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第四章 图形的性质
第二十一节 锐角三角函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 锐角三角函数的概念 ☆ 锐角三角函数主要包括：正切、正弦、余弦，特殊角的三角函数及解直角三角形，此部分知识内容在广东中考较少进行单独知识的考查，其中锐角三角函数的应用与解直角三角形的综合考查常有试题的设置，本节内容以知识运用为主，需熟练掌握基本的定义，在一些较为综合的试题中锐角三角函数是否运用到位很大程度上决定着能否继续往下解题。在我们的一轮复习中，遇到相应可使用锐角三角函数的地方要多进行对应练习，及时找对解题方法是快速得分的关键。
考点2 特殊角的三角函数值 ☆☆
考点3 解直角三角形 ☆☆
考点4 锐角三角函数的应用 ☆☆☆
考点1 锐角三角函数的概念
锐角A的_____、_____、_____都叫做∠A的锐角三角函数。
如图，在△ABC中，∠C=90°
①锐角A的_____与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即
②锐角A的_____与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即
③锐角A的_____与_____的比叫做∠A的正切，记为tanA，即
考点2 特殊角的三角函数值
三角函数 0° 30° 45° 60° 90°
sinα 0 1
cosα 1 0
tanα 0 1 不存在
cotα 不存在 1 0
考点3 解直角三角形
1.解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即_____条边和_____个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2.解直角三角形的理论依据：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c
（1）三边之间的关系：（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
（3）边角之间的关系：
考点4 锐角三角函数的应用
（1）仰角和俯角：在视线与_____所成的锐角中，视线在_____上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角；
（2）坡度、坡角：坡度等于坡角的_____值；
（3）方向角：正北或正南方向线与目标线所成的小于_____的角，叫做方向角。
考点1 锐角三角函数的概念
◇例题
1.（2023 黄埔区一模）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于sinA的是（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023 越秀区校级二模）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，，则BC等于（　　）
A．25 B．12 C．9 D．16
2．（2023 荔湾区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则cosA的值是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 惠东县二模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么tanB的值为（　　）
A． B． C． D．
考点2 特殊角的三角函数
◇例题
1.（2023 佛山一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA，则∠A的大小是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2.（2022 河源模拟）Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则tanA的值是 　　 ．
◆变式训练
1．（2023 黄埔区校级二模）在△ABC中，若|sinA|+（cosB）2＝0，则∠C的度数是（　　）
A．45° B．75° C．105° D．120°
2．（2023 宝安区校级三模）cos60°的值等于（　　）
A． B． C． D．1
3．（2023 兴宁市二模）已知实数a＝tan30°，b＝sin45°，c＝cos60°，则下列说法正确的是（　　）
A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b
考点3 解直角三角形
◇例题
1.（2023 惠城区校级一模）在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，那么cos∠BAC的值为（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023 南海区模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：OB＝1：3，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P．若P（1，1），则tan∠ACO的值是（　　）
A． B．3 C． D．2
2．（2023 台山市校级一模）如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，sin∠BAC＝（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 中山市模拟）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tanA的值是（　　）
A． B．1 C． D．
考点4 锐角三角函数的应用
◇例题
1.（2023 深圳模拟）图1是一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，AC＝40cm，则双翼边缘端点C与D之间的距离为（　　）
A．（60﹣40cosα）cm B．（60﹣40sinα）cm
C．（60﹣80cosα）cm D．（60﹣80sinα）cm
2.（2023 越秀区校级二模）如图是一个山坡的纵向剖面图，坡面DE的延长线交地面AC于点B，点E恰好在BD的中点处，∠CBD＝60°，坡面AE的坡角为45°，山坡顶点D与水平线AC的距离，即CD的长为1000m．
（1）求BE的长度；
（2）求AB的长度．（结果保留根号）
3.（2023 三水区模拟）如图，西安某中学依山而建，校门A处有一坡度i＝5：12的斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E处仰望C的仰角是∠CEF＝60°，CF的延长线交校门处的水平面于点D．求楼顶C的高度CD．（结果保留根号）
