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第四章 图形的性质
第二十节 图形的相似
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1：比例线段与相似图形 ☆ 此部分内容在广东中考常以综合题形式来体现知识，作为初中几何部分的一个重要内容，很多涉及几何的试题都需要借助相似的性质解决，其知识内容主要包括：平行线分线段分成比例，相似图形，相似三角形的性质和判定，图形的位似以及相似三角形的实际应用。在广东中考中，像平行线分线段分成比例、图形的位似和相似三角形的性质等一些基础知识都可能会以选择题和填空题的形式进行单独考查，内容形式单一简单，纵观广东中考还是多与其他几何知识相结合进行运用考查，在综合题中一般难度较大，需要多掌握解答技巧和解题模型。
考点2：相似三角形 ☆☆☆
考点3：图形的位似 ☆☆
考点1：比例线段与相似图形
1. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比______，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项）
（2）若a:b=b:c ，则b2=ac（b称为a、c的比例中项）．
2．相似图形：在数学上，我们把形状______的图形称为相似图形(similar figures).
(1) 相似图形就是指形状相同，但______不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等.
3.相似多边形
各角分别______，各边成______的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形．
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比.
考点2：相似三角形
1.相似三角形的判定:
（1）平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.
（2）两角分别______的两个三角形相似.
要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
（3）两边______夹角______的两个三角形相似.
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
（4）三边成______的两个三角形相似.
2.相似三角形的性质：
（1）相似三角形的对应角______，对应边的比______；
（2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于______；
（3）相似三角形周长的比等于______；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的______.
3.相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角______，对应边的比______．
（2）相似多边形的周长比等于______．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的______．
考点3：图形的位似
1．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似______，相似比叫做______．
2．性质：
（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；
（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．
3．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．
4．画位似图形的步骤：
（1）确定位似中心；
（2）确定原图形的关键点；
（3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；
（4）作出原图形中各关键点的对应点；
考点1 比例线段与相似图形
◇例题
1.（2023 茂南区二模）任意下列两个图形不一定相似的是（　　）
A．正方形 B．等腰直角三角形
C．矩形 D．等边三角形
2.（2023 禅城区校级三模）如图，AD∥BE∥CF，点B，E分别在AC，DF上，AB＝2，DE＝BC＝3，则EF长为（　　）
A．4 B．2 C． D．
3.（2023 霞山区校级一模）已知，则　 　．
4.（2023 福田区校级二模）黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，B为AC的黄金分割点（AB＞BC），如图AC长度为15cm，则AB的长度约有________cm．（黄金分割率为0.618）
◆变式训练
1．（2023 南海区校级模拟）已知2a＝3b（ab≠0），则下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023 深圳模拟）某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AB与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD之比是黄金比（约等于0.618）．已知CD＝80cm，则AB约是（　　）
A．30cm B．49cm C．55cm D．129cm
3．（2023 东莞市校级一模）如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F．若AB：BC＝5：3，DE＝15，则EF的长为（　　）
A．6 B．9 C．10 D．25
4．（2022 中山市三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1∽矩形ADCB；再连接AC1，以对角线AC1为边，按逆时针方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2∽矩形ACC1B1，…，按照此规律作下去，则边AC2022的长为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2022 南海区一模）四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝2cm，d＝8cm，则a的长为 　　．
6．（2022 龙岗区一模）四条线段a、b、c、d成比例，其中a＝1cm、b＝3cm、c＝3cm，则线段d=___cm．
7．（2024 深圳模拟）已知5a＝2b，则a：b＝　 　．
考点2 相似三角形
◇例题
1.（2023 汕头二模）若两个相似三角形的周长之比是1：2，则它们的面积之比是（　　）
A．1：2 B．1： C．2：1 D．1：4
2.（2023 南海区校级模拟）已知BD是平行四边形ABCD的对角线，E是AB上一点，连接EC，交BD于点F，若△BEF与△DCF的面积比是1：9，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3.（2023 高州市校级二模）如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023 蓬江区一模）如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，则△ADC与△ABC的面积比是（　　）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
2．（2023 东莞市校级二模）如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：3，BC，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 天河区校级三模）如图，正方形MNPQ内接于△ABC，点M、N在BC上点P、Q分别在AC和AB边上，且BC边上的高AD＝6，BC＝12，则正方形MNPQ的边长为（　　）
A．6 B．5 C．3 D．4
