝∠OHT，OH＝OT，
∴∠OTH＝∠OHT＝65°，
∴∠TOH＝50°，
∴∠AOT＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴的长π，
∴点N的运动路径长＝4π．
15．（2021 深圳）如图，AB为⊙O的弦，D，C为的三等分点，延长DC至点E，AC∥BE．
（1）求证：∠A＝∠E；
（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）根据平行线的性质及圆周角定理求得角之间的关系即可；
（2）根据圆周角定理推出各个角之间的关系、各边之间的关系，再结合图形利用相似三角形的性质得出对应线段成比例，列出方程求解即可．
【解答】（1）证明：
∵AC∥BE，
∴∠E＝∠ACD，
∵D，C为的三等分点，
∴，
∴∠ACD＝∠A，
∴∠E＝∠A，
（2）解：由（1）知，
∴∠D＝∠CBD＝∠A＝∠E，
∴BE＝BD＝5，BC＝CD＝3，△CBD∽△BED，
∴，即，
解得DE，
∴CE＝DE﹣CD3．
16．（2021 广东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，点E、F分别在线段BC、AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF．
（1）求证：CF⊥FB；
（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；
（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面积．
【答案】（1）（2）证明见解答；（3）
【分析】（1）先判断出∠DFE＝2∠EFC，同理判断出∠AFE＝2∠BFE，进而判断出2∠BFE+2∠EFC＝180°，即可得出结论；
（2）取AD的中点O，过点O作OH⊥BC于H，先判断出OH（AB+CD），进而判断出OHAD，即可得出结论；
（3）先求出∠CFE＝60°，CE＝2，再判断出四边形CEMD是矩形，得出DM＝2，过点A作AN⊥EF于N，同理求出AN，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵CD＝DF，
∴∠DCF＝∠DFC，
∵EF∥CD，
∴∠DCF＝∠EFC，
∴∠DFC＝∠EFC，
∴∠DFE＝2∠EFC，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∵CD∥EF，CD∥AB，
∴AB∥EF，
∴∠EFB＝∠AFB，
∴∠AFE＝2∠BFE，
∵∠AFE+∠DFE＝180°，
∴2∠BFE+2∠EFC＝180°，
∴∠BFE+∠EFC＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴CF⊥BF；
（2）证明：如图1，取AD的中点O，过点O作OH⊥BC于H，
∴∠OHC＝90°＝∠ABC，
∴OH∥AB，
∵AB∥CD，
∴OH∥AB∥CD，
∵AB∥CD，AB≠CD，
∴四边形ABCD是梯形，
∴点H是BC的中点，
∴OH（AB+CD），
连接CO并延长交BA的延长线于G，
∴∠G＝∠DCO，
在△AOG和△DOC中，
，
∴△AOG≌△DOC（AAS），
∴AG＝CD，OC＝OG，
∴OH是△BCG的中位线，
∴OHBG（AB+AG）（AF+DF）AD，
∵OH⊥BC，
∴以AD为直径的圆与BC相切；
（3）如图2，
由（1）知，∠DFE＝2∠EFC，
∵∠DFE＝120°，
∴∠CFE＝60°，
在Rt△CEF中，EF＝2，∠ECF＝90°﹣∠CFE＝30°，
∴CF＝2EF＝4，
∴CE2，
∵AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，
∴∠ECD＝∠CEF＝90°，
过点D作DM⊥EF，交EF的延长线于M，
∴∠M＝90°，
∴∠M＝∠ECD＝∠CEF＝90°，
∴四边形CEMD是矩形，
∴DM＝CE＝2，
过点A作AN⊥EF于N，
∴四边形ABEN是矩形，
∴AN＝BE，
由（1）知，∠CFB＝90°，
∵∠CFE＝60°，
∴∠BFE＝30°，
在Rt△BEF中，EF＝2，
∴BE＝EF tan30°，
∴AN，
∴S△ADE＝S△AEF+S△DEF
EF ANEF DM
EF（AN+DM）
2×（2）
．
17．（2021 广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：yx+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点P（x，y）为直线l在第二象限的点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设△PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）作△PAO的外接圆⊙C，延长PC交⊙C于点Q，当△POQ的面积最小时，求⊙C的半径．
【答案】（1）A（﹣8，0），B（0，4）；（2）S＝2x+16（﹣8＜x＜0）；（3）4．
【分析】（1）根据直线yx+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝﹣8，即得A，B的坐标；
（2）设P（x，），根据三角形面积公式，表示出S关于x的函数解析式，根据P在线段AB上得出x的取值范围；
（3）将S△POQ表示为OP2，从而当△POQ的面积最小时，此时OP最小，而OP⊥AB时，OP最小，借助三角函数求出此时的直径即可解决问题．
【解答】解：（1）∵直线yx+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，
∴当x＝0时，y＝4；
当y＝0时，x＝﹣8，
∴A（﹣8，0），B（0，4）；
（2）∵点P（x，y）为直线l在第二象限的点，
∴P（x，），
∴S△APO2x+16（﹣8＜x＜0）；
∴S＝2x+16（﹣8＜x＜0）；
（3）∵A（﹣8，0），B（0，4），
∴OA＝8，OB＝4，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB，
在⊙C中，∵PQ是直径，
∴∠POQ＝90°，
∵∠BAO＝∠Q，
∴tanQ＝tan∠BAO，
∴，
∴OQ＝2OP，
∴S△POQ，
∴当S△POQ最小时，则OP最小，
∵点P在线段AB上运动，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
∴S△AOB，
∴，
∵sinQ＝sin∠BAO，
∴，
∴，
∴PQ＝8，
∴⊙C半径为4．
1．如图，点A，B，C均在⊙O上，∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为（　　）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】C
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【解答】解：∵∠BAC为所对的圆周角，∠BOC为所对的圆心角，
∴∠BAC∠BOC100°＝50°．
故选：C．
2．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠BCD＝54°，则∠A的度数是（　　）
A．36° B．33° C．30° D．27°
【答案】A
【分析】首先连接BD，由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠CBD的度数，继而求得∠D的度数，然后由圆周角定理，求得∠A的度数．
【解答】解：连接BD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∵∠BCD＝54°，
∴∠D＝90°﹣∠BCD＝36°，
∴∠A＝∠D＝36°．
故选：A．