4.（2023 顺德区校级三模）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向上，B在D的北偏西53°方向上．
参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．
（1）求证：BD⊥AB；
（2）求A，B两点间的距离．
◆变式训练
1．（2023 佛山模拟）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（　　）
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
2．（2023 陆河县校级模拟）如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1：2，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为 　 米．
3．（2023 潮阳区二模）科技改变生活，科技服务生活．如图为一新型可调节洗手装置侧面示意图，可满足不同人的洗手习惯，AM为竖直的连接水管，当出水装置在A处且水流AC与水平面夹角为63°时，水流落点正好为水盆的边缘C处；将出水装置水平移动10cm至B处且水流与水平面夹角为30°时，水流落点正好为水盆的边缘D处，MC＝AB．
（1）求连接水管AM的长．（结果保留整数）
（2）求水盆两边缘C，D之间的距离．（结果保留一位小数）
（参考数据：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0，1.73）
4．（2023 开平市二模）如图所示，建筑物MN一侧有一斜坡AC，在斜坡坡脚A处测得建筑物顶部N的仰角为60°，当太阳光线与水平线夹角成45°时，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA处，另一部分影子落在斜坡上AP处，已知点P的距水平地面AB的高度PD＝5米，斜坡AC的坡度为（即tan∠PAD），且M，A，D，B在同一条直线上．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）
（1）求此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长；
（2）求建筑物MN的高度．
5．（2023 佛山一模）如图，海中小岛A周围15n mile内有暗礁．渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点处测得小岛A在北偏东63.4°方向上；航行26n mile到达C点，这时测得小岛A在北偏东33.7°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？（参考数据：tan63.4°≈2，tan33.7°≈0.7）
1．（2021 广东）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（　　）
A． B．2 C．1 D．2
2．（2023 深圳）爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1m耗能（1.025﹣cosα）J，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（　　）（参考数据：1.732，1.414）
A．58J B．159J C．1025J D．1732J
3．（2021 深圳）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（　　）
A．15sin32° B．15tan64° C．15sin64° D．15tan32°
4．（2023 广州）如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10nmile到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（　　）n mile．
A． B． C．20 D．
5．（2020 深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（　　）
A．200tan70°米 B．米
C．200sin 70°米 D．米
6．（2022 广东）sin30°＝ 　．
7．（2022 广州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．
（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．
8．（2021 广东）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB．
（1）若AE＝1，求△ABD的周长；
（2）若ADBD，求tan∠ABC的值．
9．（2023 广东）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站．如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态．当两臂AC＝BC＝10m，两臂夹角∠ACB＝100°时，求A，B两点间的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）
10．（2022 广州）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD＝1.6m，BC＝5CD．
（1）求BC的长；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度．
条件①：CE＝1.0m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．
参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．
1．如图，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则下列结论错误的为（　　）
A． B．tanB tanC＝1
C． D．
2．在Rt△ABC中，∠B＝90°．已知AB＝6，AC＝10，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则cosA的值是（　　）
A． B． C． D．
4．tan45°的值是（　　）
A． B． C．1 D．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA，那么cosA的值是（　　）
A． B． C． D．
6．为测楼房BC的高，在距楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α，则楼房BC的高为（　　）
A．30tanα米 B．米 C．30sinα米 D．米
7．已知，则∠A＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．若在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，1）和点B（4，0），则sin∠ABO的值为 　 ．
