【广东专版】名师导航2024年中考一轮复习学案:第十八节 圆(学生版+解析版)

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【广东专版】名师导航2024年中考一轮复习学案:第十八节 圆(学生版+解析版)

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第四章 图形的性质
第十八节 圆
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1:圆的有关概念与性质 ☆☆☆ 圆的知识内容在全国各地的中考均属于必考知识,其中主要包括:圆的有关概念、圆的对称性、圆周角及圆心角、直线与圆的位置关系、扇形弧长及面积、圆锥侧面积的计算等内容,广东中考每年涉及到圆的考查有15分上下,比重是比较大的,多以中等难度的选择、填空题以及中等较偏难的综合性解答题考查为主,再选择题或者填空考查对于大多数考生来说属于较易拿分题,在解答题中,证切线是比较有机会考查且拿分的,一轮复习的时候务必掌握好相关基础知识,力争把非难题的分值拿下来,平时多加练习,万变不离其宗,回归知识本身,合理运用知识解答。
考点2:点与圆、直线与圆的位置关系 ☆☆☆
考点3:与圆有关的计算 ☆☆☆
考点1:圆的有关概念与性质
1.与圆有关的概念和性质
圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
弦与直径:连接圆上任意两点的线段叫做弦,过圆心的弦叫做直径,直径是圆内最长的弦.
弧:圆上任意两点间的部分叫做弧,小于半圆的弧叫做劣弧,大于半圆的弧叫做优弧.
圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.
圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.
弦心距:圆心到弦的距离.
2.圆的对称性
圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴;
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形;
圆具有旋转不变性.
3.圆的确定:不在同一直线上的三个点确定一个圆(圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小).
4.垂直于弦的直径
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理及其推论可概括为:
过圆心
垂直于弦
直径 平分弦 知二推三
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧
5.圆心角、弧、弦之间的关系
定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量也相等.
6.圆周角
圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
推论1:在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.
考点2:点与圆、直线与圆的位置关系
1.点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:
点P在圆外d>r;
点P在圆上d=r;
点P在圆内d<r.
2.圆的确定:
①过一点的圆有无数个;
②过两点的圆有无数个;
③经过在同一直线上的三点不能作圆;
④不在同一直线上的三点确定一个圆。
3.直线和圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
图形
公共点个数 0个 1个 2个
数量关系 d>r d=r d(1)切线的判定
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(会过圆上一点画圆的切线)
(2)切线的性质:切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径.
(3)切线长和切线长定理
切线长:经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.
切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
4.三角形的外接圆相关概念
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做圆的内接三角形.外心是三角形三条垂直平分线的交点,它到三角形的三个顶点的距离相等.
5.三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.内心是三角形三条角平分线的交点,它到三角形的三条边的距离相等.
考点3:与圆有关的计算
1.正多边形的有关概念:
(1) 正多边形:各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.
(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.
(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.(正多边形内切圆的半径)
(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.
2.正多边形与圆的关系:
(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器),依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.
(3)把圆分成n(n≥3)等分,经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.
(4)任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.
3.正多边形性质:
(1)任何正多边形都有一个外接圆.
(2) 正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心.当边数是偶数时,它又是中心对称图形,它的中心就是对称中心.
(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比,边心距的比,半径的比都等于相似比,面积的比等于相似比的平方.
(4)任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.
(5)正n边形的有n个相等的外角,而正n边形的外角和为360度,所以正n边形每个外角的度数是;所以正n边形的中心角等于它的外角.
(6)边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长(或半径、边心距)的比.面积比等于它们边长(或半径、边心距)平方的比.
4.弧长和扇形面积的计算:扇形的弧长l=;扇形的面积S==.
5.圆锥与侧面展开图
(1)圆锥侧面展开图是一个扇形,扇形的半径等于圆锥的母线,扇形的弧长等于圆锥的底面周长.
(2)若圆锥的底面半径为r,母线长为l,则这个扇形的半径为l,扇形的弧长为2πr,
6.圆锥的侧面积为S圆锥侧=.
圆锥的表面积:S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·(l+r).
在求不规则图形的面积时,注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形,再利用规则图形的公式求解.
考点1:圆的有关概念与性质
◇例题
1.(2022 南山区校级模拟)数学知识在生产和生活中被广泛应用,下列实例所应用的最主要的几何知识,说法正确的是(  )
A.学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成,应用了“菱形的对角线互相垂直平分”
B.车轮做成圆形,应用了“圆是中心对称图形”
C.射击时,瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上,应用了“两点确定一条直线”
D.地板砖可以做成矩形,应用了“矩形对边相等”
【答案】C
【分析】根据两点确定一条直线,圆的认识,菱形的性质以及矩形的性质进行判断即可.
【解答】解:A.学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成,应用了“四边形的不稳定性”,故本选项错误,不合题意;
B.车轮做成圆形,应用了“圆上各点到圆心的距离相等”,故本选项错误,不合题意;
C.射击时,瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上,应用了“两点确定一条直线”,故本选项正确,符合题意
D.地板砖可以做成矩形,应用了“矩形四个内角都是直角”的性质,故本选项错误,不合题意.
故选:C.
2.(2023 陆丰市二模)如图,在扇形AOB中,∠AOB=130°,OA=3,若弦BC∥AO,则的长为(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】连接OC,如图,利用等腰三角形的性质和平行线的性质可计算出∠AOC=50°,然后根据弧长公式计算的长.
【解答】解:连接OC,如图,
∵BC∥OA,
∴∠AOB+∠OBC=180°,∠C=∠AOC,
∵∠AOB=130°,
∴∠OBC=50°,
∵OB=OC,
∴∠C=∠OBC=50°,
∴∠AOC=50°,
∴的长.
故选:C.
3.(2023 东莞市校级模拟)如图,在半径为13的⊙O中,M为弦AB的中点,若OM=12,则AB的长为  .
【答案】10.
【分析】连接OM,OA,根据垂径定理得出OM⊥AB,根据勾股定理求出AM,再求出AB即可.
【解答】解:连接OM,OA,
∵M为AB的中点,O过圆心O,
∴OM⊥AB,AM=BM,
∴∠OMA=90°,
由勾股定理得:BM=AM5,
∴AB=AM+BM=10,
故答案为:10.
4.(2023 龙岗区校级一模)“圆”是中国文化的一个重要精神元素,在中式建筑中有着广泛的应用.例如古典园林中的门洞.如图,某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m,地面入口宽为1m,则该门洞的半径为    m.
【答案】1.3.
【分析】设半径为r m,根据垂径定理可以列方程求解即可.
【解答】解:设圆的半径为r m,
由题意可知,DFCDm,EF=2.5m,
Rt△OFD中,OF,r+OF=2.5,
所以r=2.5,
解得r=1.3.
故答案为:1.3.
5.(2023 东莞市一模)如图,AB是⊙O的弦,C是的中点,OC交AB于点D,若AB=8cm,CD=2cm,求⊙O的半径.
【答案】⊙O的半径为5cm.
【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系和垂径定理得出各线段之间的关系,再利用勾股定理求解出半径即可.
【解答】解:如图,连接OA,
∵C是的中点,
∴D是弦AB的中点,
∴OC⊥AB,AD=BD=4cm,
∵OD=3cm,
在Rt△OAD中,
OA2=AD2+OD2,即OA2=42+(OA﹣2)2,
∴OA=5m.
即⊙O的半径为5cm.
◆变式训练
1.(2022 潮安区模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10.若以点C为圆心,CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D,则⊙C的半径为(  )
A. B.8 C.6 D.5
【答案】D
【分析】连结CD,根据直角三角形斜边中线定理求解即可.
【解答】解:如图,连结CD,
∵CD是直角三角形斜边上的中线,
∴CDAB10=5.
故选:D.
2.(2023 福田区校级三模)如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB,垂足为C,OD∥AB,OCOD,则∠ABD的度数为(  )
A.90° B.95° C.100° D.105°
【答案】D
【分析】连接OB,则OCOB,由OC⊥AB,则∠OBC=30°,再由OD∥AB,即可求出答案.
【解答】解:如图:
连接OB,则OB=OD,
∵OCOD,
∴OCOB,
∵OC⊥AB,
∴∠OBC=30°,
∵OD∥AB,
∴∠BOD=∠OBC=30°,
∴∠OBD=∠ODB=75°,
∠ABD=30°+75°=105°.
故选:D.
3.(2023 荔湾区校级二模)下列语句中,正确的有(  )
①相等的圆心角所对的弧相等;
②平分弦的直径垂直于弦;
③长度相等的两条弧是等弧;
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】A
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理等对每一项进行分析即可求出正确答案.
