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第四章 图形的性质
第十九节 图形变换
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 平移 ☆☆ 图形变换主要包括平移、轴对称、旋转、中心对称，其中包括点的坐标变化，在广东中考中几乎没落下过，从往年考查来看，考查的频率还是非常高的，一般考查较为简单的选择或者填空题，也可能会以几何变换在综合题中出现，虽然简单，但也会有易错的地方，比如区分点的平移规律和函数平移规律的不同，一轮复习多进行练习，尽量在一轮复习就达到迎接中考的水准，便可显得轻松自如。
考点2 轴对称 ☆☆
考点3 旋转 ☆☆
考点4 中心对称 ☆☆
考点5 坐标系中对称点的特征 ☆☆
考点6 作图-旋转变换 ☆☆
考点1 平移
1.定义
把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的_____和_____完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
2.性质
（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动
（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。
考点2 轴对称
1.定义
把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成_____，该直线叫做对称轴。
2.性质
（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。
（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
3.判定
如果两个图形的对应点连线被同一条直线_____，那么这两个图形关于这条直线对称。
4.轴对称图形
把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
考点3旋转
1.定义
把一个图形绕某一点O转动一个_____的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转_____，转动的角叫做_____。
2.性质
（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
考点4 中心对称
1.定义
把一个图形绕着某一个点旋转_____，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
2.性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3.判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
4.中心对称图形
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
考点5坐标系中对称点的特征
1.关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号_____，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）
2.关于x轴对称的点的特征
两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x_____，y的符号_____，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）
3.关于y轴对称的点的特征
两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y_____，x的符号_____，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）
考点6 作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
考点1平移
◇例题
1.（2023 遂溪县一模）如图，在△ABC中，BC＝13，将△ABC沿着射线BC平移m个单位长度，得到△DEF，若EC＝7，则m＝　 　．
◆变式训练
1．（2023 潮州模拟）在平面直角坐标系中，线段AB平移得到线段CD，点A（﹣1，4）的对应点C（1，2），则点B（2，1）的对应点D的坐标为（　　）
A．（4，﹣1） B．（0，3） C．（4，1） D．（﹣4，1）
2．（2023 番禺区校级二模）如图，将三角形ABC沿射线AB平移到三角形DEF的位置，则下列说法不正确的是（　　）
A．AC＝DB B．AD＝BE C．AC∥DF D．∠C＝∠F
3．（2023 蓬江区一模）在平面直角坐标系中，将点（1，1）向上平移3个单位后，得到的点的坐标是（　　）
A．（1，4） B．（4，1） C．（1，3） D．（1，﹣2）
考点2 轴对称
◇例题
1.（2023 龙岗区校级一模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2.（2022 广东一模）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为 　 　．
◆变式训练
1．（2023 惠城区校级一模）用数学的眼光观察下面的网络图标，其中可以抽象成轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022 东莞市校级一模）下列图形中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 蕉岭县一模）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 龙岗区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF＝10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
5．（2023 江门三模）如图，在等腰三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF，当EF⊥AC时，AE的长为 　 　．
考点3 旋转
◇例题
1.（2023 茂南区三模）如图，在△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A＝100°，∠D＝50°，则∠AOD的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
◆变式训练
1．（2023 东莞市校级一模）如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A逆时针旋转，点C的对应点为点C′，若点C′落在BA延长线上，则三角板ABC旋转的度数是（　　）
A．60° B．90° C．120° D．150°
2．（2023 越秀区模拟）如图，在△ABC中，∠B＝40°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点D恰好落在BC的延长线上，则旋转角的度数（　　）
A．70° B．80° C．100° D．110°
3．（2023 怀集县一模）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，C的坐标分别为（1，0），（0，4），将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则经过第2023次旋转后，点D的坐标为（　　）
