资源简介

排列组合题型方法全归纳
目录
知识点一：排列、组合的定义 1
知识点二：排列数、组合数的定义、公式、性质 1
知识点三：求解排列应用问题方法汇总 2
考点一 捆绑法模型 3
考点二 插空法模型 7
考点三 隔板法模型 11
考点四 排队问题 （含多排问题） 16
拓展：多排问题 19
考点五 错位排列 21
考点六 环排问题 27
考点七、特殊元素法 31
考点八、特殊位置法 32
考点九、间接法 34
考点十、定序倍缩法 36
考点十一、平均分组 37
考点十二、部分平均分组 43
考点十三、不平均分组 44
考点十四、涂色问题 45
考点十五 多面手问题 53
考点十六分解与合成模型和最短路径问题 56
考点十七 构造法模型、递推模型与化归策略 62
考点十八 定序问题先选后排策略与重排问题求幂策略 68
考点十九 数字问题 71
知识点一：排列、组合的定义
排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合的定义 合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
知识点二：排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数 组合数
定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数
公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝
性质 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C
知识点三：求解排列应用问题方法汇总
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数A除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种＝A.
间接法 正难则反、等价转化的方法
分组分配 平均分组、部分平均分组 1．对不同元素的分配问题 (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
隔板法 将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种。解决此类问题常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子
环排问题 (1) 把 个不同的元素围成一个环状，排法总数为 (2) 个不同的元素围成一圈， 个元素相邻，符合条件的排列数为 (3) 个不同的元素围成一圈， 个元素不相邻 ，符合条件的排列数为
涂色问题 涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。
考点一 捆绑法模型
【方法技巧与总结】
捆绑法：解决“相邻”问题用“捆绑法”，就是将n个不同的元素排成一排，其中k个元素排在相邻位置上，求不同的排法种数的步骤：①先将这k个元素“捆绑”在一起，看成一个整体；②把这个整体当作一个元素与其他元素一起排列，其排列方法有种排法；③然后“松绑”，即将“捆绑”在一起的元素内部进行排列，其排列方法有种；④根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有种．
【典型例题】
例1．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知甲、乙两个家庭排成一列测核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩.现要求2位父亲位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为（ ）
A．288 B．144 C．72 D．36
例2．（2023春·广东·高三统考开学考试）某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（ ）
A．34种 B．56种 C．96种 D．144种
例3．（2023秋·重庆·高三统考学业考试）某球队6名队员站成一排拍照留念，要求队员A和B不相邻且均与队员C相邻，则不同的排法共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
例4．（2023·全国·高三专题练习）现有6家商户预租赁某夜市的6个相邻的推位，其中3家商户开特色小吃店，2家商户开文创产品店，一家商户开新奇玩具店，夜市管理部门要求特色小吃店必须都相邻，且文创产品店不相邻，则不同的排法总数为（ ）
A．48 B．72 C．144 D．96
例5．（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考开学考试）2022年2月4日北京冬奥会顺利开幕.在开幕式当晚，周明约李亮一家一起观看.周明一家四口相邻而坐，李亮一家四口也相邻而坐，已知他们两家人的8个座位连在一起（在同一排且一人一座），且周明与李亮也相邻而坐，则他们不同的坐法有（ ）
A．432种 B．72种 C．1152种 D．144种
例6．（2023·全国·高三专题练习）志愿服务是全员核酸检测工作的重要基础和保障，某核酸检测站点需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己名志愿者，计划依次安排到该站点参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种
例7．（2023·全国·高三专题练习）3名男生，2名女生站成一排照相，则2名女生相邻且都不站在最左端的不同的站法共有（ ）
A．72种 B．64种 C．48种 D．36种
例8．（2023·全国·高三专题练习）“学习强国”学习平台设有“看党史”“听原著”等多个栏目．假设在这些栏目中，周一“看党史”栏目更新了3篇文章，“听原著”栏目更新了4个音频．一位学习者准备从更新的这7项内容中随机选取2篇文章和2个音频进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（ ）
A．216种 B．108种 C．72种 D．54种
例9．（2023春·山东烟台·高三校考开学考试）我国古代将“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团计划开展“六艺”讲座活动，要求活动当天每艺安排一节，连排节，且“数”必须排在第节，“射”和“御”相邻，则不同的安排顺序共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
例10．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相，其中要求甲和乙必须相邻，且丙不能排最左端，则不同的排法共有
A．12种 B．24种
C．36种 D．48种
例11．（2023·上海·高三专题练习）2014年3月8日，马航航班客机从吉隆坡飞往北京途中失联,随后多国加入搜救行动，同时启动水下黑匣子的搜寻，主要通过水机器人和娃人等手段搜寻黑匣子.现有个水下机器人，，和个蛙人，，各安排一次搜寻任务，搜寻时每次只能安排个水下机器人或个蛙人下水，其中不能安排在第一个下水， 和必须相邻安排，则不同的搜寻方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
例12．（2023·甘肃·模拟预测）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有
A．504种 B．960种 C．1008种 D．1108种
例13．（2023·全国·高三专题练习）中国书法一般分为篆书 隶书 行书 楷书和草书这5种字体，其中篆书分大篆和小篆，隶书分古隶和汉隶，草书分章草 今草和狂草，行书分行草和行楷，楷书分魏碑和唐楷.为了弘扬传统文化，某书法协会采用楷书 隶书和草书3种字体书写6个福字，其中隶书字体的福字分别用古隶和汉隶书写，草书字体的福字分别用章草 今草和狂草书写，楷书字体的福字用唐楷书写.将这6个福字排成一排，要求相同类型字体的福字相邻，则不同的排法种数为___________种.
例14．（2023秋·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习）当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化，某校从含甲、乙、丙在内的名行政人员中选取人负责每周周一至周六的疫情防控工作（周日学校放假），每人各负责天，其中甲、乙、丙人必被选中．若甲与乙需安排在相邻的两天，乙与丙不安排在相邻的两天，且丙不排周一，则不同的安排方法有___种．
例15．（2023秋·广东江门·高三江门市棠下中学校联考期末）有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有______种．（结果用数字作答）
考点二 插空法模型
【方法技巧与总结】
插空法：解决不相邻问题的方法为“插空法”，即将n个不同的元素排成一排，其中k个元素互不相邻（）．求不同的排法种数的步骤：①先将不作不相邻要求的元素共个排成一排，其排列方法有种；②然后将要求两两不相邻的k个元素插入个空隙中，相当于从个空隙中选出k个，分别分配给两两不相邻的k个元素，其排列方法有：种；③根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有种．
【典型例题】
例1．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考期末）五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（ ）
A．12种 B．48种 C．72种 D．120种
例2．（2023秋·福建龙岩·高二统考期末）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则（ ）
A．从六门课程中选两门的不同选法共有30种
B．课程“书”不排在第三天的不同排法共有720种
C．课程“礼”、“数”排在不相邻两天的不同排法共有288种
D．课程“乐”、“射”、“御”排在不都相邻的三天的不同排法共有576种
例3．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（ ）种排法？
A．72 B．36 C．24 D．12
例4．（2023秋·浙江·高二浙江省江山中学校联考期末）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前5位数字3，1，4，1，5进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（ ）
A．24个 B．36个 C．72个 D．60个
例5．（2023秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）《红楼梦》是中国古代章回体长篇小说，中国古典四大名著之一，《红楼梦》第三十七回贾探春提议邀集大观园中有文采的人组成海棠诗社．诗社成立目的旨在“宴集诗人於风庭月榭；醉飞吟盏於帘杏溪桃，作诗吟辞以显大观园众姊妹之文采不让桃李须眉．”诗社成员有8人：林黛玉、薛宝钗、史湘云、贾迎春、贾探春、贾惜春、贾宝玉及李纨，若这8人排成一排进人大观园，且林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人不相邻，则不同的排法种数有（ ）
A．1440 B．2400 C．14400 D．86400
例6．（2023·全国·高三专题练习）“四书” “五经”是我国部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为（ ）
A． B． C． D．
例7．（2023·全国·高三专题练习）A，B，C，D，E，F这6位同学站成一排照相，要求A与C相邻且A排在C的左边，B与D不相邻且均不排在最右边，则这6位同学的不同排法数为（ ）
A．72 B．48 C．36 D．24
例8．（2023秋·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考期末）2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，赢得了全球观众的好评．某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数有（ ）
A．24 B．48 C．144 D．240
例9．（2023·全国·高三专题练习）志愿服务是办好2022年北京冬奥运的重要基础和保障，现有一冬奥服务站点需要连续六天有志愿者参加志愿服务，每天只需要一名志愿者，现有6名志愿者计划依次安排到该服务站点参加服务，要求志愿者甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（ ）
A．240种 B．408种 C．1092种 D．1120种
例10．（2023·全国·高三专题练习）第13届冬残奥会于3月4日在北京开幕．带着“一起向未来”的希冀，给疫情下的世界带来了信心．为了运动会的顺利举行，组织了一些志愿者协助运动会的工作．有来自某大学的2名男老师，2名女老师和1名学生的志愿者被组织方分配到某比赛场馆参加连续5天的协助工作，每人服务1天，如果2名男老师不能安排在相邻的两天，2名女老师也不能安排在相邻的两天，那么符合条件的不同安排方案共有（ ）
A．120种 B．96种 C．48种 D．24种
例11．（2023秋·山东德州·高二德州市第一中学校考期末）某夜市的一排摊位上共有9个铺位，现有6家小吃类店铺，3家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为（ ）
A． B． C． D．
例12．（2023秋·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考期末）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学;某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“礼”排第一节课，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有几种（ ）
A． B． C． D．
例13．（2023·全国·高三专题练习）2022北京冬奥会开幕式在北京鸟巢举行，小明一家五口人观看开幕式表演，他们一家有一排10个座位可供选择，按防疫规定，每两人之间必须至少有一个空位.现要求爷爷与奶奶之间有且只有一个空位，小明只能在爸爸妈妈中间且与他俩各间隔一个空位，则不同的就座方案有___________种.
例14．（2023·上海·高三专题练习）已知江大爷养了一些鸡和兔子，晚上关在同一间房子里，数了一下共有7个头，20只脚，清晨打开房门，鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的情况有___________种（用数字作答）
例15．（2023·全国·高三专题练习）“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”，“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中某时段更新了2篇文章和2个视频，一位学员准备学习这2篇文章和这2个视频，要求这2篇文章学习顺序不相邻，则不同的学法有________种．（用数字作答）
考点三 隔板法模型
【方法技巧与总结】
将个相同的元素分成份（，为正整数），每份至少一个元素，可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中，共有种分法．
【典型例题】
例1．（2023·云南红河·统考三模）某校将个三好学生名额分配到高三年级的个班，每班至少个名额，则共有多少种不同的分配方案（ ）
A．15 B．20 C．10 D．30
例2．（2023·全国·校联考模拟预测）学校决定把个参观航天博物馆的名额给三（1） 三（2） 三（3） 三（4）四个班级.要求每个班分别的名额不比班级序号少，即三（1）班至少个名额，三（2）班至少个名额，……，则分配方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
例3．（2023·高二课时练习）现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是（ ）
A．28 B．24 C．18 D．16
例4．（2023春·江苏苏州·高二吴县中学校考期中）学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（ ）种分配方案．
A．135 B．10 C．75 D．120
例5．（2023春·全国·高二期末）方程的正整数解共有（ ）组
A．165 B．120 C．38 D．35
例6．（2023秋·山西晋城·高三校考阶段练习）有10个运动员名额分给7个班，每班至少一个名额，共有______种分配方案.
例7．（2023·全国·高三专题练习）现有15个省三好学生名额分给1、2、3、4共四个班级，其中1班至少2个名额，2班、4班每班至少3个名额，3班最多2个名额，则共有_________种不同分配方案.
例8．（2023春·广东汕头·高二校考期中）6个志愿者的名额分给3个班，每班至少一个名额，则有_________ 种不同的分配方法.（用数字回答）.
例9．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）泗县一中举行“建党周年朗诵比赛”，学校给了高二个文科班个参赛名额，要求每班至少一个同学参加比赛，则共有___________种不同的分配方案.
例10．（2023秋·河北沧州·高三南皮县第一中学校联考期中）某地举办高中数学竞赛，已知某校有20个参赛名额，现将这20个参赛名额分配给A，B，C，D四个班，其中1个班分配4个参赛名额，剩下的3个班都有参赛名额，则不同的分配方案有______种．
例11．（2023春·安徽宣城·高二阶段练习）将10个学生干部的培训指标分配给7个不同的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方案共有_______种．
例12．（2023·浙江·校联考模拟预测）将6个相同的球全部放入甲、乙、丙三个盒子里，每个盒子最多放入3个球，共有_________种不同的放法.
例13．（2023·高二单元测试）不定方程的非负整数解的个数为_______.
例14．（2023春·福建三明·高二统考期末）将个数学竞赛名额分配给个不同的班级，其中甲、乙两个班至少各有个名额，则不同的分配方案种数为__________.
例15．（2023·全国·高三专题练习）某校准备参加高中数学联赛，把16个选手名额分配到高三年级的1～4班，每班至少一个名额.
