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(共66张PPT)
专题整合提升
专题05
功与功率　功能关系
【知识网络构建】
1、提炼必备知识
2、突破高考热点
3、链接高考真题
4、课时跟踪训练
1、提炼必备知识
热点二　动能定理的应用
热点一　功、功率的分析与计算
热点三　功能关系的应用
2、突破高考热点
1.功的求法
2.功率的求法
例1 (2023·新课标卷，15)无风时，雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速率竖直下落。一质量为m的雨滴在地面附近以速率v下落高度h的过程中，克服空气阻力做的功为(重力加速度大小为g)(　　)
解析　雨滴在地面附近下落过程中做匀速运动，对雨滴下落高度h的过程，由动能定理有mgh－Wf＝0，即Wf＝mgh，B正确，A、C、D错误。
B
解析　汽车受到的阻力f＝0.1mg＝2 000 N，汽车以0.5 m/s2的加速度做匀加速运动，由牛顿第二定律有F－f＝ma，解得F＝3 000 N；假设50 s内汽车一直做匀加速运动，50 s末汽车速度v＝at＝25 m/s，发动机功率P＝Fv＝75 000 W＝75 kW，发动机的额定功率是60 kW，则假设不成立，所以在50 s内汽车先做匀加速运动后做变加速运动，故出发50 s时，汽车发动机的实际功率为60 kW，选项C正确。
C
训练1 (2023·广东佛山统考)小明同学乘电动汽车出行，当汽车以90 km/h的速度匀速行驶时，在该车的行车信息显示屏上看到了如下信息，电池组输出电压400 V，电流为25 A。已知该车电机及传动系统将电能转化为机械能的效率约为80%，则此时该车(　　)
A.电池组输出的电功率约为8 000 W
B.牵引力的功率约为10 000 W
C.受到的阻力约为320 N
D.受到的牵引力约为400 N
C
例3 (2023·上海交大附中高三校考)某兴趣小组设计了一个游戏装置，其简化模型如图1所示，斜面轨道AB长L＝2 m，倾角α＝37°，与小球间动摩擦因数μ＝0.5，BC为光滑水平轨道，CDEFG轨道竖直放置，由4个半径R＝0.2 m的四分之一光滑圆弧轨道组成，D点与F点为竖直连接点，当小球在圆弧轨道上运动时，轨道与小球间存在沿半径方向(指向圆心)、大小为F＝4 N的特殊引力，上述各部分轨道平滑连接，连接处无能量损失。一质量为m＝0.1 kg的小球从斜面顶端A点以一定的初速度沿斜面滑下，不计空气阻力，重力加速度g＝
10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)若小球以v0＝2 m/s的初速度从A点滑下时，
①求小球到达斜面底端B点的速度vB；
②求小球刚过D点瞬间对轨道的压力；
(2)要使小球能沿轨道运动，且能够到达圆弧轨道最高点E，求小球在A点初速度vA的取值范围。
图1
解析　(1)①从A点到B点，由动能定理得
②从B点到D点，由动能定理得
设小球在D点受到轨道给它的弹力FN，
解得FN＝0
由牛顿第三定律得，小球刚过D点瞬间对轨道的压力
FN′＝0。
(2)从A点到E点，由动能定理得
解得vE＝vA
能够到达圆弧轨道最高点E的最小速度为零。为了保证小球不脱离轨道，在D点轨道对小球弹力大于等于零。因在D点FN＝0时，A点速度为vA＝2 m/s。
要使小球能沿轨道运动，且能够到达圆弧轨道最高点E，小球在A点初速度vA的取值范围为0≤vA≤2 m/s。
题
干
方法总结　应用动能定理解题的五点注意
图2
(1)小物块到达D点的速度大小；
(2)B和D两点的高度差；
(3)小物块在A点的初速度大小。
解析　(1)由题意知，小物块恰好能到达轨道的最高点D，则在D点有
小物块从C到D的过程中，根据动能定理有
则小物块从B到D的过程中，根据动能定理有
(3)小物块从A到B的过程中，根据动能定理有
s＝π·2R
几种常见的功能关系
能量 功能关系 表达式