A．（﹣3，1） B．（﹣1，﹣3） C．（3，﹣1） D．（1，3）
考点4 中心对称
◇例题
（2023 顺德区校级一模）我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1．（2023 蓬江区一模）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022 南山区一模）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．绿色饮品 B．绿色食品
C．有机食品 D．速冻食品
3．（2023 东莞市一模）2022年油价多次上涨，新能源车企迎来了更多的关注，如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
考点5 坐标系中对称点的特征
◇例题
1.（2023 香洲区校级一模）已知点P（x，﹣2）与点Q（4，y）关于原点对称点，则x+y的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．4
◆变式训练
1．（2023 深圳一模）已知点A（a，﹣1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a﹣b的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．3 D．﹣3
2．（2023 南沙区一模）在平面直角坐标系中，与点A（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，4） D．（4，﹣3）
3．（2023 黄埔区校级二模）如图，△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（　　）
A．（7，3） B．（7，5） C．（5，5） D．（5，3）
4．（2022 河源模拟）如图，已知△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，把△ACB绕着点B顺时针旋转90°得到△EDB，弧CD交AB于点F，弧AE交BD的延长线于点G．则图中的阴影部分面积为 　 　．
考点6 作图---旋转变换
◇例题
1.（2023 香洲区校级一模）如图，△OBC的顶点坐标分别为O（0，0），B（3，3），C（1，3）．将△OBC绕原点O逆时针旋转90°的图形得到△OB1C1．
（1）画出△OB1C1的图形．
（2）将点P（m，2）绕原点O逆时针旋转90°，求点P旋转后对应点P1的坐标．（用含m的式子表示）
◆变式训练
1．（2023 宝安区校级三模）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．并保留画图痕迹（不要求写画法和理由）．
（1）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1，画出△AB1C1；（请用直尺画图）
（2）连接CC1，△ACC1的面积为 　　；
（3）在线段CC1上找一点D．连接AD，使得△ACD的面积是△ACC1面积的．（请用直尺和圆规画图）
2．（2023 南山区二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点）．
（1）将△ABC绕着点O逆时针方向旋转90度，得到△A1B1C1，并画出旋转后的△A1B1C1：
（2）请在网格中，仅用无刻度的直尺画出线段AC的垂直平分线PQ，交AB于点P，交AC于点Q（保留作图痕迹，不要求写作法）．
1．（2023 广东）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（　　）
A． B． C． D．
2．（2023 深圳）下列图形中，为轴对称的图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022 广州）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2021 广州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连结BB′，则sin∠BB′C′的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2023 广州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE＝1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF+EF的最小值为 　 ．
6．（2023 深圳）如图，在△ABC中，AB＝AC，tanB，点D为BC上一动点，连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△ADE，DE交AC于点G，GE＜DG，且AG：CG＝3：1，则　　 ．
7．（2020 广州）如图，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为 　 　．
8．（2022 广州）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′，连接PP′，CP′．当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度数为 　 　；当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为 　 　．
9．（2021 广州）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为 　．
10．（2021 深圳）如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC上的点，将△CDE沿DE折叠，得到△FDE，连接BF，CF，∠BFC＝90°，若EF∥AB，AB＝4，EF＝10，则AE的长为 ．
11．（2021 深圳）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．
（1）过直线m作四边形ABCD的对称图形；
（2）求四边形ABCD的面积．
12．（2021 广东）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点．连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长．
1．在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，1）先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点A'，则点A'的坐标为（　　）
A．（0，5） B．（﹣5，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣1）
2．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．有以下说法：
①△ABC在平移的过程中，对应线段一定相等；
②△ABC在平移过程中，对应线段一定平行；
③△ABC在平移过程中，周长保持不变；
④△ABC在平移过程中，对应边中点的连线的长度等于平移的距离．
