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专题07 函数与导数常考压轴解答题
目 录
01 含参数函数单调性讨论
02 导数与数列不等式的综合问题
03 双变量问题
04 证明不等式
05 极最值问题
06 零点问题
07 不等式恒成立问题
08 极值点偏移问题与拐点偏移问题
09 利用导数解决一类整数问题
10 导数中的同构问题
11 洛必达法则
12 导数与三角函数结合问题
01 含参数函数单调性讨论
（2023·全国·高三专题练习）
1．已知函数.讨论函数的单调性.
（2023·全国·高三专题练习）
2．已知函数，讨论的单调性．
02 导数与数列不等式的综合问题
（2023·广东·高三执信中学校联考期中）
3．设函数，，．
(1)求函数的单调区间；
(2)若对任意，函数均有2个零点，求实数m的取值范围；
(3)设且，证明：．
（2023·全国·模拟预测）
4．已知函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若，且，求证：．
（2023·河北张家口·高三校联考阶段练习）
5．已知函数.
(1)若曲线在处的切线与直线平行，求函数的极值；
(2)已知，若恒成立.求证：对任意正整数，都有.
03 双变量问题
（2023·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考期中）
6．已知函数
(1)若，证明：在上恒成立；
(2)若方程有两个实数根且，证明：
（2023·四川成都·高三校联考阶段练习）
7．已知函数，其中．
(1)当时，求证：在上单调递减；
(2)若有两个不相等的实数根．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：．
（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）
8．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)设函数，当有两个极值点时，总有成立，求实数的值．
04 证明不等式
（2023·山东青岛·高三统考期中）
9．已知函数（……是自然对数底数）．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：．
（2023·陕西西安·校联考模拟预测）
10．已知函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)当，时，证明：.
（2023·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）
11．已知，是的导函数，其中．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，与x轴负半轴的交点为点P，在点P处的切线方程为．求证：对于任意的实数x，都有.
05 极最值问题
（2023·广东韶关·统考一模）
12．已知函数.
(1)若在处的切线与的图象切于点，求的坐标；
(2)若函数的极小值小于零，求实数的取值范围.
（2023·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）
13．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，求的最小值.
（2023·四川成都·统考二模）
14．已知函数.
(1)求在处的切线方程；
(2)若是的最大的极大值点，求证：.
06 零点问题
（2023·全国·模拟预测）
15．已知函数．
(1)曲线在点处的切线方程为，求实数的值．
(2)在（1）的条件下，若，试探究在上零点的个数．
（2023·四川南充·阆中中学校考一模）
16．已知函数
(1)当时，求在上的最小值；
(2)若在上存在零点，求的取值范围.
（2023·全国·模拟预测）
17．已知函数，其中，e为自然对数的底数.
(1)若，求的图象在点处的切线方程；
(2)若对任意，不等式，求a的取值范围；
(3)若，，判断方程的解的个数，并说明理由.
（2023·安徽·高三校联考阶段练习）
18．已知函数．
(1)当时，过点与函数相切的直线有几条？
(2)若有两个交点，求实数的取值范围．
（2023·全国·模拟预测）
19．已知函数．
(1)求的最值；
(2)若方程有两个不同的解，求实数a的取值范围．
07 不等式恒成立问题
（2023·海南·校联考模拟预测）
20．已知函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
（2023·河北·校联考模拟预测）
21．已知函数，．
(1)若的最大值是0，求的值；
(2)若对任意，恒成立，求的取值范围．
（2023·河南·高三校联考期中）
22．已知函数．
(1)若在区间上无零点，求实数m的取值范围；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
（2023·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）
23．已知函数.
(1)求的单调区间，
(2)当时，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
08 极值点偏移问题与拐点偏移问题
24．已知函数，（且）为定义域上的增函数，是函数的导数，且的最小值小于等于0.
（1）求的值；
（2）设函数，且，求证：.
25．已知函数，其定义域为.（其中常数，是自然对数的底数）
（1）求函数的递增区间；
（2）若函数为定义域上的增函数，且，证明: .
（2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）
26．已知函数，a为实数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：．
（2023·吉林长春·高二长春十一高校考期末）
27．已知函数，．（为自然对数的底数）
(1)当时，求函数的极大值；
(2)已知，，且满足，求证：．
（2023·辽宁·高二统考期末）
28．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：.
09 利用导数解决一类整数问题
（2023·浙江台州·统考一模）
29．设
(1)求证：；
(2)若恒成立，求整数的最大值．（参考数据，）
（2023·安徽·高三合肥一中校联考阶段练习）
30．已知．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个零点，求整数的最大值．
（2023·全国·高三专题练习）
31．已知函数的定义域为．当时，若在上恒成立，求整数的最大值．
（注释：其中为自然对数底数，）
（2023·全国·高三专题练习）
32．已知函数，．
(1)求函数的极值；
(2)若m为整数，对任意的都有成立，求实数m的最小值．
10 导数中的同构问题
33．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）设，若对任意、，且，都有，求实数的取值范围.
34．已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）求证：若对恒成立，则；
（3）设，对任意的，都有成立，求实数的取值范围．.
35．已知函数，，．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若，且对任意，，都有，求实数的取值范围．
36．已知函数和有相同的最大值.
(1)求a；
(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
11 洛必达法则
37．已知.
（1）求的单调区间；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
38．已知函数.
（1）若函数在点处的切线经过点，求实数的值；
（2）若关于的方程有唯一的实数解，求实数的取值范围.
39．已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)求实数的值；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
12 导数与三角函数结合问题
（2023·江西景德镇·高一统考期中）
40．已知.
