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二项式定理知识点及题型分类（含解析）
1、排列数公式
A＝＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，且m≤n)．
2、组合数公式
C＝＝(n，m∈N*，且m≤n)．
3、二项式展开式：
4、二项展开式的通项公式：
5、二项式系数表(杨辉三角)：展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 .
6、二项式系数的性质
(1)对称性：
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．直线是图象的对称轴．
(2)增减性与最大值：
当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项 ，取得最大值．
二项式系数和：
①C＝C，C＝C，…，C＝C； ②C＋C＋C＋…＋C＝2n；
③C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. ④，
奇数项的系数等于偶数项的系数等于，
奇数项的系数等于偶数项的系数等于.
特别提醒
1. 在运用二项式定理时一定要牢记通项公式.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分.
2．在使用通项公式时，要注意通项公式是表示第项，而不是第项.
专题训练
一、二项式展开式
1．二项式的展开式的常数项是（　　）
A．5 B．7 C．4 D．6
2．已知展开式中的第三项的系数为45，则（　　）
A． B．展开式中所有系数和为
C．二项式系数最大的项为中间项 D．含的项是第7项
3．关于的展开式，下列结论正确的是（　　）
A．二项式系数和为1028 B．所有项的系数之和为
C．第6项的二项式系数最大 D．项的系数为360
4．在的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于　 　．
5． 的二项展开式中的常数项为　 　.(用数字作答)
6．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为，则二项展开式中的常数项为　 　．
二、两个二项式相乘
7．的展开式中的系数为（　　）
A． B． C． D．
8．已知的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含的项的系数为（　　）
A．20 B．25 C．30 D．35
9．若的展开式中常数项是10，则m＝（　　）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
10．已知的展开式中的系数为，则实数（　　）
A．2 B． C．1 D．
11．的展开式中的系数为（　　）
A． B． C．672 D．112
12．若的展开式中二项式系数之和为，则的展开式中的系数为　 　．
三、多项式展开式
13．的展开式中的系数为（　　）
A．200 B．210 C．220 D．240
14．(2x +x-y)5的展开式中x y 的系数为　 　(用数字作答).
15．展开式中含项的系数为　 　．
16．的展开式中，的系数为　 　．
17．已知，则　 　．
18．已知二项式的常数项为 ，则　 　.
四、系数问题
19．已知，则=（　　）
A．15 B．16 C．7 D．8
20．若，则（　　）
A．1 B．-1 C．15 D．-15
21．已知，则（　　）
A．
B．
C．
D．
22．已知(1-x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则（　　）
A．a0=1 B．a1+a2+a3+…+a9=0
C．a1+a3+a5+a7+a9=-256 D．2a1+22a2+23a3+…+29a9=-2
23．已知，则　 　.
24．已知，则　 　.
五、二项式整除问题
25．除以5的余数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
26．已知，则被10除所得的余数为（　　）
A．9 B．3 C．1 D．0
27．除以所得的余数为　 　.
28．已知，若，则被6除所得的余数为　 　.
29．（1）求除以15的余数；
（2）若，求的值；
（3）求展开式中系数最大的项．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：的展开式通项为，令得，展开式的常数项是.
故答案为：B.
【分析】先求出的展开式通项，令的指数为0，即可求展开式的常数项.
2．【答案】B,C,D
【解析】【解答】A、 展开式的第三项为，第三项的系数为，解得，A错误；
B、令得到展开式中所有系数和为，B正确 ；
C、由知展开式有11项，二项式系数最大的项为中间项 ，C正确 ；
D、 展开式 的通项为，令，解得，含的项是第7项 ，D正确。
故答案为：BCD
【分析】由二项式定理写出展开式的第三项求出n进而判断选项。
3．【答案】B,C
【解析】【解答】对A：的的展开式二项式系数和为，故A错误；
对B：令，可得中所有项的系数之和为，故B正确；
对C：因为10为偶数，所以的展开式中第项的二项式系数最大，故C正确；
对D：的展开式的通项为，
令得，此时，
所以项的系数为180，故D错误．
故答案为：BC.
【分析】对A：由题意得二项式系数和公式求解进行判断，对B：令可求得结果，对C：由二项式系数的性质进行判断，对D：求出二项式展开式的通项公式，令x的次数为，求出k，然后代入通项公式可求得结果.
4．【答案】252
5．【答案】160
【解析】【解答】由题得 ，
令 .
所以二项展开式的常数项为 .
故答案为：160.
【分析】先求出 ，再令 求出 即得解.
6．【答案】240
【解析】【解答】解：在的展开式中，二项式系数和为令可得的展开式中，各项系数和为因为 在的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为 ，则解得：故展开式的通项为：则当即时，此时展开式为常数项为：
故答案为：.
【分析】根据二次项展开式二项式系数和为各项系数和为结合题意可求得：然后在根据展开式通项公式求出常数项即可求解.
7．【答案】A
【解析】【解答】的展开式的通项公式为
所以的展开式中的系数为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合分类讨论的方法得出的展开式中的系数.
8．【答案】B
【解析】【解答】所有项的系数之和为64，∴，∴
，展开式第项，
时，，，
时，，，，
故答案为：B．
【分析】根据所有项的系数之和求出，写出的展开式，求与二项式中含的项相乘所得的项，-1与二项式中含的项相乘所得的项，两项相加，即为的展开式中含的项.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：若的通项为，
所以展开式的常数项为，
解得m=2.