4．（2023 南海区校级模拟）如图，身高1.6米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE的长是2米，则路灯AB的高为（　　）
A．5米 B．6.4米 C．8米 D．10米
考点3 图形的位似
◇例题
1.（2023 仁化县二模）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D'，已知 ，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A'B'C'D'的面积是（　　）
A．4 B．6 C．16 D．18
◆变式训练
1．（2023 南海区校级一模）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA：AD＝2：3，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（　　）
A．12 B．18 C．20 D．50
2．（2023 茂南区校级模拟）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD＝1：3，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．27
3．（2023 顺德区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'位似，且原点O为位似中心，其位似比为1：2，若点B（﹣4，﹣2），则其对应点B'的坐标为（　　）
A．（2，8） B．（8，2） C．（4，8） D．（8，4）
1．（2023 广东）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了（　　）
A．黄金分割数 B．平均数
C．众数 D．中位数
2．（2023 广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 　　．
3．（2020 深圳）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB，，则　 　．
4．（2023 广州）如图，AC是菱形ABCD的对角线．
（1）尺规作图：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B旋转后的对应点为D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，连接BD，CE．
①求证：△ABD～△ACE；
②若tan∠BAC，求cos∠DCE的值．
5．（2021 深圳）在正方形ABCD中，等腰直角△AEF，∠AFE＝90°，连接CE，H为CE中点，连接BH、BF、HF，发现和∠HBF为定值．
（1）①　 ；
②∠HBF＝　 　；
③小明为了证明①②，连接AC交BD于O，连接OH，证明了和的关系，请你按他的思路证明①②．
（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，k，∠BDA＝∠EAF＝θ（0°＜θ＜90°）．
求①　 ；（用k的代数式表示）
②　 　．（用k、θ的代数式表示）
6．（2020 深圳）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．
1．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB＝DE，BC＝4，则EF的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
2．下列各组的四条线段成比例的是（　　）
A．1cm、2cm、3cm、4cm B．2cm、4cm、6cm、8cm
C．5cm、30cm、10cm、15cm D．5cm、20cm、10cm、15cm
3．若，则（　　）
A． B． C．7 D．﹣7
4．如图所示，王华晚上在路灯下散步，已知王华的身高AB＝1.6米，灯柱的高OP＝O'P'＝4.8米，两灯柱之间的距离OO'＝10米，王华在两路灯之间行走时（O、A、O'三点在一条直线上），则他身子前后的两个影子之和DC的长为（　　）米．
A．6 B．5 C．4 D．3
5．如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，四边形ABCD的面积等于4，则四边形A′B′C′D′的面积为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．9
6．若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），则AC＝　 ．（保留根号）
7．△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，且△ABC与△DEF的相似比是2：1，则点C（6，8）的对应点F的坐标为 　 　．
8．如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上撬起，石头就被撬动了．在图②中，杠杆的D端被向上撬起的距离BD＝9cm，动力臂OA与阻力臂OB满足OA＝3OB（AB与CD相交于点O），要把这块石头撬起，至少要将杠杆的C点向下压 　cm．
9．如图，N是线段AB上一点，AC⊥AB，BD⊥AB，NM⊥AB，联结CM并延长交AB于点P，联结DM并延长交AB于点Q．已知AB＝4，AC＝3，BD＝2，MN＝1，PN＝1.2，那么QN＝　 　．
10．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1，l2，l3于点A、C、E和点B、D、F，若AC：CE＝2：3，BF＝9，求DF的长．
11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣4，3），C（﹣3，1）．
（1）以点B为位似中心，在点B的下方画出△A1BC1，使△A1BC1与△ABC位似，且相似比为2：1；
（2）画出△A2B1C2，使得它与△ABC关于点O中心对称，并写出C2的坐标．
12．如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．
（1）求证：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF CE．
13．如图，在菱形ABCD中，∠B＝120°，E为BC边上一动点（点E不与B，C重合），连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转120°得到线段FE，连接AC，AF，AF交CD边于点H，设，．
【尝试初探】
（1）如图1，求证：△ABC∽△AEF；
【深入探究】
（2）如图2，连接CF，当x＝1时，探究得出y的值为1，请写出证明过程；
【联系拓展】
（3）结合（2）的探究经验，从特殊到一般，最后得出y与x之间满足的关系式为．请根据该关系式，解决下列问题：连接EH，若AB＝12，当△EHF为等腰三角形时，求BE的长．
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第四章 图形的性质
第二十节 图形的相似
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1：比例线段与相似图形 ☆ 此部分内容在广东中考常以综合题形式来体现知识，作为初中几何部分的一个重要内容，很多涉及几何的试题都需要借助相似的性质解决，其知识内容主要包括：平行线分线段分成比例，相似图形，相似三角形的性质和判定，图形的位似以及相似三角形的实际应用。在广东中考中，像平行线分线段分成比例、图形的位似和相似三角形的性质等一些基础知识都可能会以选择题和填空题的形式进行单独考查，内容形式单一简单，纵观广东中考还是多与其他几何知识相结合进行运用考查，在综合题中一般难度较大，需要多掌握解答技巧和解题模型。
考点2：相似三角形 ☆☆☆
考点3：图形的位似 ☆☆
考点1：比例线段与相似图形
1. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项）
（2）若a:b=b:c ，则b2=ac（b称为a、c的比例中项）．
2．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等.