正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
4．下列运动属于平移的是（　　）
A．荡秋千的小朋友 B．转动的电风扇叶片
C．正在上升的电梯 D．行驶的自行车后轮
5．四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．下列有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.8，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（　　）
A．1.8 B．1.6 C．2.6 D．2.8
8．点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝3.5cm，PN＝4cm，MN＝5cm，则线段QR的长为（　　）
A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm
9．数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边的点F处，其中，且，则矩形ABCD的面积为（　　）
A．80 B．64 C．36 D．18
10．如图，将△ABC沿AC方向平移1cm得到△DEF，若DC＝3cm，则AF＝　 　．
11．点A（3，2）向右平移2个单位长度得到A'，则A'的坐标为 　 　．
12．已知点A（3，﹣2）与点A′关于原点对称，则点A'的坐标为 　 　．
13．在平面直角坐标系中点P（﹣1，5）关于y轴对称点的坐标为 　 　．
14．如图，每个小正方形的边长为1．
（1）画出三角形ABC先向右平移4格，再向下平移1格后得到的三角形A'B'C'；
（2）求三角形ABC的面积．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转得到A′BC′，旋转角为α（0°＜α＜360°），过点A作AE∥C′A′交直线CC′于点E，交AA′于点D．
（1）求证：ED＝C′D；
（2）若∠ABC＝60°，在△ABC绕点B旋转过程中是否存在某个时刻，使得EC′＝AA′，如果存在，请直接写出此时α的度数；如果不存在，说明理由．
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第四章 图形的性质
第十九节 图形变换
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 平移 ☆☆ 图形变换主要包括平移、轴对称、旋转、中心对称，其中包括点的坐标变化，在广东中考中几乎没落下过，从往年考查来看，考查的频率还是非常高的，一般考查较为简单的选择或者填空题，也可能会以几何变换在综合题中出现，虽然简单，但也会有易错的地方，比如区分点的平移规律和函数平移规律的不同，一轮复习多进行练习，尽量在一轮复习就达到迎接中考的水准，便可显得轻松自如。
考点2 轴对称 ☆☆
考点3 旋转 ☆☆
考点4 中心对称 ☆☆
考点5 坐标系中对称点的特征 ☆☆
考点6 作图-旋转变换 ☆☆
考点1 平移
1.定义
把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
2.性质
（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动
（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。
考点2 轴对称
1.定义
把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。
2.性质
（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。
（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
3.判定
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4.轴对称图形
把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
考点3旋转
1.定义
把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2.性质
（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
考点4 中心对称
1.定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
2.性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3.判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
4.中心对称图形
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
考点5坐标系中对称点的特征
1.关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）
2.关于x轴对称的点的特征
两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）
3.关于y轴对称的点的特征
两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）
考点6 作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
考点1平移
◇例题
1.（2023 遂溪县一模）如图，在△ABC中，BC＝13，将△ABC沿着射线BC平移m个单位长度，得到△DEF，若EC＝7，则m＝　 　．
【答案】6．
【分析】根据平移的性质得到BE＝CF，再利用EF＝EC+CF＝13，然后求出CF的长，从而得到平移的距离．
【解答】解：∵△ABC沿着射线BC的方向平移，得到△DEF，
∴BE＝CF，
∵EF＝13，EC＝7，
∴CF＝EF﹣CE＝13﹣7＝6，
即平移的距离m为6．
故答案为：6．
◆变式训练
1．（2023 潮州模拟）在平面直角坐标系中，线段AB平移得到线段CD，点A（﹣1，4）的对应点C（1，2），则点B（2，1）的对应点D的坐标为（　　）
A．（4，﹣1） B．（0，3） C．（4，1） D．（﹣4，1）
【答案】A
【分析】根据点A、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．
【解答】解：∵点A（﹣1，4）的对应点C的坐标为（1，2），
∴平移规律为向右平移2个单位，向下平移2个单位，
∴B（2，1）的对应点D的坐标为（4，﹣1）．
故选：A．
2．（2023 番禺区校级二模）如图，将三角形ABC沿射线AB平移到三角形DEF的位置，则下列说法不正确的是（　　）
A．AC＝DB B．AD＝BE C．AC∥DF D．∠C＝∠F
【答案】A
【分析】根据平移的性质判断即可．
【解答】解：由平移的性质可知：AC＝DF，AD＝BE，AC∥DF，∠C＝∠F，
故选项A说法不正确，符合题意；
选项B、C、D说法正确，不符合题意；
故选：A．
3．（2023 蓬江区一模）在平面直角坐标系中，将点（1，1）向上平移3个单位后，得到的点的坐标是（　　）
A．（1，4） B．（4，1） C．（1，3） D．（1，﹣2）
【答案】A
【分析】把点（1，1）的横坐标不变，纵坐标加3，即可得到平移后的对应点的坐标．
