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专题 圆的证明与计算【方程及转化思想】
1.（2023·杭州）如图，在☉O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，
作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF.
（1）若，求GE的长.
（2）求证：
（3）若，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论.
2.（2023·无锡）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的☉O经过点D，与DC交于点E．连接AE，.作EF⊥AD，与AD的延长线交于点F.
（1）求证：EF是☉O的切线；
（2）求∠C的度数．
3.（2023·武汉）如图，OA，OB，OC都是☉O的半径，C.
（1）求证：∠
（2）若 ，求☉O的半径．
4.（2023·盐城）如图，在ΔABC中，O是AC上（异于点A，C）的一点，☉O恰好经过点A，B，AD⊥CB 于点D，且AB平分∠CAD.
（1）判断BC与☉O的位置关系，并说明理由．
（2）若 ，求☉O的半径长.
5.（2023·江西）如图，在ΔABC中， ，以AB为直径的☉O与AC相交于点D，E为弧ABD上一点，且
（1）求弧BE的长；
（2）若，求证：CB为☉O的切线．
6.（2023·济南）如图，AB，CD为☉O的直径，C为☉O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，，点E是弧BD的中点，弦CE，BD相交于点F.
（1）求∠OCB的度数；
（2）若，求☉O直径的长.
7.（2023·营口）如图，在ΔABC中，，以BC为直径作☉O与AC交于点D，过点D作DE⊥AB，交CB延长线于点F，垂足为点E.
（1）求证： DF为☉O的切线；
（2）若 ，求BF的长.
8.（2023·乐至县）如图，已知☉O的圆心O在ΔABC的边AC上，与AC相交于A、E两点，且与边BC相切于点D，连结DE.
（1）若，求证：AB是☉O的切线；
（2）若 ，求☉O的半径.
9.（2023·南京）如图，在ΔABC中，，☉O是ΔABC的外接圆，过点O作AC的垂线，垂足为D，分别交直线BC，弧AC于点E，F，射线AF交直线BC于点G.
（1）求证
（2）若点E在CB的延长线上，且，求∠BAC的度数.
（3）当时，随着CG的长度的增大，EB的长度如何变化？请描述变化过程，并说
明理由.
10.（2023·郴州）如图，在☉O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使
（1）求证：直线CD是☉O的切线；
（2）若 ，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）.
11．（2023·阜新）如图，AB是☉O的直径，点C，D是☉O上AB异侧的两点，DE⊥CB，交CB的延长线于点E，且BD平分∠ABE.
（1）求证：DE是☉O的切线．
（2）若 求图中阴影部分的面积.
（2023·北京）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，
BD平分∠
（1）求证DB平分∠ADC，并求，∠BAD的大小；
（2）过点C作CF⊥ AD交AB的延长线于点F，若,求此圆半径的长.
13．（2023·巴中）如图，已知等腰▲ABC，，以AB为直径作☉O交BC于点D，过D作DF⊥AC于点E，交BA延长线于点F.
（1）求证：DF是☉O的切线．
（2）若 ，求图中阴影部分的面积（结果用π表示）.
14．（2023·内蒙古）如图，AB是☉O的直径，E为☉O上的一点，点C是弧AE的中点，连接BC，过点C的直线垂直于BE的延长线于点D，交BA的延长线于点P.
（1）求证：PC为☉O的切线；
（2）若 ，求BE的长.
（2023·德州）如图，AC为四边形ABCD的对角线，
的外接圆交CD于点E，弧AC所对的圆心角的度数为120°．
（1）求证：AD是ΔABC的外接圆的切线；
（2）若ΔABC的外接圆的半径为3，求弧CE的长．
16.（2023·西宁）如图，AB是☉O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，弦CE与AB交于点F，连接AE，AC，BC．
（1）求证：∠
（2）若 ，求CF的长.
17．（2023·丹东）如图，已知AB是☉O的直径，BD是☉O的弦，点P是☉O外的一点，PC⊥AB，垂足为点C，PC与BD相交于点E，连接PD，且，延长PD交BA的延长线于点F.
（1）求证：PD是☉O的切线；
（2）若 ，求BE的长.
18．（2023·陕西）如图，，点O在PM上，☉O与PN相切于点A，与PM的交点分别为B，C．作CD⊥ PN，与☉O交于点D，作CE⊥PN，垂足为E，连接EO并延长，交CD于点F.
（1）求证：
（2）若，求EF的长.
19．（2023·湖州）如图，在RT▲ABC中，，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连结OB.
（1）求证：
（2）已知 ，求AB的长.