9．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，cosA，sinB，AB＝8，则BC长为 　 　．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则tanA＝　 ．
11．若0°＜α＜45°，且，则α＝　 　度．
12．若cosA，则锐角∠A＝　 ．
13．计算：
（1）sin45°cos45°+3tan30°sin60°；
（2）cos60°﹣2sin245°+tan260°．
14．如图，小明利用课余时间测量教学楼的高度．他在C点测得A点的仰角为37°，他又向前走了4m，测得A点关于E点的仰角为45°．已知小胖身高为1.6m，求教学楼AB的高度．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.41）
15．如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行，在A处测得岛C在东北方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛C周围25海里内有暗礁．（参考数据：1.732，1.414，sin75°≈0.966，cos75°≈0.259．）
（1）如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．
（2）如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？说明理由．
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第四章 图形的性质
第二十一节 锐角三角函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 锐角三角函数的概念 ☆ 锐角三角函数主要包括：正切、正弦、余弦，特殊角的三角函数及解直角三角形，此部分知识内容在广东中考较少进行单独知识的考查，其中锐角三角函数的应用与解直角三角形的综合考查常有试题的设置，本节内容以知识运用为主，需熟练掌握基本的定义，在一些较为综合的试题中锐角三角函数是否运用到位很大程度上决定着能否继续往下解题。在我们的一轮复习中，遇到相应可使用锐角三角函数的地方要多进行对应练习，及时找对解题方法是快速得分的关键。
考点2 特殊角的三角函数值 ☆☆
考点3 解直角三角形 ☆☆
考点4 锐角三角函数的应用 ☆☆☆
考点1 锐角三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。
如图，在△ABC中，∠C=90°
①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即
②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即
③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即
考点2 特殊角的三角函数值
三角函数 0° 30° 45° 60° 90°
sinα 0 1
cosα 1 0
tanα 0 1 不存在
cotα 不存在 1 0
考点3 解直角三角形
1.解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2.解直角三角形的理论依据：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c
（1）三边之间的关系：（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
（3）边角之间的关系：
考点4 锐角三角函数的应用
（1）仰角和俯角：在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角；
（2）坡度、坡角：坡度等于坡角的正切值；
（3）方向角：正北或正南方向线与目标线所成的小于90度的角，叫做方向角。
考点1 锐角三角函数的概念
◇例题
1.（2023 黄埔区一模）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于sinA的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可．
【解答】解：∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠A+ACD＝90°，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，
∴sinA，
同时有，sinA＝sin∠DCB．
故选：D．
◆变式训练
1．（2023 越秀区校级二模）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，，则BC等于（　　）
A．25 B．12 C．9 D．16
【答案】B
【分析】先利用直角三角形的边角间关系求出AC，再利用勾股定理得结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵sinB
∴AC＝sinB AB15＝9
∴BC
＝12
故选：B．
2．（2023 荔湾区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则cosA的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用勾股定理得到ACBC，然后根据余弦的定义求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AB＝2BC，
∴ACBC，
∴cosA．
故选：A．
3．（2023 惠东县二模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么tanB的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理求出AC，根据正弦的定义计算即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC3，
∴tanB．
故选：B．
考点2 特殊角的三角函数
◇例题
1.（2023 佛山一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA，则∠A的大小是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【分析】根据60°的余弦值是解答．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A为锐角，
∵cosA，
∴∠A＝60°，
故选：C．
2.（2022 河源模拟）Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则tanA的值是 　　 ．
