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第五章 统计与概率
第二十二节 概率
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 随机事件的概率 ☆☆ 概率知识板块应扎实掌握概率与几何、频率估计概率、用树状图或列表法求概率、游戏的公平性问题等内容。在广东省的中考中甚至是全国的中考里面，概率基本都是必考点，一般会有一道选择题或者填空题，考查比较简单的概率知识。同时会有一道解答题考查列表法或者使用列树状图法来求概率，总体难度均不大，属于考生易得分题，一轮复习注意加强图文解读，便可轻松获得此部分的分值。
考点2 利用频率估计概率 ☆☆
考点3 列表法或树状图法求概率 ☆☆☆
考点1 随机事件的概率
相关概念的定义与意义
确定事件 一定发生的事件是必然事件,概率为1.一定不会发生的事件是不可能事件,概率为0.
随机事件 在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件是随机事件,它发生的概率介于0与1之间.
概率的定义 一个事件发生的可能性叫做该事件发生的概率,事件A发生的概率一般记为P(A).
概率的意义 一个事件发生的概率是一个确定的数,它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小
概率的 计算公式 如果事件发生的各种结果的可能性相等且互相排斥,结果总数为n,事件A包含其中的结果数为m(m≤n),那么事件A发生的概率P(A)=m÷n
考点2 利用频率估计概率
1.利用频率估计概率
在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。
2.在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。
3.随机数
在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。
考点3 列表法或树状图法求概率
1.列表法
用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
2.列表法的应用
当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
3.树状图法
就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
4.运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
考点1 随机事件的概率
◇例题
1．（2023 龙湖区校级三模）从数学的观点看，对以下成语及诗句中的事件判断正确的是（　　）
A．成语“守株待兔”是随机事件
B．成语“水中捞月”是随机事件
C．诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件
D．诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件
【分析】根据随机事件，不可能事件，必然事件的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、成语“守株待兔”是随机事件，故A符合题意；
B、成语“水中捞月”是不可能事件，故B不符合题意；
C、诗句“清明时节雨纷纷”是随机事件，故C不符合题意；
D、诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是必然事件，故D不符合题意；
故选：A．
2．（2023 顺德区三模）如图是由6个全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取一点，那么这个点取在阴影部分的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【分析】根据阴影部分的面积所占比例得出概率即可．
【解答】解：由图知，阴影部分的面积占图案面积的＝，
即这个点取在阴影部分的概率是，
故选：B．
3．（2021 广东模拟）掷一枚质地均匀的硬币，前9次都是反面朝上，则掷第10次时反面朝上的概率是　　．
【分析】投掷一枚硬币，是一个随机事件，可能出现的情况有两种：反面朝上或者反面朝下，而且机会相同．
【解答】解：第10次掷硬币，出现反面朝上的机会和朝下的机会相同，都为；
故答案为：．
◆变式训练
1．（2023 阳春市二模）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．抛掷硬币时，正面朝上
B．经过红绿灯路口，遇到红灯
C．明天太阳从东方升起
D．玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、抛掷硬币时，正面朝上，是随机事件，故A不符合题意；
B、经过红绿灯路口，遇到红灯，是随机事件，故B不符合题意；
C、明天太阳从东方升起，是必然事件，故C符合题意；
D、玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”，是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
2．（2023 东莞市一模）某校举行演讲比赛，计划在九年级选取1名主持人，报名情况为：九（1）班有2人报名，九（2）班有4人报名，九（3）班有6人报名．若从这12名同学中随机选取1名主持人，则九（1）班同学当选的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】用一班的学生数除以所有报名学生数的和即可求得答案．
【解答】解：∵九（1）班有2人报名，九（2）班有4人报名，九（3）班有6人报名，
∴共有12名同学，
∵九（1）班有2名，
∴P＝＝；
故选：D．
3．（2023 南海区校级三模）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：观察这个图可知：黑色区域（5块）的面积占总面积（9块）的，
则它最终停留在黑砖上的概率是．
故选：C．
考点2 利用频率估计概率
◇例题
（2023 东莞市校级二模）下表是某种幼苗在一定条件下移植后成活率的试验结果．
移植总数n 5 50 200 500 1000 3000