势能 重力做功等于重力势能变化量 W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
弹力做功等于弹性势能变化量 静电力做功等于电势能变化量 分子力做功等于分子势能变化量 例4 (多选)(2023·山东济南高三期末)如图3所示，三个相同的木块a、b、c通过两个相同的轻弹簧P、Q和一段轻绳连接，其中a放在光滑水平桌面上。每个木块的重力均为10 N，轻弹簧的劲度系数均为500 N/m。开始时弹簧P处于原长，轻绳刚好伸直，三个木块均处于静止状态。现用水平力F缓慢地向左拉弹簧P的左端，直到木块c刚好离开水平地面。从开始到木块c刚好离开地面的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.弹簧P的左端向左移动的距离是4 cm
B.弹簧P的左端向左移动的距离是8 cm
C.水平力F做的功等于弹簧P增加的弹性势能
D.轻绳对木块b做的功等于木块b增加的重力势能
BD
图3
解析　没有施加拉力时，弹簧Q处于压缩状态，则有mg＝kx1，解得x1＝2 cm；木块c刚好离开地面时，弹簧Q处于拉伸状态，则有mg＝kx2，解得x2＝2 cm；此时弹簧P处于拉伸状态，则有F＝kx3，对a分析有F＝T，对b分析有T＝mg＋kx2，解得x3＝4 cm，则弹簧P的左端向左移动的距离是x＝x1＋x2＋x3＝8 cm，A错误，B正确；由于弹簧Q初状态的压缩量与末状态的拉伸量相等，则始末状态弹簧Q的弹性势能不变，木块b重力势能增大，弹簧P弹性势能增大，根据功能关系可知水平力F做的功等于弹簧P增加的弹性势能与木块b增加的重力势能之和，C错误；由上述可知，轻绳对木块b做的功等于木块b增加的重力势能，D正确。
训练3 (2023·1月浙江选考，4)一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下。游客从跳台下落直到最低点过程中(　　)
A.弹性势能减小 B.重力势能减小
C.机械能保持不变 D.绳一绷紧动能就开始减小
解析　橡皮绳绷紧后弹性势能一直增大，A错误；游客高度一直降低，重力一直做正功，重力势能一直减小，B正确；下落阶段橡皮绳对游客做负功，游客机械能减少，转化为弹性势能，C错误；橡皮绳刚绷紧的一段时间内，弹力小于重力，合力向下，游客的速度继续增加，游客动能继续增加；当弹力大于重力后，合力向上，游客动能逐渐减小，D错误。
B
训练4 (多选)(2023·陕西渭南统考)一只排球在A点被竖直抛出，此时动能为20 J，上升到最大高度后，又回到A点，动能变为16 J，假设排球在整个运动过程中受到的阻力大小恒定，A点为零势能参考面，则在整个运动过程中，排球的动能变为10 J时，其重力势能的可能值为(　　)
A.4 J B.6.75 J C.8 J D.9 J
BD
解析　排球在整个过程中重力做功为零，所以只有阻力做功，阻力大小恒定不变，根据动能定理可知克服阻力做功为4 J，上升过程中克服阻力做功为2 J，上升过程中克服重力做功为18 J，当动能变为10 J时，克服重力和阻力做的总功为10 J，阻力做功与重力做功都与高度成正比，所以此时克服阻力做功为
1 J，克服重力做功为9 J，此时重力势能为9 J；如果是下落阶段，在最高点时重力势能为18 J，动能变为10 J时，重力做功和阻力做功的和为10 J，即WG－Wf＝10 J，重力做功和克服阻力做功的比值为9∶1，所以重力做功为11.25 J，阻力做功为－1.25 J，此时重力势能减小11.25 J，重力势能为18 J－11.25 J＝6.75 J，故B、D正确，A、C错误。
3、链接高考真题
D
1.(2023·湖北卷，4)两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为(　　)
B