(1)求函数的值域；
(2)当时，
①讨论函数的零点个数；
②若函数有两个零点，，证明 .
（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）
41．已知，．
(1)求在处的切线方程；
(2)求证：对于和，且，都有；
(3)请将（2）中的命题推广到一般形式，井用数学归纳法证明你所推广的命题．
（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）
42．已知函数.
(1)，求实数的值；
(2)若，且不等式对任意恒成立，求的取值范围；
(3)设，试利用结论，证明：若，其中，则.
（2023·湖北孝感·高三校联考阶段练习）
43．已知：函数，且，.
(1)求证：；
(2)设，试比较，，，的大小.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．答案见解析
【分析】求出函数的定义域以及导函数，然后分，，三种情况，根据导函数，即可得出函数的单调性.
【详解】由已知可得，，定义域为，
所以.
（ⅰ）当时，.
当时，有，在上单调递增；
当时，有，在上单调递减.
（ⅱ）当时，，
解，
可得，或（舍去负值），且.
解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增；
解可得，，所以在上单调递减.
（ⅲ）当时，在上恒成立，
所以，在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增.
2．答案见解析
【分析】对函数求导，讨论，研究导数符号确定区间单调性.
【详解】由题设且，
当时在上递减；
当时，令，
当时在区间上递减；
当时在上递增．
所以当时，的减区间为，无增区间；
当时，的增区间为，减区间为.
3．(1)答案详见解析
(2)
(3)证明详见解析
【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论来求得的单调区间.
（2）有（1）得到的单调性，根据的极大值大于零列不等式，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围.
（3）转化要证明的不等式，结合（2）的结论来证得不等式成立.
【详解】（1）的定义域为，其中，
，
当，即时，恒成立，在上单调递增.
当，即时，令解得，
在区间上单调递增；
在区间上单调递减.
综上所述，时在上单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）得，时，在上单调递增，在上单调递减.
依题意可得对任意，均有恒成立，
即
恒成立，
设，
，
令解得，
所以在区间上，单调递增，
在区间上，单调递减，
所以.
所以.
对于函数
当和时，，所以，
结合零点存在性定理可知，此时有两个零点.
所以实数m的取值范围是.
（3）要证明，
即证明，
即证明，
即证明，
注意到
，
所以即证明，
由（2）得，
即，
取代入上式，
得：，，
所以，
所以.
【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.
4．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案；
（2）首先求出在处的切线方程，由此可构造函数，利用导数判断其单调性，从而证明，再分别令，采用累加法即可证明结论.
【详解】（1）由可得，
所以在处的切线斜率，
且，故所求切线方程为．
（2）设在处的切线斜率为k，
由（1）得，
且，故在处的切线方程为，
设，则．
设，则．
因为，所以，仅在时取等号，故在上单调递增．
列表如下．
单调递减 极小值 单调递增
所以，即．
令，其中，且，
则有，，…，，
累加得，
即，
取，即得，
当时，显然满足题意，
综上可得.
【点睛】关键点睛：要证明不等式，可分析观察其结构特点，可猜想到累加法，但关键的一步在于能想到和切线相关的不等式，即，因此需要先求得在处的切线方程，继而构造函数，利用其单调性或最值证明该不等式即可.
5．(1)极大值为，无极小值
(2)证明见解析
【分析】（1）对求导，由导数的几何意义可得，代入，即可求得的单调性和极值.
（2）将不等式变形为，令，分离参数后构造函数，转为为求解的最大值，即时，恒成立，令，则，然后结合对数运算性质可求.
【详解】（1）由，可得，
由条件可得，即.
则，
令可得，当时，，当时，.
在上单调递减，在上单调递增，
的极大值为，无极小值.
（2），即对任意的恒成立，
即，其中，
令，则，即，
构造函数，则，令，得，列表如下：
+ 0 -
极大值
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，，
即时，恒成立，
取，则对任意的恒成立，
令，则，
所以，
所以，即.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
6．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）即证，构造，即可证明；
（2）分别利用切线放缩进行证明即可.
【详解】（1）因为，，令
所以，
下证，
令，
则，
当时,，当，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以在上恒成立
（2）证明：先证右半部分不等式： ；
因为，，
所以；
可求曲线在和处的切线分别为和；
设直线与直线，函数的图象和直线交点的横坐标分别为
则
则；
因此.
再证左半部分不等式：.
设取曲线上两点，
用割线，来限制，
设直线与直线的交点的横坐标分别为，
则，且，
所以.
综上可得成立
【点睛】方法点睛：导数证明不等式的方法常有：
（1）最值法：移项构造函数，通过求解最值来证明；
（2）放缩法：通过构造切线或割线，利用切线放缩或者割线放缩来证明.
7．(1)证明见详解
(2)（i），（ii）证明见详解
【分析】（1）当时，利用导数可证明函数单调性；
（2）（i）方程有两个不等的实数根，即有两个不等的实数根，令，利用导数研究单调性，求出最值可得解；
（ii）要证，即证，又，，即证，可得，
令，即证，构造函数，利用导数可证明.
【详解】（1）当时，，，令，，
令，得，，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
，即，
所以函数在上单调递减.
（2）（i）有两个不相等的实数根，，即方程有两个不相等的实数根，，
令，，
，当时，，即函数在上单调递减，函数至多一个零点，不合题意；
当时，，，，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
，函数有两个零点，则，解得，
又，，不妨设，，
所以实数的取值范围为.