成活数m 4 45 188 476 951 2850
成活的频率 0.8 0.9 0.94 0.952 0.951 0.95
则在相同条件下这种幼苗可成活的概率可估计为 　 ．
【答案】0.95．
【分析】概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
【解答】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
∴这种幼苗可成活的概率可估计为0.95，
故答案为：0.95．
◆变式训练
1．（2024 深圳模拟）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据：
试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000
落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 996 1503
落在“心形线”内部的频率 0.610 0.465 0.550 0.492 0.506 0.498 0.501
根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（　　）
A．0.46 B．0.50 C．0.55 D．0.61
【答案】B
【分析】利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可．
【解答】解：当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在0.50附近，
则估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为0.50．
故选：B．
2．（2023 高州市校级二模）一个暗箱中放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中只有2个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%，那么可以估算a的值是（　　）
A．15 B．10 C．4 D．3
【答案】B
【分析】因为除了颜色其他完全相同的球，在摸的时候出现的机会是均等的，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的可能性稳定在20%，可知红球占总球数大约就是20%，问题就转化成了一个数的20%是2，求这个数，用除法计算即可．
【解答】解：根据题意得：
2÷20%＝10（个），
答：可以估算a的值是10；
故选：B．
3．（2023 南海区模拟）木箱里装有仅颜色不同的8张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出1张卡片记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝色卡片有（　　）
A．18张 B．12张 C．6张 D．10张
【答案】B
【分析】根据蓝色卡片的频率可得摸到蓝色卡片的概率，根据概率公式即可求出蓝色卡片的数量．
【解答】解：设木箱中蓝色卡片有x张，根据题意得：
0.6，
解得：x＝12，
经检验x＝12是原方程的解，
则估计木箱中蓝色卡片有12张．
故选：B．
考点3 列表法或树状图法求概率
◇例题
（2023 从化区一模）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两个小灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为；
故选：C．
◆变式训练
1．（2023 禅城区校级一模）随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成．现对由两个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是一个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有4种等可能结果，其中恰好是一个黑色小正方形和一个白色小正方形的有2种结果，
所以恰好是一个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为，
故选：A．
2．（2023 深圳模拟）人类的性别是由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时，是女性；当染色体为XY时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有2种，
∴该小孩为女孩的概率为，
故选：C．
3.．（2024 深圳模拟）深圳蕴藏丰富的旅游文化资源．为促进深港两地学生交流，某校开展“美丽深圳，深港同行”主题活动，景点有三个：A．梧桐烟云，B．莲花春早，C．梅沙踏浪．每位参加交流的学生都可以从中随机选择一个景点．
（1）参加此次交流活动的小军选择的景点为“梧桐烟云”的概率是 　；
（2）请用列表或画树状图的方法，求小明和小颖选择的景点都是“莲花春早”的概率．
【答案】（1）；
（2）小明和小颖选择的景点都是“莲花春早”的概率为．
【分析】（1）在A．梧桐烟云，B．莲花春早，C．梅沙踏浪三个选项中，小军选择的景点为“梧桐烟云”的概率为，于是得到问题的答案；
（2）根据题意画出树状图，可知共有9种等可能的结果，而小明和小颖选择的景点都是“莲花春早”的结果有1种，则小明和小颖选择的景点都是“莲花春早”的概率为．
【解答】解：（1）∵有A．梧桐烟云，B．莲花春早，C．梅沙踏浪三个选项，
∴小军选择的景点为“梧桐烟云”的概率为，
故答案为：．
（2）根据题意画树状图如图所示，
共有9种等可能的结果，其中小明和小颖选择的景点都是“莲花春早”的结果有1种，
∴P（小明和小颖选择的景点都是“莲花春早”），
∴小明和小颖选择的景点都是“莲花春早”的概率为．
1．（2023 广东）某学校开设了劳动教育课程．小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等．小明恰好选中“烹饪”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用概率公式可得答案．
