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第三章
三　角　函　数
目录
第一节 任意角的概念与弧度制
第二节 任意角的三角函数
第三节 同角三角函数的基本关系
第四节 三角函数的诱导公式
第五节 三角函数的图像和性质
第六节 正弦型曲线
第七节 加法定理
第八节 解斜三角形
第九节 反三角函数
CONTENTS
第一节 任意角的概念与弧度制
第二节 任意角的三角函数
第三节 同角三角函数的基本关系
第四节 三角函数的诱导公式
第五节 三角函数的图像和性质
第六节 正弦型曲线
第七节 加法定理
第八节 解斜三角形
第九节 反三角函数
一、角的概念的推广
　　我们知道，角可以看成是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.如图（a）所示，射线的端点是O，它从位置OA旋转到另一位置OB形成的图形叫做角.旋转位置开始的射线OA叫做角的始边，终止位置的射线OB叫做角的终边，端点O叫做角的顶点.
　　规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，如图（a）所示；按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图（b）所示.当射线没有做任何旋转时，我们称它形成一个零角，零角的始边与终边重合
　　在以前所学的知识中，我们只研究了0°~360°范围的角，但在现实生活中我们还会遇到更大范围的角.例如，游乐场的摩天轮，当它一圈又一圈地转动着的时候，其转动的角度不是只限于0°~360°.为了描述这种现实状况，我们把角的概念加以推广，即推广到任意角，包括正角、负角和零角.如图所示，正角α=210°，负角β=－150°.
　　
　　为了方便研究，我们经常在平面直角坐标系中研究角.将角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合.
　　坐标平面被直角坐标系分为四个部分，如图所示，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.坐标轴上的点不属于任何象限.此时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角，或者说这个角在第几象限.
例 1
如图所示，60°、420°、－300°角都是第一象限的角，见图（a）；150°角是第二象限的角，－150°角是第三象限的角，见图（b）；－30°、330°角都是第四象限的角,见图（c）.
　　边在坐标轴上的角叫做界限角，如0°、90°、180°、270°、360°、－90°、－180°角都是界限角.
　　从图（a）可以看出420°、－300°角都与60°角的终边相同，并且都可以表示成60°与k个周角的和，其中的k为整数，即
420°=60°+k×360°(k=1),
－300°=60°+k×360°(k=－1)，
　　它们是角的始边绕坐标原点旋转到60°角的终边位置后，分别继续按逆时针或顺时针方向再旋转一周所形成的角，其终边都相同，因此将其叫做终边相同的角.与60°角的终边相同的角有无限多个，用集合表示为
{α︱α=60°+k·360°,k∈Z}.
　　一般地，与角α终边相同的角有无限多个，并且它们（包括角α在内）都可以写成β=α+k·360°(k∈Z)的形式,所以它们所组成的集合为
{β︱β=α+k·360°,k∈Z}
二、弧度制
　　初中我们研究过角的度量，即将圆周的1／360所对的圆心角叫做1度角，记作1°，如图（a）所示.这种用“度”做单位来度量角度的单位制叫做角度制.现在我们来学习另外一种度量角的单位制——弧度制.
　　把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1弧度或1 rad，如图（b）所示.
　　一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.这种以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
　　由定义可知，当角α用弧度表示时，其绝对值等于圆弧长l与半径r的比，即
α｜=(rad)
　　这里，角α的正负由其终边的旋转方向决定.
　　半径为r的圆的周长为2πr，故周角的弧度为
(rad)=2π(rad).
　　用角度制和弧度制来度量零角，单位虽然不同，但量数相同，都是0；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不用.例如，周角的弧度数是2π，而它在角度制下的度数是360°.
　　由此得到两种单位制之间的换算关系：
360°=2π(rad),
180°=π(rad).
　　因此，角度与弧度的换算公式为
1°= (rad)≈0.017 45(rad),
1 rad= ≈57.30°=57°18′.
　　表中给出了一些特殊角的弧度与角度之间的换算.