【解答】解:①同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等,故本选项错误;
②平分弦的直径垂直于弦,被平分的弦不能是直径,故此选项错误;
③能重合的弧是等弧,而长度相等的弧不一定能够重合,故此选项错误;
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴,此选项正确;
故正确的有1个,
故选:A.
4.(2022 龙岗区模拟)如图,△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上,若∠ABC+∠AOC=75°,则∠OAC的大小是(  )
A.25° B.50° C.65° D.75°
【答案】C
【分析】根据圆周角定理得出∠AOC=2∠ABC,求出∠AOC=50°,再根据等腰三角形的性质和进行内角和定理求出即可.
【解答】解:∵根据圆周角定理得:∠AOC=2∠ABC,
∵∠ABC+∠AOC=75°,
∴∠AOC75°=50°,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA(180°﹣∠AOC)=65°,
故选:C.
5.(2023 封开县一模)已知:如图OA,OB是⊙O的两条半径,且OA⊥OB,点C在⊙O上,则∠ACB的度数为(  )
A.45° B.40° C.35° D.50°
【答案】A
【分析】判断出∠AOB=90°,再利用圆周角定理求解.
【解答】解:∵OA⊥OB,
∴∠AOB=90°,
∴∠ACB∠AOB=45°.
故选:A.
6.(2023 佛山一模)如图,在⊙O中,∠O=50°,则∠A的度数是(  )
A.25° B.30° C.50° D.100°
【答案】A
【分析】直接利用圆周角定理求解.
【解答】解:如图,在⊙O中,∠O=50°,∠A∠O,则∠A=25°.
故选:A.
7.(2023 南海区校级模拟)如图,线段CD是⊙O的直径,CD⊥AB于点E,若AB长为16,OE长为6,则⊙O半径是(  )
A.5 B.6 C.8 D.10
【答案】D
【分析】连接OA,如图,先根据垂径定理得到AE=BE=8,然后利用勾股定理计算出OA即可.
【解答】解:连接OA,如图,
∵CD⊥AB,
∴AE=BEAB16=8,
在Rt△OAE中,OA10,
即⊙O半径为10.
故选:D.
8.(2023 荔湾区校级二模)如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点F,OE⊥AC于点E,若OE=3,OB=5,则CD的长度是   .
【答案】.
【分析】根据垂径定理得到AE=EC,根据勾股定理求出AC,证明△AEO∽△AFC,根据相似三角形的性质计算即可.
【解答】解:∵OE⊥AC,
∴AE=EC,
∵AB⊥CD,
∴∠AFC=∠AEO=90°,
∵OE=3,OB=5,
∴AE4,
∴AC=8,
∵∠A=∠A,∠AEO=∠AFC,
∴△AEO∽△AFC,
∴,即,
解得:FC,
∵CD⊥AB,
∴CD=2CF,
故答案为:.
9.(2023 东莞市校级一模)如图,某同学准备用一根内半径为5cm的塑料管裁一个引水槽,使槽口宽度AB为8cm,则槽的深度CD为  2 cm.
【答案】2.
【分析】根据垂径定理得到,再利用勾股定理即可求出答案.
【解答】解:如图,由题意可知,OA=5cm,OC⊥AB,则cm,
在Rt△ADO中,由勾股定理得,
OD3(cm),
∴CD=OC﹣OD
=5﹣3
=2(cm).
故答案为2.
考点2:点与圆、直线与圆的位置关系
◇例题
1.(2023 南海区校级模拟)已知在平面直角坐标系中,P点坐标为(3,4),若以原点O为圆心,半径为5画圆,则点P与⊙O的位置关系是(  )
A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆外 D.不能确定
【分析】先计算出OP的长,然后根据点与圆的位置关系的判定方法求解.
【解答】解:∵点P的坐标是(3,4),
∴OP==5,
而⊙O的半径为5,
∴OP等于圆的半径,
∴点P在⊙O上.
故选:B.
2.(2022 潮南区模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点E是BC的中点,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,连接DE.
(1)判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若CD=6,DE=5,求⊙O的直径.
【答案】(1)直线DE与⊙O相切,理由见解析;
(2).
【分析】(1)连接DO,如图,根据直角三角形斜边上的中线性质,由∠BDC=90°,E为BC的中点得到DE=CE=BE,则利用等腰三角形的性质得∠EDC=∠ECD,∠ODC=∠OCD,由于∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°,所以∠EDC+∠ODC=90°,即∠EDO=90°,于是根据切线的判定定理即可得到DE与⊙O相切;
(2)根据勾股定理和相似三角形的判定与性质即可得到结论.
【解答】解:(1)直线DE与⊙O相切,
理由:连接DO,如图,
∵∠BDC=90°,E为BC的中点,
∴DE=CE=BE,
∴∠EDC=∠ECD,
又∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
而∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°,
∴∠EDC+∠ODC=90°,即∠EDO=90°,
∴DE⊥OD,
∵OD是⊙O的半径,
∴DE与⊙O相切;
(2)由(1)得,∠CDB=90°,
∵CE=EB,
∴DEBC,
∴BC=10,
∴BD8,
∵∠BCA=∠BDC=90°,∠B=∠B,
∴△BCA∽△BDC,
∴,
∴,
∴,
∴⊙O直径的长为.
◆变式训练
1.(2023 斗门区一模)已知的⊙O半径为3cm,点P到圆心O的距离OP=2cm,则点P(  )
A.在⊙O外 B.在⊙O上 C.在⊙O内 D.无法确定
【分析】根据点到圆心的距离d和圆的半径r之间的大小关系,即可判断;
【解答】解:∵⊙O的半径为r=3cm,点P到圆心的距离OP=d=2cm,
∴d<r,
∴点P在圆内,
故选:C.
2.(2022 金平区校级模拟)在平面直角坐标系中,⊙A的圆心坐标为(3,5),半径为方程x2﹣2x﹣15=0的一个根,那么⊙A与x轴的位置关系是   .
【答案】相切.
【分析】解方程x2﹣2x﹣15=0得到⊙A的半径为5,于是得到⊙A的半径=圆心A到x轴的距离,即可得到结论.
【解答】解:解方程x2﹣2x﹣15=0得,x1=5,x2=﹣3,
∴⊙A的半径为5,
∵⊙A的圆心坐标为(3,5),
∴点A到x轴的距离为5,
∴⊙A的半径=圆心A到x轴的距离,
∴⊙A与x轴的位置关系是相切,
故答案为:相切.
3.(2023 茂南区二模)如图,AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,OC⊥OA,CO交AB于点P,交⊙O于点D,且CP=CB.
(1)判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若∠A=30°,OP=2,求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)见解析;
(2)2π.
【分析】(1)根据等边对等角得∠CPB=∠CBP,根据垂直的定义得∠OBC=90°,即OB⊥CB,则CB与⊙O相切;
(2)根据三角形的内角和定理得到∠APO=60°,推出△PBD是等边三角形,得到∠PCB=∠CBP=60°,求得BC=2,根据勾股定理得到OB2,根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论.
【解答】解:(1)CB与⊙O相切,
理由:连接OB,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA,
∵CP=CB,
∴∠CPB=∠CBP,
∵∠CPB=∠APO,
∴∠CBP=∠APO,
在Rt△AOP中,
∵∠A+∠APO=90°,
∴∠OBA+∠CBP=90°,
即:∠OBC=90°,
∴OB⊥CB,
又∵OB是半径,
∴CB与⊙O相切;
(2)∵∠A=30°,∠AOP=90°,OP=2,
∴∠APO=60°,AP=2OP=4,
∴AO=BO2,
∵OA=OB,
∴∠OBA=∠A=30°,
∴∠BOP=∠APO﹣∠OBA=30°=∠OBP,
∴OP=PB=2,
∵∠BPD=∠APO=60°,PC=CB,
∴△PBC是等边三角形,
∴∠PCB=∠CBP=60°,
∴BC=PB=2,
∴图中阴影部分的面积=S△OBC﹣S扇形OBD2×22π.
4.(2022 香洲区校级三模)如图,已知△ABC,以BC为直径的⊙O交AB于点D,点E为的中点,连接CE交AB于点F,且AF=AC.
(1)判断直线AC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若⊙O的半径为2,sinA,求CE的长.
【答案】(1)见解答;
(2)CE.
【分析】(1)连接BE,求出∠EBD+∠BFE=90°,推出∠ACE=∠AFC,∠EBD=∠BCE,求出∠ACE+∠BCE=90°,根据切线的判定推出即可.
(2)根据BC=4,sinA,求出AB=5,AC=3,AF=3,BF=2,根据∠EBD=∠BCE,∠E=∠E证△BEF∽△CEB,推出EC=2EB,设EB=x,EC=2x,由勾股定理得出x2+4x2=16,求出即可.
