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12.3 互逆命题
四种命题及其关系
四种命题及其关系．
1、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
2、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的否命题．
3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆否命题．
一．选择题（共8小题）
1．下列命题：
①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|＝|b|，则a＝b；③直角都相等；④相等的角是对顶角．
它们的逆命题是真命题的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．给出下列4个命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|＝|b|，则a＝b；③直角都相等；④对顶角相等，它们的逆命题是真命题的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知命题：如果a＝b，那么|a|＝|b|．该命题的逆命题是（　　）
A．如果a＝b，那么|a|＝|b| B．如果|a|＝|b|，那么a＝b
C．如果a≠b，那么|a|≠|b| D．如果|a|≠|b|，那么a≠b
4．下列说法中，正确的有（　　）个
①，，，0，cos60 五个数中，其中是无理数的有2个．
②关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣10有两个实数根，那么字母m的取值范围是m＞﹣1且m≠0．
③平行四边形，圆，正六边形，线段四个图形既是中心对称图形，也是轴对称图形．
④“若a＝b，则|a|＝|b|”，它的逆命题是假命题．
⑤相等的圆心角所对的弧相等
⑥单项式的次数是3次．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是假命题，可取下面哪组值反例说明（　　）
A．a＝1，b＝1 B．a＝﹣1，b＝﹣1 C．a＝1，b＝2 D．a＝﹣1，b＝1
6．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若a2＝b2，则a＝b；③锐角与钝角互为补角；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．下列正确叙述的个数是（　　）
①每个命题都有逆命题
②真命题的逆命题是真命题
③假命题的逆命题是真命题
④每个定理都有逆定理
⑤每个定理一定有逆命题
⑥命题“若a＝b，那么a3＝b3”的逆命题是假命题．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．下列说法正确的有（　　）
①在，，π，﹣3.1415926，中，共有3个无理数．
②若a＝b，则a2＝b2，它的逆命题是真命题．
③若n边形的内角和是外角和的3倍，则它是八边形．
④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题）
9．命题：“若a＝b，则a4＝b4”，该命题的逆命题是　 　；该命题的逆命题是　 　命题．（填“真”或“假”）
10．“若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是　 　命题．（填“真”或“假”）
11．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题是　 　．
12．命题“等边三角形的重心与内心重合”的逆命题是　 　．
13．命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为　 　．
14．对于命题“如果a＝b，那么ac＝bc．”，它的逆命题是　 　命题．（填“真”或“假”）
12.3 互逆命题
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【答案】B
【分析】先写出命题的逆命题，再对逆命题的真假进行判断即可．
【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
②若|a|＝|b|，则a＝b的逆命题是若a＝b，则|a|＝|b|，是真命题；
③直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；
④相等的角是对顶角的逆命题是对顶角是相等的角，是真命题；
它们的逆命题是真命题的个数是3个．
故选：B．
【点评】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，用到的知识点是逆命题．
2．【答案】B
【分析】先写出命题的逆命题，再对逆命题的真假进行判断即可．
【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
②若|a|＝|b|，则a＝b的逆命题是若a＝b，则|a|＝|b|，是真命题；
③直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；
④对顶角相等的逆命题是相等的角是对项角，是假命题；
它们的逆命题是真命题的个数是2个．
故选：B．
【点评】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，用到的知识点是逆命题．
3．【答案】B
【分析】分别求出本题中的题设与结论，再将其互换即可．
【解答】解：已知本题中命题的题设是a＝b，结论是|a|＝|b|，
所以它的逆命题中的题设是|a|＝|b|，结论是a＝b，
所以本题中的逆命题是如果|a|＝|b|，那么a＝b．
故选：B．
【点评】本题考查了互逆命题的知识．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
4．【答案】C
【分析】①根据无理数的定义即可判断．
②根据代数式与方程的定义即可判断．
③根据中心对称图形．轴对称图形的定义即可判断．
④根据逆命题的定义即可判断．
⑤根据圆心角与弧之间的关系即可判断．
⑥根据单项式的次数的定义即可判断．