3.相似多边形
各角分别相等，各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形．
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比.
考点2：相似三角形
1.相似三角形的判定:
（1）平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.
（2）两角分别相等的两个三角形相似.
要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
（3）两边成比例夹角相等的两个三角形相似.
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
（4）三边成比例的两个三角形相似.
2.相似三角形的性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；
（2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比；
（3）相似三角形周长的比等于相似比；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方.
3.相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
考点3：图形的位似
1．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．
2．性质：
（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；
（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．
3．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．
4．画位似图形的步骤：
（1）确定位似中心；
（2）确定原图形的关键点；
（3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；
（4）作出原图形中各关键点的对应点；
考点1 比例线段与相似图形
◇例题
1.（2023 茂南区二模）任意下列两个图形不一定相似的是（　　）
A．正方形 B．等腰直角三角形
C．矩形 D．等边三角形
【答案】C
【分析】相似图形的定义：形状相同的两个图形是相似形；如果各角分别相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形；根据这两个定义即可判断得解．
【解答】解：A、因为任意两个正方形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以A不符合题意
B、因为任意两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以B不符合题意；
C、因为任意两个矩形的对应边不一定成比例，对应角相等，不是相似图形，所以C符合题意；
D、因为任意两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以D不符合题意；
故选：C．
2.（2023 禅城区校级三模）如图，AD∥BE∥CF，点B，E分别在AC，DF上，AB＝2，DE＝BC＝3，则EF长为（　　）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例列出比例式，代入计算即可．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵AB＝2，DE＝BC＝3，
∴，
解得：EF，
故选：D．
3.（2023 霞山区校级一模）已知，则　 　．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用设k法，进行计算即可解答．
【解答】解：∵，
∴设a＝3k，b＝5k，
∴4，
故答案为：4．
4.（2023 福田区校级二模）黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，B为AC的黄金分割点（AB＞BC），如图AC长度为15cm，则AB的长度约有________cm．（黄金分割率为0.618）
【答案】9.27．
【分析】根据黄金分割的定义可知：，由此求解即可．
【解答】解：∵B为AC的黄金分割点，AB＞BC，AC＝15cm，
∴，
∴AB＝0.618 AC＝9.27（cm）．
故答案为：9.27．
◆变式训练
1．（2023 南海区校级模拟）已知2a＝3b（ab≠0），则下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据比例的性质，即可求解．
【解答】解：∵2a＝3b（ab≠0），
∴，故A选项错误，不符合题意；
C选项正确，符合题意；
，故B、D选项错误，不符合题意．
故选：C．
2．（2023 深圳模拟）某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AB与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD之比是黄金比（约等于0.618）．已知CD＝80cm，则AB约是（　　）
A．30cm B．49cm C．55cm D．129cm
【答案】B
【分析】根据图形和题目中的数据，可以得到0.618，然后计算即可．
【解答】解：由题意可得，
0.618，
解得AB≈49，
故选：B．
3．（2023 东莞市校级一模）如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F．若AB：BC＝5：3，DE＝15，则EF的长为（　　）
A．6 B．9 C．10 D．25
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，DE＝15，
∴，即，
解得，EF＝9，
故选：B．
4．（2022 中山市三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1∽矩形ADCB；再连接AC1，以对角线AC1为边，按逆时针方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2∽矩形ACC1B1，…，按照此规律作下去，则边AC2022的长为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得AC，利用相似多边形的性质可发现规律，根据规律即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥DC，
∴AC，
∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形ACC1B1，
∴矩形ACC1B1的边长和矩形ABCD的相似比为：2，
∴矩形ACC1B1的对角线和矩形ABCD的对角线的比：2，
∵矩形ABCD的对角线为，
∴矩形AB1C1C的对角线AC1，
依此类推，矩形AB2C2C1的对角线和矩形AB1C1C的对角线的比为：2，
∴矩形AB2C2C1的对角线AC2，
∴矩形AB3C3C2的对角线AC3（）3
按此规律第n个矩形的对角线A n（）n，
∴AC2022的长为（）2022，
故选：A．
5．（2022 南海区一模）四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝2cm，d＝8cm，则a的长为 　　．
【答案】cm．
【分析】由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可得，又由b＝3cm，c＝2cm，d＝8cm，即可求得a的值．
【解答】解：∵四条线段a、b、c、d成比例，
∴，
∵b＝3cm，c＝2cm，d＝8cm，
∴，
解得：a．
故答案为：cm．
6．（2022 龙岗区一模）四条线段a、b、c、d成比例，其中a＝1cm、b＝3cm、c＝3cm，则线段d=___cm．
【答案】9．
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad＝cb，将a，b及c的值代入即可求得d．
【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段，
∴ad＝cb，
∵a＝1cm，b＝3cm、c＝3cm，
∴d＝9，
则d＝9cm．
故答案为：9．
7．（2024 深圳模拟）已知5a＝2b，则a：b＝　 　．
【答案】见试题解答内容
【分析】依据比例的性质进行变形即可．
【解答】解：∵5a＝2b，
∴a：b＝2：5．
故答案为：2：5．
考点2 相似三角形
◇例题
1.（2023 汕头二模）若两个相似三角形的周长之比是1：2，则它们的面积之比是（　　）
A．1：2 B．1： C．2：1 D．1：4
【答案】D
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比是1：2，
∴两个相似三角形的相似比是1：2，
∴它们的面积之比是：1：4，
故选：D．
2.（2023 南海区校级模拟）已知BD是平行四边形ABCD的对角线，E是AB上一点，连接EC，交BD于点F，若△BEF与△DCF的面积比是1：9，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先画出几何图形，再根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝DC，接着证明△BEF∽△DCF，则根据相似三角形的性质得（）2，然后计算出的值，从而得到的值．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝DC，
∴△BEF∽△DCF，
∴（）2，
∴，
∴．
故选：A．
3.（2023 高州市校级二模）如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE＝x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得．
【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC AB BC AC BP，
∴BP．
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴．
设DE＝x，则有：，
解得x，
故选：D．
◆变式训练
1．（2023 蓬江区一模）如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，则△ADC与△ABC的面积比是（　　）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
【答案】D
【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比可以解答本题．
【解答】解：∵∠B＝∠ACD，∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
故选：D．
2．（2023 东莞市校级二模）如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：3，BC，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵S△ABC：S四边形BDEC＝1：3，
∴S△ABC：S△ADE＝1：4，
∵△ABC∽△ADE，
∴，
∴或（不符合题意，舍去）
∵，
∴．
故选：B．
3．（2023 天河区校级三模）如图，正方形MNPQ内接于△ABC，点M、N在BC上点P、Q分别在AC和AB边上，且BC边上的高AD＝6，BC＝12，则正方形MNPQ的边长为（　　）
A．6 B．5 C．3 D．4
【答案】D
【分析】通过证明△AQP∽△ABC，可得，即可求解．
【解答】解：设正方形MNPQ的边长为x，
∵QP∥MN，
∴△AQP∽△ABC，
∴，
∴，
∴x＝4，
∴正方形MNPQ的边长为4，
故选：D．
4．（2023 南海区校级模拟）如图，身高1.6米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE的长是2米，则路灯AB的高为（　　）
A．5米 B．6.4米 C．8米 D．10米
【答案】C
【分析】根据CD∥AB，得出△ECD∽△EBA，进而得出比例式求出即可．
【解答】解：由题意知，CE＝2米，CD＝1.6米，BC＝8米，CD∥AB，
则BE＝BC+CE＝10米，
∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EBA
∴，即，
解得AB＝8，
即路灯的高AB为8米；
故选：C．