　　采用弧度制之后，每一个角都对应唯一的一个实数；反之，每一个实数都对应唯一的一个角.这样，角与实数之间就建立了一一对应的关系.
第二节 任意角的三角函数
第三节 同角三角函数的基本关系
第四节 三角函数的诱导公式
第五节 三角函数的图像和性质
第六节 正弦型曲线
第七节 加法定理
第八节 解斜三角形
第九节 反三角函数
一、任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念
　　在初中我们已经学过了锐角的正弦、余弦和正切函数，并且在前边的内容中也已经推广了角的概念，现在利用直角坐标系把这三种三角函数推广到任意角的情况.
　　如图所示，设α是平面直角坐标系中的一个任意角，点P(x,y)为角α终边上的任意一点，点P到坐标原点O（0，0）的距离为>0，那么
　　可以看出，当角α的终边在y轴上时，α=+kπ(k∈Z)，终边上任意一点的横坐标x的值都等于0，此时tanα= 无意义，即对于每一个确定的α值，其正弦、余弦及正切（当x≠0时）都分别对应一个确定的比值.
因此，正弦、余弦及正切都是以α为变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数及正切函数，它们都是三角函数
　　下表所示为正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域.
二、任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数在各象限的正负号
　　由于r>0，所以三角函数值的正负由终边上点P的坐标来确定.因此由三角函数的定义以及各象限内的点的坐标的符号可知：
正弦值sinα= ，对于第一、二象限的角来说是正的（y>0）；对于第三、四象限的角来说是负的（y<0）.
余弦值cosα= ，对于第一、四象限的角来说是正的（x>0）；对于第二、三象限的角来说是负的（x<0）.
正切值tanα= ，对于第一、三象限的角来说是正的（x、y同号）；对于第二、四象限的角来说是负的（x、y异号）.
　　为了便于记忆，我们将三角函数的正负号标在各个象限内，如图所示
三、界限角的正弦值、余弦值和正切值
　　由于零角的终边与x轴的正半轴重合，并且r为点P到原点的距离，所以对于角终边上的任意点P(x,y)都有r=x,y=0.因此根据三角函数的定义，有
sin0= = =0,
cos0= = =1,
tan0= = =0.
　　同样，我们还可以得到、π、 、2π等界限角的三角函数值的情况，如表所示：
第三节 同角三角函数的基本关系
第四节 三角函数的诱导公式
第五节 三角函数的图像和性质
第六节 正弦型曲线
第七节 加法定理
第八节 解斜三角形
第九节 反三角函数
　　根据三角函数的定义，下面我们研究同角三角函数间的一些基本关系.
　　由定义sinα= ,cosα= （）可知
α+ α= + ==1
　　当α≠ +kπ(k∈Z)时，有
　　于是，我们得到同角三角函数的基本关系式：
α+ α=1
例
已知cosα=－ ，且α是第三象限的角，求sinα、tanα的值
解
　　由同角三角函数的基本关系α+ α=1
可得
sinα=±.
　　又因为α是第三象限的角，所以sinα<0，则
sinα=－ = － = ，
tanα= = = .
第四节 三角函数的诱导公式
第五节 三角函数的图像和性质
第六节 正弦型曲线
第七节 加法定理
第八节 解斜三角形
第九节 反三角函数
一、角α与α+2kπ(k∈Z)的三角函数间的诱导公式
　　由第一节可知，在直角坐标系中，角α与α+2kπ(k∈Z)的终边相同.根据三角函数的定义，它们的三角函数值相等，即
sin(α+2kπ)=sinα,
cos(α+2kπ)=cosα,
tan(α+2kπ)=tanα.
　　利用上述公式，我们就可以把求任意角的三角函数的值转化为求0°~360°的三角函数的值.