【解答】解：将点（1，1）向上平移3个单位后，得到的点的坐标是（1，4）．
故选：A．
考点2 轴对称
◇例题
1.（2023 龙岗区校级一模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
2.（2022 广东一模）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为 　 　．
【答案】2.4．
【分析】连接CP，根据矩形的性质可知：DE＝CP，当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，再根据三角形的面积为定值即可求出CP的长．
【解答】解：∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
连接CP，如图所示：
∵PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，
∴四边形DPEC是矩形，
∴DE＝CP，
当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，
∴DE＝CP2.4，
故答案为：2.4．
◆变式训练
1．（2023 惠城区校级一模）用数学的眼光观察下面的网络图标，其中可以抽象成轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
2．（2022 东莞市校级一模）下列图形中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选项B能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
3．（2023 蕉岭县一模）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
4．（2023 龙岗区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF＝10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】C
【分析】利用轴对称图形的性质得出△BAC≌△B′AC′，进而结合三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：连接BB′
∵△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，
∴△BAC≌△B′AC′，
∵AB＝AC，∠C＝70°，
∴∠ABC＝∠AC′B′＝∠AB′C′＝70°，
∴∠BAC＝∠B′AC′＝40°，
∵∠CAF＝10°，
∴∠C′AF＝10°，
∴∠BAB′＝40°+10°+10°+40°＝100°，
∴∠ABB′＝∠AB′B＝40°．
故选：C．
5．（2023 江门三模）如图，在等腰三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF，当EF⊥AC时，AE的长为 　 　．
【答案】或．
【分析】当直线EF与直线AC垂直时，如图1，如图2，根据对称的性质得到和等腰三角形的判定和性质定理以及直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AC＝BC＝2，点D为AC的中点，
∴ADAC＝1，
①当直线EF与直线AC垂直时，如图1，
∵点A关于直线DE的对称点为点F，
∴∠F＝∠A＝30°，∠AED＝∠FED，
∵∠AGE＝90°，
∴∠AEG＝60°，
∴∠AED＝∠FED＝30°，
∴AD＝DE＝1，
过D作DM⊥AE与M
∴AE＝2AM＝21；
②当直线EF与直线AC垂直时，如图2，
∵将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处，
∴∠F＝∠A＝30°，∠ADE＝∠FDE，
∵∠AGE＝∠FGD＝90°，
∴∠FDG＝60°，
∴∠ADE＝∠FDE＝30°，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴AGAD，
∴AE，
故答案为：或．
考点3 旋转
◇例题
1.（2023 茂南区三模）如图，在△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A＝100°，∠D＝50°，则∠AOD的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】根据旋转的性质得∠BOD＝80°，∠B＝∠D＝50°，再根据三角形内角和定理计算出∠BOA＝30°，然后利用∠AOD＝∠BOD﹣∠BOA进行计算即可．
【解答】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转70°得到△OCD，
∴∠BOD＝80°，∠B＝∠D＝50°，
∴∠BOA＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣100°﹣50°＝30°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠BOA＝80°﹣30°＝50°．
故选：C．
◆变式训练
1．（2023 东莞市校级一模）如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A逆时针旋转，点C的对应点为点C′，若点C′落在BA延长线上，则三角板ABC旋转的度数是（　　）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】D
【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．
【解答】解：旋转角是∠BAB′＝180°﹣30°＝150°．
故选：D．
2．（2023 越秀区模拟）如图，在△ABC中，∠B＝40°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点D恰好落在BC的延长线上，则旋转角的度数（　　）
A．70° B．80° C．100° D．110°
【答案】C
【分析】由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，对应角相等，得出等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求解．
【解答】解：由旋转的性质可知，∠BAD的度数为旋转度数，AB＝AD，∠ADE＝∠B＝40°，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝40°，
∴∠BAD＝100°，
故选：C．
3．（2023 怀集县一模）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，C的坐标分别为（1，0），（0，4），将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则经过第2023次旋转后，点D的坐标为（　　）
A．（﹣3，1） B．（﹣1，﹣3） C．（3，﹣1） D．（1，3）
【答案】A
【分析】根据风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可知旋转4次为一个循环，得到经过第2023次旋转后，点D的坐标与第3次旋转结束时点D的坐标相同，进行求解即可．
【解答】解：在正方形中，点A的坐标为（1，0），
∴点B（0，1）．
∵C（0，4），
∴OC＝4．