【解答】解：∵共有“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门兴趣课程，
∴小明恰好选中“烹饪”的概率为．
故选：C．
2.（2021 广东）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有36种等可能的结果，其中两枚骰子向上的点数之和为7的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图为：
共有36种等可能的结果，其中两枚骰子向上的点数之和为7的结果有6种，
∴两枚骰子向上的点数之和为7的概率为＝，
故选：B．
3．（2022 广州）为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中甲被抽中的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲被抽中的结果有6种，
∴甲被抽中的概率为，
故选：A．
4．（2023 深圳）小明从《红星照耀中国》，《红岩》，《长征》，《钢铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选一本，其中拿到《红星照耀中国》这本书的概率为 　 ．
【答案】．
【分析】直接由概率公式求解即可．
【解答】解：小明从《红星照耀中国》，《红岩》，《长征》，《钢铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选一本，拿到《红星照耀中国》这本书的概率为，
故答案为：．
5．（2023 广州）甲、乙两位同学相约打乒乓球．
（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A，B，C，D），若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；
（2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？
【答案】（1）；
（2）公平，理由见解答．
【分析】（1）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，再用乙选中球拍C的结果数除以总的结果数即可；
（2）分别求出甲先发球和乙先发球的概率，再比较大小，如果概率相同则公平，否则不公平．
【解答】解：（1）画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果，
∴P（乙选中球拍C）；
（2）公平．理由如下：
画树状图如下：
一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，
∴P（甲先发球），
P（乙先发球），
∵P（甲先发球）＝P（乙先发球），
∴这个约定公平．
6.（2019 广东）为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据图表信息解答下列问题：
成绩等级频数分布表
成绩等级 频数
A 24
B 10
C x
D 2
合计 y
（1）x＝　 　，y＝　 　，扇形图中表示C的圆心角的度数为　 度；
（2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲，乙两名学生的概率．
【分析】（1）随机抽取男生人数：10÷25%＝40（名），即y＝40；C等级人数：40﹣24﹣10﹣2＝4（名），即x＝4；扇形图中表示C的圆心角的度数360°×＝36°；
（2）先画树状图，然后求得P（同时抽到甲，乙两名学生）＝＝．
【解答】（1）随机抽取男生人数：10÷25%＝40（名），即y＝40；
C等级人数：40﹣24﹣10﹣2＝4（名），即x＝4；
扇形图中表示C的圆心角的度数360°×＝36°．
故答案为4，40，36；
（2）画树状图如下：
P（同时抽到甲，乙两名学生）＝＝．
1．下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A．零下15℃的天气，狂风暴雨
B．直角三角形的两锐角互余
C．射击运动员射击一次，命中9环
D．实心铁球漂浮在水面上
【答案】C
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、“零下15℃的天气，狂风暴雨”是不可能事件，不符合题意；
B、“直角三角形的两锐角互余”是必然事件，不符合题意；
C、“射击运动员射击一次，命中9环”是随机事件，符合题意；
D、“实心铁球漂浮在水面上”是不可能事件，不符合题意；
故选：C．
2．“明天是晴天”这个事件是（　　）
A．确定事件 B．不可能事件
C．必然事件 D．随机事件
【答案】D
【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
【解答】解：“明天是晴天”这个事件是随机事件，属于不确定事件，
故选：D．
3．袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和大于6的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽取的两个球数字之和大于6的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，抽取的两个球数字之和大于6的有10种情况，
∴抽取的两个球数字之和大于6的概率是：，
故选：B．
4．下列事件中属于不可能事件的是（　　）
A．投掷一枚骰子，朝上的点数为3
B．13个人中有两个人生日在同一个月份
C．从只装有红球和白球的袋子中摸出黑球
D．两点之间，线段最短
【答案】C
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、投掷一枚骰子，朝上的点数为3是随机事件，不符合题意；
B、13个人中有两个人生日在同一个月份是必然事件，不符合题意；
C、从只装有红球和白球的袋子中摸出黑球是不可能事件，符合题意；
D、两点之间，线段最短是必然事件，不符合题意；
故选：C．
5．某大型生鲜超市购进一批草莓，在运输、储存过程中部分草莓损坏（不能出售），超市工作人员从所有草莓中随机抽取了若干进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录如下表：
