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2.2 第3课时 几何初步证明
素养目标
1.经历用实际操作探索三角形外角和为360°的过程,体会证明的必要性.
2.会对一个证明题进行分析,找到已知与求证之间的联系.
3.掌握几何语言书写证明过程的基本步骤与要求,增强推理论证意识,培养逻辑推理能力.
◎重点:会用几何语言清楚地表述命题的证明过程.
预习导学
知识点一 证明的必要性
阅读课本本课时“动脑筋”之前的内容,解决下列问题.
1.课堂活动:在一张纸上,任意画出一个三角形,并延长各边得到三角形的三个外角,将三个外角剪下,拼接在一起,能否得到一个周角 能猜想一个什么结论
2.思考:猜想的结论不一定是正确的,是否计算每一个三角形的外角和,都要用剪切和拼接的方式呢 如何说明猜想的结论的正确性
3.揭示概念:从命题的　 　出发,运用　 　,通过一步步的　 　,最后证实一个命题的正确性.证明的每一步都必须要有　 　.
【答案】1.能得到一个周角,三角形的外角和等于360°.
2.不是.可以通过证明,从命题的条件来说明命题的正确性.
3.条件　定义、基本事实、定理、推论　推理　根据
知识点二 证明与推理
阅读课本本课时“动脑筋”至“例2”的内容,解决下列问题.
1.思考:证明三角形的外角和等于360°的主要思路是找外角与内角的关系运用了　 　,运用等量代换计算三角形的外角和运用了　 　.
2.讨论:证明命题一般有哪些主要步骤
(1)审清题意,找出命题的　 　,　 　;
(2)根据题意画出　 　,图形要具有一般性,不能画特殊图形;
(3)结合图形,用数学语言写出　 　;
(4)寻求证明思路,写出证明过程,每一步都要有理有据;
(5)审查表达过程是否正确、完整.
3.证明的书写过程中,　 　表示因为,　 　表示所以.用几何语言书写证明过程,整个过程的推理都是由　 　关系构成的,每一步都要在括号中写出　 　.
【答案】1.三角形外角定理　三角形的内角和定理
2.(1)条件　结论
(2)图形
(3)“已知”“求证”
3.∵　∴　因果　依据
对点自测
如图,AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G,∠1=∠E.
求证:AD为∠BAC的平分线,填写分析和证明中的空白.
分析:要证AD为∠BAC的平分线,即证　 　=　 　,由AD⊥BC,EG⊥BC,可推得　 　∥　 　,有∠2=∠1,∠3=∠E,又已知∠1=∠E,由等量代换就可以证得　 　=　 　.
证明:∵AD⊥BC,EG⊥BC(已知),
∴　 　∥　 　( 　),
∴　 　=　 　(两直线平行,内错角相等),
　 　=　 　(两直线平行,同位角相等).
又∵　 　=　 　(已知),
∴　 　=　 　(等量代换),
∴AD是∠BAC的平分线( 　).
学法指导　1.证明是由条件(已知)出发,经过一步步的推理,最后推出结论(求证)正确的过程.
2.一个量用与它相等的量去代替叫作等量代换.
【答案】分析:要证AD为∠BAC的平分线,即证∠2=∠3,由AD⊥BC,EG⊥BC,可推得AD∥EG,有∠2=∠1,∠3=∠E,又已知∠1=∠E,由等量代换就可以证得∠2=∠3.
证明:∵AD⊥BC,EG⊥BC(已知),
∴AD∥EG(平面内垂直于同一直线的两直线平行),
∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等),
∠3=∠E(两直线平行,同位角相等).
又∵∠1=∠E(已知),
∴∠2=∠3(等量代换),
∴AD是∠BAC的平分线(角的平分线定义).
合作探究
任务驱动一 1.如图,直线AB、CD被EF所截,EH平分∠BEF,∠1+∠BEF=180°,求证: ∠2=∠HEF.
证明:①∵∠1+∠BEF=180°(已知),
②∴AB∥CD(两直线平行,同旁内角互补),
③∴∠2=∠BEH(内错角相等,两直线平行).
④∵EH平分∠BEF(已知),
⑤ ∴∠HEF=∠BEH(角平分线定义),
⑥∴∠2=∠HEF.
仔细观察上面证明的书写过程,你发现哪些步骤填写的推理依据有错误,请指出,并将其改正.
【答案】1.解:②、③有误,正确的理由分别是同旁内角互补,两直线平行;两直线平行,内错角相等.
任务驱动二 2.如图,∠A=∠F,∠C=∠D,求证:BD∥CE.
证明:∵∠A=∠F(已知),
∴　 　∥　 　(内错角相等,两直线平行),
∴∠C=∠CEF(两直线平行,内错角相等).
又∵　 　=　 　(已知),
∴∠D=∠CEF(等量代换),
∴　 　∥　 　(同位角相等,两直线平行).
【答案】2.AC　DF　∠D　∠C　BD　CE
任务驱动三 3.证明:邻补角的平分线互相垂直.
如图,∠AOB+∠BOC=180°,OE平分∠AOB,OF平分∠BOC.求证:OE⊥OF.
【答案】3.证明:∵OE平分∠AOB,
∴∠1=∠AOB,同理∠2=∠BOC,
∴∠1+∠2=(∠AOB+∠BOC)=∠AOC=90°,
∴OE⊥OF(垂直定义).
任务驱动四 4.如图,∠1=∠2,BD平分∠ABC.求证:AD∥BC.
归纳总结　证明的格式一般都是:“∵…,∴…”,可以由许多这样的语句组成,因为前面是
　 　或已证明的结果,所以后面就是从已知要得到的　 　,经过一步一步这样的推理后得到最后的结果.
【答案】4.
证明:如图,∵BD平分∠ABC(已知),
∴∠2=∠3(角平分线定义),
∵∠1=∠2(已知),∴∠3=∠1(等量代换),
∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
归纳总结　已知条件　结论
·方法点拨·
证明的常用方法
(1)综合法:综合法就是从已知条件入手去探明解题途径.概括地说,就是“从已知,看可知,逐步推向所求”.
我们知道,图形中有些条件是显露的,而有些条件是比较隐蔽的,我们从已知条件入手,努力挖掘题目中的隐含条件,设法寻求已知和所求之间的关系,从而找到解题途径.
(2)分析法:分析法就是从结论入手逆求使它成立的条件,直到和已知条件沟通为止,从而找出解题途径.概括地说,就是“从所求,看需知,逐步靠拢已知”.
在选用分析法时,需积累一些解题经验,总结一些常规思路,这样可以克服无目的地乱碰,从而加强针对性,较快地探明解题途径.
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