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第七章 统计与概率
第三节 概率
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1事件的可能性 ☆☆ 概率问题在中考数学中的考察难度在中档以下，年年都会考查，是广大考生的得分点，分值为10分左右，预计2024年中考还将出现。该专题考题的类型也比较的固定，单独考查时，通常作为选择或者填空题，考概率的基本定义和简单计算、频率估计概率等。综合考查时会和统计图表类问题结合，作为最后一问，考查概率的树状图或者列表分析。因为整体难度较小，属于中考数学中必拿分点，审题时要多加注意即可，
考点2简单事件的概率计算公式 ☆☆☆
考点3用频率估计概率 ☆☆
考点4树状图、列表法与概率计算 ☆☆☆
1．在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件；在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件．
2．我们把事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率，一般用P表示．事件A发生的概率记为P(A)．简单事件的概率可以通过统计事件发生的所有不同结果来计算，常用的方法有：枚举法、列表法和画树状图等．
3．事件A发生的概率：
P(A)＝＝(m≤n)．
注意：事件发生的各种结果的可能性需相同且互相排斥．
4．必然事件发生的概率是 1 ，不可能事件发生的概率是 0 ，不确定事件(随机事件)发生的概率介于0与1之间．
5.概率与频率
（1）当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近，即事件发生可能性的大小可以用试验的频率来表示，然后用概率的知识来解决问题．
（2）频率与概率二者并不完全相同，频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性．
6.概率的应用
有关单转盘、双转盘、抛硬币、摸球游戏等概率模型，可以用枚举法、画树状图或列表法求解．
注：（1）当事件中涉及两个以上的因素时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图法.画树状图法求概率的步骤：
1) 明确试验由几个步骤组成；
2) 画树状图分步列举出试验的所有等可能结果；
3) 根据树状图求出所关注事件包含的结果数及所有等可能的结果数，再利用概率公式求解.
（2）当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法.列表法求概率的步骤：
1）列表，并将所有可能结果有规律地填入表格；
2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值；
3）利用概率公式P(A)＝(m≤n)．，计算出事件的概率．
■考点一　事件的可能性
◇典例1：（2023 金华模拟）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．抛掷一枚均匀的硬币，恰好正面朝上 B．打开数学书，恰好翻到第20页
C．在1个标准大气压下，水加热到100℃沸腾 D．打开电视机，它正在播新闻联播
【考点】随机事件．
【答案】C
【点拨】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【解析】解：A、抛掷一枚均匀的硬币，恰好正面朝上，是随机事件，故A不符合题意；
B、打开数学书，恰好翻到第20页，是随机事件，故B不符合题意；
C、在1个标准大气压下，水加热到100℃沸腾，是必然事件，故C符合题意；
D、打开电视机，它正在播新闻联播，是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
◆变式训练
1．（2021 丽水模拟）下列事件是随机事件的是（　　）
A．抛一枚质地均匀的硬币，正好正面朝上 B．掷一枚质地均匀的骰子，出现点数为7
C．从一副扑克牌中任抽2张都是红心5 D．从装满红球的口袋中随意摸一个球是红球
【考点】随机事件．
【答案】A
【点拨】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解析】解：A、抛一枚质地均匀的硬币，正好正面朝上，是随机事件；
B、掷一枚质地均匀的骰子，出现点数为7，是不可能事件；
C、从一副扑克牌中任抽2张都是红心5，是不可能事件；
D、从装满红球的口袋中随意摸一个球是红球，是必然事件；
故选：A．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．（2022 金华模拟）下列说法属于不可能事件的是（　　）
A．四边形的内角和为360° B．分数大于1 C．守株待兔 D．存在实数x满足x2+1＝0
【考点】随机事件．
【答案】D
【点拨】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．
【解析】解：四边形的内角和为360°是必然事件，A错误；
分数也可能大于1，也可能小于1，是随机事件，B错误；
守株待兔是随机事件，C错误；
存在实数x满足x2+1＝0是不可能事件，
故选：D．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（2022 衢州一模）将分别标有数字2，3，x的三个球放入不透明的袋中，这些球除数字外都相同，搅匀后任意摸出一个球．若摸出球上的数字小于7是必然事件，则x的值可以是（　　）
A．11 B．9 C．7 D．5
【考点】随机事件．
【答案】D
【点拨】根据必然事件的定义即可得出答案．
【解析】解：∵摸出球上的数字小于7是必然事件，
∴x的值可以是5．
故选：D．
【点睛】本题考查了随机事件，掌握事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件是解题的关键．
4．（2023 宁波模拟）袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能是（　　）
A．1 B．3 C．5 D．10
【考点】可能性的大小．
【答案】D
【点拨】摸到红球的可能性最大，即白球的个数比红球的少．
【解析】解：袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能大于8．观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．
■考点二　简单事件的概率计算公式
◇典例2：（2022 温州）9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数．现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【答案】C
【点拨】让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数9即为所求的概率．
【解析】解：因为1到9共9个自然数．是偶数的有4个，