【答案】．
【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠C＝90°，sinA，
∴∠A＝30°，
∴tanA＝tan30°，
故答案为：．
◆变式训练
1．（2023 黄埔区校级二模）在△ABC中，若|sinA|+（cosB）2＝0，则∠C的度数是（　　）
A．45° B．75° C．105° D．120°
【答案】C
【分析】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：由题意得，sinA0，cosB＝0，
即sinA，cosB，
解得，∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，
故选：C．
2．（2023 宝安区校级三模）cos60°的值等于（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据特殊角的三角函数值解题即可．
【解答】解：cos60°．
故选：A．
3．（2023 兴宁市二模）已知实数a＝tan30°，b＝sin45°，c＝cos60°，则下列说法正确的是（　　）
A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b
【答案】A
【分析】分别求出各三角函数的值，然后比较他们的大小即可．
【解答】解：，
∵，
∴b＞a＞c．
故选：A．
考点3 解直角三角形
◇例题
1.（2023 惠城区校级一模）在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，那么cos∠BAC的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出三角形ABC的三边长，发现三角形是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求出角的余弦值．
【解答】解：∵AB，AC2，BC，
∴△ABC为等腰三角，
如图所示，过点B作BD⊥AC，垂足为D，
∴ADAC2，
∴cos∠BAC．
故选：A．
◆变式训练
1．（2023 南海区模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：OB＝1：3，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P．若P（1，1），则tan∠ACO的值是（　　）
A． B．3 C． D．2
【答案】B
【分析】根据OP∥AB，证明出△OCP∽△BCA，结合OC：OB＝1：3得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根据P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，则可求得AQ＝3，根据正切的定义即可得到tan∠APQ的值，从而可求tan∠ACO的值．
【解答】解：∵OP∥AB，
∴△OCP∽△BCA，
∴，
∵OC：OB＝1：3，
∴，
∴，
过点P作PQ⊥x轴于点Q，如图，
∴∠AOC＝∠AQP＝90°，
∴CO∥PQ，
∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∠ACO＝∠APQ，
∵P（1，1），
∴PQ＝OQ＝1，
∴AO＝2OQ＝2，
∴AQ＝3，
∴tan∠APQ3，
∴tan∠ACO＝tan∠APQ＝3．
故选：B．
2．（2023 台山市校级一模）如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，sin∠BAC＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，取格点T，连接BT交AC于H，则BH⊥AC，设BH＝a，则AH＝5a，利用勾股定理求出AB，可得结论．
【解答】解：如图，取格点T，连接BT交AC于H，则BH⊥AC，设BH＝a，则BH＝TH＝GH＝CG＝a，CG＝2a，AG＝4a，可得AH＝5a，
在Rt△AHB中，ABa，
∴sin∠BAC，
故选：C．
3．（2023 中山市模拟）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tanA的值是（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切函数的定义即可求解．
【解答】解：如图，连接CD．
∵AC，CD，AD2，
∴AC2＝CD2+AD2，
∴∠ADC＝90°，
∴tanA．
故选：A．
考点4 锐角三角函数的应用
◇例题
1.（2023 深圳模拟）图1是一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，AC＝40cm，则双翼边缘端点C与D之间的距离为（　　）
A．（60﹣40cosα）cm B．（60﹣40sinα）cm
C．（60﹣80cosα）cm D．（60﹣80sinα）cm
【答案】D
【分析】作辅助线如图，由题意可得CE＝DF，EF＝60cm，解直角三角形ACE求出CE＝40sinα cm，然后根据CD＝EF﹣2CE即可得出答案．
【解答】解：如图，作直线CD，交双翼闸机于点E、F，则CE⊥AE，DF⊥BF，
由题意可得CE＝DF，EF＝60cm，
在直角三角形ACE中，
CE＝AC sinα＝40sinα，
∴CD＝EF﹣2CE＝（60﹣80sinα）cm．
故选：D．
2.（2023 越秀区校级二模）如图是一个山坡的纵向剖面图，坡面DE的延长线交地面AC于点B，点E恰好在BD的中点处，∠CBD＝60°，坡面AE的坡角为45°，山坡顶点D与水平线AC的距离，即CD的长为1000m．
（1）求BE的长度；
（2）求AB的长度．（结果保留根号）
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）过点E作EF⊥AC于点F．由题意可得EFm，在Rt△BEF中，sin∠EBF＝sin60°，解方程求出BE即可．
（2）在Rt△AEF中，可得AF＝EF＝500m，在Rt△BEF中，tan∠EBF＝tan60°，求出BF的长，根据AB＝AF﹣BF可得答案．
【解答】解：（1）过点E作EF⊥AC于点F.
∵点E为BD的中点，
∴EFm，
在Rt△BEF中，sin∠EBF＝sin60°，
解得BE＝1000，
经检验，BE＝1000是原方程的解且符合题意，
∴BE的长度为1000m．
（2）在Rt△AEF中，∠EAF＝45°，
∴AF＝EF＝500m，
在Rt△BEF中，tan∠EBF＝tan60°，
解得BF＝500，
经检验，BF＝500是原方程的解且符合题意，
∴AB＝AF﹣BF＝（500）m．
∴AB的长度为（500）m．
3.（2023 三水区模拟）如图，西安某中学依山而建，校门A处有一坡度i＝5：12的斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E处仰望C的仰角是∠CEF＝60°，CF的延长线交校门处的水平面于点D．求楼顶C的高度CD．（结果保留根号）
