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2024年浙江省宁波市中考数学模拟练习试题（解析版）
试卷共有三个大题，24个小题，满分为150分，考试时长为120分钟．
试题卷I
一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 两千多年前，中国人就开始使用负数.某班期末考试数学的平均成绩是83分，
小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，表示得了（ ）分．
A．86 B．83 C．87 D．80
【答案】D
【分析】本题考查正负数的概念，关键是掌握正负数表示的实际意义．由正负数的概念可计算．
【详解】解：平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，
则
表示得了80分，
故选：D．
2. 下列计算正确的是（ ）
A．a+2a=3a B． C． D．
【答案】A
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，幂的乘方运算，同底数幂的乘法逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. a+2a=3a，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意．
故选A．
3 .华为Mate60Pro手机是全球首款支持卫星通话的智能手机．预计至2024年底，
这款手机的出货量将达到70000000台．将70000000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示为的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【详解】解：，
故选：C．
4.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选A．
5. 已知点P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据题意列出不等式组，求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可．
【详解】解：∵点P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，
∴，
解得：1＜m＜3，
故选D．
6. 为了解某班学生双休户外活动情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，结果如下表：
户外活动的时间（小时） 1 2 3 6
学生人数（人） 2 2 4 2
则关于“户外活动时间”这组数据的众数、中位数、平均数分别是（ ）
A．3、3、3 B．6、2、3 C．3、3、2 D．3、2、3
【答案】A
【详解】试题分析：根据这组数据共10人，可得中位数为第5和第6人的平均数，即中位数=（3+3）÷2=3；平均数=（1×2+2×2+3×4+6×2）÷10=3；众数是一组数据中出现次数最多的数据，所以众数为3；
故选A．
如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，
点B的横坐标为，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．
【答案】A
【分析】根据不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围进行求解即可．
【详解】解：由题意得不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围，
∴不等式的解集为或，
故选A．
8 . 2024年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：
2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．
则1艘大船可以满载游客的人数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．19
【答案】D
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故选D
9. 对于二次函数．下列说法不正确的是（ ）
A．对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过点和两点
B．该函数图象与x轴必有交点
C．若，当时，y随x的增大而减小
D．若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么
【答案】D
【分析】将二次函数解析式进行变形可得该二次函数的图象经过和两点，则A、B正确；求出抛物线对称轴，根据，结合二次函数的性质可得C正确；求出时，，，可知该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点时，则D错误．
【详解】解：A、∵，
∴对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过和两点，故A正确；
B、∵该二次函数的图象过点，
∴该函数图象与x轴必有交点，故B正确；
C、∵二次函数的对称轴是直线，
∴若，则，该函数图象开口向下，
∴若，当时，y随x的增大而减小，故C正确；
D、∵，
∴当时，，，
∴若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么，故D错误；
故选：D．
10. 如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，
若，，则的长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】C
【分析】根据折叠的性质可得，设，则，则，在中勾股定理建列方程，求得，进而求得，根据，可得，即，求得，在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，
,，
，，
设，则，，
在中，
即，
解得，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
．
故选C．
试题卷Ⅱ
二、填空题（每小题5分，共30分）
11. 因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了根据平方差公式“”进行因式分解，直接根据平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：；
故答案为：．
12. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 .