考点3 图形的位似
◇例题
1.（2023 仁化县二模）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D'，已知 ，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A'B'C'D'的面积是（　　）
A．4 B．6 C．16 D．18
【答案】D
【分析】先利用位似的性质得到，则四边形A'B'C'D'与四边形ABCD相似比为3，然后根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解．
【解答】解：∵四边形A'B'C'D'是四边形ABCD关于O点为位似中心的位似图形，
∴，
∴四边形A'B'C'D'与四边形ABCD相似比为3，
∴四边形A'B'C'D'的面积＝9四边形ABCD的面积＝9×2＝18．
故选：D．
◆变式训练
1．（2023 南海区校级一模）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA：AD＝2：3，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（　　）
A．12 B．18 C．20 D．50
【答案】C
【分析】先根据位似的性质得到△ABC与△DEF的位似比为OA：AD，再利用比例性质得到OA：OD＝2：5，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，
∴，
且△ABC∽△DEF，
∵OA：AD＝2：3，
∴，
又△ABC∽△DEF，
∴C△ABC：C△DEF＝AC：DF＝2：5，
∵△ABC的周长为8，
∴△DEF的周长为20．
故选：C．
2．（2023 茂南区校级模拟）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD＝1：3，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．27
【答案】D
【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，证明△OAB∽△ODE，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴，
∴（）2，
∵△ABC的面积为3，
∴△DEF的面积为27，
故选：D．
3．（2023 顺德区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'位似，且原点O为位似中心，其位似比为1：2，若点B（﹣4，﹣2），则其对应点B'的坐标为（　　）
A．（2，8） B．（8，2） C．（4，8） D．（8，4）
【答案】D
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'位似，且原点O为位似中心，其位似比为1：2，点B（﹣4，﹣2），
∴点B的对应点B'的坐标为[﹣4×（﹣2），﹣2×（﹣2）]，即（8，4），
故选：D．
4．（2023 禅城区三模）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A′B′C′D′的面积是（　　）
A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】D
【分析】根据位似图形的概念得到四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB∥A′B′，证明△OAB∽△OA′B′，求出，根据相似多边形的性质计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，
∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB∥A′B′，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为1：9，
∵四边形ABCD的面积是2，
∴四边形A′B′C′D′的面积是18，
故选：D．
1．（2023 广东）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了（　　）
A．黄金分割数 B．平均数
C．众数 D．中位数
【答案】A
【分析】根据黄金分割的定义，即可解答．
【解答】解：我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数，
故选：A．
2．（2023 广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 　　．
【答案】15．
【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可．
【解答】解：如图，
∵BF∥DE，
∴△ABF∽△ADE，
∴，
∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10，
∴，
∴BF＝2，
∴GF＝6﹣2＝4，
∵CK∥DE，
∴△ACK∽△ADE，
∴，
∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10，
∴，
∴CK＝5，
∴HK＝6﹣5＝1，
∴阴影梯形的面积（HK+GF） GH
（1+4）×6
＝15．
故答案为：15．
3．（2020 深圳）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB，，则　 　．
【答案】．
【分析】通过作辅助线，得到△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，△ABC∽△DAN，进而得出对应边成比例，再根据tan∠ACB，，得出对应边之间关系，设BC＝4a，表示AB、DN、NA，BN，进而表示三角形的面积，求出三角形的面积比即可．
【解答】解：如图，过点D作DM∥BC，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N，
∵DM∥BC，
∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，
∴tan∠ACB，，
又∵∠ABC＝∠DAC＝90°，
∴∠BAC+∠NAD＝90°，
∵∠BAC+∠BCA＝90°，
∴∠NAD＝∠BCA，