2.(2023·山东卷，4)《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径约为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动，每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田，当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为(　　)
图4
B
3.(2023·辽宁卷，3)如图5(a)，从高处M点到地面N点有Ⅰ、Ⅱ两条光滑轨道。两相同小物块甲、乙同时从M点由静止释放，沿不同轨道滑到N点，其速率v与时间t的关系如图(b)所示。由图可知，两物块在离开M点后、到达N点前的下滑过程中(　　)
图5
A.甲沿Ⅰ下滑且同一时刻甲的动能比乙的大
B.甲沿Ⅱ下滑且同一时刻甲的动能比乙的小
C.乙沿Ⅰ下滑且乙的重力功率一直不变
D.乙沿Ⅱ下滑且乙的重力功率一直增大
解析　由题图(b)可知小物块甲做匀加速直线运动，小物块乙做加速度减小的加速运动，结合题图(a)可知，小物块甲沿轨道Ⅱ下滑，小物块乙沿轨道Ⅰ下滑，A错误；由题图(b)可知，两物块在离开M点后、到达N点前的下滑过程中，同一时刻物块乙的速度大于物块甲的速度，则同一时刻甲的动能比乙的小，B正确；小物块乙由静止释放的瞬间速度为零，则重力功率为0，小物块乙滑到轨道Ⅰ底端的瞬间，速度方向与重力方向垂直，则小物块乙的重力功率为0，但在下滑过程，小物块乙的重力做的功不为0，则小物块乙的重力的瞬时功率先增大后减小，C、D错误。
ABD
4.(多选)(2022·广东卷，9)如图6所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平MN段以恒定功率200 W、速度5 m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570 W、速度2 m/s匀速行驶。已知小车总质量为50 kg，MN＝PQ＝20 m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的有(　　 )
图6
A.从M到N，小车牵引力大小为40 N
B.从M到N，小车克服摩擦力做功800 J
C.从P到Q，小车重力势能增加1×104 J
D.从P到Q，小车克服摩擦力做功700 J
AD
5.(多选)(2023·湖南卷，8)如图7，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C，A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是(　　)
图7
解析　小球恰好运动至C点，小球在C点vC＝0
小球在圆弧BC上运动到D点的受力分析如图所示
（限时：40分钟）
4、课时跟踪训练
A
1.(2023·广东高三统考)如图1所示，某款太阳能概念车质量为m，在一段平直公路上由静止匀加速启动，加速度大小为a，经过一段时间后第一次达到额定功率P。若汽车运动过程中阻力恒为Ff，则这段时间为(　　)
A级　基础保分练
图1
2.(多选)(2023·河北石家庄高三校考)如图2所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小F阻不变，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
AB
A.重力做功为mgL
B.悬线的拉力做功为0
C.空气阻力做功为－mgL
D.整个过程中机械能守恒
图2
3.(2023·广州市执信中学高三测试)为了缓解春天气候干燥，环保部门每天派出大量洒水车上街进行空气净化、除尘。洒水车正常工作时始终以较小的速度匀速运动，水在水泵作用下，以雾状均匀喷出(不考虑反冲作用)，如图3所示。已知洒水车受到的阻力与自身受到的重力成正比，则洒水车正常工作时(　　)
B
A.动能保持不变
B. 受到的阻力不断减小
C.牵引力的功率随时间均匀增加
D. 牵引力的大小跟洒水时间成反比
图3