所以正面的数是偶数的概率为．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
◆变式训练
1．（2022 绍兴）在一个不透明的袋子里，装有3个红球、1个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【答案】A
【点拨】根据红球可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数即可得出答案．
【解析】解：∵总共有4个球，其中红球有3个，摸到每个球的可能性都相等，
∴摸到红球的概率P＝，
故选：A．
【点睛】本题考查了概率公式，掌握P（摸到红球的概率）＝红球可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数是解题的关键．
2．（2021 金华）某单位组织抽奖活动，共准备了150张奖券，设一等奖5个，二等奖20个，三等奖80个．已知每张奖券获奖的可能性相同，则1张奖券中一等奖的概率是 　　．
【考点】概率公式．
【答案】见试题解答内容
【点拨】直接根据概率公式即可得出结论．
【解析】解：∵共有150张奖券，一等奖5个，
∴1张奖券中一等奖的概率＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数是解答此题的关键．
3．（2023 柯桥区一模）学校招募运动会广播员，从三名男生和一名女生中随机选取一人，则选中女生的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【答案】C
【点拨】用女生人数除以学生总人数即可求得概率．
【解析】解：∵从三名男生和一名女生共四名候选人中随机选取一人，
∴选中女生的概率为，
故选：C．
【点睛】本题考查概率的意义和计算方法，理解概率的意义，掌握概率的求法是解决问题的前提．
■考点三　用频率估计概率
◇典例3：（2022 东阳市模拟）某班学生做“用频率估计概率”的实验时，得到的实验结果成如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（　　）
A．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
B．扔一枚面额一元的硬币，正面朝上
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，某人随机出的是“剪刀”
D．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，抽到的卡片上标有奇数
【考点】利用频率估计概率．
【答案】C
【点拨】根据频率估计概率分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解析】解：A、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率是，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
B、扔一枚面额一元的硬币，正面朝上的概率是，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，某人随机出的是“剪刀”的概率是，符合这一结果，故此选项符合题意；
D、从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现奇数的概率是＝，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
◆变式训练
1．（2021 丽水模拟）对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下：
抽取只数（只） 50 100 150 500 1000 2000 10000 50000
合格频率 0.82 0.83 0.82 0.83 0.84 0.84 0.84 0.84
估计从该批次口罩中任抽一支口罩是合格品的概率为　0.84　．
【考点】利用频率估计概率．
【答案】0.84．
【点拨】观察表格合格的频率趋近于0.84，从而由此得到口罩合格的概率即可．
【解析】解：∵随着抽样数量的增多，合格的频率趋近于0.84，
∴估计从该批次口罩中任抽一支口罩是合格品的概率为0.84．
故答案为：0.84．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
■考点四　树状图、列表法与概率计算
◇典例4： 12．（2023 杭州一模）有4张正面分别写有数字﹣2，2，4，6的不透明卡片，它们除数字外完全相同，将它们背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字记下为m，n，用列表或画树状图求点P（m，n）在第一象限的概率．
（2）随机抽取一张记下数字后（不放回），再从余下的3张中随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字记为m，n，用列表或树状图求点P（m，n）在第二象限的概率．
【考点】列表法与树状图法；点的坐标．
【答案】（1）；
（2）．
【点拨】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有可能的结果与点P（m，n）在第一象限的所有情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有可能的结果与点P（m，n）在第二象限的所有情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解析】解：（1）画树状图如下：
由树状图知，共有16种等可能结果，其中在第一象限的有（2，2），（2，4），（2，6），（4，2），（4，4），（4，6），（6，2），（6，4），（6，6）共9种，
∴点P（m，n）在第一象限的概率为P1＝；
（2）画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中在第二象限的有（﹣2，2），（﹣2，4），（﹣2，6）共3种，
∴点P（m，n）在第二象限的概率为P2＝＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
◆变式训练
1．（2023 龙湾区模拟）抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后，正面都朝上的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【答案】C
【点拨】首先利用列举法可得所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解析】解：∵抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后的所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，
∴正面都朝上的概率是：．
故选：C．
