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第十八章 平行四边形
18.1.1 第1课时 平行四边形的边角性质
如图: 四边形ABCD是平行四边形
记作: □ABCD (注意:顶点字母应按顺序书写.)
读作: 平行四边形ABCD.
应用格式:
(1)∵AD∥BC, AB∥DC,
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ AD∥BC, AB∥DC .
1.平行四边形定义:
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
新知探索 —— 平行四边形的概念
O
D
C
B
A
B
D
A
C
2.平行四边形的组成
对边:AB与CD, BC与AD(两组).
邻边:AB与BC, BC与CD, CD与AD, AB与AD(四组).
对角:∠A与∠C, ∠B与∠D(两组).
邻角:∠A与∠B; ∠B与∠C; ∠C与∠D; ∠D与∠A(四组).
对角线: AC、BD (两条对角线).
已知：如图, 四边形ABCD是平行四边形. 则有：
3.平行四边形的性质:
B
D
A
C
o
性质1: 平行四边形的两组对边平行.
性质3: 平行四边形的邻角互补.
性质2: 平行四边形的对边相等.
性质4: 平行四边形的对角相等.
AB∥CD, BC∥AD
∠A+∠B=1800, ∠ B+∠C=1800
AB=CD, BC=AD
∠A=∠C , ∠B=∠D
证明: 连结BD,
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC, AB∥CD
∴∠1=∠2, ∠3=∠4
∵BD=DB
∴△ABD≌△CDB (ASA)
∴AD=CB, AB=CD, ∠A=∠C
∵∠1=∠2, ∠3=∠4
∴∠1+∠4=∠2+∠3, 即∠ABC=∠ADC
∴ AD=CB, AB=CD，
∠A=∠C, ∠ABC=∠ADC
1
2
D
C
B
A
3
4
【性质证明】已知: 如图, 四边形ABCD是平行四边形.
求证: AD=CB, AB=CD, ∠A=∠C, ∠ABC=∠ADC.
例1.如图, 在□ABCD中, ∠A=500, AB = 5, 周长为28.
(1) 求其余三个内角的度数;
(2) 求其余三条边的长.
D
C
B
A
解:(1)∵□ABCD中, ∠A=50°
∴∠C=∠A=500, 且AD∥BC
∴∠A+∠B=1800
则∠B=1800-∠A=1800-500=1300
∴∠D=∠B=1300
(2)∵□ABCD中, AB=5
∴CD=AB=5,
∵AB+BC+CD+AD=28
∴5+BC+5+AD=28
即BC+AD=18
∵BC=AD
∴BC=AD=9.
例2.在□ABCD中, ∠C-∠B=500, 求∠A, ∠B, ∠C的度数.
例3. 在□ABCD中, 若周长为44cm, AB比BC短2cm，
求这个平行四边形各边的长.
D
C
B
A
∠A=1150,
∠B=650,
∠C=1150.
∠C+∠B=1800
∠C-∠B=500
BC+AB=22
BC-AB=2
AB=10
BC=12
例4. 如图, 在□ABCD中, AE平分∠BAD交BC边于E,
(1)若∠C=1300, 求∠BAE的度数;
(2)若AD=5, AB=3, 求线段BE和EC的长.
E
D
C
B
A
(1)∠BAE=650 ，
(2) BE=AB=3, EC=2
例5. 如图, □ABCD的周长为36cm, AB:BC=1:2,
∠B:∠C=1:2, E是BC边的中点, 求AE的长.
D
C
B
A
E
AE=6
例6.如图, 剪两张对边平行的纸条, 随意交叉叠放在一起,
转动其中一张, 重合的部分构成一个四边形, 则线段AD和BC的长度有什么关系
D
C
B
A
3. 如图, 在平面直角坐标系中, □OBCD的顶点O、B、
D的坐标如图所示，则顶点C的坐标为( ).
A.(3, 7) B.(5, 3) C.(7, 3) D.(8, 2)
x
y
C
O (0, 0)
B(5, 0)
D(2, 3)
C
4.如图, □ABCD中, CE⊥AB于E, 若∠A=1250, 则
∠BCE= .