（ii）要证，即证，
又，，，即证，
将，两式相减可得，，
只需证，
即证，令，即证；
设函数，，则，
所以函数在上单调递增，则，即，
所以原不等式得证.
【点睛】方法点睛：本题第二问的第2小问是双变量不等式问题，利用导数解决的方法如下：
（1）变更主元法：对于题目涉及到的两个变元，，已知其中一个变元在题设给定的范围内任意变动，求另一外变元的取值范围问题，可以构造关于（或）的一元函数，利用导数判断单调性，最值求解证明.
（2）换元法转化为单变量：通过对所要证明式子结构特征的分析，做适当的变形，通过换元将双变量问题转化为单变量问题来解决，如指数型函数构造差值，对数型函数构造比值化双变量为单变量问题，从而构造函数求解；
（3）放缩法：通过巧妙的放缩变换，将给定的不等式转化为更易证明的形式，常见的放缩有加减放缩，乘除，取对数，去倒数，切线放缩等.
8．(1)单调递增，单调递减
(2)
【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；
（2）求出，由有两个不等实根，结合判别式韦达定理得且，所以．不等式中消去得关于的不等式，分离参数转化为求函数的最值，从而得出结论．
【详解】（1）时，函数的定义域为
由解得．
当时，在单调递减；
当时，在单调递增．
（2），则．
根据题意，得方程有两个不同的实根，
，即且，所以．
由，可得
又
总有对恒成立．
①当时，恒成立，此时；
②当时，成立，即
令函数，则在恒成立
故在单调递增，所以．
③当时，成立，即
由函数，则，解得
当时，单调递增；当时，单调递减又，当时，
所以．
综上所述，．
【点睛】方法点睛：有关极值点与其他参数的等式或不等式问题，一般可能利用消参数法减少参数个数，方法是利用极值点是导函数为0的零点，有时还可结合韦达定理得出它们的关系，然后用代入法消参数．最终转化为求函数的最值等问题．
9．(1)函数在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）求得导函数后，利用函数的增减性考查导函数的正负，即可求得单调区间；
（2）利用导数考查函数单调性，求得函数的最小值点，对于，构造函数，利用函数的单调性结合不等式的等价变形，即可证明.
【详解】（1）当时，，
∴，
令，显然在单增，且，
所以当时，，；当时，，；
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
（2），
令，，则，
所以在上单调递增，
∵，又，，
所以，又，
故，使，即，
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值；
所以，
又，∴，
∴，
令，显然在单调递增，
∴，
要证，即证，
即，即，
令，，则，
当时，，
所以在上单调递减，∴，
所以，故．
【点睛】关键点睛：本题有两个关键点：一是确定函数隐零点的范围，从而求得函数的最值点；二是构造函数，利用其单调性确立不等关系.
10．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，得到，利用导函数的几何意义得到切线方程；
（2）令，求导后放缩得到，构造，二次求导，得到函数单调性，结合特殊点函数值，得到在上恒成立，在上单调递增，得到，证明出结论.
【详解】（1）因为，所以.
，
故曲线在处的切线方程为，
即.
（2）证明：令，
则.
因为，所以.
令，则.
令，则.
当时，单调递增，故，
即在上恒成立，则在上单调递增，则，
即在上恒成立，则在上单调递增，
故，即.
【点睛】导函数证明不等式，常常利用放缩法，常用的放缩有切线放缩或参数放缩，消去参数后，构造函数，利用导函数得到函数的单调性，结合特殊点的函数值，可大大减少难度.
11．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数与单调性的关系求解；
（2）利用导函数与单调性、最值的关系证明不等式.
【详解】（1）由题意得，令，则，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，得，，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：由（1）可知，
令，有或，
故曲线与x轴负半轴的唯一交点P为．
曲线在点处的切线方程为，
则，
令，则，
所以，
当时，若，，
若，令，
则，
故在时单调递增，．
故，在上单调递减，
当时，由知在时单调递增，，在上单调递增，
所以，即成立．
12．(1)
(2)
【分析】（1）由导数的几何意义可解；
（2）求导得，对a进行分类讨论即可.
【详解】（1）.所以即切线斜率为，
又，所以，令解得，
则，故点坐标为.
（2），
因为，
令得，
①当由的变化可得
1
+ 0 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
符合题意；
②当由的变化可得
1
0 + 0
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
不符合题意；
③当，，单调递减，没极值点；
④当，由的变化可得
1
0 + 0
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
，
解得；
综上所述，.
【点睛】关键点睛：本题主要考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的极值，注意分类讨论思想的应用，本题难点在于a的范围的划分，属于常考题型.
13．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负，即可得出原函数的增减性；
（2）等价变形，构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，即可求出最值.
【详解】（1）因为定义域为，则，
当时，令，解得，令，解得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，令，解得，令，解得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
综上，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）因为，所以，
所以，即
令，则有，
设，则，由得
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，即，又因为，
所以，当且仅当时等号成立
所以，从而，所以原式
设，则，由得
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，所以所求最小值为.
14．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，根据导数值即可求解，
（2）先对上考虑导函数的正负确定单调性，进而考虑上导函数的正负，结合零点存在性定理即可确定函数的极值点求证.
【详解】（1）∵，∴
又，所以在处的切线方程为，
（2）由（1）得，所以，
当时，，所以在无极大值点.
当时，令，则在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，即，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
又，，
所以当时，，即，
所以是的极小值点，在内无极大值点
∵，，
所以存在，使得，即，即，
当时，；当时，，
所以是的极大值点，也是的最大的极大值点.
因为在上单调递减，所以，
.