【点睛】此题考查了列举法求概率的知识．此题比较简单，注意在利用列举法求解时，要做到不重不漏，注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
2．（2023 余姚市二模）在一个不透明的口袋里装有1个白球，2个黑球，它们除颜色外其余都相同，现随机从袋里摸出2个球，则摸出的2个球都是黑球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【答案】B
【点拨】先根据题意画出树状图，确定所有可能结果数和符合题意结果数，然后运用概率公式计算即可．
【解析】解：列出树状图如下：
摸出的2个球共有6种可能，其中2个球都是黑球的结果数为2，
所以摸出的2个球都是黑球的概率是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了画树状图求概率，正确画出树状图是解答本题的关键．
3．（2023 瓯海区二模）随着春天气温变暖，某校组织同学们分别到A、B、C、D四个景点进行春游活动，学校把学生前往四个地方的人数做了统计，得到下列两幅不完整的统计图，如图所示：
（1）本次参加春游活动学生总人数有　400　人，在扇形统计图中，去D景点活动的人数对应扇形的圆心角的度数是　108　度；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）本次春游活动中，学校分配给九年级学生甲、乙、丙三辆车，小明与小华都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，求小明与小华同车的概率（要求画出树状图或列表）．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
【答案】见试题解答内容
【点拨】（1）由C景点的人数及其所占百分比可得总人数，由各景点的人数之和等于总人数求得D的人数，再用360°乘以对应的比例即可得；
（2）根据所求结果可补全图形；
（3）用列表法展示所有9种等可能的结果数，找出小明与小华乘车相同的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】解：（1）本次参加春游活动学生总人数有80÷20%＝400（人），
∵去D景点的人数为400﹣（40+160+80）＝120（人），
∴去D景点活动的人数对应扇形的圆心角的度数是360°×＝108°，
故答案为：400，108；
（2）补全条形图如下：
（3）小明与小华乘车的所有可能的结果可以列表如下：
甲 乙 丙
甲 甲，甲 甲，乙 甲，丙
乙 乙，甲 乙，乙 乙，丙
丙 丙，甲 丙，乙 丙，丙
共有9种等可能的结果数，其中小明与小华同车的有3种结果，
所以小明与小华同车的概率为＝．
【点睛】此题主要考查了扇形统计图与条形统计图的综合应用以及利用列表法求概率等知识，利用条形统计图与扇形统计图得出正确信息是解题关键．
1．（2021 湖州）下列事件中，属于不可能事件的是（　　）
A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．班里的两名同学，他们的生日是同一天 D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
【考点】随机事件．
【答案】D
【点拨】根据不可能事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．
【解析】解：A、经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件，故本选项不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；
C、班里的两名同学，他们的生日是同一天是随机事件，故本选项不符合题意；
D、从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球是不可能事件，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查随机事件，不可能事件，必然事件，理解随机事件，不可能事件，必然事件的意义是正确判断的前提．
2．（2021 上虞区模拟）浙教版九年级上册课本第41页中的一道题如图所示，请你仔细阅读后认真解答．你的答案是（　　）
笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去．问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有多少种不同的可能？
A．12 B．6 C．5 D．2
【考点】可能性的大小．
【答案】B
【点拨】分析两道门各自的可能性情况，再进行组合即可求解．
【解析】解：∵第一道门有A，B，C三个出口，
∴出第一道门有三种选择，
又∵第二道门有D、E两个出口，
∴出第二道门有两种选择，
∴松鼠走出笼子的路线有6种选择，分别为：AD、AE、BD、BE、CD、CE．
故选：B．
【点睛】本题考查了概率的知识，解题的关键是通过列举法列出所有可能性的路径．
3．（2023 舟山三模）如图，某天气预报软件显示“舟山市定海区明天的降水概率为85%”，对这条信息的下列说法中，正确的是（　　）
A．定海区明天下雨的可能性较大 B．定海区明天下雨的可能性较小
C．定海区明天将有85%的时间下雨 D．定海区明天将有85%的地区下雨
【考点】概率的意义．
【答案】A
【点拨】根据概率反映随机事件出现的可能性大小，即可进行解答．
【解析】解：“舟山市定海区明天的降水概率为85%”表示“舟山市区明天下雨的可能性较大”．
故选：A．
【点睛】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．
4．（2023 绍兴）在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【答案】C
【点拨】由一个不透明的布袋里装有7个球，其中2个红球，5个白球，它们除颜色外其余都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解析】解：从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是：＝，
故选：C．
【点睛】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
5．（2023 丽水）某校准备组织红色研学活动，需要从梅岐、王村口、住龙、小顺四个红色教育基地中任选一个前往研学，选中梅岐红色教育基地的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【答案】B
【点拨】根据概率公式直接计算即可．
【解析】解：∵红色教育基地有4个，
∴选中梅岐红色教育基地的概率是．
故选：B．
【点睛】本题考查了概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
6．（2022 丽水）老师从甲、乙、丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，选中甲同学的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【答案】B