B
C
D
A
□
E
350
5.如图, 在□ABCD中, 若AE平分∠BAD, 则ED= ．
E
5cm
9cm
A
B
C
D
5cm
6.已知: 如图, AC是□ABCD的对角线, BE⊥AC于E,
DF⊥AC于F. 求证: BE=DF．
A
B
C
D
□
□
F
E
证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AD=BC, AD∥BC
∴∠1=∠2
∵BE⊥AC, DF⊥AC
∴△ABD≌△CDB (ASA)
∴AD=CB, AB=CD, ∠A=∠C
∵∠1=∠2, ∠3=∠4
∴∠1+∠4=∠2+∠3, 即∠ABC=∠ADC
∴ AD=CB, AB=CD，
∠A=∠C, ∠ABC=∠ADC
1
2
3
4
7.如图, 从等腰三角形底边上任一点, 分别作两腰的平行
线, 所成的四边形的周长与它的两腰长之和之间的关系
如何 请说明理由.
D
C
B
A
E
F
将一张纸对折, 剪下两张叠放的三角形纸片. 将它们相等 的一组边重合, 得到一个四边形.
(1)你拼出了怎样的四边形
(2)小明拼出了如图所示的一个四边形, 这个四边形的对
边有怎样的位置关系 说说你的理由.
活动
A
B
D
C
O
A
B
D
C
O
【活动①: 做一做,想一想】 如图, 把两张完全相同的平
行四边形纸片叠合在一起, 在它们的中心O钉一个图钉,
将一个平行四边形绕O旋转1800, 你发现了什么
新知探索——平行四边形的性质
●
A
D
O
C
B
D
B
O
C
A
归纳结论
2.平行四边形的对角线互相平分.
1.□ABCD绕它的中心O旋转1800后与自身重合, 这时
称□ABCD是中心对称图形, 点O叫对称中心.
【问题】怎么证明对角线互相平这个结论
再看一遍
中心对称图形:
如果一个图形绕某个点旋转1800, 能跟自身重合, 那么这个图形叫做中心对称图形,
这个旋转点叫做对称中心.
已知: 如图, □ABCD的对角线
AC、BD相交于点O.
求证: OA=OC, OB=OD.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC, AD∥BC.
∴ ∠1=∠2, ∠3=∠4
∴ △AOD≌△COB (ASA)
∴ OA=OC，OB=OD.
A
C
D
B
o
3
2
4
1
平行四边形“对角线互相平分”的证明.
应用格式
∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC, OB=OD.
【归纳】平行四边形的性质：
平行四边形的对角线互相平分.
B
A
C
D
o
平行四边形的性质小结：
①边:平行四边形的对边平行;
平行四边形的对边相等;
②角:平行四边形的对角相等;
平行四边形的邻角互补;
③对角线:平行四边形的对角线互相平分.
④对称性:平行四边形是中心对称图形.
10
4
7
例1.如图, 在□ABCD中, BC=10cm,AC=8cm,BD=14cm,
(1)△BOC的周长是多少 说明理由
(2)△ABC与△DBC的周长哪个长 长多少
三、实例分析
例2. 如图, □ABCD的周长为80cm, 对角线AC与BD相交
于点O , △AOB 的周长比 △AOD 的周长小 20cm，
求这个平行四边形各边的长.
例2.如图, 四边形ABCD是平行四边形, AB=10, AD=8, AC⊥BC, 求BC、CD、AC、OA的长及 ABCD的面积.
∴在Rt△ABC中, 由勾股定理得
又∵AC⊥BC, 则∠ACB=900
解:∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC=AD=8，CD=AB=10
又∵OA=OC,
∴S□ABCD=BC×AC=8×6=48
8
10
B
C
D
A
O
●
例3. 在□ABCD中, ∠ABC=700, BE平分∠ABC且交AD
于点E, DF∥BE且交BC于点F, 求∠CDF的度数.
∴∠1=∠2=350
∵BE平分∠ABC
解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∠ADC=700
∴∠C=1800-∠ADC=1100
∴∠4=1800-∠3-∠C
∴∠3=∠2=350
∵DF∥BE
=1800-350-1100 =350
即∠CDF=350.