【解答】(1)AC与⊙O相切,
证明:连接BE,
∵BC是⊙O的直径,
∴∠E=90°,
∴∠EBD+∠BFE=90°,
∵AF=AC,
∴∠ACE=∠AFC,
∵E为弧BD中点,
∴∠EBD=∠BCE,
∴∠ACE+∠BCE=90°,
∴AC⊥BC,
∵BC为直径,
∴AC是⊙O的切线.
(2)解:∵⊙O的半为2
∴BC=4,
在Rt△ABC中,sinA,
∴AB=5,
∴AC3,
∵AF=AC,
∴AF=3,BF=5﹣3=2,
∵∠EBD=∠BCE,∠E=∠E,
∴△BEF∽△CEB,
∴,
∴EC=2EB,
设EB=x,EC=2x,
由勾股定理得:x2+4x2=16,
∴x(负数舍去),
即CE.
考点3:与圆有关的计算
◇例题
1.(2023 德庆县二模)若扇形的半径是12cm弧长是20πcm,则扇形的面积为(  )
A.120πcm2 B.240πcm2 C.360πcm2 D.60πcm2
【答案】A
【分析】根据扇形的面积公式,计算即可.
【解答】解:该扇形的面积为:(cm2).
故选:A.
2.(2023 南海区模拟)如图,已知圆O的内接正六边形的边长为4,H为边AF的中点,则图中阴影部分的面积是   .
【答案】4.
【分析】根据圆内接正六边形的性质得出∠COD=60°,OC=OD=CD=4,CD∥AF,由S△HCD=2S△COD,得出S阴影部分=S扇形COD+S△COD,根据扇形面积、正三角形面积的计算方法进行计算即可.
【解答】解:如图,连接OC、OD,
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形,
∴∠COD,OC=OD=CD=4,CD∥AF,
∴S△HCD=2S△COD,
∴S阴影部分=S扇形COD+S△COD
4×(4)
4,
故答案为:4.
3.(2023 东莞市校级模拟)如图,扇形AOB中,∠AOB=90°,点C,D分别在OA,上,连接BC,CD,点D,O关于直线BC对称,的长为π,则图中阴影部分的面积为(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】连接BD、OD,交BC与E,根据对称求出BD=OB,求出△DOB是等边三角形,求出∠DOB=60°,求出∠AOD=30°根据弧长公式求出OB=6,根据阴影部分的面积=S扇形BOD+S△COE﹣S△BOE求得即可.
【解答】解:连接BD、OD,交BC与E,
由题意可知,BD=BO,
∵OD=OB,
∴OD=OB=DB,
∴∠BOD=60°,
∵∠AOB=90°,
∴∠AOD=30°,
∵的长为π,
∴,
∴r=6,
∴OB=6,
∴OE3,BEOB=3,
∴CEOE,
∴阴影部分的面积=S扇形BOD+S△COE﹣S△BOE6π﹣3.
故选:A.
◆变式训练
1.(2023 南山区二模)刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”,利用圆的内接正多边形来确定圆周率,开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元.某同学在学习“割圆术”的过程 中,作了一个如图所示的圆内接正八边形.若⊙O的半径为1,则这个圆内接正八边形的面积为(  )
A.π B.2π C. D.
【答案】D
【分析】如图,过A作AC⊥OB于C,得到圆的内接正八边形的圆心角为45°,根据三角形的面积公式即可得到结论.
【解答】解:如图,过A作AC⊥OB于C,
∵圆的内接正八边形的圆心角为45°,OA=1,
∴AC=OC,
∴S△OAB1,
∴这个圆的内接正八边形的面积为82,
故选:D.
2.(2023 东莞市一模)如图,“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心,以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.已知正三角形的边长为1,则凸轮的周长等于(  )
A. B. C.π D.2π
【答案】C
【分析】由“凸轮”的外围是以正三角形的顶点为圆心,以正三角形的边长为半径的三段等弧组成,得到∠A=∠B=∠C=60°,AB=AC=BC=1,然后根据弧长公式计算出三段弧长,三段弧长之和即为凸轮的周长.
【解答】
解:∵△ABC为正三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=AC=BC=1,
∴,
根据题意可知凸轮的周长为三个弧长的和,
即凸轮的周长3π.
故选:C.
3.(2023 蕉岭县一模)如图,在半径为6cm的⊙O中,点A是劣弧的中点,点D是优弧上一点,且∠D=30°,下列四个结论:①OA⊥BC;②BC=3cm;③扇形OCAB的面积为12π;④四边形ABOC是菱形.其中正确结论的序号是(  )
A.①③ B.①②③④ C.②③④ D.①③④
【答案】D
【分析】利用垂径定理可对①进行判断;根据圆周角定理得到∠AOC=2∠D=60°,则△OAC为等边三角形,根据等边三角形的性质和垂径定理可计算出BC=6cm,则可对②进行判断;通过判断△AOB为等边三角形,再根据扇形的面积公式可对③进行判断;利用AB=AC=OA=OC=OB可对④进行判断.
【解答】解:∵点A是劣弧的中点,
∴OA⊥BC,所以①正确;
∵∠AOC=2∠D=60°,OA=OC,
∴△OAC为等边三角形,
∴BC=2×66,所以②错误;
同理可得△AOB为等边三角形,
∴∠AOB=60°,
∴∠BOC=120°,
∴扇形OCAB的面积为12π,所以③正确;
∵AB=AC=OA=OC=OB,
∴四边形ABOC是菱形,所以④正确.
故选:D.
1.(2023 广东)如图,AB是⊙O的直径,∠BAC=50°,则∠D=(  )
A.20° B.40° C.50° D.80°
【答案】B
【分析】由AB是⊙O的直径,得∠ACB=90°,而∠BAC=50°,即得∠ABC=40°,故∠D=∠ABC=40°,
【解答】解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠BAC+∠ABC=90°,
∵∠BAC=50°,
∴∠ABC=40°,
∵,
∴∠D=∠ABC=40°,
故选:B.
2.(2023 广州)如图,△ABC的内切圆⊙I与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,若⊙I的半径为r,∠A=α,则(BF+CE﹣BC)的值和∠FDE的大小分别为(  )
A.2r,90°﹣α B.0,90°﹣α C.2r, D.0,
【答案】D
【分析】如图,连接IF,IE.利用切线长定理,圆周角定理,切线的性质解决问题即可.
【解答】解:如图,连接IF,IE.
∵△ABC的内切圆⊙I与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,
∴BF=BD,CD=CE,IF⊥AB,IE⊥AC,
∴BF+CE﹣BC=BD+CD﹣BC=BC﹣BC=0,∠AFI=∠AEI=90°,
∴∠EIF=180°﹣α,
∴∠EDF∠EIF=90°α.
故选:D.
3.(2022 深圳)已知三角形ABE为直角三角形,∠ABE=90°,DE为圆的直径,BC为圆O切线,C为切点,CA=CD,则△ABC和△CDE面积之比为(  )
A.1:3 B.1:2 C.:2 D.(1):1
【答案】B
【分析】根据圆周角定理,切线的性质以及等腰三角形的判定和性质,可以先证明△ABC和△COD,再由∴S△COD=S△COES△DCE,进而得出S△ABCS△DCE,即△ABC和△CDE面积之比为1:2.
【解答】解:解法一:如图,连接OC,
∵BC是⊙O的切线,OC为半径,
∴OC⊥BC,
即∠OCB=90°,
∴∠COD+∠OBC=90°,
又∵∠ABE=90°,即∠ABC+∠OBC=90°,
∴∠ABC=∠COD,
∵DE是⊙O的直径,
∴∠DCE=90°,即∠OCE+∠OCD=90°,
又∠A+∠E=90°,而∠E=∠OCE,
∴∠A=∠OCD,
在△ABC和△COD中,

∴△ABC≌△COD(AAS),
又∵EO=DO,
∴S△COD=S△COES△DCE,
∴S△ABCS△DCE,
即△ABC和△CDE面积之比为1:2;
解法二:如图,连接OC,过点B作BF⊥AC,
∵BC是⊙O的切线,OC为半径,
∴OC⊥BC,
即∠OCB=90°,
∴∠COD+∠BCD=90°,
又∵∠ABE=90°,即∠ABC+∠BCD=90°,
∴∠ACB=∠COD,
∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC,
又∵∠A+∠E=90°=∠ODC+∠E,
∴∠A=∠ACB,
∴AB=BC,
∴AFACCD,
∵△ABF∽△DEC,
∴,
∴△ABC和△CDE面积之比(AC BF):(CD EC)
=BF:EC
=1:2.