【点拨】利用事件概率的意义解答即可．
【解析】解：∵老师从甲、乙、丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，事件的等可能性有4种，选中甲同学的可能性有一种，
∴选中甲同学的概率是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了概率的公式，熟练应用概率的公式是解题的关键．
7．（2021 衢州）一个布袋里放有3个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同．从布袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【答案】D
【点拨】根据概率公式，用白球的个数除以球的总个数即可．
【解析】解：∵从放有3个红球和2个白球布袋中摸出一个球，共有5种等可能结果，其中摸出的球是白球的有2种结果，
∴从布袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是，
故选：D．
【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
8．（2021 杭州）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【答案】C
【点拨】画树状图，共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解析】解：把3节车厢分别记为A、B、C，
画树状图如图：
共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，
∴甲和乙从同一节车厢上车的概率为＝，
故选：C．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．（2023 瓯海区模拟）从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学去参加义务劳动，则甲与乙恰好被选中的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【答案】C
【点拨】画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲与乙恰好被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解析】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中甲与乙恰好被选中的结果有2种，
∴甲与乙恰好被选中的概率为＝，
故选：C．
【点睛】此题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
10．（2021 柯桥区模拟）已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共120个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验（从中随机摸出一个球，记下颜色后放回），统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图的折线统计图，那么估计袋中红色球的数目为（　　）
A．20 B．30 C．40 D．60
【考点】利用频率估计概率；频数（率）分布折线图．
【答案】C
【点拨】由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33附近，据此可估计摸出球为红色的概率为0.33，再乘以球的总个数即可．
【解析】解：由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33附近，
据此可估计摸出球为红色的概率为0.33，
所以袋中红色球的个数为120×0.33≈40（个），
故选：C．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
11．（2023 杭州）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝　9　．
【考点】概率公式．
【答案】见试题解答内容
【点拨】根据红球的概率公式，列出方程求解即可．
【解析】解：根据题意，＝，
解得n＝9，
经检验n＝9是方程的解．
∴n＝9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查概率公式，根据公式列出方程求解则可．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．（2023 金华）如表为某中学统计的七年级500名学生体重达标情况（单位：人），在该年级随机抽取一名学生，该生体重“标准”的概率是 　　．
“偏瘦” “标准” “超重” “肥胖”
80 350 46 24
【考点】概率公式．
【答案】．
【点拨】根据概率公式计算即可．
【解析】解：七年级共有500名学生，体重“标准”的学生有350名，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了概率的计算．某事件的概率＝这个事件发生的结果数除以总的结果数．
13．（2023 滨江区一模）如图，转盘被分成5个面积相等的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率为 　　．
【考点】几何概率．
【答案】．
【点拨】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率．
【解析】解：∵转盘被分成5个面积相等的扇形，其中阴影部分占2份，
∴指针落在阴影区域的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
14．（2021 舟山）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为 　　．
马匹 姓名 下等马 中等马 上等马
齐王 6 8 10
田忌 5 7 9
【考点】列表法与树状图法．
【答案】．
【点拨】列表得出所有等可能的情况，田忌能赢得比赛的情况有1种，再由概率公式求解即可．
【解析】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为10，8，6时，田忌的马按5，9，7的顺序出场，田忌才能赢得比赛，
当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下：
双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，
