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电场及带电粒子在
电场中的运动
专题整合提升
专题08
【知识网络构建】
1、提炼必备知识
2、突破高考热点
3、链接高考真题
4、课时跟踪训练
1、提炼必备知识
热点二　电场中的图像问题
热点一　电场的性质
热点三　带电粒子在电场中的运动
2、突破高考热点
1.电场强度的分析与计算
(1)电场强度的方向是正电荷所受静电力的方向，也是电场线上某点的切线方向，电场的强弱可根据电场线的疏密程度来进行比较。
(2)计算电场强度常用的方法：公式法、平衡条件求解、叠加合成法、对称法、补偿法、等效法。
2.等势面与电场线的关系
(1)电场线总是与等势面垂直，且从电势高的等势面指向电势低的等势面。
(2)电场线越密的地方，等差等势面也越密。
(3)沿等势面移动电荷，静电力不做功，沿电场线移动电荷，静电力一定做功。
3.电场强弱、电势高低、电势能大小的判断方法
例1 (多选)(2023·山东济宁一模统考)如图1所示，空间中有一正方体abcd—a′b′c′d′，在b点固定点电荷＋Q，在d点固定点电荷－Q，O、O′分别为上下两面的中心点，下列说法正确的是(　　 )
A.a点与c′点的电场强度方向相同
B.b′、a′两点间电势差等于O′、d′两点间电势差
C.将某点电荷＋q由a′点沿a′c′移至c′点，该电荷
所受的静电力先变大后变小
D.将某点电荷＋q由a′点沿a′c′移至c′点，该电荷的电势能先变大后变小
ABC
图1
解析　根据等量异种点电荷电场的分布可知，a点与c′点在同一等势面上，电场强度都垂直于等势面且指向负的点电荷一方，故A正确；a′与O′在同一等势面上，b′和d′相对于两个点电荷连线的中垂面对称，所以b′、a′两点间电势差等于O′、d′两点间电势差，故B正确；根据等量异种点电荷电场的分布可知，由a′点沿a′c′到c′点，电场强度先增大后减小，所以将某点电荷＋q由a′点沿a′c′移至c′点的过程中，该电荷所受静电力先增大后减小，故C正确；由等量异种点电荷电场的分布可知，aa′c′c所在的平面是等势面，所以将某点电荷＋q由a′点沿a′c′移至c′点，电荷的电势能不变，故D错误。
训练1 (2022·浙江1月选考，10)某种气体—电子放大器的局部结构是由两块夹有绝缘介质的平行金属薄膜构成，其上存在等间距小孔，其中相邻两孔截面上的电场线和等势线的分布如图2所示。下列说法正确的是(　　)
A.a点所在的线是等势线
B.b点的电场强度比c点大
C.b、c两点间的电势差的值比a、c两点间的大
D.将电荷沿图中的线从d→e→f→g移动时静电力做功
为零
C
图2
解析　根据题意，平行金属膜中间夹着绝缘介质，所以电场线是竖着的，等势线与电场线互相垂直，是横着的，所以a点所在的线是电场线，故选项A错误；b点处的电场线比c点处稀疏，则Eb训练2 (多选)(2023·全国乙卷，19)在O点处固定一个正点电荷，P点在O点右上方。从P点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图3所示。M、N是轨迹上的两点，OP＞OM，OM＝ON，则小球(　　)
A.在运动过程中，电势能先增加后减少
B.在P点的电势能大于在N点的电势能
C.在M点的机械能等于在N点的机械能
D.从M点运动到N点的过程中，电场力始终不做功
BC
图3
解析　画出O点处点电荷过M、N两点的等势面，如图所示，由图可知带负电的小球在运动过程中电场力先做正功，后做负功，电势能先减小后增大，A错误；距正点电荷越远，电势越低，则φN＞φP，根据电势能计算式Ep＝qφ，结合小球带负电可知EpN＜EpP，B正确；小球在运动过程中动能、重力势能、电势能的总和保持不变，M、N两点在正点电荷的同一等势面上，因此小球在M、N两点上的电势能相等，则小球在M、N两点上的机械能相等，
C正确；结合小球运动方向与受力方向夹角变化可知，小球从
M点运动到N点的过程中电场力先做正功后做负功，D错误。
电场中几种常见的图像