解析　洒水车匀速运动过程中质量不断减小，则动能不断减小，所受重力不断减小，洒水车受到的阻力与自身受到的重力成正比，则受到的阻力不断减小，A错误，B正确；设单位时间内洒水车减小的重力为G，初始重力为G0，阻力与重力的比例系数为k，洒水车匀速行进，牵引力与阻力等大，则有F＝f＝k(G0－Gt)，即牵引力随时间均匀减小，牵引力的功率为P＝Fv，可知牵引力的功率随时间均匀减小，但跟洒水时间不成反比关系，C、D错误。
4.(2023·山东卷，8)质量为M的玩具动力小车在水平面上运动时，牵引力F和受到的阻力f均为恒力。如图4所示，小车用一根不可伸长的轻绳拉着质量为m的物体由静止开始运动。当小车拖动物体行驶的位移为s1时，小车达到额定功率，轻绳从物体上脱落，物体继续滑行一段时间后停下，其总位移为s2。物体与地面间的动摩擦因数不变，不计空气阻力。小车的额定功率P0为(　　)
A
图4
5.(2023·吉林市高三第二次调研)一质量为2 kg的物体静止于粗糙的水平地面上，在一水平外力F的作用下运动，如图5甲所示。外力F对物体所做的功、物体克服摩擦力Ff做的功W与物体位移x的关系如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2。下列分析正确的是(　　)
A
图5
6.(2023·天津卷，5)质量为m的列车以速度v匀速行驶，突然以大小为F的力制动刹车直到列车停止，整个过程中列车还受到大小恒为f的阻力，下列说法正确的是(　　)
C
7.(多选)(2023·广东惠州模拟)如图6所示，质量为M、长度为L的小车静止在光滑水平面上，质量为m的小物块(可视为质点)放在小车的最左端，现用一水平恒力F作用在小物块上，使小物块从静止开始做直线运动，当小物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为x，小物块和小车之间的滑动摩擦力为Ff，此过程中，下列结论正确的是(　　)
AC
A.物块到达小车最右端时，其动能为(F－Ff)(L＋x)
B.摩擦力对小物块所做的功为FfL
C.物块到达小车最右端时，小车的动能为Ffx
D.物块和小车组成的系统机械能增加量为F(L＋x)
图6
解析　小物块发生的位移为L＋x，对于小物块，根据动能定理可得Ekm＝(F－Ff)(L＋x)，故A正确；摩擦力对小物块做的功为W＝－Ff(L＋x)，故B错误；物块到达小车最右端时，小车运动的距离为x，对小车，根据动能定理得EkM＝Ffx，故C正确；小车和小物块增加的动能为ΔEk＝Ekm＋EkM＝(F－Ff)(L＋x)＋Ffx＝F(L＋x)－FfL，系统重力势能不变，则小物块和小车增加的机械能为F(L＋x)－FfL，故D错误。
8.(2023·重庆市第八中学适应性考试)如图7甲所示，带正电且电荷量为q＝3×
10－5 C的物体A放在水平桌面上通过光滑的滑轮与B相连，A处在水平向左的匀强电场中(图中未画出)，电场强度大小为E＝3×105 N/C，以A的初始位置为坐标原点O，水平向右为正方向建立Ox坐标轴，A与桌面间的动摩擦因数μ随x的变化如图乙所示。A、B质量均为1 kg，重力加速度g＝10 m/s2，A离滑轮的距离足够长，则A由静止开始从O位置运动的过程中的最大速度为(　　)
B
A.0.25 m/s B.0.5 m/s
C.1 m/s D.2 m/s
图7
9.如图8所示的装置，其中AB部分为以速度v＝5 m/s顺时针匀速转动的传送带，BCD部分为一半径为r＝0.5 m竖直放置的半圆形光滑轨道，直径BD恰好竖直，轨道与传送带相切于B点。现将一质量为m＝1 kg的可视为质点的小滑块无初速地放在传送带的左端A点上，设AB间距离为L，滑块与传送带间的动摩擦因数为μ，g＝10 m/s2，为使滑块能过D点，以下关于μ和L的取值可能正确的是(　　)
D
B级　提能增分练
图8
A.μ＝0.2，L＝4 m B.μ＝0.2，L＝5 m
C.μ＝0.3，L＝4 m D.μ＝0.3，L＝5 m