草莓总质量n/斤 20 50 100 200 500
损坏草莓质量m/斤 3.12 7.7 15.2 29.8 74.5
草莓损坏的频率 0.156 0.154 0.152 0.149 0.149
根据表中数据可以估计，这批草莓的损坏率为 　 　．（结果保留两位小数）
【答案】0.15．
【分析】根据利用频率估计概率得到随抽取次数的增多，草莓损坏率越来越稳定在0.15左右，由此可估计草莓的损坏率大约是0.15．
【解答】解：根据表中的损坏的频率，当抽取次数的增多时，草莓损坏的频率越来越稳定在0.15左右，所以可估计草莓损坏率大约是0.15．
故答案为：0.15．
6．剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉民族最古老的民间艺术之一，其在视觉上给人以镂空的感觉和艺术享受．小芳从下面4幅剪纸中任取出一幅，选到的剪纸恰好是轴对称图形的概率是 　．
【答案】．
【分析】先判断轴对称图形的数量，再利用概率公式计算即可．
【解答】解：四个图形中第2个，第3个，第4个图形是轴对称图形，
∴选到的剪纸恰好是轴对称图形的概率是，
故答案为：．
13．为了落实“双减”精神，弘扬非遗（非物质文化遗产）传统文化，某校在课外兴趣班中拟开展如下活动：A（瑞昌剪纸）、B（瑞昌竹编）、C（九江山歌）、D（德安潘公戏）．小明和小涵随机报名参加其中的一项兴趣活动．
（1）“小明参加九江山歌兴趣活动”这一事件是 　 　；（请将正确答案的序号填写在横线上）
①必然事件；②不可能事件；③随机事件；
（2）请用列表或画树状图的方法，求小明和小涵参加的兴趣活动都是瑞昌的非物质文化遗产的概率．
【答案】（1）③；
（2）．
【分析】（1）根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义判断填空即可；
（2）用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出小明和小涵参加的兴趣活动都是瑞昌的非物质文化遗产的可能结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【解答】解：（1）∵小明参加四项活动时随机的，
∴“小明参加九江山歌兴趣活动”这一事件是随机事件，
故答案为：③；
（2）根据题意，列表如下：
小涵 小明 A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B．A） （B，B） （B，C） （B，D）
c （C．A） （C．B） （C．C） （C．D）
D （D，A） （D．B） （D．C） （D．D）
由表可知，共16种等可能的情况，其中小明和小涵参加的兴趣活动都是瑞昌的非物
质文化遗产的有4种．
∴P（小明和小涵参加的兴趣活动都是瑞昌的非物质文化遗产）．
13．某校服生产厂对一批冬装校服的质量进行检测，随机抽取了500套校服，其中合格的有475套．
（1）从这批校服中任意抽取一套是合格品的概率的估计值是 　 　．（结果精确到0.01）
（2）若这批冬装校服有8000套，请估计其中合格的有多少套？
【答案】（1）0.95；
（2）该厂估计其中合格的有7600套．
【分析】（1）用抽查中合格的套数除以随机抽取的总套数即可得出从这批校服中随机抽取一套的合格概率；
（2）利用样本合格率估计总体即可．
【解答】解：（1）根据题意得0.95，
答：从这批校服中任意抽取一套是合格品的概率的估计值是0.95；
故答案为：0.95；
（2）根据题意得：
8000×0.95＝7600（套），
答：该厂估计其中合格的有7600套．
14．在春节来临之际，某商场开展“庆新年”有奖酬宾活动：一次性购物满198元，均可得到一次在不透明的纸盒里抽奖的机会，抽奖规则如下：抽奖者从该纸盒中依次摸出两个球（不放回）．已知该纸盒里装有3个红球和2个白球，它们除颜色外其它都相同．
（1）当抽奖者从该纸盒中摸出第一个球时，抽到红球的概率是多少？
（2）该商场支持“在线支付”和“现金支付”两种付款方式，根据抽奖者的付款方式和球的颜色决定赠送相应券值的礼金券．（如表）
在线支付：
球 两红 一红一白 两白
礼金券/元 5 10 5
现金支付：
球 两红 一红一白 两白
礼金券/元 10 5 10
如果一个顾客当天在该商场一次性购物200元，他很想获得10元的礼金券，你推荐他采用哪种支付方式？并说明理由．
【答案】（1）．
（2）选择在线支付．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽到两个红球的结果数、抽到一个红球一个白球的结果数、抽到两个白球的结果数，再利用概率公式可求出采用在线支付获得10元的礼金券的概率和采用现金支付获得10元的礼金券的概率，进而可得结论．
【解答】解：（1）由题意得，当抽奖者从该纸盒中摸出第一个球时，抽到红球的概率是．
（2）列表如下：
红 红 红 白 白
红 （红，红） （红，红） （红，白） （红，白）
红 （红，红） （红，红） （红，白） （红，白）
红 （红，红） （红，红） （红，白） （红，白）
白 （白，红） （白，红） （白，红） （白，白）
白 （白，红） （白，红） （白，红） （白，白）
共有20种等可能的结果，其中抽到两个红球的结果有6种，抽到一个红球一个白球的结果有12种，抽到两个白球的结果有2种，
∴采用在线支付获得10元的礼金券的概率为，采用现金支付获得10元的礼金券的概率为．
∵，
∴选择在线支付．
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第五章 统计与概率
第二十二节 概率
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 随机事件的概率 ☆☆ 概率知识板块应扎实掌握概率与几何、频率估计概率、用树状图或列表法求概率、游戏的公平性问题等内容。在广东省的中考中甚至是全国的中考里面，概率基本都是必考点，一般会有一道选择题或者填空题，考查比较简单的概率知识。同时会有一道解答题考查列表法或者使用列树状图法来求概率，总体难度均不大，属于考生易得分题，一轮复习注意加强图文解读，便可轻松获得此部分的分值。
考点2 利用频率估计概率 ☆☆
考点3 列表法或树状图法求概率 ☆☆☆
考点1 随机事件的概率相关概念的定义与意义
确定事件 一定发生的事件是_____事件,概率为1.一定不会发生的事件是_____事件,概率为0.