v－t 图像 当带电粒子只受静电力时，从v－t图像上能确定粒子运动的加速度方向、大小变化情况，进而可判定粒子运动中经过的各点的电场强度方向、电场强度大小、电势高低及电势能的变化情况
φ－x 图像 (1)从φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，进而确定电场强度的方向及试探电荷电势能的变化
(2)φ－x图线切线的斜率大小表示沿x轴方向电场强度E的大小
E－x 图像 以电场强度沿x轴方向为例：
(1)E>0表示电场强度沿x轴正方向，E<0表示电场强度沿x轴负方向
(2)图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低需根据电场方向判定
Ep－x 图像 (1)图像的切线斜率大小表示静电力大小
(2)可用于判断电场强度、动能、加速度等随位移的变化情况
例2 (2023·山东青岛高三期末)如图4为不等量同种点电荷q1、q2连线上各点电势随位置坐标变化的φ－x图像，图线与φ轴正交，交点处的纵坐标为φ0，a、b为x轴上关于原点O对称的两个点。取无穷远处电势为0，某一正电荷的质量为m，电荷量为e，下列说法正确的是(　　)
D
图4
A.x1和x2处电场强度方向相反
B.球内部的电场为匀强电场
C.负试探电荷在位置R处的电势能比在位置x2
处的电势能大
D.位置x1处的电势高于位置x2处的电势
D
图5
解析　x1和x2处电场强度均为正值，方向相同，A错误；由图乙可知，球内部的电场随x的增大而增大，不是匀强电场，B错误；沿电场线方向电势逐渐降低，所以位置R处的电势比位置x2处的电势高，负试探电荷在位置R处的电势能比在位置x2处的电势能小，C错误；由图乙可知电场方向由x1指向x2，根据沿电场线方向电势降低可知位置x1处的电势高于位置x2处的电势，D正确。
训练4 (2023·山东日照统考)如图6所示，O点为两等量异种点电荷连线的中点，一带正电的粒子(不计重力)从连线上的A点由静止释放，在静电力作用下运动到B点。取A点为坐标原点，沿直线向右为x轴正方向。在粒子从A点运动到B点的过程中，下列关于粒子运动的速度v和加速度a随时间t的变化，运动径迹上电势φ和粒子的电势能Ep随位移x的变化图线可能正确的是(　　)
B
图6
1.电场中直线运动问题的两种解题思路
(1)动能定理：不涉及a、t时可用。
(2)牛顿运动定律：涉及a、t时可用。
2.匀强电场中的偏转问题
(1)带电粒子垂直于场强方向进入匀强电场，在匀强电场中的偏转一般为类平抛运动，可用运动的分解来解决。
(2)不涉及运动细节、涉及功能问题时常用动能定理解决。
注意：偏转时静电力做功不一定是W＝qU板间，应该是W＝qEy(y为偏移量)。
3.匀强电场中偏转问题的两个结论
图7
4.带电体在电场和重力场中运动的分析方法
(1)对带电体的受力情况和运动情况进行分析，综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动的规律解决问题。
(2)根据功能关系或能量守恒的观点，分析带电体的运动时，往往涉及重力势能、电势能以及动能的相互转化，总的能量保持不变。
例3 (2023·福建龙岩统考)如图8甲所示，长度L＝0.8 m的光滑绝缘细杆左端固定一带电荷量为QA＝＋4.0×10－6 C的点电荷A，一质量为m＝0.04 kg、带电荷量为q＝＋2.0×10－7 C的小球B套在杆上。将杆沿水平方向固定于某非均匀外电场中，以杆左端为原点，沿杆向右为x轴正方向建立坐标系。点电荷A对小球B的作用力随B位置x的变化关系如图乙中曲线Ⅰ所示，小球B所受水平方向的合力随B位置x的变化关系如图乙中曲线Ⅱ所示，其中曲线Ⅱ在x≥0.40 m范围可近似看作直线。求：
图8
(1)小球B在x＝0.30 m处受到外电场对它沿杆方向的静电力F和外电场在该点沿杆方向的电场强度E；
(2)已知小球在x＝0.20 m处获得水平向右的初速度v＝0.20 m/s时，最远可以运动到x＝0.40 m。若小球在x＝0.20 m处受到方向向右、大小为0.02 N的恒力作用后，由静止开始运动，为使小球能离开杆，恒力作用的最小距离s是多少？
