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第二章 复习课
复习目标
1.理解三角形的基本概念与边、角关系.
2.知道证明命题的依据,能用几何语言写出一个命题的证明过程.
3.知道等腰三角形、垂直平分线的性质,会用尺规作图.
4.知道全等图形的性质,会用几种不同的方法判定两个三角形全等.
◎重点:证明两个三角形全等,解决相关几何问题.
预习导学
体系建构
核心梳理
　　1.由不在　 　的三条线段　 　相连接所组成的图形叫作三角形.
2.三角形的三边关系:三角形任意两边之和　 　第三边,任意两边之差　 　第三边(填“大于”或“小于” ).
　　3.　 　的命题叫真命题,　 　的命题叫假命题;假命题可以通过举　 　说明.
4.每个命题都由　 　和　 　两部分组成,若将两者交换位置,得到的新命题就是原命题的　 　.
5.三角形的内角和等于　 　,三角形的一个外角等于　 　,三角形的一个外角　 　与它不相邻的任何一个内角.
6.能完全重合的两个图形叫作　 　,全等图形的对应边　 　,对应角　 　.
7.判定两个三角形全等的方法有　 　,　 　无法判定两个三角形全等.
【答案】1.同一条直线上　首尾顺次
2.大于　小于
3.正确　错误　反例
4.题设　结论　逆命题
5.180°　与它不相邻的两个内角的和　大于
6.全等图形　相等　相等
7.SAS、ASA、AAS、SSS　SSA、AAA
合作探究
专题一 三角形的边角关系
1.在三角形中,最多有　 　个锐角,至少有　 　个锐角,最多有　 　个钝角(或直角).
2.已知一个三角形两边长分别为2 cm和6 cm,则第三边的长可以是　 　 cm.(写出一个符合条件的答案)
方法归纳交流　已知三角形的两边,已知两边的　 　<三角形的第三边<已知两边的　 　.
【答案】1.3　2　1
2.答案不唯一,如5、6等
方法归纳交流　差　和
专题二 三角形的角平分线、中线和高
3.如图,AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线.
(1)∠ABE=15°,∠BAD=35°,求∠BED的度数;
(2)在△BED中作BD边上的高;
(3)若△ABC的面积为60,BD=5,则点E到BC边的距离为多少
【答案】3.解:(1)∵∠BED是△ABE的一个外角,
∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+35°=50°.
(2)如图,EF即△BED中BD边上的高.
(3)∵AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线,
∴S△BED=S△ABC=×60=15;
∵BD=5,∴EF=2S△BED÷BD=2×15÷5=6,
即点E到BC边的距离为6.
专题三 等腰三角形
4.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,垂足为D,过D作DE∥AC,交AB于E.
求证:△BDE是等腰三角形.
【答案】4.证明:∵AD平分∠BAC,DE∥AC,
∴∠EAD=∠CAD,∠EDA=∠CAD,
∴∠EAD=∠EDA,
∵BD⊥AD,
∴∠EBD+∠EAD=∠BDE+∠EDA,
∴∠EBD=∠BDE,
∴DE=BE,
∴△BDE是等腰三角形.
专题四 线段的垂直平分线
5.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线MN交AB于点D,交AC于点E,且AC=15 cm,△BCE的周长等于25 cm.
(1)求BC的长;
(2)若∠A=36°,并且AB=AC.求证:BC=BE.
【答案】5.(1)解:∵AB的垂直平分线MN交AB于点D,
∴AE=BE,
∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC,
∵AC=15 cm,
∴BC=25-15=10 cm.
(2)证明:∵∠A=36°,AB=AC,
∴∠C=(180°-∠A)=(180°-36°)=72°,
∵AB的垂直平分线MN交AB于点D,
∴AE=BE,
∴∠ABE=∠A,
由三角形的外角性质得,∠BEC=∠A+∠ABE=36°+36°=72°,
∴∠BEC=∠C,
∴BC=BE.
专题五 全等三角形的判定
6.如图,△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形,AB=A1B1 ,BC=B1C1,∠C=∠C1.求证:△ABC≌△A1B1C1.
方法归纳交流　在证明过程中,有些全等条件需要　 　得到,三角形全等是证明　 　、　 　、直线平行和垂直的常用方法.
7.如图,△ABC与△BDE都是等腰三角形,AB=BC,BD=BE,∠BAC=∠BDE,连接AD,CE.求证:∠BAD=∠BCE.
【答案】6.证明:本题解法不唯一.
分别过点B、B1作BD⊥CA于D,B1D1⊥C1A1于点D1, 则∠BDC=∠B1D1C1=90°.
∵BC=B1C1,∠C=∠C1,∴△BCD≌△B1C1D1,
∴CD=C1D1,BD=B1D1.
又∵AB=A1B1 ,∠ADB=∠A1D1B1=90°,∴△ADB≌△A1D1B1,∴AD=A1D1,
∴CA=C1A1,又∵ AB=A1B1 ,BC=B1C1,∴△ABC≌△A1B1C1(SSS).
方法归纳交流　证明　线段相等　角相等
7.证明:∵AB=BC,BD=BE,
∴∠BAC=∠BCA,∠BDE=∠BED.
由三角形内角和定理可知:∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-2∠BAC,
∠DBE=180°-∠BDE-∠BED=180°-2∠BDE.
∵∠BAC=∠BDE,∴∠ABC=∠DBE.
∵∠ABD=∠ABC+∠CBD,∠CBE=∠DBE+∠CBD,
∴∠ABD=∠CBE.
在△ABD和△CBE中,
,
∴△ABD≌△CBE(SAS),
∴∠BAD=∠BCE.
专题六 全等三角形的应用
8.如图,O为码头,A,B两个灯塔与码头的距离相等,OP,OQ为海岸线,一轮船从码头开出,计划沿∠POQ的平分线航行,航行途中,某时测得船所在的位置C与灯塔A,B的距离相等,此时轮船有没有偏离航线 请判断并说明你的理由.
9.如图,公园有一条“Z”字形道路AB-BC-CD.其中AB∥CD,在E,M,F处各有一个小石凳,且BE=CF,M为BC的中点,连接EM,MF.
(1)请问石凳M到石凳E,F的距离ME,MF是否相等 判断并说明理由.
(2)E,F,M三点是否共线 请判断并证明.
【答案】8.解:此时轮船没有偏离航线.
理由:如图,连接OC.
在△AOC与△BOC中,
∴△AOC≌△BOC(SSS),
∴∠AOC=∠BOC,
故此时轮船没有偏离航线.
9.解:(1)石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等.理由:∵AB∥CD,∴∠B=∠C.
又∵M为BC中点,∴BM=MC.
在△BEM和△CFM中,
,
∴△BEM≌△CFM(SAS),
∴ME=MF.
即石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等.
(2)E,F,M三点共线.
证明:∵△BEM≌△CFM,
∴∠BME=∠CMF.
又∠BMF+∠CMF=180°,
∴∠BMF+∠BME=180°,
∴E,M,F在一条直线上.
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