(1)不同的分配方案共有多少种？
(2)若每班名额不少于该班的序号数，则不同的分配方案共有多少种？
例16．（2023春·河北邯郸·高二大名县第一中学校考阶段练习）将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中．
(1)若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？
(2)若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？
(3)若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？
例17．（2023·全国·高三专题练习）方程（，）的正整数解有多少个？有多少个非负整数解？
考点四 排队问题 （含多排问题）
例1．（2023·全国·高三专题练习）街头篮球比赛后，红、黄两队共名队员（红队人，黄队人）合照，要求人站成一排，红队人中有且只有名队员相邻，则不同排队的方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
例2．（2023·全国·高三专题练习）七辆汽车排成一纵队，要求甲车、乙车、丙车均不排队头或队尾且各不相邻，则排法有（ ）
A．48种 B．72种 C．90种 D．144种
例3．（2023春·山西朔州·高二校考阶段练习）名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
例4．（2023·全国·高三专题练习）受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（ ）
A．240种 B．120种 C．188种 D．156种
例5．（2023·全国·高三专题练习）新冠肺炎疫情防控期间，按照宿州市疫情防控应急指挥部的要求，市教育体育局对各市直学校下发了有关疫情防控通知.某学校按市局通知要求，制定了错峰放学，错峰吃饭的具体防疫措施.高三年级一层楼有、、、、、六个班排队吃饭，班必须排在第一位，且班、班不能排在一起，则这六个班排队吃饭的不同方案共有（ ）
A．20种 B．56种 C．72种 D．40种
例6．（2023·全国·高三专题练习）六辆汽车排成一纵队，要求甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，则排法有（ ）
A．48 B．72 C．90 D．120
例7．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（ ）
A．如果四名男生必须连排在一起，那么有种不同排法
B．如果三名女生必须连排在一起，那么有种不同排法
C．如果女生不能站在两端，那么有种不同排法
D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有种不同排法
例8．（2023·全国·高二专题练习）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．
(1)选5名同学排成一排；
(2)全体站成一排，甲、乙不在两端；
(3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；
(4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
(5)全体站成一排，男生排在一起；
(6)全体站成一排，男生彼此不相邻；
(7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻；
(8)全体站成一排，甲、乙中间有2个人；
(9)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边．
例9．（2023·全国·高三专题练习）1.有4个男生，3个女生按下列要求排队拍照，各有多少种不同的排列方法？
(1)7个人排成一列，4个男生必须连排在一起；
(2)7个人排成一列，3个女生中任何两个均不能排在一起；
(3)7个人排成一列，甲、乙、丙三人顺序一定；
(4)7个人排成一列，但男生必须连排在一起，女生也必须连排在一起，且男甲与女乙不能相邻.
例9．（2023春·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）若，，，，五个人按不同的要求排列队伍，求不同的排队方法的种数
(1)，两人不站在一起；
(2)不站在最左边，不站最右边；
(3)如果又来了一位同学，六个人站一排，、站在中间，站在的右边；
(4)若5个人站成两排，其中一排站2个人，另一排站3个人．
拓展：多排问题
例1：6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有（ ）
A．30种 B．360种 C．720种 D．1440种
例2：6个人站成前、中、后三排，每排2人，则不同的排法有 种．
例3：毕业季，6位身高全不相同的同学拍照留念，站成前后两排各三人，要求每列后排同学比前排高的不同排法共有（ ）
A．40种 B．20种 C．180种 D．90种
例4：10名同学拍照，站成前排3人后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）
A．168 B．420 C．840 D．20160
例5：某次数学获奖的6名高矮互不相同的同学站成两排照相，后排每个人都高于站在他前面的同学，则共有多少种站法（ ）
A．36 B．90 C．360 D．720
考点五 错位排列
【方法技巧与总结】
错位排列公式
【典型例题】
例1．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相间，若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（ ）
A．72 B．108 C．144 D．196
例2．（2023·全国·高三专题练习）编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（ ）
A．10种 B．20种 C．30种 D．60种
例3．（2023·全国·高三专题练习）将编号为、、、、、的小球放入编号为、、、、、的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ）
A． B． C． D．
例4．（2023春·广东广州·高二广州奥林匹克中学校考阶段练习）将编号为1 2 3 4 5 6的六个小球放入编号为1 2 3 4 5 6的六个盒子里，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的方法总数是（ ）
A．20 B．40 C．120 D．240
例5．（2023春·吉林延边·高二校考期中）同室4人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则4张贺卡不同分配方式有
A．8种 B．9种 C．10种 D．12种
例6．（2023·全国·高三专题练习）元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（ ）
A．6种 B．9种 C．11种 D．23种
例7．（2023·全国·高三专题练习）若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（ ）
A．20 B．90 C．15 D．45
例8．（2023春·辽宁鞍山·高二统考期中）5个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有种不同的站法（ ）
A．42 B．44 C．46 D．48
例9．（2023春·河北沧州·高二泊头市第一中学校考开学考试）若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有（ ）
A．45种 B．40种 C．55种 D．60种
例10．（2023秋·福建三明·高三三明一中校考阶段练习）若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（ ）种不同的站法.
A．4 B．8 C．12 D．24
例11．（2023春·重庆南岸·高二重庆市广益中学校校考阶段练习）个同学玩“真心话”游戏，回答抽到的问题.若个人将各自的问题写在一张卡片上（每张卡片的形状 大小均相同），并将这张卡片放入一个不透明的箱子里，搅拌均匀，再让这人在箱子里各摸一张，恰有人需回答自己问题的种数为___________.
例12．（2023·全国·高二专题练习）位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则人拿的都不是自己的帽子方案总数为____________.（用数字作答）
例13．（2023·高一课时练习）一辆小客车上有5个座位,其座位号为1,2,3,4,5.乘客,,,,的座位号分别为1,2,3.4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车乘客户,因身体原因没有坐自己的1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座,就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位.
乘客
座位号 3 2 1 4 5
3 2 4 5 1
（1）若乘客坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法.下表给出了其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；
（2）若乘客坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,求乘客坐到5号座位的概率.
例14．（2023春·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考期中）将个编号为、、、的不同小球全部放入个编号为、、、的个不同盒子中.求：
（1）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？
（2）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？
（3）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？
（4）把已知中个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？
例15．（2023·全国·高三专题练习）n个学生参加一次聚会，每人带一张贺卡和一件礼物，会后每个人任取一张贺卡和一件礼物.问：发生下列情况时，有多少种可能？
(1)没有任何一位学生取回他原来自己的一件物品；
(2)有人取回了他原来的物品；
(3)恰好只有一人取回他原来的物品.
例16．（2023·全国·高三专题练习）将用1～6编号的六张卡片，插入用1～6编号的六个盒子里，每只盒子插一张，求：
(1)使每一卡片的号码与所在盒子号码都不同的插法总数；
(2)恰好有3张卡片号码与所在盒子号码相同的插法总数.
考点六 环排问题
【方法技巧与总结】
在圆排列数中：
（1）个元素围成一圈其圆排列数为
（2）在个元素中，每次取出个不同的元素进行圆排列，圆排列数为．
（3）当从个相异的元素中，每次取出颗串成一个圆环，因其正反相对的两个圆排列在串成一个圆环时完全相同，故圆环数为．对于较复杂的问题，可适当采用分步揷人、捆绑及利用种数公式处理．
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为（ ）
A．19 B．38 C．51 D．57
例2．（2023·全国·高三专题练习）A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（ ）
A．60种 B．48种 C．30种 D．24种
例3．（2023春·江苏苏州·高二昆山震川高级中学校考期中）现有8个人围成一圈玩游戏，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（ ）
A． B． C． D．
例4．（2023·全国·高三专题练习）现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（ ）．
A．6种 B．8种 C．12种 D．16种
例5．（2023春·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（ ）.
A．40320种 B．5040种 C．20160种 D．2520种
例6．（2023春·辽宁·高三校联考阶段练习）已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙丙”与该排列旋转一个或几个位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一个排列．现有位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有种，那么这位同学围成一个圆时，不同的站法总数为（ ）
A． B． C． D．
例7．（2023·高二课时练习）8人围桌而坐，共有______种坐法.
例8．（2023·全国·高三专题练习）5个女孩与6个男孩围成一圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，则不同排法有______种（填数字）．
例9．（2023·高二课时练习）10位男生10位女生．男女相间隔围成一圈，则其所有不同的排列数为__________
例10．（2023·全国·高三专题练习）4个人围坐在如图所示的8张椅子中的4张椅子上聚餐，其中甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相对）而坐，共有__________种不同的坐法(用数字作答)
例11．（2023·全国·高二专题练习）7颗颜色不同的珠子，可穿成________的珠子圈．
例12．（2023·全国·高三专题练习）8名学生平均分成两组，每组都围成一个个圆圈，有______种不同的围法．
例13．（2023·全国·高二专题练习）一个圆桌有十二个座位，编号为1至12.现有四个学生和四个家长入座，要求学生坐在偶数位，家长与其孩子相邻.满足要求的坐法共有______种.
例14．（2023·江苏·高三强基计划）现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有____种．（用数字作答）
例15．（2023·高二课时练习）如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有_____________种．
例16．（2023·高二课时练习）有5对夫妇和，共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12个座位的圆桌上就餐（旋转之后算相同坐法）．
（1）若5对夫妇都相邻而坐，，相邻而坐，共有多少种坐法？
（2）5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，，不相邻，共有多少种坐法？
考点七、特殊元素法
例1：运输公司从5名男司机，4名女司机中选派出3名男司机，2名女司机，到，，，，这五个不同地区执行任务，要求地只能派男司机，地只能派女司机，则不同的方案种数是（ ）
A．360 B．720 C．1080 D．2160
例2:某地区为发展，，，，五个村的经济，引入了“林果、茶园、养殖、旅游、农业特色深加工”五个项目，不同的村安排不同的项目，且每个村只安排一个项目．由于条件限制，村无法实施“农业特色深加工”项目，村无法实施“养殖”项目，，，三个村可以实施任何项目，则符合条件的不同安排方式共有（ ）
A．60种 B．72种 C．78种 D．120种
例3：某校为深入开展劳动教育，通过学校的电子屏幕播放“我的校园我打扫”，大力宣传劳动的价值意义，使学生树立正确的劳动观某日甲、乙、丙、丁四名同学值日打扫卫生，卫生区域划分为，，，四块，每个区域安排一个同学去打扫，其中甲不去打扫区域，乙不去打扫区域，则不同的安排方法的种数为（ ）
A． B． C． D．
例4：第届世界大学生夏季运动会于月日至月日在成都举办，现在从男女共名青年志愿者中，选出男女共名志愿者，安排到编号为、、、、的个赛场，每个赛场只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在编号为、的赛场，编号为的赛场必须安排女志愿者，那么不同安排方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
考点八、特殊位置法
例1：有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
例2：某餐厅并排有7个座位，甲、乙、丙三位顾客就餐，每人必须选择且只能选择一个座位，要求两端座位不能坐人，并且连续空座至多有2个，则不同的坐法有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．56种
例3：包括甲、乙、丙3人的7名同学站成一排拍纪念照，其中丙站中间，甲不站在乙的左边，且不与乙相邻，则不同的站法有（ ）
A．240种 B．252种 C．264种 D．288种
例4：某单位安排7位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有（ ）
A．504种 B．960种 C．1008种 D．1108种
例5:2010年广州亚运会结束了，某运动队的7名队员合影留念，计划站成一横排，但甲不站最左端，乙不站最右端，丙不站正中间.则理论上他们的排法有( )
A．3864种 B．3216种 C．3144种 D．2952种
例6：因演出需要，身高互不相等的9名演员要排成一排成一个“波浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第七个依次递减，第七、八、九个依次递增，则不同的排列方式有（ ）种．
A．379 B．360 C．243 D．217
考点九、间接法
例1：2022年在贵州省黔东南州台盘乡举办的贵州省“美丽乡村”篮球联赛，经由短视频火爆全网，被称为“村BA”，中国驻美大使及外交部发言人在海外媒体发文推荐．某高三班主任从网上找到6个与此相关的短视频，，，，，，准备从这6个短视频中再选出3个向学生推荐，则，，至少选1个的方法种数为（ ）
A．8 B．18 C．19 D．24
例2：甲乙等五名学生参加数学、物理、化学、生物这四门学科竞赛，已知每人恰参加一门学科竞赛，每门学科竞赛都有人参加，且甲乙两人不参加同一学科竞赛，则一共有（ ）种不同的参加方法
A．72 B．144 C．216 D．240
例3：四面体的顶点和各棱的中点共10个点．在这10点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为（ ）
A．141 B．144 C．150 D．155
例4：某校组织一次认识大自然的活动，有10名同学参加，其中有6名男生 4名女生，现要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本.抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（ ）
A．192种 B．120种 C．96种 D．24种
例5：现有16张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为（ ）
A．484 B．472
C．252 D．232
例6：中国空间站（ChinaSpaceStation）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.年月日分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等名航天员都去开展实验，三舱中每个舱至少一人，且甲、乙两人不同舱，则不同的安排方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．以上都不对
考点十、定序倍缩法
例1：将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法种数共有( )
A． B． C． D．
例2：由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中百位、十位、个位数字总是从小到大排列的共有（ ）
A．120个 B．100个 C．300个 D．600个
例3：在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A C D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（ ）
A．100 B．120 C．300 D．600
例4：某学校组织6×100接力跑比赛，某班级决定派出A，B，C，D，E，F等6位同学参加比赛．在安排这6人的比赛顺序时要保证A要在B之前，D和F的顺序不能相邻，则符合要求的安排共有（ ）
A．240种 B．180种 C．120种 D．150种
例5：现有5名学生：甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，要求甲与乙相邻，且甲、乙、丁的左右顺序固定，站法种数为（ ）
A．36 B．24 C．20 D．12
例6：《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）
A．6种 B．12种 C．36种 D．72种
例7：小武是1993年12月18日出生的，他设置家里的电子门锁的时候打算用他的出生年、月、日中的8个数字进行排列得到一个8位数的密码，那么小武同学可以设置的不同密码的个数为（ ）
A．2760 B．3180 C．3200 D．3360
考点十一、平均分组
【方法技巧与总结】
分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别.一般地，平均分成堆（组）必须除以；如果有堆（组）元素个数相同，必须除以.