∴田忌能赢得比赛的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用列表法或树状图法求概率；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（2023 越城区模拟）一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球有3个，这些球除颜色外都相同，每次将箱子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出m的值为 　12　．
【考点】利用频率估计概率．
【答案】12．
【点拨】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可．
【解析】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.25，
∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为0.25，
∴＝0.25，
解得m＝12，
经检验：m＝12是原方程的解，
故答案为：12．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率．
16．（2023 杭州模拟）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州亚运会吉祥物是“宸宸”“琮琮”和“莲莲”．将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是 　　；
（2）若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案不同的概率．（请用树状图或列表的方法求解）
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【答案】（1）；
（2）．
【点拨】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片图案不相同的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解析】解：（1）从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是，
故答案为：；
（2）把吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”三张卡片分别记为A、B、C，
画树状图如图：
共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片图案不相同的结果有6种，
∴两次抽取的卡片图案不相同的概率为＝．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法；正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．（2023 绍兴模拟）某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展了主题为“防诈、反诈”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“A．非常了解”、“B．比较了解”、“C．基本了解”、“D．不太了解”四个等级，将所得数据进行整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图表，
请你结合图表中的信息解答下列问题：
等级 A B C D
频数 110 50 36 n
频率 0.55 m 0.18 0.02
（1）表中m的值为 　0.25　，n的值为 　4　；
（2）扇形统计图中，等级B所对应的扇形的圆心角是 　90　°；
（3）若该校从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人参加市里的比赛，求甲、乙两人恰好同时选中的概率．
【考点】利用频率估计概率；频数（率）分布表；扇形统计图；列表法与树状图法．
【答案】（1）0.25、4；
（2）90；
（3）．
【点拨】（1）先根据“非常了解”的频数及其频率求得总人数，再由频率＝频数÷总数求解可得；
（2）用360°乘以“非常了解”的频率可得；
（3）根据树状图求概率．
【解析】解：（1）∵本次调查的总人数为110÷0.55＝200，
∴m＝50÷200＝0.25、n＝200×0.02＝4，
故答案为：0.25、4；
（2）等级为“非常了解”的学生在扇形统计图中所对应的扇形的圆心角的度数360°×0.25＝90°；
故答案为：90；
（3）树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中符合条件的有2种，所以甲、乙两人恰好同时选中的概率P＝＝．
【点睛】本题考查了频率分布表及概率的求解方法等知识，统计图表是中考的必考内容，熟知这些知识点是解题的关键．
18．（2023 新昌县模拟）我市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱．一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：
（1）直接写出本次随机调查的总人数，并补全条形统计图；
（2）若该小区有居民1200人，试估计去B地旅游的居民约有多少人？
（3）小军同学已去过E地旅游，暑假期间计划与父母从A，B，C，D四个景区中，任选两个去旅游，求选到A，C两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率）
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
【答案】（1）200，图见解答；
（2）420人；
（3）
【点拨】（1）用想去D景区的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算想去B景区的百分比得到m的值；
（2）用1200乘以B区所占比值可估计该景区旅游的居民大约人数；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出选到A，C两个景区的结果数，然后根据概率公式计算．
【解析】解：（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是20÷10%＝200（人），
C景区人数为200﹣（20+70+20+50）＝40（人），
补全条形图如下：
（2）估计去B地旅游的居民约有1200×＝420（人）；
（3）画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中选到A，C两个景区的有2种结果，
所以选到A，C两个景区的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率是解题的关键．
1．（2022 富阳区二模）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．掷一次骰子，向上的一面的点数是1
B．13位学生参加一个聚会，他们中至少有两位学生的生日在同一个月
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．打开电视机，正在播放“神舟十三号”成功返回新闻