二、角α与－α的三角函数间的诱导公式
　　下面我们再研究任意角α与－α的三角函数值之间的关系.如图所示，设单位圆与角α和－α的终边的交点分别为P和P′，则点P的坐标是(cosα,sinα)，点P′的坐标是(cos(－α),sin(－α)).容易看出，点P和点P′关于x轴对称，则点P′的坐标也可以写为(cosα,－sinα)，所以可得
sin(－α)=－sinα,cos(－α)=cosα.
由同角三角函数的关系式可知
tan(－α)= =－tanα.
　　于是，我们得到角α与－α的三角函数值之间的关系：
sin(－α)=－sinα，
cos(－α)=cosα,
tan(－α)=－tanα.
　　利用上述公式，我们就可以把负角的三角函数转化为正角的三角函数.
三、角α与π±α的三角函数间的诱导公式
　　如图所示，已知任意角α的终边与单位圆相交于点P，由于角π+α的终边就是角α的终边的反向延长线，所以角π+α的终边与单位圆的交点P′与点P关于原点对称.点P的坐标为(cosα,sinα)，点P′的坐标为(cos(π+α),sin(π+α))，又由于点P′与点P关于原点对称，则点P′的坐标又可以写为(－cosα,－sinα)，所以可得
sin(π+α)=－sinα,cos(π+α)=－cosα.
　　由同角三角函数的关系式可知
tan(π+α)= = =tanα.
　　于是，我们得到角α与π+α的三角函数值之间的关系：
sin(π+α)=－sinα,
cos(π+α)=－cosα,
tan(π+α)=tanα.
　　如图所示，设单位圆与角α、π+α、π－α的终边分别相交于点P、P′、P″.从图中可以看出，点P′与点P″关于x轴对称，由此可以得到
sin(π－α)=－sin(π+α)=sinα,
cos(π－α)=cos(π+α)=－cosα.
　　由同角三角函数的关系式可知
tan(π－α)= = =－tanα.
　　于是，我们得到角α与π－α的三角函数值之间的关系：
sin(π－α)=sinα,
cos(π－α)=－cosα,
tan(π－α)=－tanα.
　　以上公式统称为诱导公式，利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，用以求三角函数式的值或化简三角函数式.
第五节 三角函数的图像和性质
第六节 正弦型曲线
第七节 加法定理
第八节 解斜三角形
第九节 反三角函数
一、正弦函数的图像和性质
　　下面研究三角函数的时候，按照惯例采用字母x来表示角（自变量）.
　　在平面直角坐标系中，可以利用描点法得到正弦函数的图像.一般地，作图时自变量x应采用弧度制.
　　现在利用描点法画出正弦函数的图像.把区间［0,2π］分为8等份，分别求得函数y=sinx在各分点及区间端点的函数值，列表如表所示：
　　以表中每组(x,y)的值作为点的坐标，在直角坐标系内作出对应的点，把它们依次连结成光滑的曲线，就得到了正弦函数y=sinx在区间［0,2π］上的图像，如图所示.
　　因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以将函数y=sinx在［0,2π］上的图像向左或向右平移（每次移动2π个单位长度），这样就得到正弦函数y=sinx在R上的图像，如图所示.正弦函数的图像叫做正弦曲线.
　　观察发现，正弦函数y=sinx在［0,2π］上的图像有五个关键点：
(0,0),(π/2,1),(π,0),(3π/2,－1),(2π,0).
　　在直角坐标系中，描出这五个点后，正弦函数y=sinx在［0,2π］上的图像的形状就基本上确定了.因此在精确度要求不高时，经常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线把它们连结起来，就得到了正弦函数在［0,2π］上的简图.这种作图的方法叫做“五点法”.
　　下面我们研究正弦函数的主要的性质.
1
定义域
　　正弦函数y=sinx的定义域是R.
2
值域
　　正弦函数y=sinx的值域为［－1,1］.当x= +2kπ,k∈Z时，函数取得最大值1；当x=－ +2kπ,k∈Z时，函数取得最小值－1.