故选:B.
4.(2022 深圳)下列说法错误的是(  )
A.对角线垂直且互相平分的四边形是菱形
B.同圆或等圆中,同弧对应的圆周角相等
C.对角线相等的四边形是矩形
D.对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
【答案】C
【分析】A.应用菱形的判定方法进行判定即可得出答案;
B.应用圆周角定理进行判定即可得出答案;
C.应用矩形的判定方法进行判定即可得出答案;
D.应用正方形的判定方法进行判定即可得出答案.
【解答】解:A.对角线垂直且互相平分的四边形是菱形,所以A选项说法正确,故A选项不符合题意;
B.同圆或等圆中,同弧对应的圆周角相等,所以B选项说法正确,故B选项不符合题意;
C.对角线相等的四边形是不一定是矩形,所以C选项说法不正确,故C选项符合题意;
D.对角线垂直且相等的平行四边形是正方形,所以D选项说法正确,故D选项不符合题意.
故选:C.
5.(2021 广州)一根钢管放在V形架内,其横截面如图所示,钢管的半径是24cm,若∠ACB=60°,则劣弧AB的长是(  )
A.8πcm B.16πcm C.32πcm D.192πcm
【答案】B
【分析】首先利用相切的定义得到∠OAC=∠OBC=90°,然后根据∠ACB=60°求得∠AOB=120°,从而利用弧长公式求得答案即可.
【解答】解:由题意得:CA和CB分别与⊙O相切于点A和点B,
∴OA⊥CA,OB⊥CB,
∴∠OAC=∠OBC=90°,
∵∠ACB=60°,
∴∠AOB=120°,
∴16π(cm),
故选:B.
6.(2023 深圳)如图,在⊙O中,AB为直径,C为圆上一点,∠BAC的角平分线与⊙O交于点D,若∠ADC=20°,则∠BAD=  °.
【答案】35.
【分析】先根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°,再利用圆周角定理可得∠ADC=∠ABC=20°,然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BAC=70°,从而利用角平分线的定义进行计算,即可解答.
【解答】解:∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠ADC=20°,
∴∠ADC=∠ABC=20°,
∴∠BAC=90°﹣∠ABC=70°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD∠BAC=35°,
故答案为:35.
7.(2022 广东)扇形的半径为2,圆心角为90°,则该扇形的面积(结果保留π)为    .
【答案】π.
【分析】应用扇形面积计算公式进行计算即可得出答案.
【解答】解:Sπ.
故答案为:π.
8.(2022 广州)如图,在△ABC中,AB=AC,点O在边AC上,以O为圆心,4为半径的圆恰好过点C,且与边AB相切于点D,交BC于点E,则劣弧的长是    .(结果保留π)
【答案】2π.
【分析】连接OD,OE,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠A=∠COE,再根据切线的性质和平角的定义可得∠DOE=90°,然后利用弧长公式进行计算即可解答.
【解答】解:如图,连接OD,OE,
∵OC=OE,
∴∠OCE=∠OEC,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC=∠OEC,
∴AB∥OE,
∴∠BDO+∠DOE=180°,
∵AB是切线,
∴∠BDO=90°,
∴∠DOE=180°﹣∠BDO=90°,
∴劣弧的长是2π.
故答案为:2π.
9.(2021 广东)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=3.点D为平面上一个动点,∠ADB=45°,则线段CD长度的最小值为   .
【答案】.
【分析】根据∠ADB=45°,AB=2,作△ABD的外接圆O,连接OC,当O、D、C三点共线时,CD的值最小.将问题转化为点圆最值.可证得△AOB为等腰直角三角形,OB=OA,同样可证△OBE也为等腰直角三角形,OE=BE=1,由勾股定理可求得OC的长为,最后CD最小值为OC﹣OD.
【解答】解:如图所示.
∵∠ADB=45°,AB=2,作△ABD的外接圆O(因求CD最小值,故圆心O在AB的右侧),连接OC,
当O、D、C三点共线时,CD的值最小.
∵∠ADB=45°,
∴∠AOB=90°,
∴△AOB为等腰直角三角形,
∴AO=BO=sin45°×AB.
∵∠OBA=45°,∠ABC=90°,
∴∠OBE=45°,作OE⊥BC于点E,
∴△OBE为等腰直角三角形.
∴OE=BE=sin45° OB=1,
∴CE=BC﹣BE=3﹣1=2,
在Rt△OEC中,
OC.
当O、D、C三点共线时,
CD最小为CD=OC﹣OD.
故答案为:.
10.(2021 广东)如图,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=4.分别以点B、点C为圆心,线段BC长的一半为半径作圆弧,交AB、BC、AC于点D、E、F,则图中阴影部分的面积为   .
【答案】4﹣π.
【分析】阴影部分的面积等于△ABC的面积减去空白处的面积即可得出答案.
【解答】解:等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=4,
∴∠B=∠C=45°,
∴AB=ACBC=2
∵BE=CEBC=2,
∴阴影部分的面积S=S△ABC﹣S扇形BDE﹣S扇形CEF22=4﹣π,
故答案为4﹣π.
11.(2023 广州)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(﹣2,0),B(0,2),所在圆的圆心为O.将向右平移5个单位,得到(点A平移后的对应点为C).
(1)点D的坐标是    ,所在圆的圆心坐标是    ;
(2)在图中画出,并连接AC,BD;
(3)求由,BD,,CA首尾依次相接所围成的封闭图形的周长.(结果保留π)
【答案】(1)(5,2)、(5,0);
(2)见解答;
(3)2π+10.
【分析】(1)由平移的性质知即可求解;
(2)在图中画出,并连接AC,BD即可;
(3)由封闭图形的周长2BD,即可求解.
【解答】解:(1)如下图,由平移的性质知,点D(5,2),所在圆的圆心坐标是(5,0),
故答案为:(5,2)、(5,0);
(2)在图中画出,并连接AC,BD,见下图;
(3)和长度相等,均为2πr2=π,
而BD=AC=5,
则封闭图形的周长2BD=2π+10.
12.(2023 广东)综合探究
如图1,在矩形ABCD中(AB>AD),对角线AC,BD相交于点O,点A关于BD的对称点为A′.连接AA′交BD于点E,连接CA′.
(1)求证:AA'⊥CA';
(2)以点O为圆心,OE为半径作圆.
①如图2,⊙O与CD相切,求证:;
②如图3,⊙O与CA′相切,AD=1,求⊙O的面积.
【答案】(1)证明过程详见解答;
(2)①证明过程详见解答;
②.
【分析】(1)根据轴对称的性质可得AE=A′E,AA′⊥BD,根据四边形ABCD是矩形,得出OA=OC,从而OE∥A′C,从而得出AA′⊥CA′;
(2)①设CD⊙O与CD切于点F,连接OF,并延长交AB于点G,可证得OG=OF=OE,从而得出∠EAO=∠GAO=∠GBO,进而得出∠EAO=30°,从而;
②设⊙O切CA′于点H,连接OH,可推出AA′=2OH,CA′=2OE,从而AA′=CA′,进而得出∠A′AC=∠A′CA=45°,∠AOE=∠ACA′=45°,从而得出AE=OE,OD=OAAE,设OA=OE=x,则OD=OA,在Rt△ADE中,由勾股定理得出1,从而求得x2,进而得出⊙O的面积.
【解答】(1)证明:∵点A关于BD的对称点为A′,
∴AE=A′E,AA′⊥BD,
∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OC,
∴OE∥A′C,
∴AA′⊥CA′;
(2)①证明:如图2,
设CD⊙O与CD切于点F,连接OF,并延长交AB于点G,
∴OF⊥CD,OF=OE,
∵四边形ABCD是矩形,
∴OB=ODBD,AB∥CD,AC=BD,OAAC,
∴OG⊥AB,∠FDO=∠GBO,OA=OB,
∴∠GAO=∠GBO,
∵∠DOF=∠BOG,
∴△DOF≌△BOG(ASA),
∴OG=OF,
∴OG=OE,
由(1)知:AA′⊥BD,
∴∠EAO=∠GAO,
∵∠EAB+∠GBO=90°,
∴∠EAO+∠GAO+∠GBO=90°,
∴3∠EAO=90°,
∴∠EAO=30°,
由(1)知:AA′⊥CA′,
∴tan∠EAO,
∴tan30°,
∴;
②解:如图3,
设⊙O切CA′于点H,连接OH,
∴OH⊥CA′,
由(1)知:AA′⊥CA′,AA′⊥BD,OA=OC,
∴OH∥AA′,OE∥CA′,
∴△COH∽△CAA′,△AOE∽△ACA′,
∴,
∴AA′=2OH,CA′=2OE,
∴AA′=CA′,
∴∠A′AC=∠A′CA=45°,
∴∠AOE=∠ACA′=45°,
∴AE=OE,OD=OAAE,
设AE=OE=x,则OD=OA,
∴DE=OD﹣OE=()x,
在Rt△ADE中,由勾股定理得,
1,
∴x2,
∴S⊙O=π OE2.