3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC．若∠A＝70°，则∠B的度数是（　　）
A．50° B．40° C．35° D．20°
【答案】D
【分析】先根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，然后利用直角三角形的两锐角互余计算∠B的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝70°，
∴∠B＝20°．
故选：D．
4．已知点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为6，则OA的长可能为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径6可对各选项进行判断．
【解答】解：∵点A是⊙O外一点，
∴OA＞6，
∴OA的长可能为8．
故选：D．
5．如图，圆上依次有A，B，C，D四个点，AC，BD交于点P，连接AD，AB，BC，则图中一定等于∠C的角是（　　）
A．∠CAD B．∠CBD C．∠ABD D．∠D
【答案】D
【分析】根据，可得∠D＝∠C，即可求解．
【解答】解：∵，
∴∠D＝∠C，
故选：D．
6．杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥，桥面呈拱形．该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥，此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）约为3.2m，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）约为2m，则此桥拱的半径是（　　）
A．1.62m B．1.64m C．1.14m D．3.56m
【答案】B
【分析】设圆心为O，作OD⊥AB于点D，DO的延长线交圆弧为点C，设半径为Rm，根据垂径定理得AD＝BD＝1.6m，OD＝（2﹣R）m，由勾股定理得：R2＝1.62+（2﹣R）2，即可求出答案．
【解答】解：如图，设圆心为O，作OD⊥AB于点D，DO的延长线交圆弧为点C，则C为优弧AB的中点，设半径为R m，
∴AD＝BDAB＝1.6m，CD＝2m，
∴OD＝（2﹣R）m，
由勾股定理得：OA2＝OD2+AD2，
∴R2＝1.62+（2﹣R）2，
解得：R＝1.64，
故选：B．
7．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为点D．如果AB＝10cm，CD＝3cm，那么⊙O的半径是 cm．
【答案】．
【分析】连接OA，先由垂径定理得AD＝BD＝4（cm），设⊙O的半径为r cm，则OD＝（r﹣2）cm，然后在Rt△AOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：连接OA，如图所示：
∵半径OC⊥AB，AB＝10cm，
∴AD＝BDAB＝5（cm），
设⊙O的半径为r cm，则OD＝（r﹣3）cm，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：52+（r﹣3）2＝r2，
解得：r，
即⊙O的半径为cm，
故答案为：．
8．长方形ABCD中，以点A为圆心AD的长为半径画弧交AB于点E，以DC为直径的半圆与AB相切，切点为E，已知AB＝4，则图中阴影部分的面积为 　 　.（结果保留π）
【答案】2π﹣4．
【分析】取CD中点O，连接OE，由切线的性质得到OE⊥AB，由矩形的性质推出∠A＝∠ADC＝90°，又OD＝OE，推出四边形ADOE是正方形，得到阴影的面积＝扇形ODE的面积+扇形ADE的面积﹣正方形ADOE的面积，即可求出阴影的面积2﹣2×2＝2π﹣4．
【解答】解：取CD中点O，连接OE，
∵AB与半圆相切于E，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∵OD＝OE，
∴四边形ADOE是正方形，
∴阴影的面积＝扇形ODE的面积+扇形ADE的面积﹣正方形ADOE的面积，
∵AB＝4，
∴正方形ADOE的边长是2，
∴阴影的面积2﹣2×2＝2π﹣4．
故答案为：2π﹣4．
9．如图，AB是⊙O的直径，，∠COD＝50°，求∠AOD的度数．
【答案】80°．
【分析】根据圆的性质进行计算即可得．
【解答】解：在⊙O中，AB是⊙O的直径，
∴∠AOB＝180°，
又∵，
∴∠BOC＝∠COD＝50°，
∴∠AOD＝180°﹣50°﹣50°＝80°．
10．如图，已知AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，∠ABD的平分线交⊙O于点E，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE与BA的延长线交于点G．
（1）求证：GF是⊙O的切线；
（2）若AG＝3，，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【分析】（1）连接OE，由∠ABD的平分线交⊙O于点E，知∠1＝∠2，由∠2＝∠3可证OE∥BF，根据BF⊥GF得OE⊥GF，得证；
（2）设OA＝OE＝r，在Rt△GOE中由勾股定理求得r．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵∠ABD的平分线交⊙O于点E，
∴∠1＝∠2，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴OE∥BF，
∵BF⊥GF，
∴OE⊥GF，
∴GF是⊙O的切线；
（2）解：设OA＝OE＝r，
在Rt△GOE中，AG＝3，GE＝4，
由OG2＝GE2+OE2得：（3+r）2＝（4）2+r2，
解得：r，
故⊙O的半径为．
11．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线交于点D．
（1）求证：∠BCD＝∠A；
（2）若BD＝2，CD＝4，求sin∠ABC的值．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【分析】（1）连接OC，如图，先利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，利用切线的性质得到∠OCD＝90°，再根据等角的余角相等证明∠OCA＝∠BCD，然后利用∠OCA＝∠A得到结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OC＝OB＝r，证明△DBC∽△DCA得到，则设BC＝x，则AC＝2x，所以ABx，然后根据正弦的定义求解．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵∠OCA+∠OCB＝90°，∠BCD+∠OCB＝90°，
∴∠OCA＝∠BCD，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A，
∴∠A＝∠BCD；
（2）解：∵∠BCD＝∠A，∠BDC＝∠CDA，
∴△DBC∽△DCA，
∴，
设BC＝x，则AC＝2x，
∴ABx，
在Rt△ABC中，sin∠ABC．
12．如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；
（2）3．
【分析】（1）连接OE，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论；
（2）设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1，FE＝2BD＝2（r﹣1），在Rt△FEO中，由勾股定理得出方程求解即可．
【解答】解：（1）证明：如图，连接OE，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵DF＝FE，
∴∠FED＝∠FDE，
∵∠FDE＝∠CDO，∠CDO+∠OCD＝90°，
∴∠FED+∠OEC＝90°，
即∠FEO＝90°，
∴OE⊥FE，
∵OE是半径，
∴EF为⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1，
∴FE＝2BD＝2（r﹣1），
在Rt△FEO中，由勾股定理得，
FE2+OE2＝OF2，
∴（2r﹣2）2+r2＝（2r﹣1）2，
解得r＝3，或r＝1（舍去），
∴⊙O的半径为3．
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第四章 图形的性质
第十八节 圆
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1：圆的有关概念与性质 ☆☆☆ 圆的知识内容在全国各地的中考均属于必考知识，其中主要包括：圆的有关概念、圆的对称性、圆周角及圆心角、直线与圆的位置关系、扇形弧长及面积、圆锥侧面积的计算等内容，广东中考每年涉及到圆的考查有15分上下，比重是比较大的，多以中等难度的选择、填空题以及中等较偏难的综合性解答题考查为主，再选择题或者填空考查对于大多数考生来说属于较易拿分题，在解答题中，证切线是比较有机会考查且拿分的，一轮复习的时候务必掌握好相关基础知识，力争把非难题的分值拿下来，平时多加练习，万变不离其宗，回归知识本身，合理运用知识解答。
考点2：点与圆、直线与圆的位置关系 ☆☆☆
考点3：与圆有关的计算 ☆☆☆
考点1：圆的有关概念与性质
1．与圆有关的概念和性质
圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．
弦与直径：连接_____任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，_____是圆内最长的弦．
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于_____的弧叫做劣弧，大于_____的弧叫做优弧．
圆心角：顶点在_____的角叫做圆心角．
圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．
弦心距：_____到弦的距离．
2．圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；
圆具有旋转不变性．
3．圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆（圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小）．
4．垂直于弦的直径
垂径定理：垂直于弦的直径_____这条弦，并且_____弦所对的两条弧．
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理及其推论可概括为：
过圆心
垂直于弦
直径 平分弦 知二推三
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧
5．圆心角、弧、弦之间的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_____，所对的弦也_____．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量_____，那么它们所对应的其余各组量也_____．
6．圆周角
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的_____．
推论1：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
考点2：点与圆、直线与圆的位置关系
1．点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
点P在圆_____d＞r；
点P在圆_____d＝r；
点P在圆_____d＜r．
2.圆的确定：
①过一点的圆有无数个；
②过两点的圆有无数个；
③经过在同一直线上的三点不能作圆；
④不在同一直线上的三点确定一个圆。
3．直线和圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
图形
公共点个数 0个 1个 2个
数量关系 d>r d=r d（1）切线的判定
切线的判定定理 经过半径的外端并且_____于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)
（2）切线的性质：切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径．
（3）切线长和切线长定理
切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
4．三角形的外接圆相关概念
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．
5．三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．
考点3：与圆有关的计算
1.正多边形的有关概念：
(1) 正多边形：各边_____，各角也_____的多边形叫做正多边形.
(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.
(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.
(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）
(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.
2.正多边形与圆的关系：
(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.
（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.
（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
3.正多边形性质：
(1)任何正多边形都有一个外接圆.
(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
（5）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是；所以正n边形的中心角等于它的外角.
（6）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.
4．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=；扇形的面积S==．
5．圆锥与侧面展开图
（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的_____，扇形的弧长等于圆锥的底面_____．
（2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，
6．圆锥的侧面积为S圆锥侧=．
圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．
在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．
考点1：圆的有关概念与性质
◇例题
1.（2022 南山区校级模拟）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是（　　）
A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”
B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”