3
周期性
　　对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，当x取定义域D内的每一个值时，都有x+T∈D，并且等式f(x+T)=f(x)成立，那么函数f(x)叫做周期函数，常数T叫做这个函数的一个周期.
　　正弦函数的定义域是R，对x∈R都有x+2kπ∈R(k∈Z),并且由诱导公式sin(x+2kπ)=sinx可知，正弦函数是周期函数.
　　周期函数的周期不止一个，如2π,4π,6π,…，－2π,－4π,－6π,…都是正弦函数的周期.事实上，任何一个常数2kπ(k∈Z,k≠0)都是正弦函数的周期.
　　如果周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么就把它叫做最小正周期.一般在不引起混淆的情况下，我们所说的函数的周期都是指它的最小正周期.例如，正弦函数的周期是2π.
5
单调性
　　由正弦曲线可以看出，当x由－增大到时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1；当x由增大到时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.
　　根据正弦函数的周期性可知：
　　正弦函数在每一个区间－ +2kπ, +2kπ(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个区间+2kπ, +2kπ (k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
4
奇偶性
　　观察正弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点O对称，即正弦函数是奇函数.
二、余弦函数的图像和性质
　　现在利用描点法画出余弦函数的图像.把区间［0,2π］分为8等份，分别求得函数y=cosx在各分点及区间端点的函数值，列表如表所示：
　　直角坐标系内作出对应的点，把它们依次连结成光滑的曲线，就得到了余弦函数y=cosx在区间［0,2π］上的图像，如图所示.
　　因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以将函数y=cosx在［0,2π］上的图像向左或向右平移（每次移动2π个单位长度），这样就得到余弦函数y=cosx在R上的图像，如图所示.余弦函数的图像叫做余弦曲线.
　　下面我们研究余弦函数的主要的性质.
1
定义域
　　余弦函数y=cosx的定义域是R.
2
值域
　　余弦函数y=cosx的值域为［－1,1］.当x=2kπ,k∈Z时，函数取得最大值1；当x=(2k+1)π,k∈Z时，函数取得最小值-1.
3
周期性
　　余弦函数的定义域是R，对x∈R都有x+2kπ∈R(k∈Z),并且由诱导公式cos(x+2kπ)=cosx可知，与正弦函数相同，余弦函数也是周期函数，它的周期是2kπ(k∈Z,k≠0)，并且最小正周期是2π.
4
奇偶性
　　观察余弦曲线，可以看到余弦曲线关于y轴对称，即余弦函数是偶函数.
5
单调性
　　由余弦曲线可以看出，当x由0增大到π时，曲线逐渐下降，cosx的值由1减小到－1；当x由π增大到2π时，曲线逐渐上升，cosx的值由－1增大到1.
　　根据余弦函数的周期性可知：
　　余弦函数在每一个区间［(2k－1)π,2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个区间［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
三、正切函数的图像与性质
　　正切函数y=tanx的定义域为x|x∈R,x≠kπ+ ,k∈Z，值域为R，下面先用描点法作出它在－ , 内的图像，列表如表所示：
　　描点并连线，可以得到y=tanx在－ , 内的图像如图所示.
　　由公式tan(x+π)=tanx，可知y=tanx是周期为π的周期函数.因此，只要把y=tanx在－ , 内的图像分别向左、右平移kπ(k∈Z)个单位，就可以得到y=tanx的图像如图所示.正切函数的图像称为正切曲线.
　　由图可以看出，正切曲线是由相互平行的直线x=kπ+ (k∈Z)所隔开的无穷多支曲线所构成的.
　　由正切函数的图像可知，正切函数有如下的性质
1
定义域
　　函数y=tanx的定义域为{x|x∈R,x≠kπ+ ,k∈Z}
2
值域
　　函数y=tanx的值域为R，因此，它是无界的.
3
周期性
　　函数y=tanx是周期函数，周期为π.
4
奇偶性
　　由公式tan(－x)=－tanx可知，y=tanx是奇函数，它的图像关于原点对称.