13.(2022 广东)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC为⊙O的直径,∠ADB=∠CDB.
(1)试判断△ABC的形状,并给出证明;
(2)若AB,AD=1,求CD的长度.
【答案】(1)等腰直角三角形,证明见解答过程;
(2).
【分析】(1)根据圆周角定理,等腰直角三角形的判定定理解答即可;
(2)根据勾股定理解答即可.
【解答】解:(1)△ABC是等腰直角三角形,证明过程如下:
∵AC为⊙O的直径,
∴∠ADC=∠ABC=90°,
∵∠ADB=∠CDB,
∴,
∴AB=BC,
又∵∠ABC=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形.
(2)在Rt△ABC中,AB=BC,
∴AC=2,
在Rt△ADC中,AD=1,AC=2,
∴CD.
即CD的长为:.
14.(2022 深圳)一个玻璃球体近似半圆O,AB为直径.半圆O上点C处有个吊灯EF,EF∥AB,CO⊥AB,EF的中点为D,OA=4.
(1)如图①,CM为一条拉线,M在OB上,OM=1.6,DF=0.8,求CD的长度.
(2)如图②,一个玻璃镜与圆O相切,H为切点,M为OB上一点,MH为入射光线,NH为反射光线,∠OHM=∠OHN=45°,tan∠COH,求ON的长度.
(3)如图③,M是线段OB上的动点,MH为入射光线,∠HOM=50°,HN为反射光线并与半圆O交于点N,在M从O运动到B的过程中,求N点的运动路径长.
【答案】(1)2;(2);(3)4π.
【分析】(1)根据题意得出DF是△COM的中位线,即点D是OC的中点,据此求解即可;
(2)过点N作ND⊥OH于点D,根据题意得到△NHD是等腰直角三角形,则ND=HD,根据锐角三角函数求出ND,OD,再根据勾股定理求解即可;
(3)如图,当点M与点O重合时,点N也与点O重合,当点M运动至点B时,点N运动至点T,故点N的运动路径长为OA的长,据此求解即可.
【解答】解:(1)∵OM=1.6,DF=0.8,EF∥AB,
∴DF是△COM的中位线,
∴点D是OC的中点,
∵OC=OA=4,
∴CD=2;
(2)如图②,过点N作ND⊥OH于点D,
∵∠OHN=45°,
∴△NHD是等腰直角三角形,
∴ND=HD,
∵tan∠COH,∠NDO=90°,
∴,
设ND=3x=HD,则OD=4x,
∵OH=OA=4,
∴OH=3x+4x=4,
∴x,
∴ND3,OD4,
∴ON;
(3)如图,当点M与点O重合时,点N也与点O重合,当点M运动至点B时,点N运动至点T,故点N的运动路径长为OA的长,
∵∠HOM=50°,OH=OB,
∴∠OHB=∠OBH=65°,
∵∠OHM=∠OHT,OH=OT,
∴∠OTH=∠OHT=65°,
∴∠TOH=50°,
∴∠AOT=180°﹣50°﹣50°=80°,
∴的长π,
∴点N的运动路径长=4π.
15.(2021 深圳)如图,AB为⊙O的弦,D,C为的三等分点,延长DC至点E,AC∥BE.
(1)求证:∠A=∠E;
(2)若BC=3,BE=5,求CE的长.
【答案】(1)见解析;
(2).
【分析】(1)根据平行线的性质及圆周角定理求得角之间的关系即可;
(2)根据圆周角定理推出各个角之间的关系、各边之间的关系,再结合图形利用相似三角形的性质得出对应线段成比例,列出方程求解即可.
【解答】(1)证明:
∵AC∥BE,
∴∠E=∠ACD,
∵D,C为的三等分点,
∴,
∴∠ACD=∠A,
∴∠E=∠A,
(2)解:由(1)知,
∴∠D=∠CBD=∠A=∠E,
∴BE=BD=5,BC=CD=3,△CBD∽△BED,
∴,即,
解得DE,
∴CE=DE﹣CD3.
16.(2021 广东)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,∠ABC=90°,点E、F分别在线段BC、AD上,且EF∥CD,AB=AF,CD=DF.
(1)求证:CF⊥FB;
(2)求证:以AD为直径的圆与BC相切;
(3)若EF=2,∠DFE=120°,求△ADE的面积.
【答案】(1)(2)证明见解答;(3)
【分析】(1)先判断出∠DFE=2∠EFC,同理判断出∠AFE=2∠BFE,进而判断出2∠BFE+2∠EFC=180°,即可得出结论;
(2)取AD的中点O,过点O作OH⊥BC于H,先判断出OH(AB+CD),进而判断出OHAD,即可得出结论;
(3)先求出∠CFE=60°,CE=2,再判断出四边形CEMD是矩形,得出DM=2,过点A作AN⊥EF于N,同理求出AN,即可得出结论.
【解答】(1)证明:∵CD=DF,
∴∠DCF=∠DFC,
∵EF∥CD,
∴∠DCF=∠EFC,
∴∠DFC=∠EFC,
∴∠DFE=2∠EFC,
∵AB=AF,
∴∠ABF=∠AFB,
∵CD∥EF,CD∥AB,
∴AB∥EF,
∴∠EFB=∠AFB,
∴∠AFE=2∠BFE,
∵∠AFE+∠DFE=180°,
∴2∠BFE+2∠EFC=180°,
∴∠BFE+∠EFC=90°,
∴∠BFC=90°,
∴CF⊥BF;
(2)证明:如图1,取AD的中点O,过点O作OH⊥BC于H,
∴∠OHC=90°=∠ABC,
∴OH∥AB,
∵AB∥CD,
∴OH∥AB∥CD,
∵AB∥CD,AB≠CD,
∴四边形ABCD是梯形,
∴点H是BC的中点,
∴OH(AB+CD),
连接CO并延长交BA的延长线于G,
∴∠G=∠DCO,
在△AOG和△DOC中,

∴△AOG≌△DOC(AAS),
∴AG=CD,OC=OG,
∴OH是△BCG的中位线,
∴OHBG(AB+AG)(AF+DF)AD,
∵OH⊥BC,
∴以AD为直径的圆与BC相切;
(3)如图2,
由(1)知,∠DFE=2∠EFC,
∵∠DFE=120°,
∴∠CFE=60°,
在Rt△CEF中,EF=2,∠ECF=90°﹣∠CFE=30°,
∴CF=2EF=4,
∴CE2,
∵AB∥EF∥CD,∠ABC=90°,
∴∠ECD=∠CEF=90°,
过点D作DM⊥EF,交EF的延长线于M,
∴∠M=90°,
∴∠M=∠ECD=∠CEF=90°,
∴四边形CEMD是矩形,
∴DM=CE=2,
过点A作AN⊥EF于N,
∴四边形ABEN是矩形,
∴AN=BE,
由(1)知,∠CFB=90°,
∵∠CFE=60°,
∴∠BFE=30°,
在Rt△BEF中,EF=2,
∴BE=EF tan30°,
∴AN,
∴S△ADE=S△AEF+S△DEF
EF ANEF DM
EF(AN+DM)
2×(2)

17.(2021 广州)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l:yx+4分别与x轴,y轴相交于A、B两点,点P(x,y)为直线l在第二象限的点.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)设△PAO的面积为S,求S关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;
(3)作△PAO的外接圆⊙C,延长PC交⊙C于点Q,当△POQ的面积最小时,求⊙C的半径.
【答案】(1)A(﹣8,0),B(0,4);(2)S=2x+16(﹣8<x<0);(3)4.
【分析】(1)根据直线yx+4分别与x轴,y轴相交于A、B两点,令x=0,则y=4;令y=0,则x=﹣8,即得A,B的坐标;
(2)设P(x,),根据三角形面积公式,表示出S关于x的函数解析式,根据P在线段AB上得出x的取值范围;
(3)将S△POQ表示为OP2,从而当△POQ的面积最小时,此时OP最小,而OP⊥AB时,OP最小,借助三角函数求出此时的直径即可解决问题.