∴BC＝3．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝3．
∴D（1，3）．
由题意，可得风车第1次旋转结束时，点D的坐标为（3，﹣1）；第2次旋转结束时，点D的坐标为（﹣1，﹣3）；第3次旋转结束时，点D的坐标为（﹣3，1）；第4次旋转结束时，点D的坐标为（1，3）．
∵将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴旋转4次为一个循环．
∵2023÷4＝505 3，
∴经过第2023次旋转后，点D的坐标与第3次旋转结束时点D的坐标相同，为（﹣3，1）；
故选：A．
考点4 中心对称
◇例题
（2023 顺德区校级一模）我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确；
D、轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
◆变式训练
1．（2023 蓬江区一模）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【解答】解：A选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．（2022 南山区一模）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．绿色饮品 B．绿色食品
C．有机食品 D．速冻食品
【答案】D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（2023 东莞市一模）2022年油价多次上涨，新能源车企迎来了更多的关注，如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形判断即可．
【解答】解：∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形，
∴C选项中的图形为中心对称图形，
故选：C．
考点5 坐标系中对称点的特征
◇例题
1.（2023 香洲区校级一模）已知点P（x，﹣2）与点Q（4，y）关于原点对称点，则x+y的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．4
【答案】B
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得x＝﹣4，y＝2，再计算x+y即可．
【解答】解：∵点P（x，﹣2）与点Q（4，y）关于原点对称点，
∴x＝﹣4，y＝2，
∴x+y＝﹣4+2
◆变式训练
1．（2023 深圳一模）已知点A（a，﹣1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a﹣b的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．3 D．﹣3
【答案】C
【分析】利用关于原点对称点的坐标性质得出a的值即可．
【解答】解：∵点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，
∴a＝4，b＝1．
∴a﹣b＝4﹣1＝3．
故选：C．
2．（2023 南沙区一模）在平面直角坐标系中，与点A（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，4） D．（4，﹣3）
【答案】C
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解答】解：点A（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，4），
故选：C．
3．（2023 黄埔区校级二模）如图，△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（　　）
A．（7，3） B．（7，5） C．（5，5） D．（5，3）
【答案】A
【分析】如图，过点D作DE⊥x轴于点E．证明△AOC是等边三角形，解直角三角形求出DE，CE，可得结论．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E．
∵B（6，0），
∴OB＝6，
由旋转的性质可知AO＝AC＝4，OB＝CD＝6，∠ACD＝∠AOB＝60°，
∵∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴OC＝OA＝4，∠ACO＝60°，
∴∠DCE＝60°，
∴CECD＝3，DE＝3，
∴OE＝OC+CE＝4+3＝7，
∴D（7，3），
故选：A．
4．（2022 河源模拟）如图，已知△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，把△ACB绕着点B顺时针旋转90°得到△EDB，弧CD交AB于点F，弧AE交BD的延长线于点G．则图中的阴影部分面积为 　 　．
【答案】2．
【分析】根据S阴＝S△ABC+S扇形BAG﹣S扇形BCD，求解即可．
【解答】解：在Rt△ACB中，AC＝CB＝2，∠ACB＝90°，
∴AB2，
∴S阴＝S△ABC+S扇形BAG﹣S扇形BCD2×22，
故答案为：2．
考点6 作图---旋转变换
◇例题
1.（2023 香洲区校级一模）如图，△OBC的顶点坐标分别为O（0，0），B（3，3），C（1，3）．将△OBC绕原点O逆时针旋转90°的图形得到△OB1C1．
（1）画出△OB1C1的图形．
（2）将点P（m，2）绕原点O逆时针旋转90°，求点P旋转后对应点P1的坐标．（用含m的式子表示）
【答案】（1）图见解析；
（2）（﹣2，m）．
【分析】（1）分别作出点B（3，3），C（1，3）绕原点O逆时针旋转90°的对应点B1（﹣3，3），C1（﹣3，1），顺次连接O、B1、C1即可；
（2）按照（1）中点的旋转规律，即可写出点P旋转后对应点P1的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△OB1C1即为所求；
（2）由（1）可得点B（3，3）绕原点O逆时针旋转90°得到点B1（﹣3，3），C（1，3）绕原点O逆时针旋转90°得到点C1（﹣3，1），
∴将点P（m，2）绕原点O逆时针旋转90°后对应点P1的坐标为（﹣2，m）．
◆变式训练
1．（2023 宝安区校级三模）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．并保留画图痕迹（不要求写画法和理由）．
（1）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1，画出△AB1C1；（请用直尺画图）
（2）连接CC1，△ACC1的面积为 　　；
（3）在线段CC1上找一点D．连接AD，使得△ACD的面积是△ACC1面积的．（请用直尺和圆规画图）
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）见解析．
【分析】（1）根据旋转的性质即可画出图形；
（2）利用△ACC1所求在矩形面积减去周围三个三角形面积即可；
（3）确定CC1的中点即可．
【解答】解：（1）如图，△AB1C1即为所求；
（2）△ACC1的面积为3，
故答案为：；
（3）如图，点D即为所求．
2．（2023 南山区二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点）．
（1）将△ABC绕着点O逆时针方向旋转90度，得到△A1B1C1，并画出旋转后的△A1B1C1：