【答案】米．
【分析】过点B作BM⊥AD，过点E作EN⊥AD，由AB的坡度和长即可求BM，再由BF＝EF+BE，根据∠CBF＝45°、∠CEF＝60°、BE＝4米解三角形求出CF，即可解答．
【解答】解：过点B作BM⊥AD，过点E作EN⊥AD，
∵i＝5：12，
∴，
∵AB＝13米，∴BM＝5米，AM＝12米，
∴BM＝DF＝5米，
设EF为x米，则BF＝（4+x）米，
∵∠CBF＝45°，
∴BF＝CF＝（4+x）米，
∵∠CEF＝60°，
∴，
解得x＝22，
∴米，
∴米，
答：DC的长度为米．
4.（2023 顺德区校级三模）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向上，B在D的北偏西53°方向上．
参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．
（1）求证：BD⊥AB；
（2）求A，B两点间的距离．
【答案】（1）见解析；
（2）A，B两点间的距离约96米．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠A＝∠ECA＝37°，求得∠CBD＝∠A+∠ADB＝37°+53°＝90°，根据垂直的定义即可得到结论；
（2）在Rt△BCD中，解直角三角形求得BD＝72（米），在Rt△ABD中，解直角三角形得到AB＝96（米）．于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵CE∥AD，
∴∠A＝∠ECA＝37°，
∴∠CBD＝∠A+∠ADB＝37°+53°＝90°，
∴∠ABD＝90°，
∴BD⊥AB；
（2）解：在Rt△BCD中，∠BDC＝90°﹣53°＝37°，CD＝90米，cos∠BDC，
∴BD＝CD cos37°≈90×0.80＝72（米），
在Rt△ABD中，∠A＝37°，BD＝72米，tanA，
∴AB96（米）．
答：A，B两点间的距离约96米．
◆变式训练
1．（2023 佛山模拟）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（　　）
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
【答案】A
【分析】先求出∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，再用三角函数定义，求出AD＝AB×sinB＝60×sin50°，即可得出答案．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，
∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，
在Rt△ABD中，AD＝AB×sinB＝60×sin50°，
∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．
故选：A．
2．（2023 陆河县校级模拟）如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1：2，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为 　 米．
【答案】．
【分析】首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．
【解答】解：如图，
由题意得：斜坡AB的坡度：i＝1：2，AE＝10米，AE⊥BD，
∵，
∴BE＝20米，
∴在Rt△ABE中，（米），
故答案为：．
3．（2023 潮阳区二模）科技改变生活，科技服务生活．如图为一新型可调节洗手装置侧面示意图，可满足不同人的洗手习惯，AM为竖直的连接水管，当出水装置在A处且水流AC与水平面夹角为63°时，水流落点正好为水盆的边缘C处；将出水装置水平移动10cm至B处且水流与水平面夹角为30°时，水流落点正好为水盆的边缘D处，MC＝AB．
（1）求连接水管AM的长．（结果保留整数）
（2）求水盆两边缘C，D之间的距离．（结果保留一位小数）
（参考数据：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0，1.73）
【答案】（1）20cm；
（2）34.6cm．
【分析】（1）根据∠ACM的正切值求解即可；
（2）连接BC．首先证明出四边形ABCM为矩形，进而得到BD＝2BC＝40cm，然后利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）∵MC＝AB＝10cm，∠ACM＝63°，
∴AM＝MC tan∠ACM＝MC tan63°≈10×2.0＝20cm．
答：连接水管AM的长为20cm．
（2）如图，连接BC．
∵AB∥MC，AB＝MC，
∴四边形ABCM为平行四边形．
∵∠AMC＝90°，
∴四边形ABCM为矩形，
∴BC＝AM＝20cm，∠BCD＝90°．
∵∠BDC＝30°，
∴BD＝2BC＝40cm，
∴．
答：水盆两边缘C，D之间的距离为34.6cm．
4．（2023 开平市二模）如图所示，建筑物MN一侧有一斜坡AC，在斜坡坡脚A处测得建筑物顶部N的仰角为60°，当太阳光线与水平线夹角成45°时，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA处，另一部分影子落在斜坡上AP处，已知点P的距水平地面AB的高度PD＝5米，斜坡AC的坡度为（即tan∠PAD），且M，A，D，B在同一条直线上．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）
（1）求此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长；
（2）求建筑物MN的高度．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）如图，作PH⊥MN于H．则四边形PDMH是矩形．解直角三角形求出PA即可．
（2）设NH＝PH＝x米，在Rt△AMN中，根据tan60°，可得MNAM，由此构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，作PH⊥MN于H．则四边形PDMH是矩形．
∵tan∠PAD，PD＝5，
∴AD＝15，PA5（米），
∴此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长为5米．
（2）∵∠NPH＝45°，∠PHN＝90°，
∴∠PNH＝∠NPH＝45°，
∴NH＝PH，设NH＝PH＝x米，则MN＝（x+5）米，AM＝（x﹣15）米，
在Rt△AMN中，∵tan60°，
∴MNAM，
∴x+5（x﹣15）
解得x＝（1025）（米），
∴MN＝x+5＝（1030）米．