5
单调性
　　函数y=tanx在[－ +kπ, +kπ]（k∈Z）内是单调递增的.
四、余切函数的图像与性质
　　用类似于正切函数的作图方法，可以作出余切函数y=cotx的定义域为{x|x∈R,x≠kπ,k∈Z}内的图像如图所示.余切函数的图像称为余切曲线.
　　由图可以看出，正切曲线是由相互平行的直线x=kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线所构成的.
　　由余切函数的图像可知，余切函数有如下的性质.
1
定义域
　　函数y=cotx的定义域为{x|x∈R,x≠kπ,k∈Z}
2
值域
　　函数y=cotx的值域为R，因此，它是无界的.
3
周期性
　　函数y=cotx是周期函数，周期为π.
4
奇偶性
　　由公式cot(-x)=-cotx可知，y=cotx是奇函数，它的图像关于原点对称.
5
单调性
　　函数y=cotx在(kπ,π+kπ)（k∈Z）内是单调递减的.
第六节 正弦型曲线
第七节 加法定理
第八节 解斜三角形
第九节 反三角函数
一、正弦型函数的概念和性质
　　我们已经学习了正弦函数y=sin x和余弦函数y=cos x.在物理学和电学中，我们经常会遇到形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数，这类函数称为正弦型函数.它与正弦函数y=sin x有着密切的关系.
我们先来讨论正弦型函数的周期.在正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中，令z=ωx+φ，则
y=Asin(ωx+φ)=Asin z.
　　我们已经知道正弦函数y=sin x的定义域为R，周期为2π，值域为［－1,1］.因此,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的定义域为R，并且
y=Asin(ωx+φ)=Asin z=Asin(z+2π)
=Asin［(ωx+φ)+2π］=Asinωx+ +φ,
　　即Asin(ωx+φ)=Asinωx+ +φ(A>0,ω>0).
　　设f(x)=Asin(ωx+φ)，则f(x)=fx+ .因此，正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)也是周期函数，其周期为T= .
　　由于正弦函数y=sin x的值域为［－1,1］，所以y=Asin z(A>0)的值域为［－A,A］，即正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最大值为A，最小值为－A.
　　综上所述，正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)主要有以下性质：
定义域为R；
周期为T= ；
值域为［－A,A］，即最大值为A，最小值为－A.
　　一般地，研究函数y=asin x+bcos x(a>0,b>0)时，首先要把函数转化为正弦型函数y=Asin(x+θ)的形式.如图所示，考察以(a,b)为坐标的点P，设以OP为终边的角为θ，则
cos θ=,sin θ= ,tan θ= ，
　　于是
asin x+bcos x=
= (cos θsin x+sin θcos x)
= sin(x+θ),
　　即A= ，角θ的值可以由tan θ= 确定（角θ所在的象限与点P所在的象限相同）.
二、 正弦型函数的图像
　　在研究正弦函数y=sin x的图像时，我们介绍过“五点法”作图，即选取(0,0),,1)，(π,0), （,－1）,(2π,0)作为五个特殊点来作图.正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像与正弦函数的图像类似，我们一般也采用“五点法”来作正弦型函数的图像.正弦型函数的图像称为正弦型曲线.
　　在y=Asin(ωx+φ)中，令z=ωx+φ，我们分别取z=0, ,π, ,2π，求出对应的x的值和函数值y，构成五组(x,y).分别以每组的(x,y)为坐标描点，描出对应的五个关键点，然后用光滑的曲线连接各点，即可以得到正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图像.
　　下面我们以具体的题为例，用“五点法”作出几个正弦型函数在一个周期内的简图，然后观察正弦型曲线的特征.
例 4
　　利用“五点法”作出正弦型函数y=sin（2x+ ）在一个周期内的简图
解
　　在函数y= sin（2x+ ）中ω=2，因此周期为T= = =π.