【解答】解:(1)∵直线yx+4分别与x轴,y轴相交于A、B两点,
∴当x=0时,y=4;
当y=0时,x=﹣8,
∴A(﹣8,0),B(0,4);
(2)∵点P(x,y)为直线l在第二象限的点,
∴P(x,),
∴S△APO2x+16(﹣8<x<0);
∴S=2x+16(﹣8<x<0);
(3)∵A(﹣8,0),B(0,4),
∴OA=8,OB=4,
在Rt△AOB中,由勾股定理得:
AB,
在⊙C中,∵PQ是直径,
∴∠POQ=90°,
∵∠BAO=∠Q,
∴tanQ=tan∠BAO,
∴,
∴OQ=2OP,
∴S△POQ,
∴当S△POQ最小时,则OP最小,
∵点P在线段AB上运动,
∴当OP⊥AB时,OP最小,
∴S△AOB,
∴,
∵sinQ=sin∠BAO,
∴,
∴,
∴PQ=8,
∴⊙C半径为4.
1.如图,点A,B,C均在⊙O上,∠BOC=100°,则∠BAC的度数为(  )
A.70° B.60° C.50° D.40°
【答案】C
【分析】直接利用圆周角定理求解.
【解答】解:∵∠BAC为所对的圆周角,∠BOC为所对的圆心角,
∴∠BAC∠BOC100°=50°.
故选:C.
2.如图,△ABC内接于⊙O,CD是⊙O的直径,∠BCD=54°,则∠A的度数是(  )
A.36° B.33° C.30° D.27°
【答案】A
【分析】首先连接BD,由CD是⊙O的直径,根据直径所对的圆周角是直角,即可求得∠CBD的度数,继而求得∠D的度数,然后由圆周角定理,求得∠A的度数.
【解答】解:连接BD,
∵CD是⊙O的直径,
∴∠CBD=90°,
∵∠BCD=54°,
∴∠D=90°﹣∠BCD=36°,
∴∠A=∠D=36°.
故选:A.
3.如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,连接AC,BC.若∠A=70°,则∠B的度数是(  )
A.50° B.40° C.35° D.20°
【答案】D
【分析】先根据圆周角定理得到∠BAC=90°,然后利用直角三角形的两锐角互余计算∠B的度数.
【解答】解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠BAC=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∵∠A=70°,
∴∠B=20°.
故选:D.
4.已知点A是⊙O外一点,且⊙O的半径为6,则OA的长可能为(  )
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】D
【分析】根据点在圆外,点到圆心的距离大于圆的半径6可对各选项进行判断.
【解答】解:∵点A是⊙O外一点,
∴OA>6,
∴OA的长可能为8.
故选:D.
5.如图,圆上依次有A,B,C,D四个点,AC,BD交于点P,连接AD,AB,BC,则图中一定等于∠C的角是(  )
A.∠CAD B.∠CBD C.∠ABD D.∠D
【答案】D
【分析】根据,可得∠D=∠C,即可求解.
【解答】解:∵,
∴∠D=∠C,
故选:D.
6.杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥,桥面呈拱形.该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥,此圆拱桥的跨径(桥拱圆弧所对的弦的长)约为3.2m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)约为2m,则此桥拱的半径是(  )
A.1.62m B.1.64m C.1.14m D.3.56m
【答案】B
【分析】设圆心为O,作OD⊥AB于点D,DO的延长线交圆弧为点C,设半径为Rm,根据垂径定理得AD=BD=1.6m,OD=(2﹣R)m,由勾股定理得:R2=1.62+(2﹣R)2,即可求出答案.
【解答】解:如图,设圆心为O,作OD⊥AB于点D,DO的延长线交圆弧为点C,则C为优弧AB的中点,设半径为R m,
∴AD=BDAB=1.6m,CD=2m,
∴OD=(2﹣R)m,
由勾股定理得:OA2=OD2+AD2,
∴R2=1.62+(2﹣R)2,
解得:R=1.64,
故选:B.
7.如图,AB为⊙O的弦,半径OC⊥AB,垂足为点D.如果AB=10cm,CD=3cm,那么⊙O的半径是 cm.
【答案】.
【分析】连接OA,先由垂径定理得AD=BD=4(cm),设⊙O的半径为r cm,则OD=(r﹣2)cm,然后在Rt△AOD中,由勾股定理得出方程,解方程即可.
【解答】解:连接OA,如图所示:
∵半径OC⊥AB,AB=10cm,
∴AD=BDAB=5(cm),
设⊙O的半径为r cm,则OD=(r﹣3)cm,
在Rt△AOD中,由勾股定理得:52+(r﹣3)2=r2,
解得:r,
即⊙O的半径为cm,
故答案为:.
8.长方形ABCD中,以点A为圆心AD的长为半径画弧交AB于点E,以DC为直径的半圆与AB相切,切点为E,已知AB=4,则图中阴影部分的面积为    .(结果保留π)
【答案】2π﹣4.
【分析】取CD中点O,连接OE,由切线的性质得到OE⊥AB,由矩形的性质推出∠A=∠ADC=90°,又OD=OE,推出四边形ADOE是正方形,得到阴影的面积=扇形ODE的面积+扇形ADE的面积﹣正方形ADOE的面积,即可求出阴影的面积2﹣2×2=2π﹣4.
【解答】解:取CD中点O,连接OE,
∵AB与半圆相切于E,
∴OE⊥AB,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠ADC=90°,
∴四边形ADOE是矩形,
∵OD=OE,
∴四边形ADOE是正方形,
∴阴影的面积=扇形ODE的面积+扇形ADE的面积﹣正方形ADOE的面积,
∵AB=4,
∴正方形ADOE的边长是2,
∴阴影的面积2﹣2×2=2π﹣4.
故答案为:2π﹣4.
9.如图,AB是⊙O的直径,,∠COD=50°,求∠AOD的度数.
【答案】80°.
【分析】根据圆的性质进行计算即可得.
【解答】解:在⊙O中,AB是⊙O的直径,
∴∠AOB=180°,
又∵,
∴∠BOC=∠COD=50°,
∴∠AOD=180°﹣50°﹣50°=80°.
10.如图,已知AB是⊙O的直径,射线BC交⊙O于点D,∠ABD的平分线交⊙O于点E,过点E作EF⊥BC于点F,延长FE与BA的延长线交于点G.
(1)求证:GF是⊙O的切线;
(2)若AG=3,,求⊙O的半径.
【答案】(1)证明见解答过程;
(2).
【分析】(1)连接OE,由∠ABD的平分线交⊙O于点E,知∠1=∠2,由∠2=∠3可证OE∥BF,根据BF⊥GF得OE⊥GF,得证;
(2)设OA=OE=r,在Rt△GOE中由勾股定理求得r.
【解答】(1)证明:如图,连接OE,
∵∠ABD的平分线交⊙O于点E,
∴∠1=∠2,
∵∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∴OE∥BF,
∵BF⊥GF,
∴OE⊥GF,
∴GF是⊙O的切线;
(2)解:设OA=OE=r,
在Rt△GOE中,AG=3,GE=4,
由OG2=GE2+OE2得:(3+r)2=(4)2+r2,
解得:r,
故⊙O的半径为.
11.如图,AB为⊙O直径,C为⊙O上一点,过点C作⊙O的切线,与AB的延长线交于点D.
(1)求证:∠BCD=∠A;
(2)若BD=2,CD=4,求sin∠ABC的值.
【答案】(1)见解答;
(2).
【分析】(1)连接OC,如图,先利用圆周角定理得到∠ACB=90°,利用切线的性质得到∠OCD=90°,再根据等角的余角相等证明∠OCA=∠BCD,然后利用∠OCA=∠A得到结论;
(2)设⊙O的半径为r,则OC=OB=r,证明△DBC∽△DCA得到,则设BC=x,则AC=2x,所以ABx,然后根据正弦的定义求解.
【解答】(1)证明:连接OC,如图,
∵AB为⊙O直径,
∴∠ACB=90°,
∵CD为⊙O的切线,
∴OC⊥CD,
∴∠OCD=90°,
∵∠OCA+∠OCB=90°,∠BCD+∠OCB=90°,
∴∠OCA=∠BCD,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠A,
∴∠A=∠BCD;
(2)解:∵∠BCD=∠A,∠BDC=∠CDA,
∴△DBC∽△DCA,
∴,
设BC=x,则AC=2x,
∴ABx,
在Rt△ABC中,sin∠ABC.
12.如图,AB为⊙O的直径,OC⊥AB交⊙O于点C,D为OB上一点,延长CD交⊙O于点E,延长OB至F,使DF=FE,连接EF.
(1)求证:EF为⊙O的切线;
(2)若OD=1且BD=BF,求⊙O的半径.
【答案】(1)见解析;
(2)3.
【分析】(1)连接OE,根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论;
(2)设⊙O的半径EO=BO=r,则BD=BF=r﹣1,FE=2BD=2(r﹣1),在Rt△FEO中,由勾股定理得出方程求解即可.