10.(2023·山东模拟预测卷)如图9甲，我国山东舰航母上的舰载机采用滑跃式起飞，甲板是由水平甲板和上翘甲板两部分组成，假设上翘甲板BC是与水平甲板AB平滑连接的一段斜面，模型简化图如图乙所示，BC长为L，BC与AB间夹角为α。若舰载机从A点处由静止开始以加速度a做初速度为零的匀加速直线运动，经时间t达到B点，进入BC保持恒定功率加速，在C点刚好达到起飞速度v。已知舰载机的总质量为m(忽略滑行过程中的质量变化)，舰载机在甲板上运动时受到甲板的摩擦力和空气阻力之和看作恒力，大小为其重力的k倍，重力加速度为g。求：
(1)舰载机的最小额定功率；
(2)舰载机在BC段运行的最长时间。
图9
解析　(1)舰载机运动到B点且达到额定功率时，对应功率最小，设为Pmin，从A点到B点，根据运动学公式，有v1＝at
由牛顿第二定律，有F－kmg＝ma
在B点处有Pmin＝Fv1
联立解得Pmin＝mat(a＋kg)。
(2)舰载机在BC段运行的最长时间设为tmax，
根据动能定理，有
图10
(1)游客到达斜面底端D时重力的瞬时功率；
(2)游客到达B点时，对圆弧轨道的压力大小；
(3)从B到E的过程中，摩擦力对游客做的功。
答案　(1)3 600 W　(2)2 400 N　(3)－300 J
解得vD＝10 m/s
游客到达斜面底端D时重力的瞬时功率为
PG＝mgvDsin θ＝3 600 W。
解析　(1)游客从C到D过程，根据动能定理得
(2)游客从D到B过程，根据动能定理得
游客到达B点时，根据牛顿第二定律可得
解得FN＝2 400 N
根据牛顿第三定律可知，游客到达B点时，对圆弧轨道的压力大小为2 400 N。
解得Wf＝－300 J。
(3)从B到E的过程，根据动能定理得
12.(2023·浙江模拟预测)如图11为某游戏装置的示意图。AB、CD均为四分之一圆弧，E为圆弧DEG的最高点，各圆弧轨道与直轨道相接处均相切。GH与水平面夹角为θ＝37°，底端H有一弹簧，A、O1、O2、D、O3、H在同一水平直线上。一质量为0.01 kg的小钢球(其直径稍小于圆管内径，可视作质点)从距A点高为h处的O点由静止释放，从A点沿切线进入轨道，B处有一装置，小钢球向右能无能量损失的通过，向左则不能通过且小钢球被吸在B点。若小钢球能够运动到H点，则被等速反弹。各圆轨道半径均为R＝0.6 m，BC长L＝2 m，水平直轨道BC和倾斜轨道GH的动摩擦因数均为μ＝0.5，其余轨道均光滑，小钢球通过各圆弧轨道与直轨道相接处均无能量损失。某次游戏时，小钢球从O点出发恰能第一次通过圆弧的最高点E(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝
10 m/s2)。求：
C级　培优高分练
图11
(1)小钢球第一次经过C点时的速度大小vC；
(2)小钢球第一次经过圆弧轨道最低点B时对轨道的压力大小FB(保留2位小数)；
(3)若改变小钢球的释放高度h，求出小钢球在斜面轨道上运动的总路程s与h的函数关系。
解析　(1)小钢球从O点出发恰能第一次通过圆弧的最高点E，则小球到E点的速度为0，小球从C点到E点，根据动能定理得
(2)从B点到C点，由动能定理得
小钢球经过B点，由牛顿第二定律得
代入数据联立解得FN≈0.83 N
根据牛顿第三定律得，小钢球对轨道的压力大小
FB＝FN＝0.83 N。
(3)若小钢球恰能第一次通过E点，设小钢球释放点距A点为h1，从释放到E点，由动能定理得
mg(h1－R)－μmgL＝0
代入数据解得h1＝1.6 m
若小钢球恰能第二次通过E点，设小钢球释放点距A点为h2，从释放到E点，由动能定理得
代入数据解得h2＝2.24 m
①若小球释放高度h＜1.6 m，无法到达E点，s＝0
②若小球释放高度1.6 m≤h＜2.24 m，小球能经过E点一次，因为μ＜tan θ，则小钢球最终停在H点，从释放点到停在H点，根据动能定理得
mgh－μmgL－μmgcos θ·s＝0
代入数据解得s＝2.5(h－1)

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