【解答】解：①正确．，，，0，cos60 五个数中，其中，是无理数．
②错误．mx2﹣2x﹣10是代数式，表示方程．
③错误．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形．
④正确．“若a＝b，则|a|＝|b|”，它的逆命题是假命题．
⑤错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等．
⑥正确．单项式的次数是3次．
故选：C．
【点评】本题考查无理数、一元二次方程、代数式、中心对称图形、轴对称图形、圆心角与弧之间的关系、单项式的次数的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．
5．【答案】D
【分析】写出逆命题后，举反例说明即可；
【解答】解：命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是假命题，
可以取a＝﹣1，b＝1说明．
故选：D．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．【答案】B
【分析】根据所学的公理定理对各小题进行分析判断，然后再计算真命题的个数．
【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补是真命题；
②若a2＝b2，则a＝b的逆命题是若a＝b，则a2＝b2是真命题；
③锐角与钝角互为补角的逆命题是互补的角是锐角与钝角，是假命题；
④相等的角是对顶角的逆命题是对顶角相等，是真命题；
故选：B．
【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握相关性质是解题关键．
7．【答案】B
【分析】根据逆命题的定义可对①⑤进行判断；根据互为逆命题的两个命题的真假没有关系可对②③④进行判断；先写出命题“若a＝b，那么a3＝b3”的逆命题，然后进行判断．
【解答】解：把原命题的题设与结论交换得到它的逆命题，所以①正确；
原命题：若a＝b，则|a|＝|b|，其逆命题为：若|a|＝|b|，则a＝b，它是假命题，所以②错误；
原命题：若am＞bm，则a＞b，其逆命题：若a＞b，则am＞bm，它是假命题，所以③错误；
定理的逆命题不一定是真命题，所以每个定理不一定有逆定理，所以④错误；
每个定理一定有逆命题，所以⑤正确；
命题“若a＝b，那么a3＝b3”的逆命题为“若a3＝b3，则a＝b”，它是真命题，所以⑥错误．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推理论证的真命题叫定理；两个命题的题设与结论互换的命题互为逆命题．
8．【答案】A
【分析】根据无理数的定义对①进行判断；先写出逆命题，然后根据平方根的定义对②进行判断；根据多边形内角和公式和外角和定理对③进行判断；根据垂径定理的推论对④进行判断．
【解答】解：在，，π，﹣3.1415926，中，共有2个无理数，所以①错误；
若a＝b，则a2＝b2，它的逆命题为若a2＝b2，则a＝b，此是逆命题为假命题，所以②错误；
若n边形的内角和是外角和的3倍，即（n﹣2）×180°＝3×360°，解得n＝8，即它是八边形，所以③正确；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，所以④错误．
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
二．填空题（共6小题）
9．【答案】见试题解答内容
【分析】把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题，再判断逆命题的真假即可．
【解答】解：“若a＝b，则a4＝b4”的条件是：a＝b，结论是：a4＝b4，
∴逆命题是：若a4＝b4，则a＝b，
若a4＝b4，则a＝±b，
故为假命题，
故答案为若a4＝b4，则a＝b，假．
【点评】本题考查了互逆命题的知识以及真假命题的判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，难度适中．
10．【答案】见试题解答内容
【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据平方根的定义判断逆命题的真假．
【解答】解：若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是若a2＝b2，则a＝b．此逆命题为假命题．
故答案为假．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
11．【答案】见试题解答内容
【分析】交换原命题的题设与结论部分即可得到逆命题
【解答】解：命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题是：“若|a|＝|b|，则a＝b”．
故答案为若|a|＝|b|，则a＝b
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
12．【答案】见试题解答内容
【分析】根据逆命题的定义写出即可．
【解答】解：命题“等边三角形的重心与内心重合”的逆命题是重心与内心重合的三角形是等边三角形．
故答案为：重心与内心重合的三角形是等边三角形．
【点评】考查了四种命题及其关系，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
13．【答案】见试题解答内容
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，
故其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”．
故应填：同旁内角互补，两直线平行．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】写出原命题的逆命题，根据等式的性质判断即可．
【解答】解：命题“如果a＝b，那么ac＝bc．”，它的逆命题是“如果ac＝bc，那么a＝b．”，
是假命题，
故答案为：假．
【点评】本题考查的是命题的概念、命题的真假判断，掌握逆命题的概念是解题的关键．

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