1
2
F
E
D
C
B
A
4
3
例4.□ABCD的对角线AC、BD相交于O, 直线EF过点O
与AD、BC分别相交于E、F. 求证: OE=OF.
F
E
O
D
C
B
A
例5. 如图, □ABCD中, AE、AF分别为BC、CD上的高, AE=2, AF=5, ∠EAF=300, 求平行四边形周长和面积.
F
E
D
C
B
A
□
□
练习1. 在□ABCD中, AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
(1)若AE=3, AF=4, AD=8, 求CD的长；
(2)若∠EAF=600, 求□ABCD各内角的度数.
F
E
D
C
B
A
例6.一位老人想把一块平行四边形的土地, 平均分给他的四个孩子, 当孩子们看到如图所示的分配方案时, 都认为
自己的地少. 你认为老人这样分合理吗 为什么
老大
老二
老三
老四
A
C
D
B
o
●
S1
S4
S3
S2
M
1.平行四边形具有而一般四边形不具有的特征是( ).
A.不稳定性 B.对角线互相平分
C.内角的为360度 D.外角和为360度
2.若平行四边形的一边长为5, 则它的两条对角线长
可以是( ).
A. 12和2　 B. 3和4　 C. 4和6 D. 4和8
B
D
课堂练习
3.如图, 在□ABCD中, 对角线AC, BD交于点O, AC=8,
BD=10, 则AD的取值范围是 .
4.如上图, 在□ABCD中, 对角线AC﹑BD相交于点O,
且AC+BD=20, △AOB的周长等于15, 则CD= .
15
5.如上图, 在□ABCD中, 对角线AC﹑BD相交于点O,
△AOB 的周长为15, AB=6, 那么对角线AC和BD的
和是 .
O
D
C
B
A
22
3.如图, 在□ABCD中, ∠BAD的平分线AE分BC成4与
3的两条线段，则□ABCD的周长是 .
22或20
2.平行四边形两邻边分别为20cm和16cm，若两较长边
的距离为6, 则两较短边的距离为 .
7.5cm
D
C
B
A
E
4.已知三条线段的长分别是20cm、16cm、18cm, 则
以 两条为对角线, 其余一条为边, 可
以画出平行四边形.
20cm, 18cm
4.如图, 在周长为20cm的□ABCD中, AB≠AD. 对角线
AC与BD相交于点O, OE⊥BD交AD于E, 则△ABE的
周长为 .
10cm
O
E
D
C
B
A
平行四边形的性质共有哪些
本课小结
平行四边
形的性质
①边:平行四边形的对边平行;
平行四边形的对边相等;
②角:平行四边形的对角相等;
平行四边形的邻角互补;
③对角线:平行四边形的对角线互相平分.
④对称性:平行四边形是中心对称图形.
1.小明家有一块平行四边形菜地, 菜地中有一口井, 为了
浇水的方便, 小明建议妈妈经过水井修一条路, 可以把
菜地分成面积相等的两部分. 同学们, 你知道聪明的小
明是怎么帮妈妈分割这块地的吗？
数学与生活
B
M
C
●
D
A
O
2.如图, 村里有一个四边形的池塘, 在它的四个角 A、B、C、D处
均种有一棵大核桃树. 村里准备开挖池塘建养鱼池, 想使池塘面积扩大一倍, 又想保持核桃树不动, 并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状. 请问: 村里能否实现这一设想？若能, 请你设计并画出图形; 若不能, 请说明理由.(只要求画出图形, 不写画法.)
O
N
M
F
E
D
C
B
A
D
C
B
A
1.在□ ABCD中, E为AD的中点, CE交BA的延长线于点F.
(1)求证: AB=AF, (2)若BC=2AB, ∠FBC=700, 求∠EBC.
能力提升
F
E
D
C
A
B
？
2.直线MN与PQ平行, △ABC和△DBC的面积相等吗
你还能画出与△ABC面积相等的三角形吗
N
M
Q
P
D
C
B
A

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