【答案】且
【分析】根据方程有两个不相等的实数根得到，且，求解即可．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得且，
故答案为：且．
围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，
每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，
则盒子中棋子的总个数是_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用概率公式，得出黑色棋子的数量除以对应概率，即可算出棋子的总数．
【详解】解：，
∴盒子中棋子的总个数是．
故答案为：．
14. 如图，四边形内接于，如果的度数为122°，则∠DCE的度数为_______
【答案】
【分析】先根据圆周角定理求出，然后根据圆内接四边形的性质求出，
最后根据邻补角性质求解即可．
【详解】解：，
，
∵四边形内接于，
，
，
，
故答案为：
如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为，折痕为DE．
若将∠B沿向内翻折，点B恰好落在DE上，记为，则AB＝_______．
【答案】
【分析】利用矩形和折叠的性质，证明∠ADE=∠A'DE=∠A'DC=30°，∠C=∠A'B'D=90°，推出△DB'A'≌△DCA'，那么DC=DB'，设AB=DC=x，在Rt△ADE中，通过勾股定理可求出AB的长度．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC=∠C=∠B=90°，AB=DC，
由翻折知，△AED≌△A'ED，△A'BE≌△A'B'E，∠A'B'E=∠B=∠A'B'D=90°，
∴∠AED=∠A'ED，∠A'EB=∠A'EB'，BE=B'E，
∴∠AED=∠A'ED=∠A'EB=×180°=60°，
∴∠ADE=90°-∠AED=30°，∠A'DE=90°-∠A'EB'=30°，
∴∠ADE=∠A'DE=∠A'DC=30°，
又∵∠C=∠A'B'D=90°，DA'=DA'，
∴△DB'A'≌△DCA'（AAS），
∴DC=DB'，
在Rt△AED中，
∠ADE=30°，AD=2，
∴AE= =，
设AB=DC=x，则BE=B'E=x-
∵AE2+AD2=DE2，
∴
解得，x1= （负值舍去），x2= ，
故答案为：．
16. 如图，正方形的顶点A，C分别在y轴和x轴上，边BC的中点F在y轴上，
若反比例函数的图象恰好经过CD的中点E，则OA的长为______．
解：过E作轴于H，
设，，
过点B作y轴的平行线交x轴于点N，作于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∵，
∴．
∵点F与点E分别是BC，CD的中点，
∴，
∴，
∴OF=CH．
∵点F是BC的中点，，
∴，，
同理，
则，，，
故，
则点，
将点E的坐标代入，
得，而，
解得：，，，
故答案为：．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17. （1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来；
（2）计算：．
【答案】（1），见解析；（2）2
【分析】（1）分别求出每个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分，并在数轴上表示出解集即可；
（2）根据零指数幂与负整数指数幂的运算法则、分母有理化及特殊角三角函数分别计算，最后计算即可．
【详解】解：（1）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示，
∴原不等式组的解集为．
（2）
．
18. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点O均在网格线的交点上．
(1)以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，请画出．
(2)将向右平移4个单位，得到，请画出．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)根据旋转的性质，画出图形即可；
(2)根据平移的性质，画出图形即可．
【详解】（1）解：如图：即为所求：
（2）解：如图：即为所求：
19. 如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标．
（2）当y＜0时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3，抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）；（2）﹣3＜x＜1
【分析】（1）将点A、点B代入抛物线解析式，求得b与c的值，然后得到函数的解析式与顶点坐标；
（2）结合函数图象直接得到y＜0时的x取值范围．
【详解】解：（1）将点（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c，得
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
（2）由图可知，当y＜0时，﹣3＜x＜1．
某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），
先将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分；
（3）若该校共有名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数；
（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，
用树形图或列表法求处恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．
（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字幕表示）
【答案】（1）（人）；（2）详见解析；（3）
【分析】（1）由器乐的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以书画对应百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得戏曲人数，从而补全图形；
（3）利用样本估计总体思想求解可得；
（4）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）本次随机调查的学生人数为（人）；
（2）书画的人数为（人），戏曲的人数为（人），
补全图形如下：
（3）估计全校学生选择“戏曲”类的人数约为（人）；
（4）列表得：
∵共有种等可能的结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的有2种结果，
∴恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率为
21. 第19届杭州亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，