答案　(1)0.14 N，水平向左　7×105 N/C，水平向左 (2)0.44 m
题
干
A.2倍 B.4倍
C.6倍 D.8倍
B
图9
训练6 (多选)(2023·安徽滁州高三校考)如图10所示，竖直平面内存在一匀强电场，电场强度方向与水平方向间的夹角θ＝60°，O、M为其中一条电场线上的两点，一带电粒子电荷量为q，不计重力，在O点以水平初速度v0进入电场，经过时间t粒子到达与M在同一水平线上的N点，且OM＝MN，则(　　 )
A.UMO＝UNM
B.粒子带负电
C.带电粒子在O点的电势能大于在N点的电势能
D.由O到N运动过程中，静电力的功率增大
BCD
图10
3、链接高考真题
D
1.(2023·湖南卷，5)如图11，真空中有三个点电荷固定在同一直线上，电荷量分别为Q1、Q2和Q3，P点和三个点电荷的连线与点电荷所在直线的夹角分别为90°、60°和30°。若P点处的电场强度为零，q>0，则三个点电荷的电荷量可能为(　　)
图11
CD
2.(多选)(2023·辽宁卷，9)图12(a)为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图(b)为四极杆内垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则(　　)
图12
A.P点电势比M点的低
B.P点电场强度大小比M点的大
C.M点电场强度方向沿z轴正方向
D.沿x轴运动的带电粒子，电势能不变
解析　由题图可知M点靠近带负电的极杆，P点靠近带正电的极杆，又电势沿电场强度方向降低，则P点的电势比M点的电势高，A错误；等势面的疏密程度反映电场强度的大小，由题图(b)可知M点处的等势面密，则M点的电场强度大，B错误；由对称性可知两带正电的极杆在M点产生的电场强度方向沿z轴正方向，两带负电的极杆在M点产生的电场强度方向也沿z轴正方向，则由电场强度的叠加可知M点的电场强度方向沿z轴的正方向，C正确；由对称性可知x轴上的电场强度为零，则带电粒子沿x轴运动时始终不受电场力的作用，所以电场力不做功，电势能保持不变，D正确。
AD
3.(多选)(2023·天津卷，8)如图，在一个固定的正点电荷产生的电场中，一个正试探电荷q两次以大小相等、方向不同的初速度从P点出发，分别抵达M点、N点，且q在M、N点时的速度大小也相等，则下列说法正确的是(　　)
图13
A.P点电势高于M点电势
B.M点电势高于N点电势
C.q从P点运动到M点一直做减速运动
D.M、N两点处的电场强度大小相等
图14
(1)求油滴a和油滴b的质量之比；
(2)判断油滴a和油滴b所带电荷的正负，并求a、b所带电荷量的绝对值之比。
答案　(1)8∶1　(2)a带负电荷　b带正电荷　4∶1
（限时：40分钟）
4、课时跟踪训练
C
1.(2023·湖北卷，3)在正点电荷Q产生的电场中有M、N两点，其电势分别为φM、φN，电场强度大小分别为EM、EN。下列说法正确的是(　　)
A.若φM>φN，则M点到电荷Q的距离比N点的远
B.若EMC.若把带负电的试探电荷从M点移到N点，电场力做正功，则φM<φN
D.若把带正电的试探电荷从M点移到N点，电场力做负功，则EM>EN
A级　基础保分练
解析　若φM>φN，根据沿着电场线的方向电势降低及正点电荷产生的电场特点可知，M点到电荷Q的距离比N点的近，故A错误；若EM2.(2023·湖北模拟预测)如图1所示，真空中A、B、C三点的连线构成一个边长L＝2 m的等边三角形，AD为BC连线的中垂线，D为BC连线中点。若将电荷量均为q＝＋2×10－6 C的两点电荷分别固定在B、C点，已知静电力常量k＝9×109 N·m2/C2，则(　　)
C
图1
3.(多选)(2023·福建模拟预测)如图2所示，电荷量分别为q和－q(q>0)的点电荷固定在正方体的两个顶点上，a、b是正方体的另外两个顶点，虚线为一带电粒子从a点运动到b点的运动轨迹，不计粒子重力，则(　　)
AC
A.带电粒子带负电
B.带电粒子在a点和b点的电势能相等
C.带电粒子在a点和b点的加速度相同
D.带电粒子从a点运动到b点，静电力做负功
图2