20（2023·衢州）如图，在RtΔABC中，，O为AC边上一点，连结OB.以OC为半径的半圆与AB边相切于点D，交AC边于点E.
（1）求证：
（2）若
①求半圆O的半径.
②求图中阴影部分的面积.
21.（2023·襄阳）如图，在ΔABC中，，O是BC的中点，☉O与AB相切于点D，与BC交于点E，F，DG是☉O的直径，弦GF的延长线交AC于点H，且GH⊥AC．
（1）求证：AC是☉O的切线；
（2）若 ，求弧DE的长l.
参考答案
1.解析：（1）解：AB⊥CD，
∴
∴
∵
∴
∴
又∵
∴·9
（2）证明：如解图，连接OC．
∵
∴
又∵
∴▲ ,
∴
∴
（3）解：
证明：如解图，延长FO交AC于点H.
∵
∴
∴
∵AB是☉O的直径，
∴
∴,
∴,
∴,
∵
∴▲FAC是等腰直角三角形.
∴
2.解析：（1）证明：连接OE．
∵
∴
∵
∴
∴OEIIAF,
∵EF⊥AD,
∴EF⊥OE,
∵OE是☉O的半径，
∴EF是☉O的切线；
（2）连接OD，
∵ABIIDC,
∴
∵
∴
∴
∵,AB//DC,
∴
解析：（1）
∴
过点O作半径OD⊥AB于点E，连接DB，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
在RtΔBDE中，
∴
在RtΔBOE中，
∴
解得
即☉O的半径是
4.解析：（1）BC与☉O相切，理由如下：如图，连接OB，
∵
∴
∵AB平分∠CAD，
∴
∴
∴AD//OB,
∵AD⊥CB,
∴OB⊥CB,
∴OB是☉O的半径，
∴BC与☉O相切；
(2)
∴
∵AD//OB,
∴
∴,
∵
∴
∴☉O的半径长为
5.解析：（1）如图，连接OE．
∵
∴
∴
∴
（2）证明：如图，由（1）知
∴
∵
∴
又∠C=64°
∴∠ABC=180°－∠BAC－∠C=90°即AB⊥BC
又OB是☉O的半径
∴CB为☉O的切线
解析：（1）∵PC与☉O相切于点C，
∴OC⊥PC，
∴
∵
∴
∵ ∴
∴ ∴
∴
（2）连接DE，∵CD是直径，∴
∵点E是弧BD的中点，∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴☉O的直径为
解析：（1）证明：如图，连接BD,OD,
∵BC是☉O的直径，
∴，即BD⊥CD,
∵
∴
又∵
∴OD是ΔABC的中位线，
∴OD//AB,
∵B ,
∴FD⊥OD,
∵OD是半径，
∴DF是☉O的切线；
（2）由，可设则
∴
∵ BD⊥AC
∴
∵
∴ΔBED~ΔBDC,
∴
即
解得
经检验， 是原方程的解，
∴
∴
∵OD//BE,
∴~FEB
∴
即
解得
解析：（1）证明：连接OD，则
∴
∵☉O的圆心O在AC上，且与边BC相切于点D，
∴BC⊥OD,
∴
∵
∴
∴
∵OA是☉O的半径，且AB⊥OA，
∴AB是☉O的切线.
(2)∵
∴
∵AE是☉O的直径，
∴
∴
∵
∴
∵
∴ΔCDE~ΔCDA
∴
∴
∵
∴
解得
∴☉O的半径长为3．
解析：（1）证明：过A作直径AM，
∵
∴ C,
∴
∵
∴
∴
∵
∴,
∴
∴
(2)∵
∴
设
∴
∵
∴
∴
如图：连AE，
∵EC，又EF过圆心，
∴EF垂直平分AC，
∴
∵
∴
∴AM垂直平分EG，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
（3）答：当
当，BE随CG的增大而增大；
，BE随CG的增大而减小．
说明：①，即点E与B重合，
在ΔBOH和ΔAOD中，
∵
∵
∵
∴
∴
∴
∴
∴ΔABC为等边三角形，
∴
∴
∴
∴
②当
∵
∴ΔACH~ΔECD
∴
∴
∴
∴
∴BE随CG的增大而增大.
③，如图，
∵
∴
∴ΔAMC~ΔECD
∴
∴
∴
∴
∴BE随CG的增大而减小.
综上所述：
当
当，BE随CG的增大而增大；
，BE随CG的增大而减小．
解析:（1）证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴
∵
∴
∴
∴O
∵OC是☉O的半径，
∴直线CD是☉O的切线.