随机事件 在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件是_____事件,它发生的概率介于0与1之间.
概率的定义 一个事件发生的可能性叫做该事件发生的概率,事件A发生的概率一般记为P(A).
概率的意义 一个事件发生的概率是一个确定的数,它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小
概率的 计算公式 如果事件发生的各种结果的可能性相等且互相排斥,结果总数为n,事件A包含其中的结果数为m(m≤n),那么事件A发生的概率P(A)=m÷n
考点2 利用频率估计概率
1.利用频率估计概率
在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。
2.在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。
3.随机数
在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。
考点3 列表法或树状图法求概率
1.列表法
用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做_____法。
2.列表法的应用
当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果_____时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
3.树状图法
就是通过列树状图列出某事件的所有_____的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
4.运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了_____地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
考点1 随机事件的概率
◇例题
1．（2023 龙湖区校级三模）从数学的观点看，对以下成语及诗句中的事件判断正确的是（　　）
A．成语“守株待兔”是随机事件
B．成语“水中捞月”是随机事件
C．诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件
D．诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件
2．（2023 顺德区三模）如图是由6个全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取一点，那么这个点取在阴影部分的概率是（　　）
A． B． C． D．1
3．（2021 广东模拟）掷一枚质地均匀的硬币，前9次都是反面朝上，则掷第10次时反面朝上的概率是　　．
◆变式训练
1．（2023 阳春市二模）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．抛掷硬币时，正面朝上 B．经过红绿灯路口，遇到红灯
C．明天太阳从东方升起 D．玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”
2．（2023 东莞市一模）某校举行演讲比赛，计划在九年级选取1名主持人，报名情况为：九（1）班有2人报名，九（2）班有4人报名，九（3）班有6人报名．若从这12名同学中随机选取1名主持人，则九（1）班同学当选的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 南海区校级三模）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（　　）
A． B． C． D．
考点2 利用频率估计概率
◇例题
（2023 东莞市校级二模）下表是某种幼苗在一定条件下移植后成活率的试验结果．
移植总数n 5 50 200 500 1000 3000
成活数m 4 45 188 476 951 2850
成活的频率 0.8 0.9 0.94 0.952 0.951 0.95
则在相同条件下这种幼苗可成活的概率可估计为 　 ．
◆变式训练
1．（2024 深圳模拟）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据：
试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000
落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 996 1503
落在“心形线”内部的频率 0.610 0.465 0.550 0.492 0.506 0.498 0.501
根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（　　）
A．0.46 B．0.50 C．0.55 D．0.61
2．（2023 高州市校级二模）一个暗箱中放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中只有2个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%，那么可以估算a的值是（　　）
A．15 B．10 C．4 D．3
3．（2023 南海区模拟）木箱里装有仅颜色不同的8张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出1张卡片记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝色卡片有（　　）
A．18张 B．12张 C．6张 D．10张
考点3 列表法或树状图法求概率
◇例题