所以
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数；
(3)利用导数研究的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
15．(1)
(2)只有1个零点
【分析】（1）求导，再利用导数的几何意义求解；
（2）由（1）知，再利用导数法求解.
【详解】（1）解：由，
得，则有
所以切线方程为．
又因为曲线在点处的切线方程为，
所以．
（2）由（1）知，
则．
令，则．
当时，，则单调递减，
所以．
所以在上单调递增．
当时，；当时，．
所以在上存在零点，且只有一个零点．
当时，，则单调递减，，，
所以存在，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减．
而，所以在上无零点．
综上，在上只有1个零点．
16．(1)0；
(2).
【分析】（1）对函数式进行两次求导分析即得；
（2）对于含参数函数的零点问题，常常考虑运用分析讨论法，即对导函数中的参数进行分类逐个分析，找到符合题意的情况即得.
【详解】（1）当时，， ，
，
令，，，
则在上是增函数，则>0，所以，
即在上是增函数，则.
（2）， ，
，
令，，，
（1）当时，，则在上是减函数，则，
①若，易得，则在上是减函数，，不合题意；
②若，因，，则根据零点存在定理，必，使，即，
变化时，，的变化情况如下表：
0
单调递增 极大值 单调递减
则，故要使函数在上存在零点，需使，即；
（2）当时，，而，
当时，，
故在上是增函数，，不合题意；
（3）当时，在上是增函数，在上是增函数，
则在上是增函数，，不合题意，
综上所述，的取值范围是.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）分析讨论法：对含参函数的导函数进行分类讨论，逐个判断求得；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
17．(1)
(2)
(3)方程的解有2个，理由见解析
【分析】（1）利用函数求切线的方法即可求得；
（2）不等式恒成立问题，则可以通过求函数的最小值即可求得参数范围；
（3）通过判断函数的单调区间来判断函数零点的个数即可.
【详解】（1）若，则，
，，，
故的图象在点处的切线方程为.
（2）（1）当时，，所以.
（2）当时，恒成立，
令，则.
令，
，，，易知，
所以，在上单调递增，，即.
综上，a的取值范围是.
（3）设，，
①当时，单调递增，，单调递减，
所以在上单调递增，
又，，
故在上有1个零点.
②当时，，单调递增，
所以；
，单调递增，又，
所以，故在上无零点.
③当时，，在上单调递减，
易知单调递增，从而在上单调递减，
又，，
所以在上有1个零点.
综上，在上有2个零点，即所求方程的解有2个.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式恒成立问题与函数零点问题，要对函数的导函数进行分析，恒成立问题关键在于找函数的最值，函数零点问题关键在于判断出函数的单调区间，同时要根据零点存在性定理来判断是否存在零点.
18．(1)2条；
(2).
【分析】（1）设切点为，利用导数几何意义求得对应切线方程，结合已知点在切线上有，构造，应用导数研究函数的零点个数，即可得结果；
（2）问题化为有两个零点，利用导数并讨论参数a研究零点个数，进而确定参数范围.
【详解】（1）当时，函数，设切点为，
因为，所以；
所以切线方程为，
因为切线过点，所以，
化简得：，即；
记，则，
令，解得或；
当时，所以在上单调递增，
当时，所以在上单调递减，
当时，所以在上单调递增；
，，当趋向时，故在无零点，
，故在内有1个零点，
，故在内有1个零点，
综上，有2个零点，即过点与函数相切的直线有2条．
（2）令，
则有两个交点等价于有两个零点，
易得，
当时，在上单调递增，则至多有一个零点，
因此，令，则，
所以在上单调递增，且，
所以存在，使得，则，
当时，，即，所以在上单调递减，
当时，，即，所以在上单调递增；
因此，，且，
所以，则，
故；
当时，，则在上没有零点，不符合；
当时，，则在上只有一个零点，不符合；
当时，；则在上有两个零点，又，
此时，所以，
因为，
所以在上有且只有一个零点，即在上有且只有一个零点；
易得，
设，则，易知在上递增，
则，故在上单调递增，
则，故，
所以在上有且只有一个零点，即在上有且只有一个零点，
综上，实数的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：第二问，构造研究有两个零点情况下参数的范围，综合应用导数、零点存在性定理和分类讨论求参数范围.
19．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）首先对求导，利用导数研究函数的单调性，可得函数的最值；
（2）构造函数，先将方程有两个不同的解的问题转化为函数有两个不同的零点问题．再对a进行分类讨论，根据函数单调性结合零点存在定理求解．
【详解】（1）由题意可得：，令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以的最小值为，无最大值．
（2）令，
则，
若方程有两个不同的解，则有两个不同的零点．
（ⅰ）若，则，由得．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为．
①当时，，即，故没有零点，不满足题意；
②当时，，只有一个零点，不满足题意；
③当时，，即，
当时，，，
又因为，故，所以，
又，
故在上有一个零点．
设，
则，单调递增，所以，
故当时，，
又，所以，因此在上有一个零点，
所以当时，有两个不同的零点，满足题意；
（ⅱ）若，则由得，．
①当时，，
当时，；当时，；当时，．
所以在和上单调递减，在上单调递增．
又，
所以至多有一个零点，不满足题意；
②当时，，则，
所以单调递减，至多有一个零点，不满足题意；
③当时，，
当时，；当时，；当时，．所以在和上单调递减，在上单调递增，
又，所以至多有一个零点，不满足题意；
综上，实数a的取值范围为．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法
（1）直接法：直接根据题设条件对参数进行分类讨论，通过研究函数的零点情况来确定参数的取值范围．
（2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题．
（3）数形结合法：先对解析式变形，将函数的零点问题转化为两函数图象的交点问题，再在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
20．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）当时，对求导，令，讨论与的大小可得，即，即可得出函数的单调性；
（2）由题意可得在上恒成立，设，只需，求解即可得出答案.