如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，
拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，
其中乙规格比甲规格每套贵20元．
(1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
(2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
（1）解：设甲规格吉祥物每套价格元，则乙规格每套价格为元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的根，且符合实际意义．
．
答：甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元．
（2）解：设乙规格购买套，甲规格购买套，总费用为元
根据题意，得
，
解得，
，
，
随的增大而增大．
当时，最小值．
故乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少．
图1是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图2是其侧面的示意图，
其中支杆，可绕支点调节角度，为手机的支撑面，，
支点A为的中点，且．
若支杆与桌面的夹角，求支点到桌面的距离．
在（1）的条件下，若支杆与的夹角，求支撑面下端到桌面的距离．
【答案】(1)支点到桌面的距离
(2)支撑面下端到桌面的距离为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的判定与性质，
（1）过点B作，则，在中，，，，，进行计算即可得；
（2）过点A作于点G，过点B作于点H，过点E作于点K，则，，根据题意和平行线的性质得，根据角之间的关系和三角形内角和定理得，，，在中，，，，，计算得，根据，支点A为的中点得，根据三角形内角和定理得，在中，，，，，计算得，根据，得四边形是矩形，则，即可得，
掌握锐角三角形函数，平行线的判定与性质，构造直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，过点B作，
∴，
在中，，，，，
即，
，
即支点到桌面的距离．
（2）解：如图所示，过点A作于点G，过点B作于点H，过点E作于点K，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，，，
即，
，
∵，支点A为的中点，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，，，
即，
，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
则支撑面下端到桌面的距离：
，
即支撑面下端到桌面的距离为．
23. 在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE，点E在△ABC的内部，
连接EC，EB和ED，设EC＝k BD（k≠0）．
（1）当∠ABC＝∠ADE＝60°时，如图1，请求出k值，并给予证明；
（2）当∠ABC＝∠ADE＝90°时：
①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由；
②如图3，当D，E，C三点共线，且E为DC中点时，请求出tan∠EAC的值．
【答案】（1）k＝1，理由见解析；（2）①k值发生变化，k＝，理由见解析；②tan∠EAC＝．
【分析】（1）根据题意得到△ABC和△ADE都是等边三角形，证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质解答；
（2）①根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质计算；
②作EF⊥AC于F，设AD＝DE＝a，证明△CFE∽△CAD，根据相似三角形的性质求出EF，根据勾股定理求出AF，根据正切的定义计算即可．
【详解】（1）k＝1，
理由如下：如图1，∵∠ABC＝∠ADE＝60°，BA＝BC，DA＝DE，
∴△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS）
∴EC＝DB，即k＝1；
（2）①k值发生变化，k＝，
∵∠ABC＝∠ADE＝90°，BA＝BC，DA＝DE，
∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴，，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴，∠DAB＝∠EAC，
∴△EAC∽△DAB，
∴，即EC＝BD，
∴k＝；
②作EF⊥AC于F，
设AD＝DE＝a，则AE＝a，
∵点E为DC中点，
∴CD＝2a，
由勾股定理得，AC＝，
∵∠CFE＝∠CDA＝90°，∠FCE＝∠DCA，
∴△CFE∽△CAD，
∴，即，
解得，EF＝，
∴AF＝，
则tan∠EAC＝．
如图1，一次函数的图像与y轴、x轴分别交于A、B两点，P是线段上一点，
过A、O、P三点的圆与的图像交于点D．点C的坐标为，连接交圆于点E．

(1)求的度数；
(2)如图2，连接，，，当时，
①判断的形状，并说明理由；
②求点D的坐标．
(3)如图1，设点P的横坐标为m，的值是否会随m的变化而变化？若变化，请用含m的式子表示；若不变，请求出这个值．
【答案】(1)
(2)①是等腰直角三角形，见解析②
(3)不变，，见解析
【分析】（1）根据一次函数的图像与y轴、x轴分别交于A、B两点，得到，继而得到，根据直角三角形的两个锐角互余计算即可．
（2）①根据平行线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定证明即可．
②连接，过点D作于点F，设与y轴的交点为G，利用圆周角定理，勾股定理，三角函数计算即可．
（3）先用m表示线段，代入化简计算即可．
【详解】（1）∵一次函数的图像与y轴、x轴分别交于A、B两点，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）①∵，，
∴，，，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
②如图，连接，过点D作于点F，设与y轴的交点为G，
∵，，
∴，
在中，，
在中，，
设，则，
∴，

∵是等腰直角三角形，
∴是圆的直径，，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴
解得（舍去），
∴，，
故点．
（3）的值是定值，且为．理由如下：
如图，连接，
∵，，，
∴，

∴，，，
在中，，
∵，
∴是圆的直径，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故的值是定值，且为．
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2024年浙江省宁波市中考数学模拟练习试题
试卷共有三个大题，24个小题，满分为150分，考试时长为120分钟．
试题卷I
一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 两千多年前，中国人就开始使用负数.某班期末考试数学的平均成绩是83分，