（2）请在网格中，仅用无刻度的直尺画出线段AC的垂直平分线PQ，交AB于点P，交AC于点Q（保留作图痕迹，不要求写作法）．
【答案】（1）（2）作图见解析部分．
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）取AB的中点P，AC的中点Q，作直线PQ即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，直线PQ即为所求．
1．（2023 广东）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用轴对称图形的定义进行分析即可．
【解答】解：选项B，C，D中的图形都不能确定一条直线，使图形沿这条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，选项A中的图形沿某条直线对折后两部分能完全重合，是轴对称图形，
故选：A．
2．（2023 深圳）下列图形中，为轴对称的图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、B、C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
3．（2022 广州）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
4．（2021 广州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连结BB′，则sin∠BB′C′的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AB，由旋转的性质可得AC＝AC'＝6，BC＝B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，在Rt△BB'C'中，由勾股定理可求BB'的长，即可求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB10，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，
∴AC＝AC'＝6，BC＝B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，
∴BC'＝4，
∴B'B4，
∴sin∠BB′C′，
故选：C．
5．（2023 广州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE＝1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF+EF的最小值为 　 ．
【答案】．
【分析】如图，连接AE交BD于一点F，根据正方形的性质得到点A与点C关于BD对称，求得AF＝CF，推出AF+EF＝AE，此时CF+EF最小，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图，连接AE交BD于一点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点A与点C关于BD对称，
∴AF＝CF，
∴AF+EF＝AE，此时CF+EF最小，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，
∵点E在BC上且BE＝1，
∴AE，
故CF+EF的最小值为．
故答案为：
6．（2023 深圳）如图，在△ABC中，AB＝AC，tanB，点D为BC上一动点，连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△ADE，DE交AC于点G，GE＜DG，且AG：CG＝3：1，则　　 ．
【答案】．
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，过点A作AH⊥DE于点H，由折叠易得AF＝AH，AB＝AE，BF＝EH，CG＝a，则AG＝3a，于是AB＝AC＝AE＝4a，在Rt△ABF中，利用tanB可求出AH＝AF，BF＝EH，在Rt△AGH中，利用勾股定理求出GH，以此求出EG，由△AEG∽△DCG得，求得，则．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，过点A作AH⊥DE于点H，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
根据折叠的性质可知，∠B＝∠E，AF＝AH，AB＝AE，BF＝EH，
∴∠E＝∠C，
设CG＝a，则AG＝3a，
∴AB＝AC＝AE＝4a，
在Rt△ABF中，tanB，
∴BFAF，
∴，
解得：或AF（舍去），
∴AH＝AF，BF＝EH，
在Rt△AGH中，GH，
∴EG＝EH﹣GH，
∵∠AGE＝∠DGC，∠E＝∠C，
∴△AEG∽△DCG，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
7．（2020 广州）如图，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为 　 　．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平移的性质得出四边形ABDC是平行四边形，从而得A和C的纵坐标相同，根据四边形ABDC的面积求得AC的长，即可求得C的坐标．
【解答】解：∵把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC＝BD，A和C的纵坐标相同，
∵四边形ABDC的面积为9，点A的坐标为（1，3），
∴3AC＝9，
∴AC＝3，
∴C（4，3），
故答案为（4，3）．
8．（2022 广州）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′，连接PP′，CP′．当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度数为 　 　；当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为 　 　．
【答案】120°，75°．
【分析】如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．利用全等三角形的性质证明∠BEP′＝90°，推出点P′在射线EP′上运动，如图1中，设EP′交BC于点O，再证明△BEO是等腰直角三角形，可得结论．
【解答】解：如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．
∵△BPP′是等边三角形，
∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，
∴∠ABP＝∠EBP′，
在△ABP和△EBP′中，
，
∴△ABP≌△EBP′（SAS），
∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，
∴点P′在射线EP′上运动，
如图1中，设EP′交BC于点O，
当点P′落在BC上时，点P′与O重合，此时∠PP′C＝180°﹣60°＝120°，
当CP′⊥EP′时，CP′的长最小，此时∠EBO＝∠OCP′＝30°，
∴EOOB，OP′OC，
∴EP′＝EO+OP′OBOCBC，
∵BC＝2AB，
∴EP′＝AB＝EB，
∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°，
∴∠BP′C＝45°+90°＝135°，
∴∠PP′C＝∠BP′C﹣∠BP′P＝135°﹣60°＝75°．
故答案为：120°，75°．
9．（2021 广州）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为 　．
【答案】33°．
【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B＝38°，再利用平行线的性质得∠ADB′＝∠A＝38°，接着根据轴对称的性质得到∠CDB′＝∠CDB，则可出∠CDB的度数，然后利用三角形内角和计算出∠BCD的度数．
【解答】解：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝38°，
∵B′D∥AC，
∴∠ADB′＝∠A＝38°，
∵点B关于直线CD的对称点为B′，
∴∠CDB′＝∠CDB（38°+180°）＝109°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝180°﹣38°﹣109°＝33°．
故答案为33°．
10．（2021 深圳）如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC上的点，将△CDE沿DE折叠，得到△FDE，连接BF，CF，∠BFC＝90°，若EF∥AB，AB＝4，EF＝10，则AE的长为 ．
【答案】10﹣4．
【分析】由折叠的性质可得EF＝EC，DF＝DC，∠FED＝∠CED，可证四边形BFEM是平行四边形，可得BM＝EF＝10，由平行线的性质可得∠M＝∠FED＝∠CED＝∠AEM，可求解．
【解答】解：方法一、如图，延长ED交FC于G，延长BA，DE交于点M，
∵将△CDE沿DE折叠，得到△FDE，
∴EF＝EC，DF＝DC，∠FED＝∠CED，
∴EG⊥CF，
又∵∠BFC＝90°，
∴BF∥EG，
∵AB∥EF，
∴四边形BFEM是平行四边形，
∴BM＝EF＝10，
∴AM＝BM﹣AB＝10﹣4，
∵AB∥EF，
∴∠M＝∠FED，
∴∠M＝∠CED＝∠AEM，
∴AE＝AM＝10﹣4，
方法二、延长CA和FB相交于点H，
∵折叠，
∴EF＝EC，
∴∠EFC＝∠ECF，
又∵∠BFC＝90°，
∴∠H＝∠EFH，
∴EF＝EC＝HE＝10，
∵AB∥EF，
∴∠ABH＝∠EFH＝∠H，
∴AB＝AH＝4，
∴AE＝HE﹣AH＝10﹣4．
故答案为：10﹣4．
11．（2021 深圳）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．
（1）过直线m作四边形ABCD的对称图形；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解答过程；
（2）8．
【分析】（1）依据轴对称的性质得出四边形ABCD各顶点的对称点，再顺次连接各顶点即可；
（2）依据四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD进行计算，即可得到四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）如图所示，四边形A'B'C'D'即为所求；
（2）四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD4×14×3＝8．
12．（2021 广东）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点．连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长．
【答案】．
【分析】延长BF交CD于H，连接EH．证明△EDH∽△BAE，推出，推出DH，CH，由CH∥AB，推出，可得结论．
【解答】解：延长BF交CD于H，连接EH．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠D＝∠DAB＝90°，AD＝CD＝AB＝1，
∴AC，
由翻折的性质可知，AE＝EF，∠EAB＝∠EFB＝90°，∠AEB＝∠FEB，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE＝EF，
∵∠D＝∠EFH＝90°，
在Rt△EHD和Rt△EHF中，
，
∴Rt△EHD≌Rt△EHF（HL），
∴∠DEH＝∠FEH，
∵∠DEF+∠AEF＝180°，
∴2∠DEH+2∠AEB＝180°，
∴∠DEH+∠AEB＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠DEH＝∠ABE，
∴△EDH∽△BAE，
∴，
∴DH，CH，
∵CH∥AB，
∴，
∴CGAC．
1．在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，1）先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点A'，则点A'的坐标为（　　）
A．（0，5） B．（﹣5，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣1）
【答案】C
【分析】点向右移横坐标加移动长度，向上移纵坐标加移动长度，根据平移方向及长度计算即可．
【解答】解：将点A（﹣3，1）先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点A'，则横坐标加2，纵坐标加2，点A'的坐标为（﹣1，3）．
故选：C．
2．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
3．有以下说法：
①△ABC在平移的过程中，对应线段一定相等；
②△ABC在平移过程中，对应线段一定平行；
③△ABC在平移过程中，周长保持不变；
④△ABC在平移过程中，对应边中点的连线的长度等于平移的距离．
正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】B
【分析】根据平移的性质对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①△ABC在平移的过程中，对应线段一定相等，正确；
②△ABC在平移过程中，对应线段一定平行或在同一直线上，故本小题错误；
③△ABC在平移过程中，周长保持不变，正确；
④△ABC在平移过程中，对应边中点的连线的长度等于平移的距离，正确．
综上所述，正确的有①③④．
故选：B．
4．下列运动属于平移的是（　　）
A．荡秋千的小朋友 B．转动的电风扇叶片
C．正在上升的电梯 D．行驶的自行车后轮
【答案】C
【分析】利用平移的定义进行判断即可．
【解答】解：A．荡秋千的小朋友是旋转，不符合题意；
B．转动的电风扇叶片是旋转，不符合题意；
C．正在上升的电梯是平移，符合题意；
D．行驶的自行车后轮是旋转，不符合题意．
故选：C．
5．四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可．
【解答】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项合题意；
故选：D．
6．下列有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