【解答】解:(1)证明:如图,连接OE,
∵OE=OC,
∴∠OEC=∠OCE,
∵DF=FE,
∴∠FED=∠FDE,
∵∠FDE=∠CDO,∠CDO+∠OCD=90°,
∴∠FED+∠OEC=90°,
即∠FEO=90°,
∴OE⊥FE,
∵OE是半径,
∴EF为⊙O的切线;
(2)解:设⊙O的半径EO=BO=r,则BD=BF=r﹣1,
∴FE=2BD=2(r﹣1),
在Rt△FEO中,由勾股定理得,
FE2+OE2=OF2,
∴(2r﹣2)2+r2=(2r﹣1)2,
解得r=3,或r=1(舍去),
∴⊙O的半径为3.
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第四章 图形的性质
第十八节 圆
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1:圆的有关概念与性质 ☆☆☆ 圆的知识内容在全国各地的中考均属于必考知识,其中主要包括:圆的有关概念、圆的对称性、圆周角及圆心角、直线与圆的位置关系、扇形弧长及面积、圆锥侧面积的计算等内容,广东中考每年涉及到圆的考查有15分上下,比重是比较大的,多以中等难度的选择、填空题以及中等较偏难的综合性解答题考查为主,再选择题或者填空考查对于大多数考生来说属于较易拿分题,在解答题中,证切线是比较有机会考查且拿分的,一轮复习的时候务必掌握好相关基础知识,力争把非难题的分值拿下来,平时多加练习,万变不离其宗,回归知识本身,合理运用知识解答。
考点2:点与圆、直线与圆的位置关系 ☆☆☆
考点3:与圆有关的计算 ☆☆☆
考点1:圆的有关概念与性质
1.与圆有关的概念和性质
圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
弦与直径:连接_____任意两点的线段叫做弦,过圆心的弦叫做直径,_____是圆内最长的弦.
弧:圆上任意两点间的部分叫做弧,小于_____的弧叫做劣弧,大于_____的弧叫做优弧.
圆心角:顶点在_____的角叫做圆心角.
圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.
弦心距:_____到弦的距离.
2.圆的对称性
圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴;
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形;
圆具有旋转不变性.
3.圆的确定:不在同一直线上的三个点确定一个圆(圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小).
4.垂直于弦的直径
垂径定理:垂直于弦的直径_____这条弦,并且_____弦所对的两条弧.
推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理及其推论可概括为:
过圆心
垂直于弦
直径 平分弦 知二推三
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧
5.圆心角、弧、弦之间的关系
定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧_____,所对的弦也_____.
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量_____,那么它们所对应的其余各组量也_____.
6.圆周角
圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的_____.
推论1:在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.
考点2:点与圆、直线与圆的位置关系
1.点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:
点P在圆_____d>r;
点P在圆_____d=r;
点P在圆_____d<r.
2.圆的确定:
①过一点的圆有无数个;
②过两点的圆有无数个;
③经过在同一直线上的三点不能作圆;
④不在同一直线上的三点确定一个圆。
3.直线和圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
图形
公共点个数 0个 1个 2个
数量关系 d>r d=r d(1)切线的判定
切线的判定定理 经过半径的外端并且_____于这条半径的直线是圆的切线.(会过圆上一点画圆的切线)
(2)切线的性质:切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径.
(3)切线长和切线长定理
切线长:经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.
切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
4.三角形的外接圆相关概念
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做圆的内接三角形.外心是三角形三条垂直平分线的交点,它到三角形的三个顶点的距离相等.
5.三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.内心是三角形三条角平分线的交点,它到三角形的三条边的距离相等.
考点3:与圆有关的计算
1.正多边形的有关概念:
(1) 正多边形:各边_____,各角也_____的多边形叫做正多边形.
(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.
(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.
(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.(正多边形内切圆的半径)
(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.
2.正多边形与圆的关系:
(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器),依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.
(3)把圆分成n(n≥3)等分,经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.
(4)任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.
3.正多边形性质:
(1)任何正多边形都有一个外接圆.
(2) 正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心.当边数是偶数时,它又是中心对称图形,它的中心就是对称中心.
(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比,边心距的比,半径的比都等于相似比,面积的比等于相似比的平方.
(4)任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.
(5)正n边形的有n个相等的外角,而正n边形的外角和为360度,所以正n边形每个外角的度数是;所以正n边形的中心角等于它的外角.
(6)边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长(或半径、边心距)的比.面积比等于它们边长(或半径、边心距)平方的比.
4.弧长和扇形面积的计算:扇形的弧长l=;扇形的面积S==.
5.圆锥与侧面展开图
(1)圆锥侧面展开图是一个扇形,扇形的半径等于圆锥的_____,扇形的弧长等于圆锥的底面_____.
(2)若圆锥的底面半径为r,母线长为l,则这个扇形的半径为l,扇形的弧长为2πr,
6.圆锥的侧面积为S圆锥侧=.
圆锥的表面积:S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·(l+r).
在求不规则图形的面积时,注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形,再利用规则图形的公式求解.
考点1:圆的有关概念与性质
◇例题
1.(2022 南山区校级模拟)数学知识在生产和生活中被广泛应用,下列实例所应用的最主要的几何知识,说法正确的是(  )
A.学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成,应用了“菱形的对角线互相垂直平分”
B.车轮做成圆形,应用了“圆是中心对称图形”
C.射击时,瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上,应用了“两点确定一条直线”
D.地板砖可以做成矩形,应用了“矩形对边相等”
2.(2023 陆丰市二模)如图,在扇形AOB中,∠AOB=130°,OA=3,若弦BC∥AO,则的长为(  )
A. B. C. D.
3.(2023 东莞市校级模拟)如图,在半径为13的⊙O中,M为弦AB的中点,若OM=12,则AB的长为  .
4.(2023 龙岗区校级一模)“圆”是中国文化的一个重要精神元素,在中式建筑中有着广泛的应用.例如古典园林中的门洞.如图,某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m,地面入口宽为1m,则该门洞的半径为    m.
5.(2023 东莞市一模)如图,AB是⊙O的弦,C是的中点,OC交AB于点D,若AB=8cm,CD=2cm,求⊙O的半径.
◆变式训练
1.(2022 潮安区模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10.若以点C为圆心,CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D,则⊙C的半径为(  )
A. B.8 C.6 D.5
2.(2023 福田区校级三模)如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB,垂足为C,OD∥AB,OCOD,则∠ABD的度数为(  )
A.90° B.95° C.100° D.105°
3.(2023 荔湾区校级二模)下列语句中,正确的有(  )
①相等的圆心角所对的弧相等;
②平分弦的直径垂直于弦;
③长度相等的两条弧是等弧;
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.(2022 龙岗区模拟)如图,△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上,若∠ABC+∠AOC=75°,则∠OAC的大小是(  )
A.25° B.50° C.65° D.75°
5.(2023 封开县一模)已知:如图OA,OB是⊙O的两条半径,且OA⊥OB,点C在⊙O上,则∠ACB的度数为(  )
A.45° B.40° C.35° D.50°
6.(2023 佛山一模)如图,在⊙O中,∠O=50°,则∠A的度数是(  )
A.25° B.30° C.50° D.100°
7.(2023 南海区校级模拟)如图,线段CD是⊙O的直径,CD⊥AB于点E,若AB长为16,OE长为6,则⊙O半径是(  )
A.5 B.6 C.8 D.10
8.(2023 荔湾区校级二模)如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点F,OE⊥AC于点E,若OE=3,OB=5,则CD的长度是 .
9.(2023 东莞市校级一模)如图,某同学准备用一根内半径为5cm的塑料管裁一个引水槽,使槽口宽度AB为8cm,则槽的深度CD为    cm.
考点2:点与圆、直线与圆的位置关系
◇例题
1.(2023 南海区校级模拟)已知在平面直角坐标系中,P点坐标为(3,4),若以原点O为圆心,半径为5画圆,则点P与⊙O的位置关系是(  )
A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆外 D.不能确定
2.(2022 潮南区模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点E是BC的中点,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,连接DE.
(1)判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若CD=6,DE=5,求⊙O的直径.
◆变式训练
1.(2023 斗门区一模)已知的⊙O半径为3cm,点P到圆心O的距离OP=2cm,则点P(  )
A.在⊙O外 B.在⊙O上 C.在⊙O内 D.无法确定
2.(2022 金平区校级模拟)在平面直角坐标系中,⊙A的圆心坐标为(3,5),半径为方程x2﹣2x﹣15=0的一个根,那么⊙A与x轴的位置关系是   .