(2)∵
∴
∴
在RtΔOCD中，
，
∴，解得
∴阴影部分的面积
解析：（1）证明：连接OD，
∵DE⊥CB,
∴
∵BD平分∠ABE，
∴
∵
∴
∴
∴OD//BE,
∴
∵OD是☉O的半径，
∴DE是☉O的切线；
（2）连接OC，过点O作OF⊥BC，垂足为F，
∵
∴ΔOBC是等边三角形，
∴
在Rt▲DBF中，
∴
∴图中阴影部分的面积＝扇形BOC的面积-ΔBOC的面积
∴图中阴影部分的面积为
解析：（1）证明：∵
∴
∴BD平分∠ADC，
∵BD平分∠ABC，
∴
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴
∴
∴
∴
∴
(2)∵DE,
∴
∴
∵
∴BD是圆的直径，
∴BD垂直平分AC，
∴
∵
∴ΔACD是等边三角形，
∴
∵
∴
∵CF// AD,
∴
∴
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵BD是圆的直径，
∴圆的半径长是4．
解析：（1）证明：如图，连接OD，
∵
∴
∵
∴∠B
∴
∴AC//OD,
∵DF⊥AC,
∴OD⊥DF,
∵OD是☉O的半径，
∴DF是☉O的切线；
（2）如图，连接AD，
设☉O的半径为r，
在RtΔCED中，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵AC//OD，O为AB的中点，
∴OD是ΔABC的中位线，
∴D是BC中点，
∴
∵AB是☉O的直径，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴阴影部分的面积＝四边形AODE的面积-扇形AOD的面积
解析：（1）证明：连接OC，
∵点C是弧AE的中点，
∴
∵
∴
∴
∴OC//DB,
∵PD⊥BD,
∴PD⊥CO,
∴PC为☉O的切线；
（2）连接AE，设
∵
∴
∵
∴
∵0C //DB,
∴B
∴
∴
∴
∴AB是☉O的直径，
∴AE ⊥BD,
∴
∴
∴
解析：（1）证明：如图，设圆心为点O，连接OC．
∵弧AC所对圆心角的度数为120°，
∴
∵
∴
∵
∴
∴OA⊥AD
∵
∴AB是☉O的直径.
∴OA是☉O的半径.
∴AD是ΔABC外接圆的切线.
（2）连接OE．
∵
∴
∵
∴
∴
∴
解析：（1）证明：∵OC⊥AB，OC是☉O的半径
∴，
∴
(2)∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
解析：（1）证明：连接OD，
∵
∴
∵
∴
∵B
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵OD是☉O的半径，
∴PD是☉O的切线；
(2)∵
∴
在Rt▲PFC中，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
解析：（1）证明：如图，连接BD，OA，
∵☉O与PN相切于点A，
∴OA⊥PA,
∴
∵BC是☉O的直径，
∴
∵CD//PN,
∴
∴
∴
∴
（2）如图，过点O作OH ⊥CE于点H，
∵CE⊥PN,OA⊥PA,
∴
∴四边形OAEH是矩形，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵CDIIPN, CE⊥PN,
∴C
∴
解析：（1）证明如图，连结OD，
∵半圆O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB,
∵
∴
在RtΔODB和OCB中
∵
∴
∴
（2）解如图，∵
∴
∵
∴
在RtΔOBC中，
∵
∴
在t▲ABC中
解析：（1）证明：如图，连结OD．
∵BD是圆O的切线，D为切点，
∴
∵
∴
∴
(2）①
∴
∵
∴
∴
∵
∴
在RtΔODA中，
∴
∵
∴
∴
∴半圆O的半径为2．
②在RtΔODA中，
∴
∴
∵
∴
∴
解析：（1）证明：连接OA，过点O作OM⊥AC于点M ，如图：
∵，点O是BC的中点，
∴AO为∠BAC的平分线，
∵☉O与AB相切于点D，DG是☉O的直径，
∴OD为☉O的半径，
∴OD⊥AB,
又∵OM⊥AC，
∴
即OM为☉O的半径，
∴AC是☉O的切线；
（2）过点E作EN⊥AB于点N，如图：
∵点O为☉O的圆心，
在ΔODE和ΔOGF中，
∵
∵
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵点O是BC的中点，
∴
∵
∴
∵GH⊥AC,EN⊥AB,
∴
在ΔE和ΔCHF中，
∵
∵
∵
∴
∴
在RtΔDEN中，
∴
∴锐角
由（1）可知：OD⊥AB，
∴
∵
∴ΔODE为等边三角形，
∴
∴

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