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法；
B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法；
C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法；
D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；
例2．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考开学考试）将6名实习教师分配到3所学校进行培调，每名实习教师只能分配到1个学校，每个学校至少分配1名实习教师，则不同的分配方案共有（ ）
A．240种 B．360种 C．450种 D．540种
例3．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）某社区为了做好疫情防控工作，安排6名志愿者进行核酸检测，需要完成队伍组织 信息录人 采集核酸三项任务，每项任务至少安排一人但至多三人，则不同的安排方法有（ ）
A．450种 B．72种 C．90种 D．360种
例4．（2023·陕西铜川·校考一模）将4名新招聘的工人分配到A，B两个生产车间，每个车间至少安排1名工人，则不同安排方案有（ ）
A．36种 B．14种 C．22种 D．8种
例5．（2023秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）某班开展阅读比赛，老师选择了5本不同的课外书，要求每位同学在3天内阅读完这5本课外书，每天至少选一本阅读，选择的课外书当天需阅读完，则不同的选择方式有（ ）
A．540种 B．300种 C．210种 D．150种
例6．（2023秋·山东潍坊·高二统考期末）某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加A，B，C三个企业的调研工作，每个企业去2人，且甲去B企业，乙不去C企业，则不同的派遣方案共有（ ）
A．42种 B．30种 C．24种 D．18种
例7．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）将5名学生志愿者分配到成语大赛、诗词大会、青春歌会、爱心义卖4个项目参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
例8．（2023·重庆·统考一模）2022年8月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，另外4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，每支志愿团队只能分配到1个项目，且每个项目至少分配1个志愿团队，则不同的分配方案种数为（ ）
A．36 B．81 C．120 D．180
例9．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）若六位老师前去某三位学生家中辅导，每一位学生至少有一位老师辅导，每一位老师都要前去辅导且仅能辅导一位同学，由于就近考虑，甲老师不去辅导同学1，则有（ ）种安排方法
A．335 B．100 C．360 D．340
例10．（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）将5名女老师和5名男老师分配到三个社区，每名老师只去一个社区，若每个社区都必须要有女老师，且有男老师的社区至少有2名女老师，则不同的分配方法有（ ）
A．1880种 B．2940种 C．3740种 D．5640种
例11．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）有5人参加某会议，现将参会人安排到酒店住宿，要在a、b、c三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，则这样的安排方法共有（ ）
A．96种 B．124种 C．150种 D．130种
例12．（2023秋·河南焦作·高二温县第一高级中学校考期末）某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
例13．（2023·全国·高三专题练习）佳木斯市第一中学校为了做好疫情防控工作，组织了6名教师组成志愿服务小组，分配到东门、西门、中门3个楼门进行志愿服务.由于中门学生出入量较大，要求中门志愿者人数不少于另两个门志愿者人数，若每个楼门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ）
A．240 B．180 C．690 D．150
例14．（2023·高三课时练习）一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，将他们全部分配到三家医院，使每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有_________种.
例15．（2023·全国·高三专题练习）A、B、C、D四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若A和不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是______.（用数字作答）.
例16．（2023·全国·高三专题练习）安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多．某校开设了研学旅行课程，该校有6个班级分别选择黄山、九华山、天柱山中的一座山作为研学旅行的地点，每座山至少有一个班级选择，则恰好有2个班级选择黄山的方案有__________种．
例17．（2023·全国·高三专题练习）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式
（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
（3）平均分成三份,每份2本;
（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.
考点十二、部分平均分组
例1：将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，至多两人，则甲乙不在同一路口的分配方案共有（ ）
A．81种 B．72种 C．63种 D．36种
例2：中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊．现有6支救援队前往三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中受灾点至少需要2支救援队，则不同的安排方法种数是（ ）
A．180 B．240 C．320 D．360
例3：教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A、B、C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有（ ）种
A．25 B．60 C．90 D．150
例4：某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为
A．4680 B．4770 C．5040 D．5200
考点十三、不平均分组
例1：安排4名男生和3名女生去参加甲、乙两个不同的社团活动，每个社团至少3人，且社团甲的男生数不少于社团乙的男生数，则不同的参加方法种数是（ ）
A．31 B．53 C．61 D．65
例2：第届冬季奥林四克运动会（北京冬奥会）计划于年月日开幕，共设个大项．现将甲、乙、丙名志愿者分配到个大项中参加志愿活动，每名志愿者只能参加个大项的志愿活动，则有且只有两人被分到同一大项的情况有（ ）
种 B．种 C．种 D．种
例3：甲乙丙丁4位大学生前往，，3个工厂参观实习，若每人只能去其中一个工厂，且每个工厂至少安排1人，其中甲只能去，两个工厂中的一个，则不同的安排方法数是（ ）
A．36 B．12 C．24 D．18
考点十四、涂色问题
【方法技巧与总结】
涂色问题常用方法：
(1)根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法；
(2)根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数；
(3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论.从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数.
种颜色圆周染色问题
如图，把一个圆分成个扇形，每个扇形用种颜色之一染色，要求相邻扇形不同色，有种方法.
正常着色定理
如图，用（为正整数）种颜色给图的个顶点着色，则正常着色的方法为：，.
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）如图是某届国际数学家大会的会标，现在有4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（ ）
A．72 B．48 C．36 D．24
例2．（2023·全国·高三专题练习）如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·全国·高三专题练习）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（ ）种不同的染色方案.
A．96 B．144 C．240 D．360
例5．（2023·全国·高三专题练习）在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有（　　）
A．种 B．种 C．种 D．种
例6．（2023·全国·高三专题练习）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域、、、、涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（ ）
A．120种 B．720种 C．840种 D．960种
例7．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考开学考试）用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中5个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为（ ）
A．6 B．10 C．16 D．20
例8．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是（ ）
A．1440 B．720 C．1920 D．960
例9．（2023·全国·高三专题练习）如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（ ）
A．480 B．720 C．1080 D．1200
例10．（2023·全国·高三专题练习）用五种不同颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
例11．（2023·全国·高三专题练习）如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．192 B．336 C．600 D．以上答案均不对
例12．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是(　　)
A．420 B．210 C．70 D．35
例13．（2023·全国·高三专题练习）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种(以数字作答)．
例14．（2023·陕西宝鸡·统考一模）七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形 一个正方形和一个平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有______种.
例15．（2023·全国·高三专题练习）用种不同的颜色给如图所示的、、、四个区域涂色．
（1）若相邻区域能用同一种颜色，则图①有多少种不同的涂色方案？
（2）若相邻区域不能用同一种颜色，当时，图①、图②各有多少种不同的涂色方案？
（3）若相邻区域不能用同一种颜色，图③有种不同的涂色方案，求的值．
考点十五 多面手问题
【方法技巧与总结】
解含有约束条件的排列组合问题，即多面手问题，可元素的性质进行分类，接事件发生的连续过程分步，做到标准明确．分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定，要贯穿于解题过程的始终．
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（ ）种不同的选法．
A． B． C． D．
例2．（2023·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（ ）种不同的选法
A．225 B．185 C．145 D．110
例3．（2023·全国·高三专题练习）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）
A．26种 B．30种 C．37种 D．42种
例4．（2023·全国·高三专题练习）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）
A．56种 B．68种
C．74种 D．92种
例5．（2023春·湖北十堰·高二统考期末）某龙舟队有8名队员，其中3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）
A．26种 B．30种 C．37种 D．42种
例6．（2023春·安徽六安·高二六安一中阶段练习）在名工人中,有人只当钳工, 人只当车工,另外人既会钳工又会车工，现从人中选出人当钳工, 人当车工,则共有（ ）种不同的选法.
A． B． C． D．
例7．（2023春·宁夏·高二宁夏长庆高级中学校考期中）某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为
A．36种 B．33种 C．27种 D．21种
例8．（2023秋·河南南阳·高二校考阶段练习）我校去年11月份，高二年级有9人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有______种不同的选法
例9．（2023春·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有__________种.
例10．（2023春·四川广安·高二四川省武胜烈面中学校校考期中）6名工人，其中2人只会电工，3人只会木工，还有1人既会电工又会木工，选出电工2人木工2人，共有______种不同的选法．
例11．（2023春·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中）在一次演唱会上共名演员，其中人能唱歌，人会跳舞，现要演出一个人唱歌人伴舞的节目，有___________种选派方法（填数字）.
例12．（2023春·上海闵行·高二闵行中学校考期中）在一次演唱会上共10 名演员（每名演员都会唱歌或跳舞），其中7人能唱歌，6人会跳舞.
（1）问既能唱歌又会跳舞的有几人？
（2）现要选出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少种选派方法？
考点十六分解与合成模型和最短路径问题
【方法技巧与总结】
分解与合成策略是复杂的排列组合问题最基本的解题策略之一，把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从而得到问题的答案．
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？
A．6 B．8 C．10 D．12
例2．（2023·全国·高三专题练习）夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道，由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路，如图，假设夏老师家在处，学校在处，段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的最短路径有（ ）条．
A．23 B．24 C．25 D．26
例3．（2023秋·广东惠州·高三校考期末）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（ ）
A．23 条 B．24 条 C．25条 D．26 条
例4．（2023·全国·高三专题练习）方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从点出发，沿着竹棍到达点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种
例5．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成的三面角. 18世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸. 令人惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是，所有的锐角都是. 后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度. 从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”. 如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面. 图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第层（有条竖直线段）第通道（从左向右计）的不同路径数为. 例如：，. 则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例6．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）如图，在某城市中， 两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、、是道路网中的个指定交汇处. 今在道路网 处的甲 乙两人分别要到 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发直到到达 处为止. 则下列说法正确的是（ ）
A．甲从到达处的方法有种
B．甲从必须经过到达处的方法有种
C．甲、乙两人在处相遇的概率为
D．甲、乙两人在道路网中个指定交汇处相遇的概率为
例7．（2023·高二课时练习）一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有（ ）
A．6种 B．8种
C．36种 D．48种
例10．（2023春·广东惠州·高二校考期中）下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（ ）
A．14条 B．12条 C．9条 D．7条
例11．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中位于一条对角线上的5个交汇处，今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则（ ）
A．甲从M到达N处的走法有70种
B．甲从M必须经过到达N处的走法有12种
C．若甲、乙两人途中在处相遇，则共有144种走法
D．若甲、乙两人在行走途中会相遇，则共有1810种走法
例12．（2023·高二课时练习）某城市由条东西方向的街道和条南北方向的街道组成一个矩形街道网，要从处走到处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？
考点十七 构造法模型、递推模型与化归策略
【方法技巧与总结】
化归策略：处理复杂的排列组合问题时，可以把一个问题转化成一个简单的问题，通过解决这个简单的问题，从而找到解题方法，进一步解决原来的问题．
一些不易理解的排列组合题，如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型、排队模型、装盒模型等，可使问题迎刃而解．
【典型例题】
例1．（2023·重庆·校联考一模）将方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（ ）
A．33 B．56 C．64 D．78
例2．（2023春·北京海淀·高二北大附中校考期末）几个孩子在一棵枯树上玩耍，他们均不慎失足下落．已知
（）甲在下落的过程中依次撞击到树枝，，；
（）乙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；
（）丙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；
（）丁在下落的过程中依次撞击到树枝，，；
（）戊在下落的过程中依次撞击到树枝，，．
倒霉的李华在下落的过程中撞到了从到的所有树枝，根据以上信息，在李华下落的过程中，和这根树枝不同的撞击次序有（ ）种．
A． B． C． D．
例3．（2023·全国·高三专题练习）几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E,则这九棵树枝从高到低不同的顺序共有（ ）
A．23 B．24 C．32 D．33
例4．（2023秋·天津河东·高二统考期末）九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具.它用九个圆环相连成串，以解开为胜.它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载.周邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环.”九连环有多种玩法，在某种玩法中:已知解下1个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环 2 次，记 为解下个圆环需要移动圆环的最少次数，且，则解下 8 个圆环所需要移动圆环的最 少次数为（ ）
A．30 B．90 C．170 D．341
例5．（2023秋·福建福州·高三统考期中）三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练，由丙开始传，经过次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（ ）
A．4种 B．10种
C．12种 D．22种
例6．（2023春·全国·高三专题练习）跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为
A．8种 B．13种 C．21种 D．34种
例7．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成的三面角. 18世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸. 令人惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是，所有的锐角都是. 后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度. 从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”. 如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面. 图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第层（有条竖直线段）第通道（从左向右计）的不同路径数为. 例如：，. 则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例8．（多选题）（2023春·河北沧州·高二沧县中学校考阶段练习）跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么下面说法正确的是（ ）
A．进入第二个格子走法有2种
B．进入第二个格子走法有1种
C．进入第三个格子走法有2种
D．进入第八个格子走法有21种
例9．（2023春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏，也不能关掉两端的2盏，满足条件的关灯方法有______种.
例10．（2023·浙江·高三竞赛）马路上有编号为1，2，，2011的2011只路灯.为节约用电，要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯.则满足条件的关灯方法共有______.（用组合数符合表示）.
例11．（2023·浙江·模拟预测）从1，2，3，…，15中选取三个不同的数组成三元数组，且满足，，则这样的数组共有______个.（用数字作答）
例12．（2023春·上海长宁·高三上海市延安中学校考开学考试）从集合中选出4个数组成的子集，使得这4个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集个数是________.
例13．（2023秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）16名社区志愿者组成4行4列的方阵，现从中选出2人，要求他们既不在同一行又不在同一列，则不同的选法种数为______________.
例14．（2023春·上海杨浦·高二复旦附中校考期中）个人排成一个n行，n列的方阵，现要从中选出n个代表，要使得每一行，每一列都有代表，则有___________种不同的选法.
例15．（2023·全国·高三专题练习）某活动中，有42人排成6行7列，现从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为_____（用数字作答）．
例16．（2023·全国·高三专题练习）一只蚂蚁从一个正四面体的顶点出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点的爬行方法种数是__________．
例17．（2023·全国·高三竞赛）将圆周等分于点，在以其中每三点为顶点的三角形中，含有圆心的三角形个数为__________．
例18．（2023春·江苏常州·高二常州市第一中学校考阶段练习）如图所示是竖直平面内的一个“通道游戏”，图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．若有一条竖直线段的为第一层，第二条竖直线段的为第二层，以此类推，现有一颗小球从第一层的通道向下运动，在通道的交叉处，小球可以落入左右两个通道中的任意一个，记小球落入第层的第个竖直通道（从左向右计）的不同路径数为．
（1）求，，的值；
（2）猜想的表达式（不必证明），并求不等式的解集．
考点十八 定序问题先选后排策略与重排问题求幂策略
【方法技巧与总结】
定序问题可以用倍缩法，还可以转化为占位插空模型处理．
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置．一般地，个不同的元素没有限制地安排在个位置上的排列方法有种．
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）满足，且的有序数组共有（ ）个.