∴△ABC∽△DAN，
∴，
设BC＝4a，
由得，DM＝3a，
∴AB＝2a，DNa，ANa，
∴NB＝AB+AN＝2aaa，
∴．
故答案为：．
4．（2023 广州）如图，AC是菱形ABCD的对角线．
（1）尺规作图：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B旋转后的对应点为D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，连接BD，CE．
①求证：△ABD～△ACE；
②若tan∠BAC，求cos∠DCE的值．
【答案】（1）作法、证明见解答；
（2）①证明见解答；
②cos∠DCE的值是．
【分析】（1）由菱形的性质可知AD＝AB，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，也就是以AD为一边在菱形ABCD外作一个三角形与△ABC全等，第三个顶点E的作法是：以点D为圆心，BC长为半径作弧，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交前弧于点E；
（2）①由旋转得AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，则，∠BAD＝∠CAE，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ABD∽△ACE；
②延长AD交CE于点F，可证明△ABC≌△ADC，得∠BAC＝∠DAC，而∠BAC＝∠DAE，所以∠DAE＝∠DAC，由等腰三角形的“三线合一”得AD⊥CE，则∠CFD＝90°，设CF＝m，CD＝AD＝x，则tan∠DAC＝tan∠BAC，所以AF＝3m，DF＝3m﹣x，由勾股定理得m2+（3m﹣x）2＝x2，求得CD＝xm，则cos∠DCE．
【解答】解：（1）如图1，作法：1．以点D为圆心，BC长为半径作弧，
2．以点A为圆心，AC长为半径作弧，交前弧于点E，
3．连接DE、AE，
△ADE就是所求的图形．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∵DE＝BC，AE＝AC，
∴△ADE≌△ABC（SSS），
∴△ADE就是△ABC绕点A逆时针旋转得到图形．
（2）①如图2，由旋转得AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴，∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
②如图2，延长AD交CE于点F，
∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠DAC，
∵AE＝AC，
∴AD⊥CE，
∴∠CFD＝90°，
设CF＝m，CD＝AD＝x，
∵tan∠DAC＝tan∠BAC，
∴AF＝3CF＝3m，
∴DF＝3m﹣x，
∵CF2+DF2＝CD2，
∴m2+（3m﹣x）2＝x2，
∴解关于x的方程得xm，
∴CDm，
∴cos∠DCE，
∴cos∠DCE的值是．
5．（2021 深圳）在正方形ABCD中，等腰直角△AEF，∠AFE＝90°，连接CE，H为CE中点，连接BH、BF、HF，发现和∠HBF为定值．
（1）①　 ；
②∠HBF＝　 　；
③小明为了证明①②，连接AC交BD于O，连接OH，证明了和的关系，请你按他的思路证明①②．
（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，k，∠BDA＝∠EAF＝θ（0°＜θ＜90°）．
求①　 ；（用k的代数式表示）
②　 　．（用k、θ的代数式表示）
【答案】（1）①；②45°；③见解答过程；（2）①；②．
【分析】（1）由△AEF和△ABO都是等腰直角三角形可证△BOH∽△BAF，从而得到对应边成比例，对应角相等，进行转化即可；
（2）将等腰直角三角形换成两个相似三角形，仍然有△DOH∽△DAF，从而得出①，作HM⊥DF于M，由①得，设FD＝2t，HD＝kt，通过勾股定理表示出HM、MF、HF的长即可得出②．
【解答】解：①；②45°；
③由正方形的性质得：，O为AC的中点，
又∵H为CE的中点，
∴OH∥AE，OH，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE，
∴，
∵OH∥AE，
∴∠COH＝∠CAE，
∴∠BOH＝∠BAF，
∴△BOH∽△BAF，
∴，
∴∠HBF＝∠HBO+∠DBF＝∠DBA＝45°；
（2）①如图2，连接AC交BD于点O，连接OH，
由（1）中③问同理可证：△DOH∽△DAF，
∴，
②由①知：△DOH∽△DAF，
∴∠HDO＝∠FDA，
∴∠HDF＝∠BDA＝θ，
在△HDF中，，
设DF＝2t，HD＝kt，
作HM⊥DF于M，
∴HM＝DH×sinθ＝ktsinθ，DM＝ktcosθ，
∴MF＝DF﹣DM＝（2﹣kcosθ）t，
在Rt△HMF中，由勾股定理得：
HF，
∴．
6．（2020 深圳）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由正方形的性质得出AE＝AF，∠EAG＝90°，AB＝AD，∠BAD＝90°，得出∠EAB＝∠GAD，证明△AEB≌△AGD（SAS），则可得出结论；
（2）由菱形的性质得出AE＝AG，AB＝AD，证明△AEB≌△AGD（SAS），由全等三角形的性质可得出结论；
（3）方法一：过点E作EM⊥DA，交DA的延长线于点M，过点G作GN⊥AB交AB于点N，求出AG＝6，AD＝12，证明△AME∽△ANG，设EM＝2a，AM＝2b，则GN＝3a，AN＝3b，则BN＝8﹣3b，可得出答案；
方法二：证明△EAB∽△GAD，得出∠BEA＝∠AGD，则A，E，G，Q四点共圆，得出∠GQP＝∠PAE＝90°，连接EG，BD，由勾股定理可求出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形AEFG为正方形，
∴AE＝AG，∠EAG＝90°，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠EAB＝∠GAD，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴BE＝DG；
（2）当∠EAG＝∠BAD时，BE＝DG，
理由如下：