5．（2023 佛山一模）如图，海中小岛A周围15n mile内有暗礁．渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点处测得小岛A在北偏东63.4°方向上；航行26n mile到达C点，这时测得小岛A在北偏东33.7°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？（参考数据：tan63.4°≈2，tan33.7°≈0.7）
【答案】渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．
【分析】过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，设AE＝x n mile，根据BE﹣CE＝BC列方程求解即可．
【解答】解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，
由题意得，∠ABD＝∠BAE＝63.4°，∠CAE＝33.7°，
设AE＝x n mile，
在Rt△ACE中，tan∠CAE，
∴DE＝AE tan∠CAE＝0.7x（nmile），
Rt△ABE中，tan∠BAE，
∴BE＝2x（nmile），
∵BE﹣CE＝BC，
∴2x﹣0.7x＝26，
解得x＝20，
∵20＞15，
∴渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．
1．（2021 广东）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（　　）
A． B．2 C．1 D．2
【答案】B
【分析】如图，过点D作DT⊥AB于T．证明DT＝DC＝1，推出AD＝2DT，推出∠A＝30°，可得结论．
【解答】解：如图，过点D作DT⊥AB于T．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴DC⊥BC，
∵DB平分∠CBA，DC⊥BC，DT⊥BA，
∴DC＝DT＝1，
∵AC＝3，
∴AD＝AC﹣CD＝2，
∴AD＝2DT，
∴∠A＝30°，
∴AB2，
解法二：AD＝2DT 由此处开始，可以证明∠DAB＝∠DBA＝30°，
∴DA＝DB．
∵DT⊥AB，
∴AT＝TB，
∴点O与点T重合，
在Rt△ADT中用勾股定理得AT，再由垂径定理可得AB＝2AT得解．
故选：B．
2．（2023 深圳）爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1m耗能（1.025﹣cosα）J，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（　　）（参考数据：1.732，1.414）
A．58J B．159J C．1025J D．1732J
【答案】B
【分析】根据题意可得：他耗能＝1000×（1.025﹣cos30°），进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能＝1000×（1.025﹣cos30°）＝1000×（1.025）≈159（J），
故选：B．
3．（2021 深圳）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（　　）
A．15sin32° B．15tan64° C．15sin64° D．15tan32°
【答案】C
【分析】先结合三角形外角的性质与∠F的度数判定等腰三角形，再利用等腰三角形的性质证得DE＝EF，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：∵∠CED＝64°，∠F＝32°，∠CED＝∠F+∠EDF，
∴∠EDF＝∠CED﹣∠F＝64°﹣32°＝32°，
∴∠EDF＝∠F，
∴DE＝EF，
∵EF＝15米，
∴DE＝15米，
在Rt△CDE中，
∵sin∠CED，
∴CD＝DEsin∠CED＝15sin64°，
故选：C．
4．（2023 广州）如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10nmile到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（　　）n mile．
A． B． C．20 D．
【答案】D
【分析】连接AC，根据题意可得：AC⊥CB，然后在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，即可解答．
【解答】解：连接AC，
由题意得：AC⊥CB，
在Rt△ACB中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝10海里，
∴AC＝BC tan60°＝10（海里），
∴此时渔船与小岛A的距离为10海里，
故选：D．
5．（2020 深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（　　）
A．200tan70°米 B．米
C．200sin 70°米 D．米
【答案】B
【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．
【解答】解：在Rt△PQT中，
∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°﹣70°＝20°，
∴∠PTQ＝70°，
∴tan70°，
∴PT，
即河宽米，
故选：B．
6．（2022 广东）sin30°＝ 　．
【答案】．
【分析】熟记特殊角的三角函数值进行求解即可得出答案．
【解答】解：sin30°．
故答案为：．
7．（2022 广州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．
（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．
【答案】（1）详见解答；
（2）点O到AC的距离为4，sin∠ACD．
【分析】（1）利用尺规作图，作线段AC的垂直平分线即可；
（2）根据垂径定理、勾股定理可求出直径AB＝10，AE＝EC＝3，由三角形中位线定理可求出OE，即点O到AC的距离，在直角三角形CDE中，求出DE，由勾股定理求出CD，再根据锐角三角函数的定义可求出答案．
【解答】解：（1）分别以A、C为圆心，大于AC为半径画弧，在AC的两侧分别相交于P、Q两点，画直线PQ交劣弧于点D，交AC于点E，即作线段AC的垂直平分线，由垂径定理可知，直线PQ一定过点O；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，且AC＝8，BC＝6．
∴AB10，
∵OD⊥AC，
∴AE＝CEAC＝4，
又∵OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OEBC＝3，
由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC，
即点O到AC的距离为3，
连接OC，在Rt△CDE中，
∵DE＝OD﹣CE＝5﹣3＝2，CE＝4，
∴CD2
∴sin∠ACD．