A． B． C． D．
例2．（2023·高二课时练习）已知，则满足的有序数组共有（ ）个
A． B． C． D．
例3．（2023·全国·高三专题练习）DNA是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为碱基的化学成分组成它看上去就像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合．在DNA中只有4种类型的碱基，分别用A、C、G和T表示，DNA中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间能形成氢键的碱基或者是A-T，或者是C-G，不会出现其他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序．如图所示为一条DNA单链模型示意图，现在某同学想在碱基T和碱基C之间插入3个碱基A，2个碱基C和1个碱基T，则不同的插入方式的种数为（ ）
A．20 B．40 C．60 D．120
例4．（2023春·甘肃张掖·高二甘肃省民乐县第一中学校考期中）习近平总书记在全国教育大会上发表重要讲话，称教育是国之大计，党之大计．瑞金二中落实讲话内容，组织研究性学习．在研究性学习成果报告会上，有A、B、C、D、E、F、G共7项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A、C、D按先后顺序汇报(不一定相邻)，那么不同的汇报安排种数为( )．
A．840 B．800 C．720 D．680
例5．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二尚志市尚志中学校考期中）习近平总书记在全国教育大会上发表重要讲话，称教育是国之大计，党之大计．哈九中落实讲话内容，组织研究性学习．在研究性学习成果报告会上，有A、B、C、D、E、F共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A、C、D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（ ）
A．100 B．120 C．300 D．600
例6．（2023春·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A C D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（ ）
A．100 B．120 C．300 D．600
例7．（2023·全国·高三专题练习）花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为 （ ）
A．2520 B．5040 C．7560 D．10080
例8．（2023秋·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考阶段练习）元宵节灯展后，悬挂有8盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，则不同的取法共有（ ）．
A．32种 B．70种 C．90种 D．280种
例9．（2023春·河南鹤壁·高三鹤壁高中校考阶段练习）讲桌上放有两摞书，每摞本，现要把本不同的书发给位学生，每位一本书，每次发书只能从其中一摞取最上面的一本书，则有不同取法的种数是______.（用数字作答）
例10．（2023·全国·高三专题练习）某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答）
例11．（2023秋·江西·高二校联考阶段练习）现有学号分别为号、号、号、、号的位同学依次站成一排，老师请他们从号同学开始依次从如图所示的装有标号为至号球的三个圆柱形容器中随意选择一个有球的容器并取出最上面的一个球，再根据自己手中所拿球的号码，按照球号从小到大的顺序从左到右重新站成一排，则所有可能的不同站法有____________种（用数字作答）．
考点十九 数字问题
【方法总结】
某个或某几个元素要或不要排在指定位置，可先排这个或这几个元素，再排其他的元素（元素代先法）；也可针对特殊元素，先把指定位置安排好元素，再排其他的元素（位置化先法）．
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
例2．（2023·全国·高二专题练习）用数字、、组成五位数，且数字、、至少都出现一次，这样的五位数共有（ ）个
A． B． C． D．
例3．（2023·全国·高二专题练习）罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下：
数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9
形式 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ
其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”需要2根火柴，若为0，则用空位表示. （如123表示为，405表示为）如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（ ）
A．87 B．95 C．100 D．103
例4．（2023·全国·高二专题练习）我国古代数学名著《续古摘奇算法》（杨辉）一书中有关于三阶幻方的问题：将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和都相等（如图所示），我们规定：只要两个幻方的对应位置（如每行第一列的方格）中的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
例5．（2023·全国·高二专题练习）用数字、、、、、组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（ ）
A．可组成个不重复的四位数
B．可组成个不重复的四位偶数
C．可组成个能被整除的不重复四位数
D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第个数字为
例6．（2023秋·北京·高二北京八中校考期末）用三个数字组成一个四位数，要求每个数字至少出现一次，共可组成个不同的四位数__________（用数字作答）.
例7．（2023·全国·高三专题练习）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中个位 十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有___________.个（用数字作答）.
例8．（2023·全国·高三专题练习）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是奇数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）
例9．（2023·全国·高三专题练习）用数字组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为____ ．
例11．（2023·高二课时练习）用0、1、2，3、4、5组成无重复数字的四位数，求分别满足下列条件的四位数的个数．
(1)能被25整除的数；
(2)十位数字比个位数字大的数．
例12．（2023·高二课时练习）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的四位数？
例13．（2023·高二课时练习）（1）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个无重复数字的三位数？
（2）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个三位数？
（3）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个数字允许重复的三位数？
（4）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个无重复数字的三位奇数？
（5）用1、1、1、2、3、4这六个数字各一次，可以组成多少个六位数？
例14．（2023·全国·高二专题练习）由1，2，3，4，5，6，7，8，9可以组成多少个无重复数字的三位偶数与三位奇数？排列组合题型方法全归纳
目录
知识点一：排列、组合的定义 1
知识点二：排列数、组合数的定义、公式、性质 1
知识点三：求解排列应用问题方法汇总 2
考点一 捆绑法模型 3
考点二 插空法模型 7
考点三 隔板法模型 11
考点四 排队问题 （含多排问题） 16
拓展：多排问题 19
考点五 错位排列 21
考点六 环排问题 27
考点七、特殊元素法 31
考点八、特殊位置法 32
考点九、间接法 34
考点十、定序倍缩法 36
考点十一、平均分组 37
考点十二、部分平均分组 43
考点十三、不平均分组 44
考点十四、涂色问题 45
考点十五 多面手问题 53
考点十六分解与合成模型和最短路径问题 56
考点十七 构造法模型、递推模型与化归策略 62
考点十八 定序问题先选后排策略与重排问题求幂策略 68
考点十九 数字问题 71
知识点一：排列、组合的定义
排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合的定义 合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
知识点二：排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数 组合数
定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数
公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝
性质 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C
知识点三：求解排列应用问题方法汇总
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数A除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种＝A.
间接法 正难则反、等价转化的方法
分组分配 平均分组、部分平均分组 1．对不同元素的分配问题 (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
隔板法 将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种。解决此类问题常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子
环排问题 (1) 把 个不同的元素围成一个环状，排法总数为 (2) 个不同的元素围成一圈， 个元素相邻，符合条件的排列数为 (3) 个不同的元素围成一圈， 个元素不相邻 ，符合条件的排列数为
涂色问题 涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。
考点一 捆绑法模型
【方法技巧与总结】
捆绑法：解决“相邻”问题用“捆绑法”，就是将n个不同的元素排成一排，其中k个元素排在相邻位置上，求不同的排法种数的步骤：①先将这k个元素“捆绑”在一起，看成一个整体；②把这个整体当作一个元素与其他元素一起排列，其排列方法有种排法；③然后“松绑”，即将“捆绑”在一起的元素内部进行排列，其排列方法有种；④根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有种．
【典型例题】
例1．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知甲、乙两个家庭排成一列测核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩.现要求2位父亲位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为（ ）
A．288 B．144 C．72 D．36
【答案】C【解析】方法1：2位父亲的排队方式种数为，2位母亲的排队方式种数为，3个小孩的排队方式种数为，将3个小孩当成一个整体，放进父母的中间共有种排队方式，所以不同的排队方式种数为.方法2：2位父亲的排队方式种数为，将3个小孩当成一个整体与2位母亲的排队方式种数为，3个小孩的排队方式种数为，所以不同的排队方式种数为.
例2．（2023春·广东·高三统考开学考试）某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（ ）
A．34种 B．56种 C．96种 D．144种
【答案】C【解析】由题意知讲座只能安排在第一或最后一场，有种结果，
讲座和必须相邻，共有种结果，根据分步计数原理知共有种结果.
例3．（2023秋·重庆·高三统考学业考试）某球队6名队员站成一排拍照留念，要求队员A和B不相邻且均与队员C相邻，则不同的排法共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】D【解析】因为队员A和B不相邻且均与队员C相邻，所以队员C站在队员A和B的中间，故将队员看作个整体，其内部共有种排法，而这个整体与其他3名队员进行排列，则有种排法，所以不同的排法共有种.
例4．（2023·全国·高三专题练习）现有6家商户预租赁某夜市的6个相邻的推位，其中3家商户开特色小吃店，2家商户开文创产品店，一家商户开新奇玩具店，夜市管理部门要求特色小吃店必须都相邻，且文创产品店不相邻，则不同的排法总数为（ ）
A．48 B．72 C．144 D．96
【答案】B【解析】先把3家小吃店捆绑全排共有种排法，再把小吃店与玩具店全排共有种排法，
然后把2家文创店插空全排共有种排法，所以共有6×2×6＝72种
例5．（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考开学考试）2022年2月4日北京冬奥会顺利开幕.在开幕式当晚，周明约李亮一家一起观看.周明一家四口相邻而坐，李亮一家四口也相邻而坐，已知他们两家人的8个座位连在一起（在同一排且一人一座），且周明与李亮也相邻而坐，则他们不同的坐法有（ ）
A．432种 B．72种 C．1152种 D．144种
【答案】B【解析】依题意周明与李亮坐中间两个位置，则有种坐法，此时周明家其余人有种坐法，同理李亮家其余人有种坐法，所以他们不同的坐法有种.
例6．（2023·全国·高三专题练习）志愿服务是全员核酸检测工作的重要基础和保障，某核酸检测站点需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己名志愿者，计划依次安排到该站点参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种
【答案】D【解析】若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为，若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为，由间接法可知，满足条件的排法种数为种.
例7．（2023·全国·高三专题练习）3名男生，2名女生站成一排照相，则2名女生相邻且都不站在最左端的不同的站法共有（ ）
A．72种 B．64种 C．48种 D．36种
【答案】D【解析】将2名女生捆绑在一起，故2名女生相邻有种站法，又2名女生都不站在最左端，故有种站法，剩下3个位置，站3名男生有种站法，故不同的站法共有种.
例8．（2023·全国·高三专题练习）“学习强国”学习平台设有“看党史”“听原著”等多个栏目．假设在这些栏目中，周一“看党史”栏目更新了3篇文章，“听原著”栏目更新了4个音频．一位学习者准备从更新的这7项内容中随机选取2篇文章和2个音频进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（ ）
A．216种 B．108种 C．72种 D．54种
【答案】A【解析】第一步从3篇文章中选2篇全排列，共有种方法，第二步从4个音频中选2个，共有种方法，第三步将2篇文章捆绑，再与已选取的2个音频进行全排列，共种方法，故所求的总方法数为（种）.
例9．（2023春·山东烟台·高三校考开学考试）我国古代将“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团计划开展“六艺”讲座活动，要求活动当天每艺安排一节，连排节，且“数”必须排在第节，“射”和“御”相邻，则不同的安排顺序共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C【解析】分析可知“数”排在第节，且“射”和“御”相邻时，有种排法，再将“礼”、“乐”、“书”安排在剩下的节，有种排法，所以不同的安排顺序共有（种）．
例10．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相，其中要求甲和乙必须相邻，且丙不能排最左端，则不同的排法共有
A．12种 B．24种
C．36种 D．48种
【答案】C解析】由题意，把甲乙看成一个元素，甲乙、丁，戊的排列共有种不同的排法，又由丙不能排最左端，利用“插空法”可得丙只有3种方式，由分步计数原理可得，不同的排法共有种，故选C．
例11．（2023·上海·高三专题练习）2014年3月8日，马航航班客机从吉隆坡飞往北京途中失联,随后多国加入搜救行动，同时启动水下黑匣子的搜寻，主要通过水机器人和娃人等手段搜寻黑匣子.现有个水下机器人，，和个蛙人，，各安排一次搜寻任务，搜寻时每次只能安排个水下机器人或个蛙人下水，其中不能安排在第一个下水， 和必须相邻安排，则不同的搜寻方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B【解析】和捆绑，相当于个，先排第一位，则方法数有种，
例12．（2023·甘肃·模拟预测）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有
A．504种 B．960种 C．1008种 D．1108种
【答案】C【解析】若丙排月日，共有，若丁排月日，共有，若丙排日且丁排日共有，若不考虑丙，丁的条件限制，共有，∴共有(种）．
例13．（2023·全国·高三专题练习）中国书法一般分为篆书 隶书 行书 楷书和草书这5种字体，其中篆书分大篆和小篆，隶书分古隶和汉隶，草书分章草 今草和狂草，行书分行草和行楷，楷书分魏碑和唐楷.为了弘扬传统文化，某书法协会采用楷书 隶书和草书3种字体书写6个福字，其中隶书字体的福字分别用古隶和汉隶书写，草书字体的福字分别用章草 今草和狂草书写，楷书字体的福字用唐楷书写.将这6个福字排成一排，要求相同类型字体的福字相邻，则不同的排法种数为___________种.
【答案】72【解析】分别将隶书 草书 楷书当作整体，排法总数为，隶书内部顺序，草书内部顺序，
故方法总数为种.
例14．（2023秋·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习）当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化，某校从含甲、乙、丙在内的名行政人员中选取人负责每周周一至周六的疫情防控工作（周日学校放假），每人各负责天，其中甲、乙、丙人必被选中．若甲与乙需安排在相邻的两天，乙与丙不安排在相邻的两天，且丙不排周一，则不同的安排方法有___种．
【答案】【解析】以全集表示“甲与乙需安排在相邻的两天”，集合表示“乙与丙安排在相邻的两天”，
集合表示“丙安排在周一”，如下图所示：
要选人负责每周周一至周六的疫情防控工作，则只需从除甲、乙、丙以外的人中再抽取人，全集表示的排法中，将甲、乙两人捆绑，则，集合表示的排法中，将甲、乙、丙三人捆绑，且乙在中间，则，集合表示的排法中，丙排在周一，将甲、乙两人捆绑，则，
集合表示的排法中，丙排在周一，且将甲、乙、丙三人捆绑，且乙在中间，则，
因此，满足条件的排法种数为.
例15．（2023秋·广东江门·高三江门市棠下中学校联考期末）有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有______种．（结果用数字作答）
【答案】【解析】先考虑相声、跳舞相邻的情况，只需将相声、跳舞这两个节目进行捆绑，形成一个大元素，
然后再将这个“大元素”与其它三个节目进行排序，共有种排法.接下来考虑相声节目与小品、跳舞都相邻的情形，需将相声与小品、跳舞这三个节目进行捆绑，其中相声节目位于中间，然后将这个“大元素”与其它两个节目进行排序，此时共有种排法.综上所述，由间接法可知，共有种不同的排法.
故答案为：.
考点二 插空法模型
【方法技巧与总结】
插空法：解决不相邻问题的方法为“插空法”，即将n个不同的元素排成一排，其中k个元素互不相邻（）．求不同的排法种数的步骤：①先将不作不相邻要求的元素共个排成一排，其排列方法有种；②然后将要求两两不相邻的k个元素插入个空隙中，相当于从个空隙中选出k个，分别分配给两两不相邻的k个元素，其排列方法有：种；③根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有种．
【典型例题】
例1．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考期末）五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（ ）
A．12种 B．48种 C．72种 D．120种
【答案】C【解析】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节，方法数为.