C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”
D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”
2.（2023 陆丰市二模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝130°，OA＝3，若弦BC∥AO，则的长为（　　）
A． B． C． D．
3.（2023 东莞市校级模拟）如图，在半径为13的⊙O中，M为弦AB的中点，若OM＝12，则AB的长为 　．
4.（2023 龙岗区校级一模）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为 　 　m．
5.（2023 东莞市一模）如图，AB是⊙O的弦，C是的中点，OC交AB于点D，若AB＝8cm，CD＝2cm，求⊙O的半径．
◆变式训练
1．（2022 潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（　　）
A． B．8 C．6 D．5
2．（2023 福田区校级三模）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OCOD，则∠ABD的度数为（　　）
A．90° B．95° C．100° D．105°
3．（2023 荔湾区校级二模）下列语句中，正确的有（　　）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③长度相等的两条弧是等弧；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2022 龙岗区模拟）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（　　）
A．25° B．50° C．65° D．75°
5．（2023 封开县一模）已知：如图OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（　　）
A．45° B．40° C．35° D．50°
6．（2023 佛山一模）如图，在⊙O中，∠O＝50°，则∠A的度数是（　　）
A．25° B．30° C．50° D．100°
7．（2023 南海区校级模拟）如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则⊙O半径是（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
8．（2023 荔湾区校级二模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是 ．
9．（2023 东莞市校级一模）如图，某同学准备用一根内半径为5cm的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度AB为8cm，则槽的深度CD为 　 　cm．
考点2：点与圆、直线与圆的位置关系
◇例题
1.（2023 南海区校级模拟）已知在平面直角坐标系中，P点坐标为（3，4），若以原点O为圆心，半径为5画圆，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定
2.（2022 潮南区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD＝6，DE＝5，求⊙O的直径．
◆变式训练
1.（2023 斗门区一模）已知的⊙O半径为3cm，点P到圆心O的距离OP＝2cm，则点P（　　）
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．无法确定
2．（2022 金平区校级模拟）在平面直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为（3，5），半径为方程x2﹣2x﹣15＝0的一个根，那么⊙A与x轴的位置关系是 　 ．
3．（2023 茂南区二模）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，OP＝2，求图中阴影部分的面积．
4．（2022 香洲区校级三模）如图，已知△ABC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，点E为的中点，连接CE交AB于点F，且AF＝AC．
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，sinA，求CE的长．
考点3：与圆有关的计算
◇例题
1．（2023 德庆县二模）若扇形的半径是12cm弧长是20πcm，则扇形的面积为（　　）
A．120πcm2 B．240πcm2 C．360πcm2 D．60πcm2
2（2023 南海区模拟）如图，已知圆O的内接正六边形的边长为4，H为边AF的中点，则图中阴影部分的面积是 　 ．
3．（2023 东莞市校级模拟）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C，D分别在OA，上，连接BC，CD，点D，O关于直线BC对称，的长为π，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023 南山区二模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程 中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（　　）
A．π B．2π C． D．
2．（2023 东莞市一模）如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于（　　）
A． B． C．π D．2π
3．（2023 蕉岭县一模）如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D＝30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝3cm；③扇形OCAB的面积为12π；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
1．（2023 广东）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝（　　）
A．20° B．40° C．50° D．80°
2．（2023 广州）如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A＝α，则（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分别为（　　）
A．2r，90°﹣α B．0，90°﹣α C．2r， D．0，
3．（2022 深圳）已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，DE为圆的直径，BC为圆O切线，C为切点，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为（　　）
A．1：3 B．1：2 C．：2 D．（1）：1
4．（2022 深圳）下列说法错误的是（　　）
A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形
B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
5．（2021 广州）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若∠ACB＝60°，则劣弧AB的长是（　　）
A．8πcm B．16πcm C．32πcm D．192πcm