【详解】（1）当时，，所以，
令，
可得，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以当时，取得极大值，也为最大值，且，
所以，所以在上单调递减.
（2）由，得，
即在上恒成立.
令，可得，
令，可得，
令，可得；
令，可得，
所以在单调递减，在单调递增，
又，
所以在中存在唯一的使得，
在中存在唯一的使得，
即有.
因为在单调递减，在单调递增，
所以当时，；当时，；
当时，；当时，.
又，
所以当时，；当时，；
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
在单调递减，在单调递增，
所以时，的极小值为
时，的极小值为
因为，
可得，所以，
所以.
代入和，
则有，
同理可得，
所以，
所以，
所以，即实数的取值范围为
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式恒成立问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
21．(1)-1
(2)
【分析】（1）利用导数分和讨论函数最大值，从而求解；
（2）分离参数得，设，利用导数求函数的最小值，可得的取值范围．
【详解】（1）的定义域为，．
若，则，在定义域内单调递增，无最大值；
若，则当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，取得极大值，也是最大值，
为，解得，
显然符合题意，所以的值为
（2）对任意恒成立，
即在上恒成立．
设，则．
设，则，
所以在上单调递增，且，，
所以有唯一零点，且，
所以．
构造函数，则.
又函数在上是增函数，所以．
由在上单调递减，在上单调递增，得，
所以，所以的取值范围是
【点睛】由不等式恒成立问题求参数思路点睛：分离参数；构造函数；求函数的最值（利用导数或函数的单调性等）
22．(1)
(2)
【分析】（1）将变量分离出得在区间无解，求得的值域，即可求解；
（2）根据时求得m的取值范围，再证时也成立，即，应用放缩法，先证，再证，构造函数结合导数即可证明..
【详解】（1）令，得，令，
则，
当时，，，故，
则在区间上单调递减，
因为，当时，，
故实数m的取值范围为．
（2）依题意在时恒成立，
令，解得．
下证当时，不等式在时恒成立．
先证明：当时，．
令，则，
令，则，
易知，所以在上单调递增，，即，
所以在上单调递增，得，即当时，．
再证明：当时，，（*）
因为当时，，故只需证明．
令，
则．
①当时，，在上单调递增，
；
②当时，由知，
所以，
所以（*）成立．
综上所述，实数m的取值范围为．
【点睛】证明不等式恒成立，结合常用的指对不等式进行适当放缩是比较常用的方法.
23．(1)答案见解析
(2).
【分析】（1）求出，分、 、、讨论可得答案；
（2）由已知整理得，构造函数，利用的单调性可得，令，再利用的单调性求得最值可得答案.
【详解】（1），
当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，令，得或，令，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
当时，恒成立，则在上单调递增，
当时，令，得或，令，得，
在和上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2），即，
整理得，因为，所以，
令，
因为，所以在上单调递减，
因为，所以，所以，
因为，所以，令，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，即实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：第二问的关键点是构造函数，利用的单调性可得，再构造函数.
24．（1）;（2）见解析.
【详解】试题分析：（1）由为增函数可得，恒成立，可转化为恒成立，求的最小值.可得的值.
（2）由，可得，
令，构造并求值域，可得，解不等式可得.
试题解析：（1），
由为增函数可得，恒成立，则由 ，设，则，若由和可知 在 上减，在 上增，在1处取得极小值即最小值，所以，所以，当时，易知，当时，则，这与矛盾，从而不能使得恒成立，所以.
由可得，，即，由之前讨论可知，，当时， 恒成立 ，当时，，综上.
（2），因为，所以，所以
，，
所以，
令，，，在上增，在上减，，所以，整理得，解得或（舍），所以得证.
25．（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）求函数求导，对参数的取值进行分类讨论，即可求得在不同情况下函数的单增区间；
（2）根据（1）中所求，求得的范围，再构造函数，通过讨论其单调性和最值，即可容易证明.
【详解】（1）易知，
①若，由解得，∴函数的递增区间为；
②若，则
1
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴函数的递增区间为和；
③若，则，∴函数的递增区间为；
④若，则
1
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴函数的递增区间为和；
综上，若，的递增区间为；
若，的递增区间为和；
若，函数的递增区间为；
若，函数的递增区间为和.
（2）∵函数为上的增函数，∴，即，
注意到，故，
∴不妨设，
欲证，只需证，只需证，
即证，即证，
令，，只需证，
∴ ，
下证，即证，
由熟知的不等式可知，
当时，即，
∴ ，
易知当时，，∴，
∴，
∴，即单调递增，即，从而得证.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究极值点偏离问题，注意构造函数即可，属中档题.
26．(1)
(2)单调递增区间为，单调递减区间为
(3)证明过程见解析
【分析】（1）求出，求导，得到，进而由导函数的几何意义求出切线方程；
（2）求定义域，求导，解不等式，求出单调区间；
（3）先令，求导得到其单调性，求出，进而构造差函数，证明出极值点偏移问题.