例2．（2023秋·福建龙岩·高二统考期末）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则（ ）
A．从六门课程中选两门的不同选法共有30种
B．课程“书”不排在第三天的不同排法共有720种
C．课程“礼”、“数”排在不相邻两天的不同排法共有288种
D．课程“乐”、“射”、“御”排在不都相邻的三天的不同排法共有576种
【答案】D【解析】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有(种)，A选项不正确；
对于B，除第三天外的5天中任取1天排“书”，再排其他五门体验课程共有(种)，B选项不正确；
对于C，“礼”“数”排在不相邻两天，先排其余四门课程，再用插空法排入“礼”“数”
则不同排法共有(种)，C选项不正确；对于D，六门课程的全排列有(种)，“乐”、“射”、“御”排在都相邻的三天的不同排法有(种)，则“乐”、“射”、“御”排在不都相邻的三天的不同排法共有(种)，D选项正确.
例3．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（ ）种排法？
A．72 B．36 C．24 D．12
【答案】A【解析】先排三个唱歌节目这有：种情况，然后四个空排两个舞蹈节目这有：种情况，
所以舞蹈节目不能相邻的情况有：情况.
例4．（2023秋·浙江·高二浙江省江山中学校联考期末）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前5位数字3，1，4，1，5进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（ ）
A．24个 B．36个 C．72个 D．60个
【答案】B【解析】分两步：第一步：先对除1以外的3位数字进行全排列，有种方法；
第二步：将两个1选两个空插进去有，由分步计数原理可得：小明可以设置的不同密码有种，
例5．（2023秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）《红楼梦》是中国古代章回体长篇小说，中国古典四大名著之一，《红楼梦》第三十七回贾探春提议邀集大观园中有文采的人组成海棠诗社．诗社成立目的旨在“宴集诗人於风庭月榭；醉飞吟盏於帘杏溪桃，作诗吟辞以显大观园众姊妹之文采不让桃李须眉．”诗社成员有8人：林黛玉、薛宝钗、史湘云、贾迎春、贾探春、贾惜春、贾宝玉及李纨，若这8人排成一排进人大观园，且林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人不相邻，则不同的排法种数有（ ）
A．1440 B．2400 C．14400 D．86400
【答案】C【解析】不相邻问题用插空法，先将其他5人排好，有种不同的排法，再将林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人排入其他5人隔开的6个空中，有种不同的排法，所以有（种）不同的排法.
例6．（2023·全国·高三专题练习）“四书” “五经”是我国部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】先排除去《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座，共有种排法，将《大学》《论语》看作一个元素，二者内部全排列有种排法，排完的6部经典名著的讲座后可以认为它们之间包括两头有7个空位，从7个空位中选2个，排《大学》《论语》捆绑成的一个元素和《周易》的讲座，有种排法，
故总共有种排法，
例7．（2023·全国·高三专题练习）A，B，C，D，E，F这6位同学站成一排照相，要求A与C相邻且A排在C的左边，B与D不相邻且均不排在最右边，则这6位同学的不同排法数为（ ）
A．72 B．48 C．36 D．24
【答案】C【解析】首先将A与C捆绑到一起，与除B、D以外的其他2位同学共3个元素进行排列，有种排法，再将B、D插空到除最右边的3个位置中，有 种排法，因此共有种排法，
例8．（2023秋·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考期末）2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，赢得了全球观众的好评．某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数有（ ）
A．24 B．48 C．144 D．240
【答案】C【解析】将“立春”和“春分”两块展板捆绑，与“雨水”、 “谷雨”一起排列，然后将“清明”与“惊蛰”两块展板插空，所以不同的放置方式种数有种.
例9．（2023·全国·高三专题练习）志愿服务是办好2022年北京冬奥运的重要基础和保障，现有一冬奥服务站点需要连续六天有志愿者参加志愿服务，每天只需要一名志愿者，现有6名志愿者计划依次安排到该服务站点参加服务，要求志愿者甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（ ）
A．240种 B．408种 C．1092种 D．1120种
【答案】B【解析】1、将安排除甲、乙、丙外其它3名志愿者，有种，再分两类讨论：
第一类：2、安排不相邻的乙丙，相当于将2个球在3个球所形成的4个空中任选2个插入有种，
3、安排不在第一天的甲，相当于5个球所成的后5个空中任选一个插入，有种，
第二类：2、将甲安排在乙丙中间有种，3、把甲乙丙作为整体安排，相当于将1个球插入3个球所形成的4个空中有种，所以不同的方案有(种.
例10．（2023·全国·高三专题练习）第13届冬残奥会于3月4日在北京开幕．带着“一起向未来”的希冀，给疫情下的世界带来了信心．为了运动会的顺利举行，组织了一些志愿者协助运动会的工作．有来自某大学的2名男老师，2名女老师和1名学生的志愿者被组织方分配到某比赛场馆参加连续5天的协助工作，每人服务1天，如果2名男老师不能安排在相邻的两天，2名女老师也不能安排在相邻的两天，那么符合条件的不同安排方案共有（ ）
A．120种 B．96种 C．48种 D．24种
【答案】C【解析】若将2名男老师安排在相邻两天，由捆绑法知有种安排方案，同理将2名女老师安排在相邻两天，有种安排方案，2名男老师安排在相邻两天且2名女老师也安排在相邻两天，有种安排方案，所以符合条件的安排方案共有.
例11．（2023秋·山东德州·高二德州市第一中学校考期末）某夜市的一排摊位上共有9个铺位，现有6家小吃类店铺，3家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】先将6个小吃类店铺进行全排列，有种排法，再从这6个小吃类店铺形成的7个空中选3个进行排列，有种排法，故排出的摊位规划总个数为．
例12．（2023秋·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考期末）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学;某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“礼”排第一节课，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有几种（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由题意，“礼”排在第一节，1种排法，“射”和“御”两门课程不相邻，可先排“乐”、“书”、“数”三门课程，有种排法，再由“射”和“御”插空排序，有种排法，
所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种不同的排法.
例13．（2023·全国·高三专题练习）2022北京冬奥会开幕式在北京鸟巢举行，小明一家五口人观看开幕式表演，他们一家有一排10个座位可供选择，按防疫规定，每两人之间必须至少有一个空位.现要求爷爷与奶奶之间有且只有一个空位，小明只能在爸爸妈妈中间且与他俩各间隔一个空位，则不同的就座方案有___________种.
【答案】24【解析】根据题意，进行以下分类：爷爷或奶奶，排首位或排末位，这时候爸爸或妈妈只能排第五个或第六个位置，此时，就座方案为：种；爷爷或奶奶，排第二位或排倒数第二位，这时候爸爸或妈妈只能排第六个位置，此时，就座方案为：；种；故不同的就座方案共有24种.故答案为：24.
例14．（2023·上海·高三专题练习）已知江大爷养了一些鸡和兔子，晚上关在同一间房子里，数了一下共有7个头，20只脚，清晨打开房门，鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的情况有___________种（用数字作答）
【答案】2880【解析】设鸡的个数为,兔子的个数为，则，解得：，
故共有鸡只，兔子只，故只鸡， 只兔子走出房门，恰有2只兔子相邻走出房子共有：
种.
例15．（2023·全国·高三专题练习）“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”，“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中某时段更新了2篇文章和2个视频，一位学员准备学习这2篇文章和这2个视频，要求这2篇文章学习顺序不相邻，则不同的学法有________种．（用数字作答）
【答案】12【解析】先将个视频进行排序，再将2篇文章进行插空，则共有种排法.故答案为：.
考点三 隔板法模型
【方法技巧与总结】
将个相同的元素分成份（，为正整数），每份至少一个元素，可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中，共有种分法．
【典型例题】
例1．（2023·云南红河·统考三模）某校将个三好学生名额分配到高三年级的个班，每班至少个名额，则共有多少种不同的分配方案（ ）
A．15 B．20 C．10 D．30
【答案】C【解析】采用“隔板法”，6个名额之间有5个空，隔2块板就可以分成3份，每份至少一个名额，故共有种方案.
例2．（2023·全国·校联考模拟预测）学校决定把个参观航天博物馆的名额给三（1） 三（2） 三（3） 三（4）四个班级.要求每个班分别的名额不比班级序号少，即三（1）班至少个名额，三（2）班至少个名额，……，则分配方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B【解析】根据题意，先在编号为 的个班级中分别分配 个名额，编号为的班级里不分配；再将剩下的个名额分配个班级里，每个班级里至少一个，由隔板法可得共种放法，即可得符合题目要求的方法共种.
例3．（2023·高二课时练习）现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是（ ）
A．28 B．24 C．18 D．16
【答案】C【解析】把9个球分成3组，每组个数不相同，分法（按球的个数）为：126，135，234共三种，然后每组球放到3个盒子中有种方法，方法数为．
例4．（2023春·江苏苏州·高二吴县中学校考期中）学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（ ）种分配方案．
A．135 B．10 C．75 D．120
【答案】B【解析】“学生名额”是相同元素，故相同元素分配分组问题，用“隔板法”，故有，
例5．（2023春·全国·高二期末）方程的正整数解共有（ ）组
A．165 B．120 C．38 D．35
【答案】A【解析】如图，将12个完全相同的球排成一列，
在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是、、、，显然满足，故是方程的一组解，反之，方程的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，
例6．（2023秋·山西晋城·高三校考阶段练习）有10个运动员名额分给7个班，每班至少一个名额，共有______种分配方案.
【答案】84【解析】10个名额没有差别，把它们看成是10个圆圈排成一排，相邻圆圈之间形成9个空隙.
在9个空隙中选6个空隙放入6个隔板，即可把圆圈（名额）分成7份，对应分给7个班级，即可达到题意要求.
每一种插板的放置方法对应一种分法，共有种分法.
例7．（2023·全国·高三专题练习）现有15个省三好学生名额分给1、2、3、4共四个班级，其中1班至少2个名额，2班、4班每班至少3个名额，3班最多2个名额，则共有_________种不同分配方案.
【答案】85【解析】由3班最多2个名额，3班有2、或1个，或0个名额三种情况.
（1）、当3班有2个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的8个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额.相当于将8个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有种分法.
（2）、当3班有1个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的9个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额.相当于将9个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有种分法.
（3）、当3班没有分得名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的10个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额.
相当于将10个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有种分法.所以一共有种不同的分配方案.
例8．（2023春·广东汕头·高二校考期中）6个志愿者的名额分给3个班，每班至少一个名额，则有_________ 种不同的分配方法.（用数字回答）.
【答案】10【解析】6个志愿者的名额分配给3个班，每班至少一个名额，采用隔板法可知，即从5个空中插入2个隔板，共有种不同分法．
例9．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）泗县一中举行“建党周年朗诵比赛”，学校给了高二个文科班个参赛名额，要求每班至少一个同学参加比赛，则共有___________种不同的分配方案.
【答案】【解析】问题等价于将个相同的小球放入个盒子，每个盒子至少一球，由隔板法可知，只需在中间个空中插入块板即可，因此，不同的方案种数为种.
例10．（2023秋·河北沧州·高三南皮县第一中学校联考期中）某地举办高中数学竞赛，已知某校有20个参赛名额，现将这20个参赛名额分配给A，B，C，D四个班，其中1个班分配4个参赛名额，剩下的3个班都有参赛名额，则不同的分配方案有______种．
【答案】【解析】第一步，确定分配有4个名额的班，共有4种，第二步，利用隔板法，剩余16个参赛名额的分配方式有种则不同的分配方案有
例11．（2023春·安徽宣城·高二阶段练习）将10个学生干部的培训指标分配给7个不同的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方案共有_______种．
【答案】84【解析】因为个班级干部没有差别，把他们排成一排．相邻名额之间形成个空隙．在个空档中选个位置插个隔板，把班级干部分成份，对应地分给七个班级，每一种隔板方法对应一种分法，则有有种分法．
例12．（2023·浙江·校联考模拟预测）将6个相同的球全部放入甲、乙、丙三个盒子里，每个盒子最多放入3个球，共有_________种不同的放法.
【答案】10【解析】将6个相同的球全部放入甲、乙、丙三个盒子里，每个盒子最多放入3个球，可分为以下三种情况：①其中有两个盒子各放入3个小球，共有种不同放法；②三个盒子中均放入2个小球，共有1种不同放法；③一个盒子放入3个小球，一个盒子放入2个小球，最后一个盒子放入1个小球，共有种放法；
所以不同的放法共有种.
故答案为：10
例13．（2023·高二单元测试）不定方程的非负整数解的个数为_______.
【答案】
【解析】根据已知条件
，且、、，
，，，当，确定后值也确定，其中
列出所有的可能：
当时，，则可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共13种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11共12种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共11种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，共10种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，共9种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，共8种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，共7种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4，5，共6种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4共5种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，共4种情况；
当时，，可以取0，1，2，共3种情况；
当时，，可以取0，1，共2种情况；
当时，，可以取0，共1种情况；
所以共有组．
故答案为：91
例14．（2023春·福建三明·高二统考期末）将个数学竞赛名额分配给个不同的班级，其中甲、乙两个班至少各有个名额，则不同的分配方案种数为__________.
【答案】【解析】原问题等价于：将个数学竞赛名额分配给个不同的班级，每个班至少一个名额，
也可等价于：将个完全相同的小球分为组，每组至少一个，相当于在个小球在中间形成的个空中插入块板，所以，共有种不同的分配方案.故答案为：.
例15．（2023·全国·高三专题练习）某校准备参加高中数学联赛，把16个选手名额分配到高三年级的1～4班，每班至少一个名额.
(1)不同的分配方案共有多少种？
(2)若每班名额不少于该班的序号数，则不同的分配方案共有多少种？
【解析】（1）问题等价于将16个小球串成一串，插入3块隔板，截为4段，16个小球间有15个空隙，
从中选3个插入隔板，插法种数为.
故不同的分配方案共有455种.
（2）问题等价于先给2班1个小球，3班2个小球，4班3个小球，
再把余下的10个相同的小球放入4个盒子里，求每个盒子至少有1个小球的分配方法数.
将10个小球串成一串，截成4段，截法种数为，
因此不同的分配方案共有84种.
例16．（2023春·河北邯郸·高二大名县第一中学校考阶段练习）将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中．
(1)若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？
(2)若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？
(3)若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？
【解析】(1)把20个球摆好，在中间19个空隙中选择放4个板子，所以一共有种；
(2)由题意可知，可以出现空盒子，所以把20个球和5个虚拟的球摆好，在中间24个空隙中选择放4个板子，所以一共有种；
(3)先在编号为1，2，3，4，5的五个盒子中依次放入0，1，2，3，4个球，再只要保证余下的10个球每个盒子至少放一个，把10个球摆好，在中间9个空隙中选择放4个板子，所以一共有种.