8．（2021 广东）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB．
（1）若AE＝1，求△ABD的周长；
（2）若ADBD，求tan∠ABC的值．
【答案】（1）1；
（2）．
【分析】（1）连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，再根据线段垂直平分线的性质求解即可；
（2）设AD＝x，则BD＝CD＝3x，AC＝4x，由勾股定理可表示出AB＝2，从而可计算出tan∠ABC．
【解答】解：（1）如图，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，
∴BD＝CD，
C△ABD＝AB+AD+BD
＝AB+AD+DC
＝AB+AC，
∵AB＝CE，
∴C△ABD＝AC+CE＝AE＝1，
故△ABD的周长为1．
（2）设AD＝x，
∴BD＝3x，
又∵BD＝CD，
∴AC＝AD+CD＝4x，
在Rt△ABD中，AB2．
∴tan∠ABC．
9．（2023 广东）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站．如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态．当两臂AC＝BC＝10m，两臂夹角∠ACB＝100°时，求A，B两点间的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）
【答案】A、B的距离大约是15.3m．
【分析】连接AB，取AB中点D，连接CD，根据AC＝BC，点D为AB中点，可得∠ACD＝∠BCD∠ACB＝50°，在Rt△ACD中，sin50°，解得AD＝10×sin50°≈7.66（m），故AB＝2AD≈15.3（m）．
【解答】解：连接AB，取AB中点D，连接CD，如图，
∵AC＝BC，点D为AB中点，
∴中线CD为等腰三角形的角平分线（三线合一），AD＝BDAB，
∴∠ACD＝∠BCD∠ACB＝50°，
在Rt△ACD中，
sin∠ACD，
∴sin50°，
∴AD＝10×sin50°≈7.66（m），
∴AB＝2AD＝2×7.66＝15.32≈15.3（m），
答：A、B的距离大约是15.3m．
10．（2022 广州）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD＝1.6m，BC＝5CD．
（1）求BC的长；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度．
条件①：CE＝1.0m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．
参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．
【答案】（1）BC的长为8m；
（2）旗杆AB的高度约为12.8m．
【分析】（1）根据已知BC＝5CD，进行计算即可解答；
（2）若选择条件①，根据同一时刻的物高与影长是成比例的，进行计算即可解答；
若选择条件②，过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意可得DC＝BF＝1.6m，DF＝BC＝8m，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵BC＝5CD，CD＝1.6m，
∴BC＝5×1.6＝8（m），
∴BC的长为8m；
（2）若选择条件①：
由题意得：
，
∴，
∴AB＝12.8，
∴旗杆AB的高度为12.8m；
若选择条件②：
过点D作DF⊥AB，垂足为F，
则DC＝BF＝1.6m，DF＝BC＝8m，
在Rt△ADF中，∠ADF＝54.46°，
∴AF＝DF tan54.46°≈8×1.4＝11.2（m），
∴AB＝AF+BF＝11.2+1.6＝12.8（m），
∴旗杆AB的高度约为12.8m．
1．如图，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则下列结论错误的为（　　）
A． B．tanB tanC＝1
C． D．
【答案】D
【分析】先设小正方形的边长为1，利用勾股定理分别求出AC，AB＝2，BC，进而可得△ABC为直角三角形，然后根据三角函数的定义分别求出cosC，tanB，tanC，sinB，sinC，进而可对题目中的四个选项进行判断，从而可得出答案．
【解答】解：设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AC，AB2，BC，
∵AC2＝2，AB2＝8，BC2＝10，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，即∠A＝90°，
∴cosC，
故选项A正确，不符合题意；
∵tanB，tanC2，
∴tanB tanC2＝1，
故选项B、C正确，不符合题意；
∵sinB，
故选项D错误，不符合题意．
故选：D．
2．在Rt△ABC中，∠B＝90°．已知AB＝6，AC＝10，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数定义求解即可．
【解答】解：如图所示：
∵AB＝6，AC＝10，
∴，
∴，
故选：A．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则cosA的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可．
【解答】解：∵AB＝5，AC＝4，
∴cosA．
故选：D．
4．tan45°的值是（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】直角利用特殊角的三角函数值求解．
【解答】解：tan45°＝1．
故选：C．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA，那么cosA的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由锐角的正弦定义得到sinA，令BC＝3x，AB＝5x，由勾股定理求出AC4x，即可得到cosA．
【解答】解：如图，
∵∠C＝90°，
∵sinA，
∴令BC＝3x，AB＝5x，
∴AC4x，
∴cosA．
故选：C．
6．为测楼房BC的高，在距楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α，则楼房BC的高为（　　）
A．30tanα米 B．米 C．30sinα米 D．米
【答案】A
【分析】利用所给角的正切函数即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，有∠BAC＝α，AC＝30．
∴BC＝30tanα．
故选：A．
7．已知，则∠A＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：由题意，得∠A＝60°，
故选：C．