（2023 从化区一模）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023 禅城区校级一模）随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成．现对由两个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是一个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2023 深圳模拟）人类的性别是由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时，是女性；当染色体为XY时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是（　　）
A． B． C． D．
3.．（2024 深圳模拟）深圳蕴藏丰富的旅游文化资源．为促进深港两地学生交流，某校开展“美丽深圳，深港同行”主题活动，景点有三个：A．梧桐烟云，B．莲花春早，C．梅沙踏浪．每位参加交流的学生都可以从中随机选择一个景点．
（1）参加此次交流活动的小军选择的景点为“梧桐烟云”的概率是 　；
（2）请用列表或画树状图的方法，求小明和小颖选择的景点都是“莲花春早”的概率．
1．（2023 广东）某学校开设了劳动教育课程．小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等．小明恰好选中“烹饪”的概率为（　　）
A． B． C． D．
2.（2021 广东）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022 广州）为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 深圳）小明从《红星照耀中国》，《红岩》，《长征》，《钢铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选一本，其中拿到《红星照耀中国》这本书的概率为 　 ．
5．（2023 广州）甲、乙两位同学相约打乒乓球．
（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A，B，C，D），若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；
（2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？
6.（2019 广东）为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据图表信息解答下列问题：
成绩等级频数分布表
成绩等级 频数
A 24
B 10
C x
D 2
合计 y
（1）x＝　 　，y＝　 　，扇形图中表示C的圆心角的度数为　 度；
（2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲，乙两名学生的概率．
1．下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A．零下15℃的天气，狂风暴雨
B．直角三角形的两锐角互余
C．射击运动员射击一次，命中9环
D．实心铁球漂浮在水面上
2．“明天是晴天”这个事件是（　　）
A．确定事件 B．不可能事件
C．必然事件 D．随机事件
3．袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和大于6的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．下列事件中属于不可能事件的是（　　）
A．投掷一枚骰子，朝上的点数为3 B．13个人中有两个人生日在同一个月份
C．从只装有红球和白球的袋子中摸出黑球 D．两点之间，线段最短
5．某大型生鲜超市购进一批草莓，在运输、储存过程中部分草莓损坏（不能出售），超市工作人员从所有草莓中随机抽取了若干进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录如下表：
草莓总质量n/斤 20 50 100 200 500
损坏草莓质量m/斤 3.12 7.7 15.2 29.8 74.5
草莓损坏的频率 0.156 0.154 0.152 0.149 0.149
根据表中数据可以估计，这批草莓的损坏率为 　 　．（结果保留两位小数）
6．剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉民族最古老的民间艺术之一，其在视觉上给人以镂空的感觉和艺术享受．小芳从下面4幅剪纸中任取出一幅，选到的剪纸恰好是轴对称图形的概率是 　．
13．为了落实“双减”精神，弘扬非遗（非物质文化遗产）传统文化，某校在课外兴趣班中拟开展如下活动：A（瑞昌剪纸）、B（瑞昌竹编）、C（九江山歌）、D（德安潘公戏）．小明和小涵随机报名参加其中的一项兴趣活动．
（1）“小明参加九江山歌兴趣活动”这一事件是 　 　；（请将正确答案的序号填写在横线上）
①必然事件；②不可能事件；③随机事件；
（2）请用列表或画树状图的方法，求小明和小涵参加的兴趣活动都是瑞昌的非物质文化遗产的概率．
13．某校服生产厂对一批冬装校服的质量进行检测，随机抽取了500套校服，其中合格的有475套．
（1）从这批校服中任意抽取一套是合格品的概率的估计值是 　 　．（结果精确到0.01）
（2）若这批冬装校服有8000套，请估计其中合格的有多少套？
14．在春节来临之际，某商场开展“庆新年”有奖酬宾活动：一次性购物满198元，均可得到一次在不透明的纸盒里抽奖的机会，抽奖规则如下：抽奖者从该纸盒中依次摸出两个球（不放回）．已知该纸盒里装有3个红球和2个白球，它们除颜色外其它都相同．
（1）当抽奖者从该纸盒中摸出第一个球时，抽到红球的概率是多少？
（2）该商场支持“在线支付”和“现金支付”两种付款方式，根据抽奖者的付款方式和球的颜色决定赠送相应券值的礼金券．（如表）
在线支付：
球 两红 一红一白 两白
礼金券/元 5 10 5
现金支付：
球 两红 一红一白 两白
礼金券/元 10 5 10
如果一个顾客当天在该商场一次性购物200元，他很想获得10元的礼金券，你推荐他采用哪种支付方式？并说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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