例17．（2023·全国·高三专题练习）方程（，）的正整数解有多少个？有多少个非负整数解？
【解析】将正整数看成个1的和，将这个1排成一排.
在这个1中间插入个“|”，把这个1分成组,共有 种不同的方法
被分成的组中，每一组中所包含的1的个数就对应一组方程的解.
所以正整数解有个.
由
设
即求的正整数的组数.
将正整数看成个1的和，将这个1排成一排.
在这个1中间插入个“|”，把这个1分成组,共有 种不同的方法
被分成的组中，每一组中所包含的1的个数就对应一组方程的解.
所以的正整数的个数为.
即非正整数解有个.
考点四 排队问题 （含多排问题）
例1．（2023·全国·高三专题练习）街头篮球比赛后，红、黄两队共名队员（红队人，黄队人）合照，要求人站成一排，红队人中有且只有名队员相邻，则不同排队的方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A【解析】由题意，分三步进行分析：
①将名红队队员分成组，有种分组方法，将人的一组看成一个元素，考虑人之间的顺序，有种情况；②将黄队的人全排列，有种排法，排好后，有个空位；③在个空位中任选个，安排名红队队员分成的两个组，有种方法，则人站成一排照相，名红队队员中有且只有两人相邻的站法有种，
例2．（2023·全国·高三专题练习）七辆汽车排成一纵队，要求甲车、乙车、丙车均不排队头或队尾且各不相邻，则排法有（ ）
A．48种 B．72种 C．90种 D．144种
【答案】D【解析】由题意得，甲车，乙车、丙车均不排队头或队尾，且各不相邻，所以甲、乙、丙只能在第二位、第四位、第六位，共有种排法，其他车辆任意排列，所以总排法有种．
例3．（2023春·山西朔州·高二校考阶段练习）名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A【解析】首先5名大人先排队，共有种，然后把两个小孩插进中间的4个空中，共有种排法，根据乘法原理，共有种，故选A.
例4．（2023·全国·高三专题练习）受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（ ）
A．240种 B．120种 C．188种 D．156种
【答案】B【解析】根据题意，按甲班位置分3 种情况讨论：
（1）甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情况有种，将剩余的三个班全排列，安排到剩下的3个位置，有种情况，此时有种安排方案；
（2）甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有种情况，此时有种安排方案；
（3）甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有种情况，此时有种安排方案；由加法计数原理可知共有种方案，
例5．（2023·全国·高三专题练习）新冠肺炎疫情防控期间，按照宿州市疫情防控应急指挥部的要求，市教育体育局对各市直学校下发了有关疫情防控通知.某学校按市局通知要求，制定了错峰放学，错峰吃饭的具体防疫措施.高三年级一层楼有、、、、、六个班排队吃饭，班必须排在第一位，且班、班不能排在一起，则这六个班排队吃饭的不同方案共有（ ）
A．20种 B．56种 C．72种 D．40种
【答案】C【解析】因为A班必须排在第一位，剩下5个班级安排在后面的5个位置，所以先将BCF三个班级全排列,排好后有4个空位，有中排法，再在4个空位中选出2个，安排D班、E班，有中排法，
则有种排法.
例6．（2023·全国·高三专题练习）六辆汽车排成一纵队，要求甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，则排法有（ ）
A．48 B．72 C．90 D．120
【答案】A【解析】由题意得，甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，所以甲、乙只能在第二位和第五位，共有种排法，其他车辆任意排列，所以总排法有种.
例7．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（ ）
A．如果四名男生必须连排在一起，那么有种不同排法
B．如果三名女生必须连排在一起，那么有种不同排法
C．如果女生不能站在两端，那么有种不同排法
D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有种不同排法
【答案】CD【解析】A中，如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有种不同的排法，A选项错误；B中，如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有种不同的排法种数，B选项错误；C中，如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，此时，共有种不同的排法种数，C选项正确；
D中，如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的个空中，此时，共有种不同的排法种数，D选项正确.
例8．（2023·全国·高二专题练习）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．
(1)选5名同学排成一排；
(2)全体站成一排，甲、乙不在两端；
(3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；
(4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
(5)全体站成一排，男生排在一起；
(6)全体站成一排，男生彼此不相邻；
(7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻；
(8)全体站成一排，甲、乙中间有2个人；
(9)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边．
【解析】（1）无条件的排列问题，排法有种；
（2）先安排甲乙在中间有 种，再安排余下的5人有 种，共有排法有种；
（3）排法有种，其中是甲在左端或乙在右端的排法，是甲在左端且乙在右端的排法；
（4）把男生看成一个整体共有 种，再把女生看成一个整体有 种，再把这两个整体全排列，共有种排法；
（5）即把所有男生视为一个整体，与4名女生组成五个元素全排列，共有种排法；
（6）即不相邻问题（插空法）：先排女生共种排法，男生在五个空中安插，有种排法，故共有种排法；
（7）对比（6），让女生插空，共有种排法；
（8）（捆绑法）任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排列，故共有种排法；
（9）分步完成共有种排法；
（10）由于乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边，故3人只能按甲、乙、丙这一种顺序排列，
7人的全排列共有种，甲、乙、丙3人全排列有种，而3人按甲、乙、丙顺序排列是全排列中的一种，所以共有种排法.
例9．（2023·全国·高三专题练习）1.有4个男生，3个女生按下列要求排队拍照，各有多少种不同的排列方法？
(1)7个人排成一列，4个男生必须连排在一起；
(2)7个人排成一列，3个女生中任何两个均不能排在一起；
(3)7个人排成一列，甲、乙、丙三人顺序一定；
(4)7个人排成一列，但男生必须连排在一起，女生也必须连排在一起，且男甲与女乙不能相邻.
【解析】（1）不妨先将4个男生看作一个整体，有种排法，连同三个女生共4个元素进行排列，有种排法，共有＝576（种）.
（2）先排男生，有种排法，再在他们之间和左右两端共5个空位中插入3个女生，有种排法，故共有＝1 440（种）.（3）先不考虑三人的顺序，任意排列有种，其中每种有且只有1种符合甲、乙、丙三人顺序一定，∴共有（种）.（4）先将男生和女生看作两个整体，男生、女生分别全排列，有种排法，再考虑男甲与女乙相邻，有种，故有 （种）.
例9．（2023春·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）若，，，，五个人按不同的要求排列队伍，求不同的排队方法的种数
(1)，两人不站在一起；
(2)不站在最左边，不站最右边；
(3)如果又来了一位同学，六个人站一排，、站在中间，站在的右边；
(4)若5个人站成两排，其中一排站2个人，另一排站3个人．
【解析】(1)采用插空法，，两人不站在一起有种方法；
(2)当站在最右端，则有种方法，当不站在最右端，有种方法，所以共有种方法；
(3)六个人站一排，、站在中间，站在的右边，有种方法；(4)若前排2人，后排3人，共有种方法，若前排3人，后排2人也是120种方法，所以共有240种方法.
拓展：多排问题
例1：6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有（ ）
A．30种 B．360种 C．720种 D．1440种
【答案】C【详解】 6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人
不同的排法共有：种故选：C.
例2：6个人站成前、中、后三排，每排2人，则不同的排法有 种．
【答案】720【分析】可以分三步：前、中、后三排分别站2人即可得，也只可以相当于6人全排列．
【详解】6个人站成前、中、后三排，每排2人，分3步完成，不同的排法有（种）．
例3：毕业季，6位身高全不相同的同学拍照留念，站成前后两排各三人，要求每列后排同学比前排高的不同排法共有（ ）
A．40种 B．20种 C．180种 D．90种
【答案】D【详解】按列选取，相当于6位同学分成3组，只要选出来了，让高的同学站在后排即可，故种，
例4：10名同学拍照，站成前排3人后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）
A．168 B．420 C．840 D．20160
【答案】B【详解】从后排7人中抽2人有种方法；将抽出的2人调整到前排，前排3人的相对顺序不变有种，由分步乘法计数原理可得：共有种，
例5：某次数学获奖的6名高矮互不相同的同学站成两排照相，后排每个人都高于站在他前面的同学，则共有多少种站法（ ）
A．36 B．90 C．360 D．720
【答案】B【详解】解：6个高矮互不相同的人站成两排，后排每个人都高于站在他前面的同学的站法数为，
考点五 错位排列
【方法技巧与总结】
错位排列公式
【典型例题】
例1．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相间，若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（ ）
A．72 B．108 C．144 D．196
【答案】C【解析】按题意5的上方和左边只能从1，2，3，4中选取，5的下方和右边只能从6，7，8，9中选取．因此填法总数为．
例2．（2023·全国·高三专题练习）编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（ ）
A．10种 B．20种 C．30种 D．60种
【答案】B【解析】先选择两个编号与座位号一致的人，方法数有，另外三个人编号与座位号不一致，方法数有，所以不同的坐法有种.
例3．（2023·全国·高三专题练习）将编号为、、、、、的小球放入编号为、、、、、的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】根据题意，分以下两步进行：（1）在个小球中任选个放入相同编号的盒子里，有种选法，假设选出的个小球的编号为、；（2）剩下的个小球要放入与其编号不一致的盒子里，
对于编号为的小球，有个盒子可以放入，假设放入的是号盒子.则对于编号为的小球，有个盒子可以放入，
对于编号为、的小球，只有种放法.综上所述，由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为种.
例4．（2023春·广东广州·高二广州奥林匹克中学校考阶段练习）将编号为1 2 3 4 5 6的六个小球放入编号为1 2 3 4 5 6的六个盒子里，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的方法总数是（ ）
A．20 B．40 C．120 D．240
【答案】B【解析】第一步，先选取3个盒子，放入编号相同的3个球，方法数为，第二步剩下的3个盒子放入编号不同的小球，有2种方法，所以总方法数为．
例5．（2023春·吉林延边·高二校考期中）同室4人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则4张贺卡不同分配方式有
A．8种 B．9种 C．10种 D．12种
【答案】B【解析】方法一： 设四人分别为a，b，c，d，写的卡片分别为A，B，C，D， 由于每个人都要拿别人写的，即不能拿自己写的，故a有三种分配， 不妨设a拿了B，则b可以拿剩下三张中的任一张，也有三种拿法，c和d只能有一种分配， 所以共有3×3×1×1=9种分配方式;方法二： 根据题意，列举出所有的结果:
1、甲乙互换，丙丁互换； 2、甲丙互换，乙丁互换； 3、甲丁互换，乙丙互换；
4、甲要乙的 乙要丙的 丙要丁的 丁要甲的； 5、甲要乙的 乙要丁的 丙要甲的 丁要丙的；
6、甲要丙的 丙要乙的 乙要丁的 丁要甲的； 7、甲要丙的 丙要丁的 乙要丁的 丁要甲的；
8、甲要丁的 丁要乙的 乙要丙的 丙要甲的； 9、甲要丁的 丁要丙的 乙要甲的 丙要乙的．
通过列举可以得到共有9种结果．
例6．（2023·全国·高三专题练习）元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（ ）
A．6种 B．9种 C．11种 D．23种
【答案】B【解析】解法1：设四人A、B、C、D写的贺卡分别是a、b、c、d，
当A拿贺卡b，则B可拿a、c、d中的任何一张，即B拿a，C拿d，D拿c，或B拿c，D拿a，C拿d，或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b时有三种不同的分配方式；同理，A拿c，d时也各有三种不同的分配方式，
由分类加法计数原理，四张贺卡共有（种）分配方式；解法2：让四人A、B、C、D依次拿一张别人送出的贺卡，如果A先拿，有3种，此时被A拿走的那张贺卡的人也有3种不同的取法，接下来，剩下的两个人都各只有1种取法，由分步乘法计数原理，四张贺卡不同的分配方式有（种）．
例7．（2023·全国·高三专题练习）若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（ ）
A．20 B．90 C．15 D．45
【答案】D【解析】根据题意，分2步分析：①先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，有种选法，
②对于剩余的4人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有3种拿法，被拿了自己卡片的那个人也有3种拿法，剩下的2人拿法唯一，所以不同的拿卡片的方法有种.
例8．（2023春·辽宁鞍山·高二统考期中）5个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有种不同的站法（ ）
A．42 B．44 C．46 D．48
【答案】B【解析】由题意，设五人分别为，重新站队时，可从开始，其中有种不同的选择，比如占据了的位置，可再由选取位置，可分为两类，1类：占据了的位置，则后面的重站，共有种站法；2类：没有占据的位置，则有种站法，后面的重站，共有种站法，所以共有种不同的站法.
例9．（2023春·河北沧州·高二泊头市第一中学校考开学考试）若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有（ ）
A．45种 B．40种 C．55种 D．60种
【答案】A【解析】先从5个人中选出站在自己原来的位置的有种选法
设剩下的4个人为.则他们都不站自己原来的位置，分下列几步完成:
(1)假设先安排，则有种选法.(2)当站好后，站的位置原来站的是谁，接下来就安排这个人来选位置，有种选法.(3)接下来，剩下的两个人和两个位置中,至少有1人，他原来站的位置留下来了，都不站原来的位置，则只有1种站法.所以共有种选法.
例10．（2023秋·福建三明·高三三明一中校考阶段练习）若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（ ）种不同的站法.
A．4 B．8 C．12 D．24
【答案】B【解析】根据题意，分2步分析：①先从4个人里选1人，其位置不变，其他三人的都不在自己原来的位置，有种选法；②对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有两种站法，被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上，因此三个人调换有2种调换方法．故不同的调换方法有，
例11．（2023春·重庆南岸·高二重庆市广益中学校校考阶段练习）个同学玩“真心话”游戏，回答抽到的问题.若个人将各自的问题写在一张卡片上（每张卡片的形状 大小均相同），并将这张卡片放入一个不透明的箱子里，搅拌均匀，再让这人在箱子里各摸一张，恰有人需回答自己问题的种数为___________.
【答案】【解析】根据题意，分步：第一步，先从个人里选1人恰好摸到自己写的卡片，有种选法，
第二步，对于剩余的人，因为每个人都不能选自己写的卡片，所以第一个人有种选法，卡片被选走的那个人也有种选法，剩下的人选法唯一，所以不同的选法有种.