为求出图像上的五个关键点的横坐标，令z=2x+ ，分别取z=0, ,π, ,2π，我们找出一个周期π内五个特殊的点，求出对应的x的值与函数y的值，见下表.
　　以表中每组(x,y)为坐标描点，如图所示，在直角坐标系中比较精确地描出对应的五个关键点
　　用光滑的曲线连接各点，得到函数y=sin(2x+π3)在一个周期内的图像，如图所示
　　一般地，为了作出正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像，可令z=ωx+φ，然后利用上面的方法,即求得一个周期内的正弦型曲线的五个关键点的坐标，依次为
　　（－,0），（－+ ,A）,（－+ ,0), （－+ ,－A), （－+T,0)，
　　其中T为函数的周期.
第七节 加法定理
第八节 解斜三角形
第九节 反三角函数
一、 两角和与差的余弦公式
　　我们知道：
cos 60°=,cos 30°= ，cos 60°+cos 30°=，
cos(60°+30°)=cos 90°=0，
　　显然
cos 60°+cos 30°≠cos(60°+30°)，
　　由此可知，一般情况下，对于任意两个角α、β，cos(α+β)≠cos α+cos β.那么，cos(α+β)与α,β的三角函数值到底有什么关系呢？如何计算cos(α+β)的值呢？下面我们来讨论这个问题.
二、 两角和与差的正弦公式
　　我们已经学习了两角和与差的余弦公式，那么，两角和与差的正弦公式是怎么样的呢？根据两角和的余弦公式式我们可以计算出cos（α+）=－sin α，因此有sin α=－cos （α+）这一等式.这说明余弦函数与正弦函数之间是可以互相转化的，也为我们推导两角和的正弦公式提供了有力的工具.
sin(α+β)=－cos［(α+β)+ ］=－cos［（α+ ）+β］
=－［cos（α+ cos β－sin （α+ sin β］
=－(－sin αcos β－cos αsin β)
=sin αcos β+cos αsin β.
由此，我们得到了两角和的正弦公式
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.
　　两角和的正弦公式反映了α+β的正弦函数值与α,β的三角函数值之间的关系.
　　将式中的β换成－β，则有
sin(α－β)=sin ［α+(－β)］
=sin αcos(－β)+cos αsin(－β)
=sin αcos β－cos αsin β.
　　由此，我们得到了两角差的正弦公式
sin(α－β)=sin αcos β－cos αsin β.
　　该式反映了α－β的正弦函数值与α,β的三角函数值之间的关系.
三、 两角和与差的正切公式
　　根据两角和与差的正弦公式、余弦公式可知
tan(α+β)==
　　当cos α·cos β≠0时，上式分子分母同除以cos αcos β可得
tan(α+β)=
　　同理，可得出
tan(α-β)=
　　注意：在两角和与差的正切公式中，α、β的取值应使式子的左右两端都有意义.
四、 二倍角公式
　　在两角和与差的余弦公式中，令α=β，就可以得到二倍角的余弦公式：
cos 2α=cos(α+α)=cos αcos α－sin αsin α
=cos2α－sin2α,
　　即
cos 2α=cos2α－sin2α.
　　同理，可以得到二倍角的正弦公式:
sin2α=2sin αcos α.
　　因为sin2α+cos2α=1，所以又可以写为
cos 2α=2α－1，
cos 2α=1－2 α，
　　则还可以得到下列公式
α=
α =
　同理，令α=β,就可以得到二倍角的正切公式：
tan 2α=
　　这些式子反映出具有二倍角关系的角的三角函数之间的关系，在三角计算中有着广泛的应用.
第八节 解斜三角形
第九节 反三角函数
一、 正弦定理
　　在直角三角形中，利用三角形内角和定理、勾股定理以及锐角的三角函数就可以由已知的边和角求出未知的边和角.但是，对于一般的三角形，我们该怎样求呢？
如图所示，在Rt△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，由
sin A=,sin B= ,sin C=1，
　　则得
c= ,c= ,c= ，
所以
= =
　　根据直角三角形的面积公式得
S△ABC=ab= absin C,
　　由= = 可得
S△ABC= acsin B= bcsin A.