【考点】随机事件．
【答案】B
【点拨】根据必然事件的定义进行判定即可得出答案．
【解析】解：A．掷一次骰子，向上的一面的点数是1是随机事件，故A选项不符合题意；
B.13位学生参加一个聚会，他们中至少有两位学生的生日在同一个月是必然事件，因为一年有12个月，所以13个人必然有两个人的生日在同一个月．故B符合题意；
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故C选项不符合题意；
D．打开电视机，正在播放“神舟十三号”成功返回新闻是随机事件，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了必然事件，熟练掌握必然事件的定义进行求解是解决本题的关键．
2．（2023 拱墅区二模）抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1﹣6）一次，则正面朝上的数字（　　）
A．一定是6 B．可能是6 C．一定大于6 D．一定小于6
【考点】随机事件．
【答案】B
【点拨】根据事件发生的可能性大小判断．
【解析】解：抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1﹣6）一次，则正面朝上的数字可能是6，
故选：B．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（2022 金华模拟）下列说法正确的是（　　）
A．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数
B．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件
C．了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式
D．若平均数相同的甲、乙两组数据，S甲2＝3，S乙2＝0.02，则甲组数据更稳定
【考点】随机事件；全面调查与抽样调查；方差．
【答案】C
【点拨】依据随机事件、抽样调查以及方差的概念进行判断，即可得出结论．
【解析】解：A．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定是奇数，故原说法错误，不合题意；
B．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是随机事件，故原说法错误，不合题意；
C．了解一批冰箱的使用寿命，适合采用抽样调查的方式，说法正确，符合题意；
D．若平均数相同的甲、乙两组数据，s甲2＝3，s乙2＝0.02，则乙组数据更稳定，故原说法错误，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了随机事件、抽样调查以及方差的概念，掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量是关键．
4．（2021 长兴县模拟）一个不透明的盒子中装有2个红球、3个白球和2个黄球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，摸到哪种颜色的球的可能性最大（　　）
A．红色 B．黄色 C．白色 D．红色和黄色
【考点】可能性的大小．
【答案】C
【点拨】由题意可得，共有7种等可能的结果，利用概率公式分别求得摸出红球、白球和黄球的概率，据此即可求得答案．
【解析】解：∵从装有2个红球、3个白球和2个黄球的袋中任意摸出一个球有7种等可能结果，
其中摸出的球是红球的有2种、白球的结果有3种、黄球的有2种，
∴从袋中任意摸出一个球，是红球的概率为、白球的概率是、黄球的概率为，
∴摸到白球的可能性大，
故选：C．
【点睛】此题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．（2022 黄岩区一模）下列说法正确的是（　　）
A．为保证“神舟十三号”成功发射，对其零部件检查采取抽样调查方式
B．“守株待兔”是必然事件
C．有5个数都是6的整数倍，从中任选2个数都是偶数的概率是1
D．某彩票的中奖率是70%，小明买了10张彩票，一定有7张中奖
【考点】概率的意义；列表法与树状图法；全面调查与抽样调查；随机事件．
【答案】C
【点拨】根据概率的意义，全面调查与抽样调查，随机事件，列表法与树状图法，逐一判断即可解答．
【解析】解：A、为保证“神舟十三号”成功发射，对其零部件检查采取全面调查方式，故A不符合题意；
B、“守株待兔”是随机事件，故B不符合题意；
C、有5个数都是6的整数倍，从中任选2个数都是偶数的概率是1，故C符合题意；
D、某彩票的中奖率是70%，小明买了10张彩票，不一定有7张中奖，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了概率的意义，全面调查与抽样调查，随机事件，列表法与树状图法，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
6．（2021 丽水）一个布袋里装有3个红球和5个黄球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出一个球是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【答案】C
【点拨】用红球的个数除以球的总个数即可．
【解析】解：∵布袋里装有3个红球和5个黄球，共有8个球，
∴任意摸出一个球是红球的概率是．
故选：C．
【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
7．（2023 金华模拟）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转，若这三种可能性相同．则甲乙两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【答案】B
【点拨】列表得出所有等可能的情况数，找出两辆汽车经过十字路口全部继续直行的情况数，即可求出所求的概率．
【解析】解：列表如下：
直 左 右
直 （直，直） （左，直） （右，直）
左 （直，左） （左，左） （右，左）
右 （直，右） （左，右） （右，右）
所有等可能的情况有9种，其中两辆汽车经过十字路口全部继续直行的情况有1种，
则P（甲乙两辆汽车经过该十字路口全部继续直行）＝．
故选：B．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．（2023 义乌市模拟）一只布袋里装有4个只有颜色不同的小球，其中3个红球，1个白球，小敏和小丽依次从中任意摸出1个小球，则两人摸出的小球颜色相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【答案】B
【点拨】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再两人摸出的小球颜色相同的结果数然后根据概率公式求解．
【解析】解：画树状图如下：
，