例12．（2023·全国·高二专题练习）位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则人拿的都不是自己的帽子方案总数为____________.（用数字作答）
【答案】【解析】记位顾客分别为甲、乙、丙、丁. 假设甲拿了乙的帽子，则乙拿了甲的帽子，丙拿了丁的帽子，丁拿了丙的帽子；或乙拿丙的帽子，丙拿了丁的帽子，丁拿了甲的帽子；或乙拿了丁的帽子，丙拿了甲的帽子，丁拿了丙的帽子.若甲拿了丙或丁的帽子，同理可知，符合条件的方案数均为种.综上所述，人拿的都不是自己的帽子方案总数为.
例13．（2023·高一课时练习）一辆小客车上有5个座位,其座位号为1,2,3,4,5.乘客,,,,的座位号分别为1,2,3.4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车乘客户,因身体原因没有坐自己的1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座,就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位.
乘客
座位号 3 2 1 4 5
3 2 4 5 1
（1）若乘客坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法.下表给出了其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；
（2）若乘客坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,求乘客坐到5号座位的概率.
【解析】（1）余下两种坐法如下表所示：
乘客
座位号 3 2 4 1 5
3 2 5 4 1
(2)若成客坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,则所有可能的坐法可用下表表示为：
乘客
座位号 2 1 3 4 5
2 3 1 4 5
2 3 4 1 5
2 3 4 5 1
2 3 5 4 1
2 4 3 1 5
2 4 3 5 1
2 5 3 4 1
于是,所有可能的坐法共8种.设“乘客坐到5号座位”为事件A,则事件A中的基本事件的个数为4.所以.即乘客坐到5号座位的概率是.
例14．（2023春·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考期中）将个编号为、、、的不同小球全部放入个编号为、、、的个不同盒子中.求：
（1）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？
（2）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？
（3）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？
（4）把已知中个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？
【解析】（1）根据题意知，每个盒子里有且只有一个小球，所求放法种数为（种）；
（2）先将个小球分为组，各组的球数分别为、、，然后分配给个盒子中的个盒子，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为（种）；（3）考查编号为的盒子中放入编号为的小球，则其它个球均未放入相应编号的盒子，那么编号为、、的盒子中放入的小球编号可以依次为、、或、、，
因此，所求放法种数为（种）；（4）按两步进行，空盒编号有种情况，然后将个完全相同的小球放入其它个盒子，没有空盒，则只需在个完全相同的小球所形成的个空（不包括两端）中插入块板，
由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为（种）.
例15．（2023·全国·高三专题练习）n个学生参加一次聚会，每人带一张贺卡和一件礼物，会后每个人任取一张贺卡和一件礼物.问：发生下列情况时，有多少种可能？
(1)没有任何一位学生取回他原来自己的一件物品；
(2)有人取回了他原来的物品；
(3)恰好只有一人取回他原来的物品.
【解析】(1)（1）设没有任何一位学生取回他原来自己的一件物品，可以先取贺卡，n个同学均没有取回他原来的贺卡（即n个元素排列有n个动点）有种.同理，再去取礼物，也有种，
由错排公式，共有 种.(2)（2）n个同学每人取回一张贺卡、一件礼物，共有种,故有人取回他原来物品的取法有种.
(3)（3）根据表示n个元素有k个组合不动点的排列个数，那么用表示n个人中有一个人取回他原来的物品的可能数，因此恰好只有一人取回他原来的物品，有三种可能，即取对贺卡、而拿错礼物；取错贺卡而拿对礼物；还有就是贺卡、礼物全取对了.前二种情况各有种，后一种情况有种，
取法总数为:
.
例16．（2023·全国·高三专题练习）将用1～6编号的六张卡片，插入用1～6编号的六个盒子里，每只盒子插一张，求：
(1)使每一卡片的号码与所在盒子号码都不同的插法总数；
(2)恰好有3张卡片号码与所在盒子号码相同的插法总数.
【解析】(1)全部无限制排列有种.如果有5个或6个卡片号码和盒子的号码对应相同，只有1种；
如果有4个卡片号码和盒子的号码对应相同，首先，确定哪4个号码相同，有种，剩下的两个号码只有一种插法，所以共有种；
如果有3个卡片号码和盒子的号码对应相同，首先，确定哪3个号码相同，有种，剩下的三个号码有2种插法，所以共有种；
如果有2个卡片号码和盒子的号码对应相同，首先，确定哪2个号码相同，有种，剩下的4个号码有9种插法，所以共有种；
如果有1个卡片号码和盒子的号码相同，首先，确定哪1个号码相同，有种，剩下的5个号码，先选1个号码放在最前面，有4种插法，剩下的4个号码有11种插法，所以共有种.
所以共有种.
(2)先选择3张卡片号码与所在盒子号码相同，有种方法；再把剩下的3张卡片放在剩下的盒子里，要保证号码不同，只有2种方法，所以共有种方法.
考点六 环排问题
【方法技巧与总结】
在圆排列数中：
（1）个元素围成一圈其圆排列数为
（2）在个元素中，每次取出个不同的元素进行圆排列，圆排列数为．
（3）当从个相异的元素中，每次取出颗串成一个圆环，因其正反相对的两个圆排列在串成一个圆环时完全相同，故圆环数为．对于较复杂的问题，可适当采用分步揷人、捆绑及利用种数公式处理．
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为（ ）
A．19 B．38 C．51 D．57
【答案】D【解析】当倒数第个人出来表演节目时，一共报数了次.
例2．（2023·全国·高三专题练习）A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（ ）
A．60种 B．48种 C．30种 D．24种
【答案】B【解析】首先，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，
考虑B、C两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以互换，根据排列数的计算公式，得到，，接下来，考虑其余三人的情况，其余位置可以互换，可得种，最后根据分步计数原理，得到种，
例3．（2023春·江苏苏州·高二昆山震川高级中学校考期中）现有8个人围成一圈玩游戏，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】8个人围成一圈,有种.其中甲、乙、丙三人相邻，看做一个整体，由.
所以甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为.
例4．（2023·全国·高三专题练习）现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（ ）．
A．6种 B．8种 C．12种 D．16种
【答案】B【解析】先安排甲，其选座方法有种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种，所以共有坐法种数为种．
例5．（2023春·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（ ）.
A．40320种 B．5040种 C．20160种 D．2520种
【答案】D【解析】先从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有种方法，
再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，共有种方法，由于图形是轴对称图形，所以上述方法正好重复一次，所以不同的涂色方法，共有种不同的涂法.
例6．（2023春·辽宁·高三校联考阶段练习）已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙丙”与该排列旋转一个或几个位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一个排列．现有位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有种，那么这位同学围成一个圆时，不同的站法总数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】因站成一排时甲在乙左与甲在乙右的站法数相同，而m位同学站成一排有，则，解得，甲、乙、丙三位同学围成一个圆，“甲乙丙”、“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一排列，
其中每一个排列可以拆成以任意一个人为排首的直线排列3个，3人围成一个圆的排列数为，
由此可得n个人围成一个圆的排列数为，5位同学围成一个圆的排列数为.
例7．（2023·高二课时练习）8人围桌而坐，共有______种坐法.
【答案】5040【解析】围桌而坐与坐成一排不同，围桌而坐没有首尾之分，因此固定一人并从此位置把圆形展成直线，则其余7人共有 （种）排法.
例8．（2023·全国·高三专题练习）5个女孩与6个男孩围成一圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，则不同排法有______种（填数字）．
【答案】86400【解析】因为任意2个女孩中间至少站1个男孩，则有且仅有2个男孩站在一起，
先把5个女孩排成一个圈，这是个圆形排列，因此排法共有(种)，把6个男孩按2，1，1，1，1分成5组有种分法，最后把5组男孩放入5个女孩构成圆排列的5个间隔中有种方法，而站在一起的两个男孩有顺序性，有2种站法，所以，由分步乘法计数原理得，不同的排法共有(种).
例9．（2023·高二课时练习）10位男生10位女生．男女相间隔围成一圈，则其所有不同的排列数为__________
【答案】【解析】因为10位男生全排列有种排法，因为是围成一圈，所以不分头尾，
所以10位男生围成一圈有种，再把10位女生插入男生间的空隙中共有种方法，
所以10位男生10位女生．男女相间隔围成一圈，不同的排列数为.
例10．（2023·全国·高三专题练习）4个人围坐在如图所示的8张椅子中的4张椅子上聚餐，其中甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相对）而坐，共有__________种不同的坐法(用数字作答)
【答案】1440【解析】因为甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相对）而坐，
则甲、乙两人不能同时坐在1 与8位置或2 与7位置或3 与6位置或4 与5，所以共有种不同的作法.
例11．（2023·全国·高二专题练习）7颗颜色不同的珠子，可穿成________的珠子圈．
【答案】360【解析】由于环状排列没有首尾之分，将个元素围成的环状排列剪开，可看成个元素排成一排，即共有种排法．由于个元素共有种不同的剪法，则环状排列共有种排法，而珠子圈没有反正，故7颗颜色不同的珠子，可穿成（顺时针、逆时针两种情况）种不同的珠子圈．
例12．（2023·全国·高三专题练习）8名学生平均分成两组，每组都围成一个个圆圈，有______种不同的围法．
【答案】1260或【解析】8名学生平均分成两组，有种分组法，每组都围成一个圈，两个组有种围法，所以共有种不同的围法．故答案为：1260或.
例13．（2023·全国·高二专题练习）一个圆桌有十二个座位，编号为1至12.现有四个学生和四个家长入座，要求学生坐在偶数位，家长与其孩子相邻.满足要求的坐法共有______种.
【答案】【解析】当学生选择相邻的四个偶数有，，，，，有种，以学生选为例，家长的排法有 ，，，有种，同理可得：每一种学生的坐法，家长都有种坐法，所以有种，
当学生选择三个相邻的偶数，一个学生坐对面有，，，，，有种，
以学生选择为例，家长的坐法有，，，，，，，，共种，
同理可得：每一种学生的坐法，家长都有种坐法，所以有种，
当四个学生每两个学生选择相邻偶数时，学生有，，有种，
以学生选择为例，家长坐法有：，，，，，，，，有种，
同理可得：每一种学生的坐法，家长都有种坐法，所以有种，
综上所述：满足要求的坐法共有种，
故答案为：.
例14．（2023·江苏·高三强基计划）现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有____种．（用数字作答）
【答案】8【解析】先按排甲，其选座方法有种，由于甲、乙不能相邻，
所以乙只能坐甲对
故答案为8．
例15．（2023·高二课时练习）如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有_____________种．
【答案】2520【解析】先从七种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有种方法，
再将剩余的六种颜色全部涂在剩余的6个区域内，共有种方法，由于图形是轴对称图形，∴上述方法正好重复一次，∴不同的涂色方法共有(种)．
例16．（2023·高二课时练习）有5对夫妇和，共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12个座位的圆桌上就餐（旋转之后算相同坐法）．
（1）若5对夫妇都相邻而坐，，相邻而坐，共有多少种坐法？
（2）5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，，不相邻，共有多少种坐法？
【解析】（1）若5对夫妇都相邻，，相邻，可将每对夫妇划分为1组，，划分为1组，再将这6组人围坐成一圈，共有种坐法，
由于每一组内两人还有顺序问题，所以共有种坐法；
（2）分成三步来完成第一步，排甲、乙二人的太太的座位，有2种坐法，甲、乙二人的座位也随之确定，
第二步，排其余3对夫妇的座位，有种坐法，
第三步，排，二人的座位，有种坐法，
根据分步乘法计数原理，共有种坐法
考点七、特殊元素法
例1：运输公司从5名男司机，4名女司机中选派出3名男司机，2名女司机，到，，，，这五个不同地区执行任务，要求地只能派男司机，地只能派女司机，则不同的方案种数是（ ）
A．360 B．720 C．1080 D．2160
【答案】D【分析】根据分步乘法，先抽取司机，再分配去不同地方，有限制条件的先排.
【详解】第一步，先从5名男司机，4名女司机中选派出3名男司机，2名女司机，共有种方法，
第二步，从抽取到的司机中，派1名男司机去地，派一名女司机去地，共有种方法，
第三步，剩下3名司机随机去，，三地，共有种方法，故不同方案种数为，
例2:某地区为发展，，，，五个村的经济，引入了“林果、茶园、养殖、旅游、农业特色深加工”五个项目，不同的村安排不同的项目，且每个村只安排一个项目．由于条件限制，村无法实施“农业特色深加工”项目，村无法实施“养殖”项目，，，三个村可以实施任何项目，则符合条件的不同安排方式共有（ ）
A．60种 B．72种 C．78种 D．120种
【答案】C【详解】解：依题意，①若村实施“农业特色深加工”项目，则其余个村庄无限制，则有种安排方法；②若村不实施“农业特色深加工”项目，则从剩下的个村庄选一个实施“农业特色深加工”项目，有种方法，再从除村以外的个村庄选择一个实施“养殖”项目，有种方法，剩下个村庄与项目全排列即可，有种方法，按照分步计数原理可得有种方法，综上可得一共有种方法；
例3：某校为深入开展劳动教育，通过学校的电子屏幕播放“我的校园我打扫”，大力宣传劳动的价值意义，使学生树立正确的劳动观某日甲、乙、丙、丁四名同学值日打扫卫生，卫生区域划分为，，，四块，每个区域安排一个同学去打扫，其中甲不去打扫区域，乙不去打扫区域，则不同的安排方法的种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】因为甲不去打扫区域，所以可以安排甲去打扫中的一个区域，
若甲去打扫区域，则甲的安排方法只有一种，再安排乙，丙，丁三人共种安排方法，由分步乘法计数原理可得有种安排方法，若甲去打扫区域或区域，则甲的安排方法只有两种，再安排乙，由于乙不能去打扫区域，故乙的安排方法有两种，再安排丙，丁两人，共种安排方法，由分步乘法计数原理可得有种安排方法，由分类加法计数原理可得共有种安排方法.
例4：第届世界大学生夏季运动会于月日至月日在成都举办，现在从男女共名青年志愿者中，选出男女共名志愿者，安排到编号为、、、、的个赛场，每个赛场只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在编号为、的赛场，编号为的赛场必须安排女志愿者，那么不同安排方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】D①女志愿者甲被选中，则还需从剩余的人中选出男女，选法种数为，
则女志愿者甲可安排在号或号或号赛场，另一位女志愿者安排在号赛场，余下个男志愿者随意安排，此时，不同的安排种数为；②女志愿者甲没被选中，则还需从剩余人中选出男女，选法种数为，编号为的赛场必须安排女志愿者，只需从名女志愿者中抽人安排在号赛场，
余下人可随意安排，此时，不同的安排方法种数为.