小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，表示得了（ ）分．
A．86 B．83 C．87 D．80
2. 下列计算正确的是（ ）
A．a+2a=3a B． C． D．
3 .华为Mate60Pro手机是全球首款支持卫星通话的智能手机．预计至2024年底，
这款手机的出货量将达到70000000台．将70000000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
4.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5. 已知点P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6. 为了解某班学生双休户外活动情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，结果如下表：
户外活动的时间（小时） 1 2 3 6
学生人数（人） 2 2 4 2
则关于“户外活动时间”这组数据的众数、中位数、平均数分别是（ ）
A．3、3、3 B．6、2、3 C．3、3、2 D．3、2、3
如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，
点B的横坐标为，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．
8 . 2024年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：
2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．
则1艘大船可以满载游客的人数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．19
9. 对于二次函数．下列说法不正确的是（ ）
A．对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过点和两点
B．该函数图象与x轴必有交点
C．若，当时，y随x的增大而减小
D．若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么
10. 如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，
若，，则的长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
试题卷Ⅱ
二、填空题（每小题5分，共30分）
11. 因式分解： ．
12. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 .
围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，
每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，
则盒子中棋子的总个数是_________．
14. 如图，四边形内接于，如果的度数为122°，则∠DCE的度数为_______
如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为，折痕为DE．
若将∠B沿向内翻折，点B恰好落在DE上，记为，则AB＝_______．
16. 如图，正方形的顶点A，C分别在y轴和x轴上，边BC的中点F在y轴上，
若反比例函数的图象恰好经过CD的中点E，则OA的长为______．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17. （1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来；
（2）计算：．
18. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点O均在网格线的交点上．
(1)以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，请画出．
(2)将向右平移4个单位，得到，请画出．
19. 如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标．
（2）当y＜0时，直接写出x的取值范围．
某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），
先将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分；
（3）若该校共有名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数；
（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，
用树形图或列表法求处恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．
（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字幕表示）
21. 第19届杭州亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，
如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，
拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，
其中乙规格比甲规格每套贵20元．
(1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
(2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
图1是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图2是其侧面的示意图，
其中支杆，可绕支点调节角度，为手机的支撑面，，
支点A为的中点，且．
若支杆与桌面的夹角，求支点到桌面的距离．
在（1）的条件下，若支杆与的夹角，求支撑面下端到桌面的距离．
23. 在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE，点E在△ABC的内部，
连接EC，EB和ED，设EC＝k BD（k≠0）．
（1）当∠ABC＝∠ADE＝60°时，如图1，请求出k值，并给予证明；
（2）当∠ABC＝∠ADE＝90°时：
①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由；
②如图3，当D，E，C三点共线，且E为DC中点时，请求出tan∠EAC的值．
如图1，一次函数的图像与y轴、x轴分别交于A、B两点，P是线段上一点，
过A、O、P三点的圆与的图像交于点D．点C的坐标为，连接交圆于点E．

(1)求的度数；
(2)如图2，连接，，，当时，
①判断的形状，并说明理由；
②求点D的坐标．
如图1，设点P的横坐标为m，的值是否会随m的变化而变化？
若变化，请用含m的式子表示；若不变，请求出这个值．
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