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2.4 第1课时 线段的垂直平分线的性质
素养目标
1.经历探究垂直平分线的过程,理解垂直平分线的性质定理.
2.知道垂直平分线性质的逆定理,能判定一个点是否在线段的垂直平分线上.
3.能画出等腰三角形底边的垂直平分线,解决简单几何问题.
◎重点:线段的垂直平分线的性质.
预习导学
知识点一 线段垂直平分线的性质1
阅读课本本课时“动脑筋”之前的内容,解决下列问题.
1.(1)课本“观察”中的“人”字形屋顶是一个　 　三角形,CD　 　AA'.
(2)揭示概念:我们把垂直且平分一条线段的　 　叫作这条线段的　 　线.线段是　 　图形,线段的　 　是它的对称轴.
2.(1)猜想:如图,在线段AB的垂直平分线CD上任意取一点P,由于PD是线段AB的对称轴,PA=PB吗
(2)如何证明PA=PB
已知CD是线段AB的垂直平分线,设O是垂足.
则有,
所以△AOP≌　 　,可得PA=　 　.
归纳总结　线段垂直平分线上的点到线段两端的距离　 　.
【答案】1.(1)等腰　垂直且平分
(2)直线　垂直平分　轴对称　垂直平分线
2.(1)相等.
(2)BO　∠BOP　PO　△BOP　PB
归纳总结　相等
知识点二 线段垂直平分线的性质2
阅读课本本课时“动脑筋”至“例题”的内容,解决下列问题.
1.回忆:写出线段的垂直平分线的性质的逆命题.
2.思考:线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题吗 如果是,如何证明
如图,PA=PB,过P作PC⊥AB,垂足是C,则可证明△APC≌　 　,从而可得PC　 　AB.
归纳总结　到线段两端点距离相等的点在线段的　 　上.
3.讨论:通过课本“例题”的学习,三角形两边垂直平分线的交点一定在第三边的垂直平分线上吗 这个点到三角形三个顶点的距离相等吗
归纳总结　三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三角形三个　 　的距离　 　.
【答案】1.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
2.△BPC　垂直平分
归纳总结　垂直平分线
3.在,相等.
归纳总结　顶点　相等
合作探究
任务驱动一 (方法指导:已知线段垂直平分线上的点,就看有没有和线段两个端点相连,只有连接了,才能使用线段垂直平分线的性质) 1.如图,在△ABC中,DE垂直平分线段AB于点D,交AC于点E.则下面结论正确的是 ( )
A.AB=AC　　　　　B.AC>BC
C.AC=BC D.AC变式演练　如图,在△ABC中,AB=AC,DE是AB的垂直平分线,△BCE的周长为13,BC=6,则AB的长为　 　.
【答案】1.B
变式演练　7
任务驱动二 2.如图,AC=AD,BC=BD,那么 ( )
A.CD垂直平分AB
B.AB垂直平分CD
C.CD与AB互相垂直平分
D.∠ACD>∠ADC
【答案】2.B
任务驱动三 3.如图,AF平分∠BAC,P是AF上任一点,过点P分别向AB,AC作垂线PD,PE.D,E分别为垂足,连接DE.
求证:AF垂直平分DE.
　　
方法归纳交流　在证明某直线是一条线段的垂直平分线时,可根据定义证明该直线垂直平分这条线段,也可证直线上有不同的两点与这条线段两端距离分别相等.
【答案】3.证明:∵AF平分∠BAC,∴∠1=∠2.
∵PE⊥AC于点E,PD⊥AB于点D,
∴∠AEP=∠ADP=90°.
又∵AP=AP,∴△APE≌△APD(AAS).
∴AE=AD,PE=PD,
∴P,A两点都在DE的垂直平分线上,∴AF垂直平分DE.
任务驱动四 4.如图,在△ABC中,AD是高,在线段DC上取一点E,使BD=DE,已知AB+BD=DC.
求证:E点在线段AC的垂直平分线上.
【答案】4.证明:∵AD是高,∴AD⊥BC,
又∵BD=DE,
∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线,
∴AB=AE,
∴AB+BD=AE+DE,
又∵AB+BD=DC,
∴DC=AE+DE,
∴DE+EC=AE+DE,
∴EC=AE,
∴点E在线段AC的垂直平分线上.
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