∵∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAB＝∠GAD，
又∵四边形AEFG和四边形ABCD为菱形，
∴AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴BE＝DG；
（3）解：方法一：过点E作EM⊥DA，交DA的延长线于点M，
过点G作GN⊥AB交AB于点N，
由题意知，AE＝4，AB＝8，
∵，
∴AG＝6，AD＝12，
∵∠EMA＝∠ANG，∠MAE＝∠GAN，
∴△AME∽△ANG，
设EM＝2a，AM＝2b，则GN＝3a，AN＝3b，则BN＝8﹣3b，
∴ED2＝（2a）2+（12+2b）2＝4a2+144+48b+4b2，
GB2＝（3a）2+（8﹣3b）2＝9a2+64﹣48b+9b2，
∴ED2+GB2＝13（a2+b2）+208＝13×4+208＝260．
方法二：如图2，设BE与DG交于Q，BE与AG交于点P，
∵，AE＝4，AB＝8
∴AG＝6，AD＝12．
∵四边形AEFG和四边形ABCD为矩形，
∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵，
∴△EAB∽△GAD，
∴∠BEA＝∠AGD，
∴A，E，G，Q四点共圆，
∴∠GQP＝∠PAE＝90°，
∴GD⊥EB，
连接EG，BD，
∴ED2+GB2＝EQ2+QD2+GQ2+QB2＝EG2+BD2，
∴EG2+BD2＝42+62+82+122＝260．
1．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB＝DE，BC＝4，则EF的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【分析】由AD∥BE∥CF，利用平行线分线段成比例，可得出，再结合AB＝DE，BC＝4，即可求出EF的长．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
又∵AB＝DE，BC＝4，
∴EF＝BC＝4．
故选：A．
2．下列各组的四条线段成比例的是（　　）
A．1cm、2cm、3cm、4cm B．2cm、4cm、6cm、8cm
C．5cm、30cm、10cm、15cm D．5cm、20cm、10cm、15cm
【答案】C
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【解答】解：A.2×3≠1×4，故本选项错误；
B.2×8≠4×6，故本选项错误；
C.5×30＝10×15，故本选项正确；
D.20×5≠10×15，故本选项错误；
故选：C．
3．若，则（　　）
A． B． C．7 D．﹣7
【答案】B
【分析】根据已知条件得出ab，再代入要求的式子进行计算，即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴ab，
∴．
故选：B．
4．如图所示，王华晚上在路灯下散步，已知王华的身高AB＝1.6米，灯柱的高OP＝O'P'＝4.8米，两灯柱之间的距离OO'＝10米，王华在两路灯之间行走时（O、A、O'三点在一条直线上），则他身子前后的两个影子之和DC的长为（　　）米．
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】利用AB∥OP可判断△CAB∽△COP，则，所以CACO，同理方法得到DADO′，所以CD＝CA+DA（CO+DO′），即3CD＝CO+DO′，然后把DO′用CD+CO′代换，从而可求出CD的长．
【解答】解：∵AB∥OP，
∴△CAB∽△COP，
∴，
∴CACO，
同理可得DADO′，
∴CD＝CA+DA（CO+DO′），
∴3CD＝CO+DO′，
即3CD＝OC+CD+CO′＝CD+OO′，
∵OO′＝10米，
∴3CD＝CD+10，
解得CD＝5（米）．
故选：B．
5．如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，四边形ABCD的面积等于4，则四边形A′B′C′D′的面积为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】D
【分析】利用位似的性质得到AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，再利用相似多边形的性质得到四边形A′B′C′D′的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，
∴AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD的面积：四边形A′B′C′D′的面积＝4：9，
而四边形ABCD的面积等于4，
∴四边形A′B′C′D′的面积为9．
故选：D．
6．若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），则AC＝　 ．（保留根号）
【答案】1．
【分析】把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到ACAB，然后把AB的长代入计算即可．
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），
∴ACAB21，
故答案为：1．
7．△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，且△ABC与△DEF的相似比是2：1，则点C（6，8）的对应点F的坐标为 　 　．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，相似比是2：1，点C（6，8），
∴点C的对应点F的坐标为（6，8）或（6×（），8×（）），即（3，4）或（﹣3，﹣4），
故答案为：（3，4）或（﹣3，﹣4）．
8．如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上撬起，石头就被撬动了．在图②中，杠杆的D端被向上撬起的距离BD＝9cm，动力臂OA与阻力臂OB满足OA＝3OB（AB与CD相交于点O），要把这块石头撬起，至少要将杠杆的C点向下压 　cm．
【答案】27．
【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点C向下压的长度．
【解答】解：由题意得，AC∥BD，
∴△AOC∽△BOD，
∴，
∵AO＝3OB，
