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2023-2024学年初三第二学期第一次质检数学试卷
一、选择题：每小题3分，共30分。
1．的倒数是（ ）
A． B． C．2023 D．
2．下列由箭头组成的图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．至2011年末，南通市户籍人口为764.88万人，将764.88万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下面计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线的对称轴和顶点坐标分别是（ ）
A． B． C． D．
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．小罗、小张、小蔡、小潘四位同学参加一次户外活动，两位同学一组，则小张和小蔡分到一组的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点落在第二象限内双曲线上，过两点分别作轴的垂线段，垂足为，连接，若且，则的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
10．已知：如图，在正方形外取一点，连接．过点作的垂线交于点．若，下列结论：
①；②；③；④；⑤
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①④⑤ C．①②④ D．③④⑤
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．实数在数轴上的位置如图所示，化简：_________。
12．分解因式_________。
13．在一次中学生由径运动会上，参加男子跳高的10名运动员的成绩如表所示：
成绩/m 1.50 1.60 1.70 1.80
人数/个 2 3 4 1
则这些运动员成绩的平均数是_________。
14．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径是_________。
15．一辆汽车，新车购买价18万元，每年的年折旧率为，如果该车在购买满两年后的折旧价值为12.25万元，求年折旧率的值．那么可以列出关于的方程是_________（只列方程，无需求解）。
16．如下图，以长方形的顶点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，点是的中点，在上取一点，将沿翻折，使点落在边上的点处．若在轴上存在点，且满足，则点坐标为_________。
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（6分）（1）计算：：
（2）解方程：．
18．（6分）如图，在中，．
（1）尺规作图；作的平分线交于点．（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知，求的度数．
19．（8分）某校数学社团利用自制测角仪和皮尺测量河宽（把河两岸看作平行线）。如图，他们在河岸一侧的处，观察到对岸点处有一棵树，测得，向前走到达处，测得，求河的宽度（精确到）（）
20．（8分）某超市销售某种水果，其成本是每千克12元，售价为每千克27元时，每天可销售超市在销售过程中发现售价每降低2元时，每天销量可增加，于是决定调整销售策略，降低销售这种水果。
（1）若超市每天要获销售利润3080元，又要尽可能让顾客得到实惠，销售单价应定为多少元；
（2）当销售单价定为多少时，超市所获利润最大，最大利润是多少？
21．（8分）已知关于的一元二次方程有两个实数根。
（1）求的取值范围；
（2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值．
22．（8分）如图，在中，和是的高，连接．
求证：（1）；
（2）．
23．（10分）如图，直线与双曲线为常数，）在第一象限内交于点，且与抽、轴分别交于两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）点在轴上，且的面积等于2，求点的坐标．
24．（本小题8分）
如图，点都在半径为6的上，过点作交的延长线于点，连接，已知．
（1）求证：是的切线；
（2）求弦的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
25．（本小题8分）
如图，抛物线交轴于两点，交轴于点．直线经过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴1与直线相交于点，连接，判定的形状，并说明理由；
（3）在直线上是否存在点，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年初三第二学期第一次质检数学试卷
【答案】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10.
11. 12. 13. 14.
15. 16. 或
17. 解：原式
；
原方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：将代入得，
故原方程的解为．
18. 解：如图所示：即为所求；
平分，
，
，
，
，
，
．
19. 解：过点作于点，
设，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
答：河的宽度约为．
20. 解：设这种水果应降低元，
根据题意，得．
解得，．
因为要尽可能让顾客得到实惠，所以符合题意．
所以元．
答：这种水果的销售单价应为元；
设这种水果应降低元时，超市所获利润为元，
，
， 当时，有最大值，最大值为，
答：当销售单价定为时，超市所获利润最大，最大利润是元．
21.（1）关于的一元二次方程有两个实数根，，即，解得．
（2）是方程的一个实数根，，，，即，解得或又由可知，．
22. （1）证明在中，和是的高，又，∽．
（2）∽，，又，∽，，．
23. 解：把代入双曲线，可得，
双曲线的解析式为；
把代入直线，可得，
直线的解析式为；
设点的坐标为，
在中，令，则；令，则，
，，即，
的面积等于，
，即，
解得或，
点的坐标为或．
24. 证明：如图，连接交于，
，
．
，
，
又，
，
又是的半径，
是的切线．
解：由得， ，
在中，
，，，
由勾股定理，得，
．
解：，
且，，
≌，
阴影部分的面积等于扇形的面积，
阴影部分的面积为．
25. 解：直线经过点，，
当时，可得，即的坐标为．
当时，可得，即的坐标为．
．
解得．
该抛物线的解析式为；
的为直角三角形，理由如下：
解方程，则，．
，．
抛物线的对称轴为，
为等腰三角形．
的坐标为，的坐标为，
，即．
．
．
．
的为直角三角形；
如图：作于，轴于，作的垂直平分线交于，于，
，
．
．
为等腰直角三角形．
．
．
设的函数解析式为．
，，
．
解得，．
的函数解析式为，
设的函数解析式为，
点的坐标为
，
解得：．
的函数解析式为．
．
解得．
的坐标为；
在直线上作点关于点的对称点，
设，
则有：，解得．
．
的坐标为
综上，存在使与直线的夹角等于的倍的点，且坐标为，

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