8．若在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，1）和点B（4，0），则sin∠ABO的值为 　 ．
【答案】．
【分析】根据题意画出直角坐标系，标出点A和点B坐标，作AD⊥x轴于D，再根据三角函数解直角三角形即可求出．
【解答】解：根据题意可画出直角坐标系，作AD⊥x轴于D，如图所示：
∵点A（2，1）和点B（4，0），
∴OD＝2，AD＝1，OB＝4，
∴BD＝2，
在Rt△ADB中，由勾股定理可得：
∴，
∴，
故答案为：．
9．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，cosA，sinB，AB＝8，则BC长为 　 　．
【答案】6.5．
【分析】首先根据题意画出示意图，作CD⊥AB于D，先在Rt△BCD中由，在Rt△CDA中，cosA，
设AD＝4x，AC＝41x，进而得BD＝12x，BC＝13x，求出x的值即可得出BC的长．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图：
在Rt△BCD中，，
在Rt△CDA中，cosA，
设AD＝4x，AC＝41x，
由勾股定理得：CD5x，
∴BD＝12x，BC＝13x，
∵AB＝8，
∴4x+12x＝8，
∴x，
∴BC＝13x＝6.5．
故答案为：6.5．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则tanA＝　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答．
【解答】解：由sinA知，可设a＝4x，则c＝5x，b＝3x．
∴tanA．
故答案为：．
11．若0°＜α＜45°，且，则α＝　 　度．
【答案】30
【分析】先根据60°的正弦值得到2α＝60°，则α＝30°，然后利用30度的正切值求解．
【解答】解：∵sin2α，0°＜α＜45°，
∴2α＝60°，
∴α＝30°．
故答案为：30．
12．若cosA，则锐角∠A＝　 ．
【答案】60°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：∵cosA，
∴锐角∠A＝60°．
故答案为：60°．
13．计算：
（1）sin45°cos45°+3tan30°sin60°；
（2）cos60°﹣2sin245°+tan260°．
【答案】（1）2；
（2）2．
【分析】利用特殊锐角的三角函数值计算即可．
【解答】解：（1）原式3
＝2；
（2）原式2×（）2+（）2
23
1+3
＝2．
14．如图，小明利用课余时间测量教学楼的高度．他在C点测得A点的仰角为37°，他又向前走了4m，测得A点关于E点的仰角为45°．已知小胖身高为1.6m，求教学楼AB的高度．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.41）
【答案】教学楼AB的高度约为14m．
【分析】如图，延长CE交AB于G，根据题意得，CD⊥BD，AB⊥BD，CE∥BD，∠AEG＝45°，∠ACG＝37°，CE＝4m，CD＝1.6m，根据矩形的性质得到CD＝BG，设AG＝3x m，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：如图，延长CE交AB于G，
根据题意得，CD⊥BD，AB⊥BD，CE∥BD，∠AEG＝45°，∠ACG＝37°，CE＝4m，CD＝1.6m，
∴∠CDB＝∠B＝∠CGB＝90°，
∴四边形CDBG为矩形，
∴CD＝BG，
设AG＝3x m，
∴CG4x m，
∵∠AEG＝45°，∠CGA＝90°，
∴△AGE为等腰直角三角形，
∴GE＝AG＝3xm，
∴x＝4m，3x＝12m，
∴AB≈14m，
答：教学楼AB的高度约为14m．
15．如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行，在A处测得岛C在东北方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛C周围25海里内有暗礁．（参考数据：1.732，1.414，sin75°≈0.966，cos75°≈0.259．）
（1）如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．
（2）如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？说明理由．
【答案】（1）如果渔船继续向东航行，有触礁危险，理由见解答；
（2）如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，无触礁危险，理由见解答．
【分析】（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据题意可得：∠CAD＝45°，∠CBD＝60°，AB＝10海里，然后设BD＝x海里，则AD＝（10+x）海里，从而分别在Rt△BDC和Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答；
（2）过点C作CE⊥BF，垂足为F，根据题意可得：∠ABE＝75°，然后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而在Rt△CBE中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，比较即可解答．
【解答】解：（1）如果渔船继续向东航行，有触礁危险，
理由：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
由题意得：∠CAD＝45°，∠CBD＝90°﹣30°＝60°，AB＝3010（海里），
设BD＝x海里，
∴AD＝AB+BD＝（10+x）海里，
在Rt△BDC中，CD＝BD tan60°x（海里），
在Rt△ACD中，CD＝AD tan45°＝（10+x）海里，
∴x＝10+x，
解得：x＝55，
∴CDx＝15+523.66（海里），
∵23.66海里＜25海里，
∴如果渔船继续向东航行，有触礁危险；
（2）如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，无触礁危险，
理由：过点C作CE⊥BF，垂足为F，
由题意得：∠ABE＝∠CBD+15°＝75°，
在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，BD＝（55）海里，
∴BC（1010）海里，
在Rt△CBE中，CE＝BC sin75°≈（1010）×0.966＝26.39112（海里），
∵26.39112海里＞25海里，
∴如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，无触礁危险．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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