解析　根据粒子运动轨迹可知，带电粒子受到的静电力方向偏向＋q点电荷，可知带电粒子带负电，故A正确；离正点电荷越近，电势越高，离负点电荷越近，电势越低；由题图可知a点离－q点电荷比较近，b点离＋q点电荷比较近，可知a点电势低于b点电势，由Ep＝qφ知带电粒子在a点和b点的电势能不相等，故B错误；根据电场强度叠加原理可知，a点和b点的电场强度大小相等，方向相同，则带电粒子在a点和b点受到的静电力相同，加速度相同，故C正确；带电粒子从a点运动到b点，静电力先做负功，后做正功，故D错误。
4.如图3所示为雷雨天一避雷针周围电场的等势面分布情况，在等势面中有A、B、C三点。其中A、B两点位置关于避雷针对称。下列说法中正确的是(　　)
C
A.A、B两点的电场强度相同
B.C点电场强度大于B点电场强度
C.某负电荷在C点的电势能大于在B点的电势能
D.某正电荷从C点移动到B点，静电力做正功
图3
解析　电场线与等势面垂直，根据对称性可知A、B两点的电场强度大小相等，但方向不同，A错误；因为B点的等势面比C点密集，所以B点电场强度大于C点电场强度，B错误；因为B点的电势高于C点的电势，由公式Ep＝qφ可知，某负电荷在C点的电势能大于在B点的电势能，C正确；正电荷从C点移动到B点的过程中，静电力做负功，D错误。
5.(2023·河北唐山一模统考)在某静电场中建立Ox轴，x轴上各点的电势φ随坐标x变化的关系图像如图4所示。现将一电荷从x1处沿x轴负方向以一定速度射出，恰好到达坐标原点O，不计电荷的重力。下列说法正确的是(　　)
B
A.从x1到原点O过程中电荷的电势能逐渐减小
B.从x1到原点O过程中电荷的加速度先增大后减小
C.从x1到原点O过程中电荷做匀减速直线运动
D.电荷的电性为正电荷
图4
解析　由题图可知，从x1到O点电势降低，电荷从x1处沿x轴负方向以一定速度射出，恰好到达坐标原点O，则静电力做负功，电势能增大，电荷带负电，选项A、D错误；因φ－x图像的斜率表示电场强度，则从x1到原点O过程中电场强度先增加后减小，则电荷所受静电力先增加后减小，电荷的加速度先增大后减小，选项B正确；从x1到原点O过程中电荷所受的静电力不断变化，则加速度不是恒定的，电荷不是做匀减速直线运动，选项C错误。
6.(多选)(2023·山东菏泽调研)如图5甲所示，一点电荷静止在坐标轴原点，将一带单位电荷的正试探电荷由a点经过b点移到c点，其电势能与该点到点电荷的距离x变化的图像如图乙所示。若电场中a、b、c点的电场强度大小分别为Ea、Eb、Ec，相邻两点间的电势差分别为Uab和Ubc，静电力做的功分别为Wab和Wbc，则下列说法正确的是(　　)
AC
A.Ea∶Eb＝4∶1
B.Eb∶Ec＝3∶2
C.Uab∶Ubc＝3∶1
D.Wab∶Wbc＝2∶1
图5
7.(多选)(2023·重庆八中高三校考)如图6所示，某“静电透镜”区域的等势面为图中虚线，其中M、N两点电势φM>φN。现有一束粒子经M点沿垂直于虚线的方向进入“透镜”电场，粒子运动过程中仅受静电力作用，并最终穿过小孔。下列说法正确的是(　　)
BC
A.若粒子为电子，则其动能一定增加
B.若粒子为正电子，则其电势能一定减少
C.若粒子为电子，则其有可能通过N点
D.若粒子为正电子，则其有可能通过N点
图6
解析　根据题意可知电势φM>φN，则M点处电场线方向为向右。若粒子为电子，则受静电力方向与电场方向相反，静电力做负功，动能会减小。电子垂直虚线进入电场，根据图中等势面信息可知，电子会向下偏转，有可能通过N点，故A错误，C正确；若粒子为正电子，则受静电力方向与电场方向相同，静电力做正功，电势能减少，根据图中等势面信息可知，正电子应向上偏穿过小孔，不会经过N点，故B正确，D错误。
8.一平行板电容器保持与电源连接，正极板接地，两板间有一个负试探电荷固定在P点，如图7甲所示。用Ep表示试探电荷在P点的电势能，若正极板保持不动，将负极板缓慢向下移动一小段距离x，则此过程中Ep与x的关系合理的是图乙中的(　　)
B
A.图线a B.图线b
C.图线c D.图线d
图7