3.(2023 茂南区二模)如图,AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,OC⊥OA,CO交AB于点P,交⊙O于点D,且CP=CB.
(1)判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若∠A=30°,OP=2,求图中阴影部分的面积.
4.(2022 香洲区校级三模)如图,已知△ABC,以BC为直径的⊙O交AB于点D,点E为的中点,连接CE交AB于点F,且AF=AC.
(1)判断直线AC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若⊙O的半径为2,sinA,求CE的长.
考点3:与圆有关的计算
◇例题
1.(2023 德庆县二模)若扇形的半径是12cm弧长是20πcm,则扇形的面积为(  )
A.120πcm2 B.240πcm2 C.360πcm2 D.60πcm2
2(2023 南海区模拟)如图,已知圆O的内接正六边形的边长为4,H为边AF的中点,则图中阴影部分的面积是   .
3.(2023 东莞市校级模拟)如图,扇形AOB中,∠AOB=90°,点C,D分别在OA,上,连接BC,CD,点D,O关于直线BC对称,的长为π,则图中阴影部分的面积为(  )
A. B. C. D.
◆变式训练
1.(2023 南山区二模)刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”,利用圆的内接正多边形来确定圆周率,开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元.某同学在学习“割圆术”的过程 中,作了一个如图所示的圆内接正八边形.若⊙O的半径为1,则这个圆内接正八边形的面积为(  )
A.π B.2π C. D.
2.(2023 东莞市一模)如图,“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心,以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.已知正三角形的边长为1,则凸轮的周长等于(  )
A. B. C.π D.2π
3.(2023 蕉岭县一模)如图,在半径为6cm的⊙O中,点A是劣弧的中点,点D是优弧上一点,且∠D=30°,下列四个结论:①OA⊥BC;②BC=3cm;③扇形OCAB的面积为12π;④四边形ABOC是菱形.其中正确结论的序号是(  )
A.①③ B.①②③④ C.②③④ D.①③④
1.(2023 广东)如图,AB是⊙O的直径,∠BAC=50°,则∠D=(  )
A.20° B.40° C.50° D.80°
2.(2023 广州)如图,△ABC的内切圆⊙I与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,若⊙I的半径为r,∠A=α,则(BF+CE﹣BC)的值和∠FDE的大小分别为(  )
A.2r,90°﹣α B.0,90°﹣α C.2r, D.0,
3.(2022 深圳)已知三角形ABE为直角三角形,∠ABE=90°,DE为圆的直径,BC为圆O切线,C为切点,CA=CD,则△ABC和△CDE面积之比为(  )
A.1:3 B.1:2 C.:2 D.(1):1
4.(2022 深圳)下列说法错误的是(  )
A.对角线垂直且互相平分的四边形是菱形
B.同圆或等圆中,同弧对应的圆周角相等
C.对角线相等的四边形是矩形
D.对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
5.(2021 广州)一根钢管放在V形架内,其横截面如图所示,钢管的半径是24cm,若∠ACB=60°,则劣弧AB的长是(  )
A.8πcm B.16πcm C.32πcm D.192πcm
6.(2023 深圳)如图,在⊙O中,AB为直径,C为圆上一点,∠BAC的角平分线与⊙O交于点D,若∠ADC=20°,则∠BAD=  °.
7.(2022 广东)扇形的半径为2,圆心角为90°,则该扇形的面积(结果保留π)为    .
8.(2022 广州)如图,在△ABC中,AB=AC,点O在边AC上,以O为圆心,4为半径的圆恰好过点C,且与边AB相切于点D,交BC于点E,则劣弧的长是    .(结果保留π)
9.(2021 广东)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=3.点D为平面上一个动点,∠ADB=45°,则线段CD长度的最小值为   .
10.(2021 广东)如图,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=4.分别以点B、点C为圆心,线段BC长的一半为半径作圆弧,交AB、BC、AC于点D、E、F,则图中阴影部分的面积为   .
11.(2023 广州)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(﹣2,0),B(0,2),所在圆的圆心为O.将向右平移5个单位,得到(点A平移后的对应点为C).
(1)点D的坐标是    ,所在圆的圆心坐标是    ;
(2)在图中画出,并连接AC,BD;
(3)求由,BD,,CA首尾依次相接所围成的封闭图形的周长.(结果保留π)
12.(2023 广东)综合探究
如图1,在矩形ABCD中(AB>AD),对角线AC,BD相交于点O,点A关于BD的对称点为A′.连接AA′交BD于点E,连接CA′.
(1)求证:AA'⊥CA';
(2)以点O为圆心,OE为半径作圆.
①如图2,⊙O与CD相切,求证:;
②如图3,⊙O与CA′相切,AD=1,求⊙O的面积.
13.(2022 广东)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC为⊙O的直径,∠ADB=∠CDB.
(1)试判断△ABC的形状,并给出证明;
(2)若AB,AD=1,求CD的长度.
14.(2022 深圳)一个玻璃球体近似半圆O,AB为直径.半圆O上点C处有个吊灯EF,EF∥AB,CO⊥AB,EF的中点为D,OA=4.
(1)如图①,CM为一条拉线,M在OB上,OM=1.6,DF=0.8,求CD的长度.
(2)如图②,一个玻璃镜与圆O相切,H为切点,M为OB上一点,MH为入射光线,NH为反射光线,∠OHM=∠OHN=45°,tan∠COH,求ON的长度.
(3)如图③,M是线段OB上的动点,MH为入射光线,∠HOM=50°,HN为反射光线并与半圆O交于点N,在M从O运动到B的过程中,求N点的运动路径长.
15.(2021 深圳)如图,AB为⊙O的弦,D,C为的三等分点,延长DC至点E,AC∥BE.
(1)求证:∠A=∠E;
(2)若BC=3,BE=5,求CE的长.
16.(2021 广东)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,∠ABC=90°,点E、F分别在线段BC、AD上,且EF∥CD,AB=AF,CD=DF.
(1)求证:CF⊥FB;
(2)求证:以AD为直径的圆与BC相切;
(3)若EF=2,∠DFE=120°,求△ADE的面积.
17.(2021 广州)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l:yx+4分别与x轴,y轴相交于A、B两点,点P(x,y)为直线l在第二象限的点.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)设△PAO的面积为S,求S关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;
(3)作△PAO的外接圆⊙C,延长PC交⊙C于点Q,当△POQ的面积最小时,求⊙C的半径.
1.如图,点A,B,C均在⊙O上,∠BOC=100°,则∠BAC的度数为(  )
A.70° B.60° C.50° D.40°
2.如图,△ABC内接于⊙O,CD是⊙O的直径,∠BCD=54°,则∠A的度数是(  )
A.36° B.33° C.30° D.27°
3.如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,连接AC,BC.若∠A=70°,则∠B的度数是(  )
A.50° B.40° C.35° D.20°
4.已知点A是⊙O外一点,且⊙O的半径为6,则OA的长可能为(  )
A.2 B.4 C.6 D.8
5.如图,圆上依次有A,B,C,D四个点,AC,BD交于点P,连接AD,AB,BC,则图中一定等于∠C的角是(  )
A.∠CAD B.∠CBD C.∠ABD D.∠D
6.杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥,桥面呈拱形.该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥,此圆拱桥的跨径(桥拱圆弧所对的弦的长)约为3.2m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)约为2m,则此桥拱的半径是(  )
A.1.62m B.1.64m C.1.14m D.3.56m
7.如图,AB为⊙O的弦,半径OC⊥AB,垂足为点D.如果AB=10cm,CD=3cm,那么⊙O的半径是 cm.
8.长方形ABCD中,以点A为圆心AD的长为半径画弧交AB于点E,以DC为直径的半圆与AB相切,切点为E,已知AB=4,则图中阴影部分的面积为    .(结果保留π)
9.如图,AB是⊙O的直径,,∠COD=50°,求∠AOD的度数.
10.如图,已知AB是⊙O的直径,射线BC交⊙O于点D,∠ABD的平分线交⊙O于点E,过点E作EF⊥BC于点F,延长FE与BA的延长线交于点G.
(1)求证:GF是⊙O的切线;
(2)若AG=3,,求⊙O的半径.
11.如图,AB为⊙O直径,C为⊙O上一点,过点C作⊙O的切线,与AB的延长线交于点D.
(1)求证:∠BCD=∠A;
(2)若BD=2,CD=4,求sin∠ABC的值.
12.如图,AB为⊙O的直径,OC⊥AB交⊙O于点C,D为OB上一点,延长CD交⊙O于点E,延长OB至F,使DF=FE,连接EF.
(1)求证:EF为⊙O的切线;
(2)若OD=1且BD=BF,求⊙O的半径.
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