【详解】（1）当时，，，
，故，
故函数在处的切线方程为，即；
（2）定义域为，
，
令，解得，令，解得，
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
（3）由题意得，解得，
故，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
可知函数在处取得极值，故符合题意，
因为，，
令，，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且当时，恒成立，，当时，，
画出的图象如下：

故，
令，，
则，
因为，所以，，
故在上单调递减，
又，故在上恒成立，
即，，
因为，所以，
其中，故，
其中，，在上单调递增，
故，即，
令，，
则
，
当时，所以单调递增，
由复合函数可得在上单调递增，
又，
故存在，使得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，，
故当时，恒成立，
因为，故，即，
又，故，
其中，，在上单调递增，
故，故，
综上，.
【点睛】关键点睛：极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，需要先研究出两个变量的取值范围，若原函数较复杂，可先进行变形，再求导，得到其单调性，构造出的差函数，研究其单调性，往往会和基本不等式，复合函数单调性等知识结合.
27．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）运用导数研究的单调性，进而求得其最大值.
（2）同构函数，转化为，结合换元法，分别讨论与，当时运用不等式性质即可证得结果，当时运用极值点偏移即可证得结果.
【详解】（1）当时，，定义域为，
则，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值为；
（2）由题意知，，由可得，
所以，令，
由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，则，
令，，又，，所以，，则，
①若，则，即，所以；
②若，设，且满足，如图所示，

则，所以，下证：．
令，，
则，
所以在上单调递增，所以，
所以，即，
又因为，所以，，，
所以，即，
又因为，所以，即．
由①②可知，得证.
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式：
1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；
2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；
3.若函数存在两个零点且，令，求证：；
4.若函数中存在且满足，令，求证：.
28．(1)结论见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，再按分类探讨的正负作答.
（2）等价变形给定等式，结合时函数的单调性，由，，再构造函数，，利用导数、均值不等式推理作答.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得则，由得，
若，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，
若，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减；
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）由，两边取对数得，即，
由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
，而，时，恒成立，
因此当时，存在且，满足，
若，则成立；
若，则，记，，
则，
即有函数在上单调递增，，即，
于是，
而，，，函数在上单调递增，因此，即，
又，则有，则，
所以.
【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.
29．(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）将问题转化成求证，，构造函数，通过求导，利用导数与函数单调性间的关系，得出的单调区间，从而求出的最小值，即可证明结果；
（2）通过取值，得出，再利用（1）结果，证明时，，再通过构造函数，求出函数最值即可得出结果.
【详解】（1）要证：，（，），
只要证：，又当时，，当时，，
即与同号，故只要证：，即证：，
令，（，），则，
当时，，时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，故原不等式得证．
（2）因为，当时，有，
则，所以整数．
当时，由（1）可得，
下证：，，只要证：．
令，，
因为，
所以在上单调递减，故，所以得证,
综上所述，整数的最大值为2．
【点睛】证明不等式或恒（能）成立问题，常通过构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，将问题转化成求函数最值.
30．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导可得分两种情况讨论，由导数与单调性的关系即可得解；
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以至多有一个零点．要使函数有两个零点，则，且，令，结合单调性即可得解.
【详解】（1）．
当时，，则在上单调递增；
当时，令，可得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
（2）由（1）得，当时，在上单调递增，所以至多有一个零点，
要使函数有两个零点，
则，且，
令，则，
令，则，
∴即在上单调递减．
∵，，
∴，使得，
且在上单调递增，在上单调递减，
当时，，
且，
且，
所以函数有两个零点，符合题意；
当时，，不符合题意,
所以整数a的最大值为-2．
31．1
【分析】由题可得，根据特值可得，然后构造函数，根据导数证明即得.
【详解】当时，，恒成立，即，恒成立，
当时，；当时，，
则为不等式恒成立的必要条件，又，下证，当时，，
设，，
所以函数单调递增，则，所以恒成立，
故整数的最大值为1．
32．(1)极大值是，函数无极小值．
(2)1．
【分析】（1）先利用导数判断单调性再求极值即可；
（2）先构造函数求导数，再对m进行分类讨论求最大值，再构造函数判断单调性求的最小整数，从而得到实数m的最小值．
【详解】（1）由（），
得（），令，解得，令，解得，
∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是，
故函数的极大值是，函数无极小值．
（2）设，
则（）.
当时，，，，
∴，故在上单调递增，
又，不满足题意，∴舍去．
当时，令，得，令，得，
故在上单调递增，在上单调递减，
的最大值．
令（），显然在上单调递减，
且，，
故当时，，满足题意，故整数m的最小值为1．
【点睛】两招破解不等式的恒成立问题.
（1）分离参数法:
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法:
第一步:将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解.
33．（1）见解析；（2）.
【分析】（1）求出函数的定义域和导数，然后分和两种情况讨论，分析在的符号，可得出函数的单调区间；
（2）设，由函数和在上的单调性，将不等式等价转化为，并构造函数，将问题转化为函数在上是减函数，然后由在上恒成立，结合参变量分离法可求出实数的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，.
当时，恒成立，此时，函数在上单调递增；
当时，由得；由得.
此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）时，函数在上递增，在上递减，
不妨设，则，，
等价于，
即，令，
等价于函数在上是减函数，
，即在恒成立，
分离参数，得，
令，，在上单调递减，
，，又，故实数的取值范围为.
【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究双变量不等式，解题的关键就是将双变量不等式转化为函数单调性来处理，考查化归与转化思想，属于中等题.
34．（1）极小值为a﹣1﹣alna；（2）证明见解析；（3）[﹣3，0）.