一共12种可能，两人摸出的小球颜色相同的有6种情况，
所以两人摸出的小球颜色相同的概率是＝，
故选：B．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．（2021 温州模拟）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【考点】几何概率．
【答案】B
【点拨】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．
【解析】解：观察这个图可知：黑砖（4块）的面积占总面积（9块）的．
故选：B．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率
10．（2021 金华模拟）在一个不透明的纸箱中，共有15个蓝色、红色的玻璃球，它们除颜色外其他完全相同．小柯每次摸出一个球后放回，通过多次摸球试验后发现摸到蓝色球的频率稳定在20%，则纸箱中红色球很可能有（　　）
A．3个 B．6个 C．9个 D．12个
【考点】利用频率估计概率．
【答案】D
【点拨】根据利用频率估计概率得到摸到蓝色球的概率为20%，由此得到摸到红色球的概率＝1﹣20%＝80%，然后用80%乘以总球数即可得到红色球的个数．
【解析】解：∵摸到蓝色球的频率稳定在20%，
∴摸到红色球的概率＝1﹣20%＝80%，
∵不透明的布袋中，有黄色、白色的玻璃球共有15个，
∴纸箱中红球的个数有15×80%＝12（个）．
故选：D．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
11．（2023 湖州）在一个不透明的箱子里放有7个红球和3个黑球，它们除颜色外其余都相同．从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是 　　．
【考点】概率公式．
【答案】见试题解答内容
【点拨】直接由概率公式求解即可．
【解析】解：从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
12．（2022 杭州）有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5．从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于 　　．
【考点】概率公式．
【答案】
【点拨】根据题目中的数据，可以计算出从中随机抽取一张，编号是偶数的概率．
【解析】解：从编号分别是1，2，3，4，5的卡片中，随机抽取一张有5种可能性，其中编号是偶数的可能性有2种可能性，
∴从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于，
故答案为：．
【点睛】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
13．（2023 台州）一个不透明的口袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球．随机摸出一个小球，摸出红球的概率是 　　．
【考点】概率公式．
【答案】．
【点拨】利用红球的个数÷球的总个数可得红球的概率．
【解析】解：∵一个口袋里有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球，
∴摸到红球的概率是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了概率公式，关键是掌握概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（2023 衢州）衢州飞往成都每天有2趟航班．小赵和小黄同一天从衢州飞往成都，如果他们可以选择其中任一航班，则他们选择同一航班的概率等于 　　．
【考点】概率公式．
【答案】．
【点拨】根据概率公式即可得到结论．
【解析】解：如图所示，
选择航班从衢州飞往成都共有4种情况：（A，A）（A，B）（B，A）（B，B），其中选择同一航班从衢州市飞往成都市的有两种情况：
（A，A），（B，B）．
∴P（选择同一航班从N市飞往S市）＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
15．（2022 拱墅区一模）如图是一个可以自由转动的两色转盘，其中白色扇形和红色扇形的圆心角分别为120°和240°．若让转盘自由转动一次，则指针落在白色区域的概率是 　　．若让转盘自由转动两次，则指针一次落在白色区域，另一次落在红色区域的概率是 　　．
【考点】几何概率；列表法与树状图法．
【答案】，．
【点拨】根据概率的求法，用白色区域的圆心角度数除以360即可解答．根据概率的求法，再求出指针指向红色区域的概率，进而即可得出答案．
【解析】解：由图得：白色扇形的圆心角为120°，
故若让转盘自由转动一次，则指针落在白色区域的概率是：＝，
则转动一次，指针落在红色区域的概率是：1﹣＝，
故若让转盘自由转动两次，则指针一次落在白色区域，另一次落在红色区域的概率是：2××＝．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了几何概率的求法，正确求出转动一次指针指向某一区域的概率是解题关键．
16．（2022 西湖区一模）植树节过后，历下区园林绿化管理局为了考察树苗的成活率，于是进行了现场统计，表中记录了树苗的成活情况，则由此估计这种树苗成活的概率约为 　0.9　（结果精确到0.1）．
移植总数n 400 1500 3500 7000 9000 14000
成活数m 369 1335 3203 6335 8073 12628
成活的频率 0.923 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
【考点】利用频率估计概率．
【答案】0.9
【点拨】用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解析】解：根据表格数据可知：树苗移植成活的频率近似值为0.9，
所以估计这种树苗移植成活的概率约为0.9．
故答案为：0.9．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
17．（2023 龙游县一模）在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．
（1）随机从箱子里取出1个球，则取出黄球的概率是多少？
（2）随机从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求两次取出的都是白色球的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【答案】见解析
【点拨】（1）由在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出白颜色球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解析】解：（1）∵在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，