∴3，
∴AC＝3BD＝27cm，
∴至少要将杠杆的C点向下压27cm，
故答案为：27．
9．如图，N是线段AB上一点，AC⊥AB，BD⊥AB，NM⊥AB，联结CM并延长交AB于点P，联结DM并延长交AB于点Q．已知AB＝4，AC＝3，BD＝2，MN＝1，PN＝1.2，那么QN＝　 　．
【答案】1.6．
【分析】先证△MNP∽△CAP，求得PN、NB，再证△MNQ∽△DBQ，可得QN．
【解答】解：∵AC⊥AB，NM⊥AB，
∴∠CAP＝∠MNP＝90°，
∵∠MPN＝∠CPA，
∴△MNP∽△CAP，
∴，
∵AC＝3，MN＝1，PN＝1.2，
∴PA＝3.6，PB＝AB﹣PA＝0.4，NB＝NP+PB＝1.6，
设QN＝x，则QB＝x+1.6，
∵BD⊥AB，NM⊥AB，
∴∠MNQ＝∠DBQ＝90°，
∵∠DQB＝∠MQN，
∴△MNQ∽△DBQ，
∴，
∵BD＝2，MN＝1，
∴，
解得：x＝1.6，
即QN＝1.6，
故答案为：1.6．
10．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1，l2，l3于点A、C、E和点B、D、F，若AC：CE＝2：3，BF＝9，求DF的长．
【答案】．
【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵AC：CE＝2：3，
∴，
即，
∴，
∴．
11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣4，3），C（﹣3，1）．
（1）以点B为位似中心，在点B的下方画出△A1BC1，使△A1BC1与△ABC位似，且相似比为2：1；
（2）画出△A2B1C2，使得它与△ABC关于点O中心对称，并写出C2的坐标．
【答案】（1）画图见解析过程；
（2）画图见解析过程，C2（3，﹣1）．
【分析】（1）根据位似的性质，找到点A，C，使得BC1＝2BC，BA1＝2BA，连接A1，C1即可求解；
（2）根据中心对称的性质画出△A2B1C2，使得它与△ABC关于点O中心对称，并根据坐标系写出C2的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△A1BC1即为所求，
（2）如图所示，△A2B1C2即为所求，C2（3，﹣1）．
12．如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．
（1）求证：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF CE．
【答案】证明过程见解答．
【分析】（1）证明△ACF≌△DAE（ASA），即可解决问题；
（2）证明△ABF∽△CDE，得AF DE＝BF CE，结合（1）AF＝DE，即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ACF＝∠DAC
∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD，
∴△ACF≌△DAE（ASA），
∴AF＝DE；
（2）∵△ACF≌△DAE，
∴∠AFC＝∠DEA，
∴∠AFB＝∠DEC，
∵∠ABC＝∠CDE，
∴△ABF∽△CDE，
∴，
∴AF DE＝BF CE，
∵AF＝DE，
∴AF2＝BF CE．
13．如图，在菱形ABCD中，∠B＝120°，E为BC边上一动点（点E不与B，C重合），连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转120°得到线段FE，连接AC，AF，AF交CD边于点H，设，．
【尝试初探】
（1）如图1，求证：△ABC∽△AEF；
【深入探究】
（2）如图2，连接CF，当x＝1时，探究得出y的值为1，请写出证明过程；
【联系拓展】
（3）结合（2）的探究经验，从特殊到一般，最后得出y与x之间满足的关系式为．请根据该关系式，解决下列问题：连接EH，若AB＝12，当△EHF为等腰三角形时，求BE的长．
【答案】（1）（2）见解析，（3）BE＝3或．
【分析】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等两三角形相似证明△ABC∽△AEF．
（2）连结BD交AC于O，过F作BC的平行线交CD于M．等腰三角形ABC中，顶角120°，底角30°，得到AC，证明△ABE∽△ACF，得到CFBE，再证△CFM中∠FCM＝90°，∠CFM＝30°，CFCM，得到CM＝BE，DM＝CE，x＝1，BE＝CE，可得MF＝DA，证明△ADH≌△FMH，可得AH＝FH，y＝1．
（3）①当△EHF为等腰三角形时有两种可能，①HE＝HF，②FF＝FH，可求x的两个值．
【解答】证明：（1）∵AB＝BC，AE＝EF，
∴，
∵∠ABC＝∠AEF，
∴△ABC∽△AEF．
（2）连结BD交AC于O，过F作BC的平行线交CD于M．
菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝120°，
∠BAC＝∠BCA＝30°，
AC，BD互相垂直平分，
∴AB＝2OB，
OA，
∴ACAB．
∵△ABC∽△AEF，
∴．
∵∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△ABE∽△ACF，
∴，
CFBE，
∠ABE＝∠ACF＝120°，
∠MCF＝∠ACF﹣∠ACD＝120°﹣30°＝90°，
∵MF∥BC，
∴∠FMC＝∠BCD＝60°，
∴∠MCF＝30°，
∴MF＝2CM，CFCM，
∵CFBE，
∴BE＝CM，
∵BC＝CD，
∴CE＝MD．
∵x＝1，BE＝CE，
∴CM＝DM．
∵MF∥AD，
∴∠D＝∠HMF，∠DAH＝∠MFH，
∴△ADH≌△FMH（AAS）．
∴AH＝FH，
∴y1．
解：（3）当△EHF为等腰三角形时有两种可能，
①△EFH中，HE＝HF，
∵△AEF∽△ABC，
∵AC，
∴AFEF．
△EFH中，HE＝HF，
∴∠HEF＝∠F＝30°，
∴△AEF∽△EHF，
∴EFFH，
∴AF＝3HF，
∴AH＝2FH，
∴y，
∵y，
∴x．
∴，
∵AB＝BC＝12，
∴BE＝3．
②FH＝FE，AFFE，
∴AH＝AF﹣FH＝（1）EF，
∴y．
y，
，
x，
x，AB＝BC＝12，
BE＝33．
所以BE＝3或33．
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