【解析】（1）求出原函数的导函数，然后对分类求解函数的极值；
（2）由（1）知，当时，函数在上是增函数，而（1），可得当时，，与恒成立相矛盾；当时，函数在上是增函数，在上是减函数，结合（1），可得若对恒成立，则；
（3）设，则等价于函数在区间，上是减函数即使在，上恒成立，然后利用分离法将分离出来，从而求出的范围．
【详解】（1），
若，则在上恒成立，在上单调递增，原函数无极值；
若，则当时，，当时，，
在上为减函数，在上为增函数，
则的极小值为（a）；
（2）由（1）知，当时，函数在上是增函数，
而（1），当时，，与恒成立相矛盾，
不满足题意；
当时，函数在上是增函数，在上是减函数，
（a）
（1），当时，（a）（1），此时与恒成立相矛盾．
；
（3）由（2）可知，
当时，函数在，上是增函数，又函数在，上是减函数，
不妨设，
则，
，即．
设，
则等价于函数在区间，上是减函数．
，在，上恒成立，
即在，上恒成立，即不小于在，内的最大值．
而函数在，是增函数，的最大值为．
，
又，，．
【点睛】不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
35．(1)；
(2).
【分析】（1）根据导数的几何意义求解；
（2）根据题意，问题转化为，设，等价于函数在区间上是减函数，转化为导数恒成立问求解.
【详解】（1）当时，，
，
，，
则曲线在处的切线方程是，即；
（2）当时，，
故函数在上是增函数，又函数在上是减函数
不妨设，
则，
即，
设，
则等价于函数在区间上是减函数，
因为，所以在上恒成立，
即在上恒成立，即不小于在内的最大值，
而函数在是增函数，所以的最大值为，
所以，又，所以．
36．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由导数确定函数的单调性，得最大值，由最大值相等得参数值 ；
（2）设，由（1）确定，结合（1）中所得单调性，利用零点存在定理证明函数存在两个零点，得与的图象有两个交点，同理得与也有两个交点，于是为满足题意有两个交点重合，结合可得出三个交战的横坐标之间的关系，从而证得结论成立.
【详解】（1）定义域是，的定义域是，
因为，
当时，,,
,,
则在上单调递减，在单调递增，不存在最大值，
在上单调递减，在单调递增，也不存在最大值；
同理知当时，在上单调递增，在单调递减，
在上单调递增，在单调递减，
所以有极大值，即的最大值，
有极大值，即的最大值，
所以，即；
（2）由（1）知，
由于时，，时，，因此只有才可能满足题意，
记，且，
由（1）得在上单调递增，在单调递减，
且，
所以存在，使得，
设，则，
设，则，
时，，递减，时，，递增，
所以，
所以，是增函数，时，，
，
又，所以存在，使得，
即此时与有两个交点，
其中一个交点在内，另一个交点在内，
同理与也有两个交点，
其中一个交点在内，另一个交点在内，
若与和共有三个不同的交点，
则其中一个交点为两条曲线和的公共点，记其横坐标为，
令，则，
记与的三个交点的横坐标从左到右依次为，
且满足，
且，即，
又，且，
且在和上分别单调，所以，即，
所以为的等比中项，
所以从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
【点睛】本题考查用导数求函数的最值，用导数研究方程的根的问题，属于难题.对于方程的根的问题，难点在于寻找两个方程的根之间的关系，首先第一步由零点存在定理证明存在两个零点（方程有两个根），其次通过函数式关系找到两个方程的根之间的关系，再根据等比数列的性质证明结论成立.
37．（1）增区间为，无减区间；（2）.
【分析】（1）由解析式知定义域为，，令，应用导数研究的单调性，进而判断的单调区间；
（2）法一：将问题转化为在上恒成立，令，应用导数并结合分类讨论的方法研究的单调性，进而求的范围；法二：将问题转化为在上恒成立，令，应用导数及函数与方程思想，结合分类讨论的方法研究的单调性，求的范围；法三：分离常量法得在上恒成立，令应用导数研究的单调性，求的范围；
【详解】（1）由解析式知：的定义域为且，
令，则
∴当时，；当时，，
∴在单调递减，在单调递增，即，
∴在上单调递增，即的增区间为，无减区间.
（2）解法1：直接求导，分类讨论.
对任意，不等式恒成立等价于对任意，不等式恒成立.
令，则，
令，则，由知：，
①当，即时， 即，即在上单调递减，又，
∴时，，即在上单调递减，又，
∴时，，符合题意.
②若，即，
当时，，
∴在单调递增，即时，，
故不恒成立，不合题意.
③若，则恒成立，所以在单调递增.
∴时，，即在单调递增，
又时，，即恒成立，不合题意.
综上所述，的取值范围是.
解法2：
对任意，不等式恒成立等价于对任意，恒成立.
令，则，记，
①当时，，此时，在单调递减，又，
所以时，，即对任意，恒成立.
②当时，，在上单调递增，又，
所以时，，即对任意，恒成立，不符合题意.
③时，不等式化为，显然不成立.
④当且时，方程的二根为，，
若，，，则在单调递增，又，所以时，，即不等式不恒成立；
若，，则在单调递增，又，所以时，，即不等式不恒成立.
综上所述，的取值范围是.
解法3：参数分离
当，对任意，不等式恒成立等价于对任意，恒成立.
记，则
，
记，
则，
所以在单调递减，又，所以，时，，即，
所以在单调递减.所以，
综上所述，的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：
（1）由解析式确定函数定义域，应用导数研究函数的单调区间；
（2）利用导数研究在某区间内不等式恒成立，综合应用分类讨论、函数与方程等思想，以及分离常量法结合极限思想，求参数范围.
38．（1）；（2）.