6．（2023 深圳）如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线与⊙O交于点D，若∠ADC＝20°，则∠BAD＝ 　°．
7．（2022 广东）扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留π）为 　 　．
8．（2022 广州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是 　 　．（结果保留π）
9．（2021 广东）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3．点D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为 　 ．
10．（2021 广东）如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4．分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为 　　．
11．（2023 广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），B（0，2），所在圆的圆心为O．将向右平移5个单位，得到（点A平移后的对应点为C）．
（1）点D的坐标是 　 　，所在圆的圆心坐标是 　 　；
（2）在图中画出，并连接AC，BD；
（3）求由，BD，，CA首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．（结果保留π）
12．（2023 广东）综合探究
如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′．连接AA′交BD于点E，连接CA′．
（1）求证：AA'⊥CA'；
（2）以点O为圆心，OE为半径作圆．
①如图2，⊙O与CD相切，求证：；
②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积．
13．（2022 广东）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB．
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（2）若AB，AD＝1，求CD的长度．
14．（2022 深圳）一个玻璃球体近似半圆O，AB为直径．半圆O上点C处有个吊灯EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中点为D，OA＝4．
（1）如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的长度．
（2）如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH，求ON的长度．
（3）如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM＝50°，HN为反射光线并与半圆O交于点N，在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．
15．（2021 深圳）如图，AB为⊙O的弦，D，C为的三等分点，延长DC至点E，AC∥BE．
（1）求证：∠A＝∠E；
（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的长．
16．（2021 广东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，点E、F分别在线段BC、AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF．
（1）求证：CF⊥FB；
（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；
（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面积．
17．（2021 广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：yx+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点P（x，y）为直线l在第二象限的点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设△PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）作△PAO的外接圆⊙C，延长PC交⊙C于点Q，当△POQ的面积最小时，求⊙C的半径．
1．如图，点A，B，C均在⊙O上，∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为（　　）
A．70° B．60° C．50° D．40°
2．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠BCD＝54°，则∠A的度数是（　　）
A．36° B．33° C．30° D．27°
3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC．若∠A＝70°，则∠B的度数是（　　）
A．50° B．40° C．35° D．20°
4．已知点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为6，则OA的长可能为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图，圆上依次有A，B，C，D四个点，AC，BD交于点P，连接AD，AB，BC，则图中一定等于∠C的角是（　　）
A．∠CAD B．∠CBD C．∠ABD D．∠D
6．杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥，桥面呈拱形．该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥，此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）约为3.2m，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）约为2m，则此桥拱的半径是（　　）
A．1.62m B．1.64m C．1.14m D．3.56m
7．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为点D．如果AB＝10cm，CD＝3cm，那么⊙O的半径是 cm．
8．长方形ABCD中，以点A为圆心AD的长为半径画弧交AB于点E，以DC为直径的半圆与AB相切，切点为E，已知AB＝4，则图中阴影部分的面积为 　 　.（结果保留π）
9．如图，AB是⊙O的直径，，∠COD＝50°，求∠AOD的度数．
10．如图，已知AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，∠ABD的平分线交⊙O于点E，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE与BA的延长线交于点G．
（1）求证：GF是⊙O的切线；
（2）若AG＝3，，求⊙O的半径．
11．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线交于点D．
（1）求证：∠BCD＝∠A；
（2）若BD＝2，CD＝4，求sin∠ABC的值．
12．如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径．
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