故答案为：D.
【分析】先求出的通项，而展开式的常数项是x与展开式中的项的乘积加上与展开式中的项的乘积.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：由于展开式的通项为，故的展开式中的系数为，所以实数.
故答案为：C.
【分析】根据题意，利用二项式展开式的通项公式求解实数a即可.
11．【答案】A
【解析】【解答】解：因为的展开式的通项为，
且，所以的系数为.
故答案为：A.
【分析】由题意可得，再结合的二项展开式的通项公式运算求解即可.
12．【答案】-15
【解析】【解答】∵的展开式中二项式系数之和为，
∴，
，
系数的系数为正：，
系数的系数为负：，
∴的系数为，
故答案为：-15.
【分析】根据二次项系数的性质求出n，再利用二项式的通项公式求出二项式系数.
13．【答案】B
【解析】【解答】因为，
则其展开式为，
令，可得，
所以的系数为210.
故答案为：210.
【分析】根据题意可得，结合二项展开式的通项公式运算求解.
14．【答案】120
【解析】【解答】解：(2x +x-y)5是5个2x +x-y相乘，
若展开式中出现x y ，则首先在这5个2x +x-y中的2个中取-y，然后在剩下的3个2x +x-y中的2个中取，最后在余下的一个2x +x-y中取x，即
所以(2x +x-y)5的展开式中x y 的系数为120。
故答案为：120.
【分析】利用已知条件结合分步乘法计数原理和组合数公式，进而得出(2x +x-y)5的展开式中x y 的系数。
15．【答案】-60
【解析】【解答】，
，
，
故答案为：.
【分析】根据二项式定理求出即可.
16．【答案】-40
【解析】【解答】解： 的通项公式为，
的通项公式为，
则 的通项公式为，
由题意得，
的展开式中，的系数为.
故答案为：-40
【分析】根据题意，写出通项公式，再列出方程组求解得r=3，k=1，从而得答案.
17．【答案】30
【解析】【解答】解：因为 ，
所以a3是含x3项的系数，
若从10个(1+x-x2)式子中取出7个1，3个x，0个(-x2)，可得到，
若从10个(1+x-x2)式子中取出8个1，1个x，1个(-x2)，可得到，
若从10个(1+x-x2)式子中取出大于或等于2个(-x2)，则无法得到含x3的项，
所以含x3的项为120x3-90x3=30x3，即含x3项的系数为30，
所以，故答案是：30.
【分析】利用二项式定理的原理和组合的意义求解即可.
18．【答案】-2
【解析】【解答】由题意可知，
则其通项为，
而的通项为，
令，
当时，；当时，；当时，，不合题意，
由二项式的常数项为，可得，
即，解得，
故答案为：-2
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式和求和法得出二项式中的常数项，进而得出实数a的值。
19．【答案】A
【解析】【解答】解：因为 ，可得，
则 ，所以 .
故答案为：A.
【分析】由二项式定理可知，，结合题意运算求解.
20．【答案】A
【解析】【解答】解：由已知，令，可得.
故答案为：A.
【分析】利用赋值法，令，计算求解即可.
21．【答案】A,C,D
【解析】【解答】对于A：令，可得 ，故A正确；
对于B：令，可得 ，
所以 ， 故B错误；
对于C：令，可得 ，
可得 ，所以 ，故C正确；
对于D：令，可得 ，
可得 ，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】对A：令即可得结果；对B：令结合 运算求解；对于C：令，结合选项B运用求解；对D：令结合运算求解.
22．【答案】A,C,D
【解析】【解答】对A，令，可得，故A正确；
对B，令，可得，
所以，故B错误；
对C，令，可得，
所以 ，故C正确；
对D，令，可得，
所以，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】根据题意利用赋值法运算求解.
23．【答案】129
24．【答案】243
【解析】【解答】解：令，代入
可得，
，
等式两边同时乘以，
，
∴，
故答案为：243.
【分析】利用特殊值法，令代入，再等式两边同时乘以，即可求出．
25．【答案】D
【解析】【解答】由题意可知，，
由此可知除以5的余数，即为除以的余数，故所求余数为4.
故答案为：D.
【分析】利用二项式定理即可求解即可.
26．【答案】C
【解析】【解答】，
，又，都是10的倍数，
被10除所得的余数为1.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合二项式定理得出 被10除所得的余数 。
27．【答案】8
【解析】【解答】因为，则
，
因为能被17整除，
因此，除以17所得的余数为8.
故答案为：8.
【分析】根据余数定理的性质，可求出答案.
28．【答案】5
【解析】【解答】解：令，则，即，而，因为可以被6整数，所以余数为，即被6除所得的余数为5.
故答案为：5.
【分析】令，求得，改写为，再应用二项式定理展开接口求得余数.
29．【答案】（1）解：
，
除以15的余数为4.
（2）解：由已知得，
令，得，①
令，得，②
联立①②得，
令，得，所以
（3）解：的展开式通项为，
由不等式组，解得，
因为，所以，，
因此，展开式中系数最大的项为
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二项式定理和求余的方法，进而得出除以15的余数.
（2）利用已知条件结合二项式定理和赋值法和联立方程求解的方法，进而得出的值.
（3）利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合单调性得出k的取值范围，进而得出满足要求的k的值，从而得出展开式中系数最大的项.
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