　　那么，在任意三角形中，是否也存在类似的数量关系呢？
　　如图所示，在锐角三角形ABC中，作CD⊥AB于D，则CD=bsin A，CD=asin B，于是bsin A=asin B，即
=
　　同理,过三角形的顶点B作AC的垂直线，可得
= ，
　　因此
= =
　　由于CD=bsin A=asin B，所以
S△ABC= ×AB×CD= bcsin A= acsin B
　　同理可得
S△ABC=12absin C.
　　如图所示，在钝角三角形ABC中，设∠C为钝角，作BD⊥AC延长线于D，则BD=csin A,BD=asin(180°－C)=asin C.同样可以得到
= =
　　由于BD=csin A=asin C，所以
S△ABC= ×AC×BD= bcsin A= absin C，
　　同理可得S△ABC=12acsin B.
　　这就是说，对于任意一个三角形，= = 均成立，因此我们得到下面的正弦定理.
　　正弦定理：在任意一个三角形中，各边与它所对的角的正弦之比相等，即
= =
　　同时，我们也得到了计算三角形面积的另一种表达形式：
S△ABC= bcsin A= acsin B= absin C.
二、余弦定理
　　正弦定理揭示了任意三角形中边与角的一种数量关系，揭示任意三角形中边与角的数量关系的另一个重要结论是余弦定理.
　　如图所示，建立平面直角坐标系，设△ABC是任意三角形，点A与原点重合，且AB=c,AC=b,BC=a，则点B的坐标为(ccos A,csin A)，点C的坐标为(b,0).根据两点间的距离公式得a=｜BC｜=+ ,
　　两边平方得
= +
= －2bccos A+ α + α
= －2bccos A+ (cos2A+sin 2A)
= + －2bccos A,
　　即得= + －2bccos A.
　　
　　同理可得
= + －2ａccos Ｂ
= + －2bccos Ｃ
可以证明，上述结论对任意三角形都成立，于是得到下面的余弦定理
　　可以证明，上述结论对任意三角形都成立，于是得到下面的余弦定理
　　余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其余两边的平方和减去这两边与其夹角余弦乘积的2倍，即
= + －2bccos A,
= + －2ａccos Ｂ
= + －2bccos Ｃ
　　显然，当∠C=90°时，有= + ，这就是说勾股定理是余弦定理的特例.
　　式中的三个式子还可以分别变形为
cos A=,
cos B= ,
cos C=
三、 正弦定理与余弦定理的应用
　　通过学习正弦定理、余弦定理，我们可以应用这些三角函数的知识来解决一些实际问题,比如计算高度、长度、距离和角的大小等.
例 7
　　一艘船以每小时36海里的速度向正北方向航行，在A处观察到灯塔C在船的北偏东30°方向，0.5小时后船行驶到B处，此时灯塔C在船的北偏东45°方向，如图所示，求B处到灯塔C的距离.
例 7
解
　因为∠NBC=45°,∠A=30°，所以∠C=15°，由题意知
AB=36×0.5=18（海里），
　　由正弦定理得
BC== 18sin 30°≈34.8（海里）.
　　所以B处到灯塔C的距离约为34.8海里.
例 8
　　如图所示，设A,B两点在河的两岸，现需要测量两点间的距离.测量者在与点A同侧的岸上选定了一点C，并测量出A,C之间的距离为45 m，又测出∠BAC=45°,∠ACB=75°.根据以上的信息，求出A,B两点的距离（精确到0.1 m）.
例 8
解
　　首先根据三角形的内角和为180°，可以得到
∠ABC=180°－∠ACB－∠BAC=60°.
　　利用两角和的正弦公式得出
　　sin 75°=sin(30°+45°)=.
　　在△ABC中，利用正弦定理可得
= ,
　　于是
AB= = ≈50.2 m.