由分类加法计数原理可知，不同的安排方法种数为种.
考点八、特殊位置法
例1：有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
例2：某餐厅并排有7个座位，甲、乙、丙三位顾客就餐，每人必须选择且只能选择一个座位，要求两端座位不能坐人，并且连续空座至多有2个，则不同的坐法有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．56种
【答案】C【详解】因为7个座位两端座位不能坐人，所以甲、乙、丙可以在剩余的个位子有顺序的就坐，坐法有种，因为连续空座至多有个，所以出现连续个空座的情况为最左端的个为空座，
甲、乙、丙三人坐在第、、个位子上，第个位子是最右端，只能空着，则这种情况为，
同理，连续个空座的情况为最右端的个为空座，这种情况为，所以，满足要求的坐法有种.
例3：包括甲、乙、丙3人的7名同学站成一排拍纪念照，其中丙站中间，甲不站在乙的左边，且不与乙相邻，则不同的站法有（ ）
A．240种 B．252种 C．264种 D．288种
【答案】C【详解】先排甲、乙、丙外的4人，有种排法，再排甲、乙2人，有两类方法：
一类是甲、乙2人插空，又甲排在乙的左边，然后丙排在中间，故有种不同的站法；
另一类是把甲、乙、丙按乙、丙、甲的顺序插入中间，有种不同的站法，所以共有264种不同的站法.
例4：某单位安排7位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有（ ）
A．504种 B．960种 C．1008种 D．1108种
【答案】C【详解】根据题意，用间接法分析：甲乙相邻，即甲乙排在相邻的两天，有＝1440种情况，
其中，甲乙相邻且丙排在初一的排法有＝240种，甲乙相邻且丁排在初七排法有＝240种，甲乙相邻且丙排在初一同时丁排在初七排法有＝48种，则不同的安排方案共有1440－240－240＋48＝1008种，
例5:2010年广州亚运会结束了，某运动队的7名队员合影留念，计划站成一横排，但甲不站最左端，乙不站最右端，丙不站正中间.则理论上他们的排法有( )
A．3864种 B．3216种 C．3144种 D．2952种
【答案】B【详解】根据题意，分3种情况讨论：
①、甲在右端，若乙在中间，则丙有5个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，有种情况；甲在右端，若乙不在中间，则乙还有5个位置可选，此时丙还有4个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置， 有种情况；两种情况合并，共有种情况；
②、若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①. 共有种情况；
③、若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，乙若在中间，则丙有5种排法；乙若不在中间，则乙有4种排法，此时丙有4种排法；最后，将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，共有种情况；综上，则共有种不同的站法．
例6：因演出需要，身高互不相等的9名演员要排成一排成一个“波浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第七个依次递减，第七、八、九个依次递增，则不同的排列方式有（ ）种．
A．379 B．360 C．243 D．217
【答案】A
【分析】依题意，重点要先排好7号位和3号位，余下的按部就班即可.
【详解】依题意作图如下：
上面的数字表示排列的位置，必须按照上图的方式排列，其中3号位必须比124567要高，
1，7两处是排列里最低的，3，9两处是最高点，
设9个演员按照从矮到高的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，则 3号位最少是7，最大是9，下面分类讨论：第3个位置选7号：先从1，2，3，4，5，6号中选两个放入前两个位置，
余下的4个号中最小的放入7号位置，剩下的三个放入中间三个位置，
8，9号放入最后两个位置，即；第3个位置选8号：先从1，2，3，4，5，6，7号中选两个放入前两个位置，余下的5个号中最小的放入7号位置，剩下4个选3个放入中间三个位置，
余下的号和9号放入最后两个位置，即；第3个位置选9号：先从1，2，3，4，5，6，7，8号中选两个放入前两个位置，余下的6个号中最小的放入7号位置，剩下5个选3个放入中间三个位置，
余下的2个号放入最后两个位置，即；由分类计数原理可得共有种排列方式；
考点九、间接法
例1：2022年在贵州省黔东南州台盘乡举办的贵州省“美丽乡村”篮球联赛，经由短视频火爆全网，被称为“村BA”，中国驻美大使及外交部发言人在海外媒体发文推荐．某高三班主任从网上找到6个与此相关的短视频，，，，，，准备从这6个短视频中再选出3个向学生推荐，则，，至少选1个的方法种数为（ ）
A．8 B．18 C．19 D．24
【答案】C【详解】不同选法种数为.
例2：甲乙等五名学生参加数学、物理、化学、生物这四门学科竞赛，已知每人恰参加一门学科竞赛，每门学科竞赛都有人参加，且甲乙两人不参加同一学科竞赛，则一共有（ ）种不同的参加方法
A．72 B．144 C．216 D．240
【答案】C【详解】依题意将名同学分成、、、四组，再分配到四门学科中有种，
其中甲乙两人恰好参加同一学科竞赛的有种，所以不同的参加方法有种.
例3：四面体的顶点和各棱的中点共10个点．在这10点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为（ ）
A．141 B．144 C．150 D．155
【答案】A【详解】从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱所对棱的中点，这4点共面，有6种；
第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．
以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有种．
例4：某校组织一次认识大自然的活动，有10名同学参加，其中有6名男生 4名女生，现要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本.抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（ ）
A．192种 B．120种 C．96种 D．24种
【答案】C【详解】从10名同学中随机抽取3名同学有种方法，抽取的人全是男生的有种，全是女生的有种，所以抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（种）.
例5：现有16张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为（ ）
A．484 B．472
C．252 D．232
【答案】B【详解】根据题意，不考虑限制，从16张卡片中任取3张，共有种取法，如果取出的3张为同一种颜色，则有种情况，如果取出的3张有2张绿色卡片，则有种情况，故所求的取法共有种.
例6：中国空间站（ChinaSpaceStation）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.年月日分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等名航天员都去开展实验，三舱中每个舱至少一人，且甲、乙两人不同舱，则不同的安排方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．以上都不对
【答案】B【详解】利用间接法：先考虑将四人分为三组，每组人数分别为、、，再将这三组人分配给三个舱，
不同的分配方法种数为；然后考虑甲、乙两人在同一舱的情形，只需将另外两人分成两组，每组一人，再将这三组人分配给三个舱，此时，不同的分配方法种数为种.综上所述，甲、乙两人不同舱，则不同的安排方法种数为种.
考点十、定序倍缩法
例1：将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法种数共有( )
A． B． C． D．
【答案】D【详解】将甲、乙、丙等六位同学进行全排可得种，
甲、乙、丙的排列为种，因为甲、乙在丙的两侧，所以可能为甲丙乙或乙丙甲，所以不同的排法种数共有种．
例2：由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中百位、十位、个位数字总是从小到大排列的共有（ ）
A．120个 B．100个 C．300个 D．600个
【答案】B【详解】数字0,1,2, 3,4,5可组成个没有重复数字的六位数，又因为对特定的3个数字排到百十个位，共种情况，从小到大排列只有1种情况，故共有个.
例3：在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A C D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（ ）
A．100 B．120 C．300 D．600
【答案】A【详解】不考虑限制条件共有种，最先汇报共有种，如果不能最先汇报，而 C D按先后顺序汇报（不一定相邻）有.
例4：某学校组织6×100接力跑比赛，某班级决定派出A，B，C，D，E，F等6位同学参加比赛．在安排这6人的比赛顺序时要保证A要在B之前，D和F的顺序不能相邻，则符合要求的安排共有（ ）
A．240种 B．180种 C．120种 D．150种
【答案】A【详解】解：6位同学参加接力赛跑，先考虑D和F的顺序不能相邻，其他四人的顺序数为
种，D和F进行插空共有种，在所有符合条件的排序中，A要安排在B之前与A要安排在B之后的数量一样多，所以，符合要求的顺序有＝240种．
例5：现有5名学生：甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，要求甲与乙相邻，且甲、乙、丁的左右顺序固定，站法种数为（ ）
A．36 B．24 C．20 D．12
【答案】D【详解】因为甲与乙相邻，且甲、乙、丁的左右顺序固定，
所以可将甲和乙看作一个整体，共有1种站法，再与其余三人进行排列，共有种站法.
例6：《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）
A．6种 B．12种 C．36种 D．72种
【答案】B【详解】因为香菌、新笋、豆腐干一起下锅，把它们捆绑在一起，看作一个元素，
此时共有5个元素，其中鸡汤最后下锅，放在最后一个位置，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，定序问题用倍缩法，共有种不同的排列方式.
例7：小武是1993年12月18日出生的，他设置家里的电子门锁的时候打算用他的出生年、月、日中的8个数字进行排列得到一个8位数的密码，那么小武同学可以设置的不同密码的个数为（ ）
A．2760 B．3180 C．3200 D．3360
【答案】D【详解】先将这8个数字进行全排列，有种情况，而这8个数字中有三个1和两个9，可将这三个1和两个9看作是顺序固定的排列方法，所以一共可以组成个六位数，即可以设置的不同密码的个数为．
考点十一、平均分组
【方法技巧与总结】
分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别.一般地，平均分成堆（组）必须除以；如果有堆（组）元素个数相同，必须除以.
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法；
B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法；
C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法；
D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；
【答案】D
【解析】选项A，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有种分配方法，故该选项错误；
选项B，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，先将6本书分成4-1-1的3组，再将三组分给甲乙丙三人，有种分配方法，故该选项错误；
选项C，6本不同的书分给甲乙每人各2本，有种方法，其余分给丙丁每人各1本，有种方法，所以不同的分配方法有种，故该选项错误；选项D，先将6本书分为2-2-1-1的4组，再将4组分给甲乙丙丁4人，有种方法，故该选项正确.
例2．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考开学考试）将6名实习教师分配到3所学校进行培调，每名实习教师只能分配到1个学校，每个学校至少分配1名实习教师，则不同的分配方案共有（ ）
A．240种 B．360种 C．450种 D．540种
【答案】D【解析】由题知，6名教师分3组，有3种分法，即1，2，3；1，1，4；2，2，2，
共有种分法，再分配给3所学校，可得种.
例3．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）某社区为了做好疫情防控工作，安排6名志愿者进行核酸检测，需要完成队伍组织 信息录人 采集核酸三项任务，每项任务至少安排一人但至多三人，则不同的安排方法有（ ）
A．450种 B．72种 C．90种 D．360种
【答案】A【解析】6名志愿者分成三组，每组至少一人至多三人，
可分两种情况考虑：第一种：人数为的三组，共有种；
第二种：人数为的三组，共有种.所以不同的安排方法共有种，
例4．（2023·陕西铜川·校考一模）将4名新招聘的工人分配到A，B两个生产车间，每个车间至少安排1名工人，则不同安排方案有（ ）
A．36种 B．14种 C．22种 D．8种
【答案】B【解析】将4名工人，安排到两个车间：分为其中一个车间安排1名工人，另一车间安排3名工人和两个车间都安排两名工人，两种情况.其中一个车间安排1名工人，另一车间安排3名工人的方案有：；
两个车间都安排两名工人的方案有：.所以，不同的安排方案有.
例5．（2023秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）某班开展阅读比赛，老师选择了5本不同的课外书，要求每位同学在3天内阅读完这5本课外书，每天至少选一本阅读，选择的课外书当天需阅读完，则不同的选择方式有（ ）
A．540种 B．300种 C．210种 D．150种
【答案】D【解析】先将每天读书的本数分组，有和两种分组方案，当按分组时，有种方法，当按按分组时，有种方法，所以不同的选择方式有种.
例6．（2023秋·山东潍坊·高二统考期末）某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加A，B，C三个企业的调研工作，每个企业去2人，且甲去B企业，乙不去C企业，则不同的派遣方案共有（ ）
A．42种 B．30种 C．24种 D．18种
【答案】D【解析】若甲乙去同一企业，则甲乙只能去B企业，剩下的4人平均分去两个企业，共有种；若甲乙不去同一企业，分两步，第一步：先给甲乙两人选同伴，有种，第二步：将这三组分去三个企业，因为甲去B企业，乙不去C企业，所以共有1种分法，由分步乘法计数原理可得：共有种；
所以不同的派遣方案共有种，
例7．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）将5名学生志愿者分配到成语大赛、诗词大会、青春歌会、爱心义卖4个项目参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：①将5名大学生分为4组，有种分组方法，
②将分好的4组安排参加4个项目参加志愿活动，有种情况，则有种分配方案；
例8．（2023·重庆·统考一模）2022年8月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，另外4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，每支志愿团队只能分配到1个项目，且每个项目至少分配1个志愿团队，则不同的分配方案种数为（ ）
A．36 B．81 C．120 D．180
【答案】D【解析】先从5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，有种不同的选派方案，
再将剩下的4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，有种不同的选派方案，所以，根据分步乘法原理，不同的安排方案有种.
例9．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）若六位老师前去某三位学生家中辅导，每一位学生至少有一位老师辅导，每一位老师都要前去辅导且仅能辅导一位同学，由于就近考虑，甲老师不去辅导同学1，则有（ ）种安排方法
A．335 B．100 C．360 D．340
【答案】C【解析】把6位老师按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人数分为三组；
①把6为老师平均分为3组的不同的安排方法数有
在把这三组老师安排给三位不同学生辅导的不同安排方案数为：，
根据分步计数原理可得共有不同安排方案为：
如果把甲老师安排去辅导同学1的方法数为：
所以把6位老师平均安排给三位学生辅导且甲老师不安排去辅导同学1的方法数为
②把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生辅导的方法数为：
若1同学只安排了一位辅导老师则
若1同学安排了四位辅导老师则
所以把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生辅导，
甲老师不安排去辅导同学1的方法数为
③把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生辅导的方法数为；
若1同学只安排了一位辅导老师则
若1同学只安排了两位辅导老师则
若1同学只安排了三位辅导老师则
所以把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生辅导，
甲老师不安排去辅导同学1的方法数为
综上把6位老师安排给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为
故选：C
例10．（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）将5名女老师和5名男老师分配到三个社区，每名老师只去一个社区，若每个社区都必须要有女老师，且有男老师的社区至少有2名女老师，则不同的分配方法有（ ）
A．1880种 B．2940种 C．3740种 D．5640种
【答案】B【解析】5名女老师分配到三个社区，分配的方案有型与型，
对于型，女老师的分配情况有，其中只有一个社区女老师

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