【解答】解：选项A、B、C的图形都不能找到一个点，使这些图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D的图形能找到一个点，使这个图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：D．
7．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.8，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（　　）
A．1.8 B．1.6 C．2.6 D．2.8
【答案】A
【分析】根据旋转的性质得到AD＝AB，进而证明△ADB为等边三角形，得到BD＝AB＝2，则CD＝CB﹣BD＝1.8．
【解答】解；由旋转的性质可知，AD＝AB，
∵∠B＝60°，AD＝AB，
∴△ADB为等边三角形，
∴BD＝AB＝2，
∴CD＝CB﹣BD＝1.8，
故选：A．
8．点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝3.5cm，PN＝4cm，MN＝5cm，则线段QR的长为（　　）
A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm
【答案】B
【分析】根据轴对称的性质得到OA垂直平分PQ，OB垂直平分PR，则利用线段垂直平分线的性质得QM＝PM＝3.5cm，RN＝PN＝4cm，然后计算QN，再计算QN+RN即可．
【解答】解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，
∴OA垂直平分PQ，
∴QM＝PM＝3.5cm，
∵MN＝5cm，
∴QN＝MN﹣QM＝5﹣3.5＝1.5（cm），
∵点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，
∴OB垂直平分PR，
∴RN＝PN＝4cm，
∴QR＝QN+RN＝1.5+4＝5.5（cm）．
故选：B．
9．数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边的点F处，其中，且，则矩形ABCD的面积为（　　）
A．80 B．64 C．36 D．18
【答案】A
【分析】首先根据折叠的性质得到∠DFC＝∠C＝90°，然后根据同角的余角相等得到∠DFA＝∠BEF，进而得到，设BF＝4x，EF＝5x，则BE＝3x，CE＝FE＝5x，根据定理求出AD＝8x＝8，DC＝DF＝10x＝10，最后利用矩形面积公式求解即可．
【解答】解：∵矩形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边的点F处，
∴∠DFC＝∠C＝90°，
∴∠DFA+∠BFE＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠DFA＝∠BEF，
∴，
∴设BF＝4x，EF＝5x，则BE＝3x，CE＝FE＝5x，
∴AD＝BC＝8x，
∵，
∴DF＝10x，
∵∠DFC＝∠C＝90°，，
∴DF2+EF2＝DE2，即，
∴解得：x＝1，负值舍去，
∴AD＝8x＝8，DC＝DF＝10x＝10，
∴矩形ABCD的面积＝AD CD＝8×10＝80．
故选：A．
10．如图，将△ABC沿AC方向平移1cm得到△DEF，若DC＝3cm，则AF＝　 　．
【答案】5cm．
【分析】根据平移的性质得出AD＝CF＝1cm，再根据线段的和差关系进行计算即可．
【解答】解：由平移的性质可知，AD＝CF＝1cm，
所以AF＝AD+DC+CF＝1+3+1＝5（cm），
故答案为：5cm．
11．点A（3，2）向右平移2个单位长度得到A'，则A'的坐标为 　 　．
【答案】（5，2）．
【分析】根据点向右平移，横坐标加上平移单位长度即可．
【解答】解：因为点A（3，2）向右平移2个单位长度3+2＝5，
所以点A'的坐标是（5，2）．
故答案为：（5，2）．
12．已知点A（3，﹣2）与点A′关于原点对称，则点A'的坐标为 　 　．
【答案】（﹣3，2）．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：∵点A（3，﹣2）与点A′关于原点对称，
∴点A′的坐标为（﹣3，2）．
故答案为：（﹣3，2）．
13．在平面直角坐标系中点P（﹣1，5）关于y轴对称点的坐标为 　 　．
【答案】（1，5）．
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
【解答】解：在平面直角坐标系中点P（﹣1，5）关于y轴对称点的坐标为（1，5）．
故答案为：（1，5）．
14．如图，每个小正方形的边长为1．
（1）画出三角形ABC先向右平移4格，再向下平移1格后得到的三角形A'B'C'；
（2）求三角形ABC的面积．
【答案】（1）见解答；（2）8．
【分析】（1）将三个顶点分别向右平移4格，再向下平移1格得到其对应点，继而首尾顺次连接即可；
（2）用直角边长为5和7的直角三角形的面积减去上底为1、下底为7、高为2和直角边长为1和3的直角三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．
（2）三角形ABC的面积为5×7（1+7）×21×3＝8．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转得到A′BC′，旋转角为α（0°＜α＜360°），过点A作AE∥C′A′交直线CC′于点E，交AA′于点D．
（1）求证：ED＝C′D；
（2）若∠ABC＝60°，在△ABC绕点B旋转过程中是否存在某个时刻，使得EC′＝AA′，如果存在，请直接写出此时α的度数；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）见解答；
（2）60°或240°．
【分析】（1）连接AE，AC'，根据旋转的性质得出AE＝A′C′．证明四边形AC′A′E是平行四边形即可得证；
（2）由（1）问可知，四边形AC′A′E为平行四边形，当其为矩形时，可使对角线EC′＝AA′．在△ABC的旋转过程中，当点C′在直线AB上时，可使∠AC'A'为直角，此时平行四边形AC'A'E为矩形，求出此时对应的旋转角α即可．
【解答】（1）证明：如图，连接AE，AC'，
∵BC＝BC'，
∴∠C'CB＝∠CC'B，
∵∠ACB＝∠AC′B＝90°，∠EC′C＝180°，
∴∠ACC′＝∠ACB﹣∠C′CB＝90°﹣∠C′CB，
∠EC′A′＝∠EC′C﹣∠AC′B﹣∠CC′B＝180°﹣90°﹣∠CC′B＝90°﹣∠CC′B，
∴∠ACC′＝∠EC′A′，
∵AE∥C′A′，
∴∠EC′A′＝∠AED，
∴∠ACC′＝∠AED，
∴AC＝AE，
由旋转的性质可得，AC＝A′C′，
∴AE＝A′C′．
∵AE∥C′A′，
∴四边形AC′A′E是平行四边形，
∴ED＝C′D．
（2）解：如图，当点C′在线段AB上时，
∵∠AC′B＝90°，点C′在线段AB上，
∴∠AC′A′＝90°，
∵四边形AC′A′E是平行四边形，
∴四边形AC′A′E是矩形，
∴EC′＝AA′，
∵∠ABC＝60°，
∴此时旋转角α的度数为60°．
如图，当点C′在线段AB的延长线上时，
∵∠AC′B＝90°，点C′在线段AB的延长线上，
∴∠AC′A′＝90°，
∵四边形AC′A′E是平行四边形，
∴ AC′A′E是矩形，
∴EC′＝AA′，
∵∠ABC＝60°，
∴∠CBC′＝120°，
：此时旋转角α的度数为240°，
故存在，此时旋转角α的度数为60°或240°．
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