　　所以A,B两点的距离约为50.2 m.
第九节 反三角函数
一、反正弦函数
　　先看下面的例子.
例 1
　　已知sinx= ，x∈［0,2π］，求角x
解
　　由sinx= ＞0,知x是第一、二象限角，又由sin = ，sin =sin(π－ )=sin =
　　知所求的角为 x= 或x= (如图所示).
例 1
　　例1中，如果把角的范围限制在［－ , ］上，则满足条件sinx= 的角只有一个，即x= .
　　一般地，由于正弦函数y=sinx在［－ , ］上是单调增加的，因而对于给定的实数a∈［－1,1］ ，在区间［－ , ］上满足sinx=a的角有且仅有一个，所以，函数y=sinx在［－ , ］上有反函数，下面给出定义.
　　正弦函数y=sinx在［－ , ］上的反函数称为反正弦函数，记作y=arcsinx.它的定义域为［－1,1］，值域为［－ , ］.
　　可以证明
sin(arcsinx)=x,x∈［－1,1］ ，
arcsin(sinx)=x,x∈ ［－ , ］.
　　根据反函数图像的性质，可由正弦函数y=sinx在［－ , ］上的图像，得出反正弦函数y=arcsinx的图像.如图所示.
　　从图像可以看出，反正弦函数y=arcsinx在定义域内是增函数，而且是奇函数，即
arcsin(－x)=－arcsinx.
二、反余弦函数、反正切函数和反余切函数
　　余弦函数y=cosx，x∈［0,π］上的反函数称为反余弦函数，记作y=arccosx.它的定义域为［－1,1］，值域为［0,π］.
　　正切函数y=tanx，x∈ (－ , )内的反函数称为反正切函数，记作y=arctanx. 它的定义域为(－∞,+∞) ，值域为－π2,π2.
　　余切函数y=cotx，x∈(0,π)内的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx. 它的定义域为(－∞,+∞)，值域为(0,π).
　　可以证明
cos(arccosx) =x，x∈［－1,1］，
arccos(cosx)=x，x∈［0,π］，
tan(arctanx)=x，x∈(－∞,+∞)，
arctan(tanx)=x，x∈ (－ , ) ，
cot(arccotx)=x，x∈(－∞,+∞)，
arccot(cotx) =x，x∈(0,π) .
反余弦函数
　　根据反函数图像的性质，可得出反余弦函数y=arccosx、反正切函数y=arctanx和反余切函数y=arccotx的图像（如图所示）.
反余弦函数
反余弦函数
反正切函数
反余弦函数
反余切函数
反余弦函数
　　从图像可以看出，反余弦函数y=arccosx在定义域内是减函数，没有奇偶性；反正切函数y=arctanx在定义域内是增函数，且是奇函数,反余切函数y=arccotx在定义域内是减函数，没有奇偶性.
三、已知三角函数值求指定区间内的角
　　由例1可知，在［0,2π］内有两个角x= 和x= 满足sinx= .而 ∈ ［－ , ］,故 =arcsin ,注意到=π－ = －arcsin12.由周期性可知，在R内满足sinx= 的角x的集合为
X={x|x= +2kπ,k∈Z}∪{x|x= +2kπ,k∈Z}
={x|x=arcsin +2kπ,k∈Z}∪{x|x=π－arcsin +2kπ,k∈Z}
={x|x=arcsin +2kπ,k∈Z}∪{x|x=－arcsin +(2k+1)π,k∈Z}
={x|x =arcsin +kπ,k∈Z}.
　　一般地，满足等式sinx=a(a∈［－1,1］)的角x的集合为
X={x|x =arcsin +kπ,k∈Z}.
　　类似地，可得满足等式cosx=a(a∈［－1,1］)的角x的集合为
X={x|x=±arccosa+2kπ,k∈Z}
　　满足等式tanx=a的角x的集合为
X=｛x｜x=arctana+kπ,k∈Z｝.
课 后 习 题
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