【分析】（1）求出的导数，求，斜率为，写出切线的方程，再将点点代入切线方程即可求出实数的值；
（2）易知为方程的根，只需证明当和时原方程均没有实数解即可，分别讨论，当时，，，方程的解得情况，以及当时，，，方程的解得情况，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1），所以在点处的切线的斜率，
又，所以切线的方程为：，
即，由经过点可得：.
（2）易知为方程的根，
由题只需说明当和时原方程均没有实数解即可.
①当时，若，显然有，而恒成立，此时方程显然无解
若，，，
令，故在单调递增，在单调递减
故在单调递减
从而，，此时方程也无解.
若，由，
记，则，
设，则有恒成立，
所以恒成立，
故令在上递增，在上递减
，可知原方程也无解
由上面的分析可知时，，方程均无解.
②当时，若，显然有，而恒成立，此时方程显然无解
若，和①中的分析同理可知此时方程也无解.
若，由，
记，则，
由①中的分析知，
故在恒成立，从而在上单调递增
，
如果，即，则，
要使方程无解，只需，即有
如果，即，此时，方程一定有解，不满足.
由上面的分析知时，，方程均无解，
综合①②可知，当且仅当时，方程有唯一解.
【点睛】本题主要考查了导数应用，导数的几何意义，利用导数判断单调性，函数方程转化思想，分类讨论思想，属于难题.
39．(1)
(2)
【分析】（1）根据, 求得，再根据在处取得极值，求得a，b的关系，然后由曲线在点处的切线与直线垂直求解.
（2）将不等式恒成立，转化为恒成立，由时，恒成立；当时，恒成立，令，求得其最大值即可.
【详解】（1）解：,
；
函数在处取得极值，
；
又曲线在点处的切线与直线垂直，
；
解得：；
（2）不等式恒成立可化为，
即；
当时，恒成立；当时，恒成立，
令，
则；
令，
则；
令，
则；
得在是减函数，
故，
进而
（或，，
得在是减函数，进而）．
可得：，故，所以在是减函数，
而要大于等于在上的最大值，
当时，没有意义，由洛必达法得，
．
40．(1)
(2)①答案见解析；②证明见解析
【分析】（1）设，可得函数的值域；
（2）①，分、、、讨论函数零点；②由①可知，满足方程可得，再根据可得答案.
【详解】（1），
设，，对称轴为，
则，
则函数的值域为，即函数的值域为；
（2）①，即，
当时，，，题设即，
当或，即或时，方程无解；
当，即时，方程仅有一解，此时；
当，即时，方程有两解，此时函数有两个零点；
综上所述，当时，函数没有零点；
当时，函数有一个零点；
当时，函数有两个零点；
②，由①可知，满足方程，
则，
则，
由于，则，
则，则，
则，
由于，，则，即，即证.
【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
41．(1)
(2)证明见解析
(3)对于任意的，任意的，，都有，证明见解析
【分析】（1）利用导数求斜率，然后由点斜式可得；
（2）设，令，，利用导数讨论其单调性，然后根据单调性可证；
（3）利用数学归纳法可证.
【详解】（1）因为，所以，
又，所以求在处的切线方程为．
（2）不妨设，
令，，
则，
因为，
所以，
所以在上恒成立．在上单调递减，
所以，即．
（3）对于任意的，任意的，，
都有，
证明：①当时，由（2）知，命题显然成立．
②假设当时命题成立．
即对任意的，，，…，及，，2，3，…，k，．
都有．
现设，，，…，，及，，2，3，…，k，，．
令，，2，3，…，k，则．
由归纳假设可知
所以当时命题也成立．
综上对于任意的，任意的，且，
都有．
【点睛】本题考查观察能力，归纳推理能力，第3问难点在于利用的假设推导时也成立，关键在于如何化为k项之和等于1，令，然后可证.
42．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求得，根据题意得到方程组，即可求解；
（2）把转化为即对任意恒成立，设，设，利用导数求得函数在单调性，结合，即可求解；
（3）解法1：由不等式，推得，进而利用累加法，即可得证；解法2：由，得到，结合累加法，即可得证.
【详解】（1）由函数，可得，所以，.
又由，所以，解得.
（2）若，可得，
则，则不等式可化为，
即对任意恒成立，
令，则，设函数，可得，
因为，所以恒成立，所以函数在上严格递增，
所以，故，即实数的取值范围为.
（3）解法1：由，
因为，可得，
当且仅当时，等号成立；
所以，当且仅当时，等号成立，
故，
当且仅当时等号成立.
因此有，
，
，
以上个式子相加得：
.
解法2：由，
可得，
当且仅当时等号同时成立.
故，
，
，
以上个式子相加得：
.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
43．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）比值代换构造单元函数证明；
（2）结合函数的单调性分与的大小情况讨论证明.
【详解】（1）由对称性，不妨设，，
则
由于，欲证，即证：
，.
设，，由切线不等式
得，
故，单调递增，，得证.
（2）证法一：由，得在上单调递减，且，
在上单调递增且；
由（1）知
当时，在上单调递增，
故，即.
当时，
由上面的结论，得时，
有，即
由在上单调递增，
故，
即.综上，得
∵，∴，
∵，关于单调递减，
∴，.
综上，得.
证法二：∵，∴，
∵，在上是减函数，
∴，即；
，在上是减函数，
∴，即
下面证明：当时，.（1）
设，则，
∴，即；
设，则，
∴即，
∴（1）式成立
下面证明：
（2）
∵，∴，
∴（2）式成立.
【点睛】注意掌握用导数证明不等式的常用方法技巧，如比值代换、切线不等式、指数（对数）均值不等式飘带函数等.
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