9.(多选)(2023·广东卷，9)电子墨水是一种无光源显示技术，它利用电场调控带电颜料微粒的分布，使之在自然光的照射下呈现出不同颜色。透明面板下有一层胶囊，其中每个胶囊都是一个像素。如图8所示，胶囊中有带正电的白色微粒和带负电的黑色微粒，当胶囊下方的电极极性由负变正时，微粒在胶囊内迁移(每个微粒电量保持不变)，像素由黑色变成白色，下列说法正确的有(　　)
AC
A.像素呈黑色时，黑色微粒所在区域的电势
高于白色微粒所在区域的电势
B.像素呈白色时，黑色微粒所在区域的电势
低于白色微粒所在区域的电势
C.像素由黑变白的过程中，电场力对白色微粒做正功
D.像素由白变黑的过程中，电场力对黑色微粒做负功
B级　提能增分练
图8
解析　像素呈黑色时，当胶囊下方的电极带负电，像素胶囊里电场线方向向下，所以黑色微粒所在的区域的电势高于白色微粒所在区域的电势，故A正确；像素呈白色时，当胶囊下方的电极带正电，像素胶囊里电场线方向向上，黑色微粒向下迁移，所以黑色微粒所在的区域的电势高于白色微粒所在区域的电势，故B错误；像素由黑变白的过程中，白色微粒受到的电场力方向向上，位移方向向上，电场力对白色微粒做正功，故C正确；像素由白变黑的过程中，黑色微粒受到的电场力方向向上，位移方向向上，电场力对黑色微粒做正功，故D错误。
10.(2023·山东泰安一模统考)空间中有一正四面体ABCD如图9所示，棱长为l。在4个顶点都放置一个电荷量为Q的正点电荷，棱AB、CD的中点分别为E、F。已知无穷远处电势为0。则下列说法正确的是(　　)
C
图9
11.如图10所示，在匀强电场中，有边长为10 cm的等边三角形ABC，三角形所在平面与匀强电场的电场线平行，O点为该三角形的中心，三角形各顶点的电势分别为φA＝2 V、φB＝4 V、φC＝6 V。下列说法正确的是(　　)
B
A.匀强电场的电场强度大小为40 V/m，方向为由A指向C
B.将电子由A点移到C点，电子的电势能减少了6.4×10－19 J
C.将电子由A点移到C点，电子的电势能增加了6.4×10－19 J
D.在三角形ABC外接圆的圆周上，电势最低点的电势为2 V
图10
12.(2023·福建宁德高三校联考)如图11所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g，不考虑空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A
图11
13.(2023·福建高三校联考)1897年，物理学家汤姆孙正式测定了电子的比荷，揭开了原子神秘的面纱。如图12所示为汤姆孙测定电子比荷装置的简化示意图，阴极K发出的电子由静止经过加速电压U0加速后，沿轴线进入两平行极板C、D间。仅在C、D极板间施加一定电压，电子从C、D右侧离开时偏离轴线距离为y；若保持电压不变，在C、D间加上与纸面垂直的磁场，发现电子沿直线前进。已知电子的电荷量大小为e，质量为m。C、D极板间距为d，长度为L。求：
(1)电子经过加速电压U0加速后的速度大小v0；
(2)C、D极板间所加的电压大小U；
(3)C、D极板间所加磁场的磁感应强度的大小B。
图12
14.(2023·天津高三期末统考)如图13所示，带电金属板A、B竖直平行正对放置，B板中心的小孔正好位于平面直角坐标系xOy的O点，y轴沿竖直方向。在x>0的区域内存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为1 000 V/m；比荷为1.0×105 C/kg的带正电的粒子P从A板中心O′处由静止释放，其运动轨迹恰好经过点M(4 m，2 m)，粒子P的重力不计。求：
(1)粒子P从O运动到M的时间t；
(2)金属板A、B之间的电势差UAB；
(3)若在粒子P经过O点的同时，在y轴右侧匀强电场中
某点由静止释放另一带电粒子Q，使P、Q恰能在运动
中相碰；假设Q的质量是P的2倍，带电情况与P相同，粒子Q的重力及P、Q之间的相互作用均忽略不计，求粒子Q释放点的横、纵坐标x、y应满足的函数关系。
C级　培优高分练
图13

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