∴随机地从箱子里取出1个球，则取出黄球的概率是：；
（2）画树状图得：
由树形图可知所有可能的情况有9种，其中两次取出的都是白色球有1种，所以两次取出的都是白色球的概率＝．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题属于放回实验．
18．（2023 婺城区模拟）如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个半径为2米的圆后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：
掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 …
小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 59 123 …
小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n 29 91 176 …
（1）当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近　0.7　（结果精确到0.1）
（2）若以小石子所落的有效区域为总数（即m+n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在　0.4　附近（结果精确到0.1）；
（3）请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留π）
【考点】利用频率估计概率；用样本估计总体．
【答案】见试题解答内容
【点拨】（1）根据提供的m和n的值，计算m：n后即可确定二者的比值逐渐接近的值；
（2）大量试验时，频率可估计概率；
（3）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积．
【解析】解：（1）20÷29≈0.69；
59÷91≈0.65；
123÷176≈0.70，
…
当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近0.7；
（2）观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4，
（3）设封闭图形的面积为a，根据题意得：＝0.4，
解得：a＝10π，
故答案为：0.7，0.4，10π．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（2021 丽水模拟）小刚所在的社区为了做好应对新冠疫情的防控工作，特招募社区抗疫志愿工作者．小刚的爸爸决定报名参加，根据规定，志愿者会被随机分到A（体温检测），B（便民代购），C（环境消杀）其中一组．
（1）求小刚的爸爸被分到C组的概率；
（2）小明的爸爸也加入了该社区的志愿者队伍，请利用画树状图或列表的方法求小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【答案】（1）；
（2）．
【点拨】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组的结果数为3，再根据概率公式求解可得．
【解析】解：（1）P（小刚的爸爸被分到C组）＝；
（2）根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组的结果有3种，
∴P（小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组）＝．
【点睛】此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20.（2021 拱墅区二模）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．为此，老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行调查．将统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的共有　　人；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为　　°；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果我国有13亿人在使用手机；
①请估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数；
②在全国使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，求抽取的恰好使用“QQ”的概率是多少？
【考点】利用频率估计概率；扇形统计图；条形统计图．
【答案】（1）2000,144；
（2）见解答；
（3）①5.2亿人；②22%．
【点拨】（1）由用电话沟通的人数及其所占百分比可求出总人数，用360°乘以利用沟通人数占被调查人数的比例即可；
（2）先求出短信沟通的人数，再根据5种方式的人数之和等于总人数求出使用微信的人数，从而补全图形；
（3）①用总人数乘以样本中用微信人数所占比例；
②先求出抽取的恰好使用“QQ”的频率，再用频率估计概率即可得出答案．
【解析】解：（1）∵喜欢用电话沟通的人数为400，所占百分比为20%，
∴此次共抽查了400÷20%＝2000（人），
表示“微信”的扇形圆心角的度数为：360°×＝144°，
故答案为：2000；144．
（2）短信人数为2000×5%＝100（人），微信人数为2000﹣（400+440+260+100）＝800（人），
如图：
（3）①由（2）知：参与调查的人中喜欢用“微信”进行沟通的人数有800人，
所以在全国使用手机的13亿人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数有13×＝5.2（亿人）．
②由（1）可知：参与这次调查的共有2000人，其中喜欢用“QQ”进行沟通的人数为440人，
所以，在参与这次调查的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“QQ”的频率是×100%＝22%．
所以，用频率估计概率，在全国使用手机的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“QQ”的概率是22%．
【点睛】本题考查的是利用频率估计概率、条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21．（2023 金华模拟）自我省深化课程改革以来，铁岭市某校开设了：A．利用影长求物体高度，B．制作视力表，C．设计遮阳棚，D．制作中心对称图形，四类数学实践活动课．规定每名学生必选且只能选修一类实践活动课，学校对学生选修实践活动课的情况进行抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息解决下列问题：
（1）本次共调查 　60　名学生，扇形统计图中B所对应的扇形的圆心角为 　144　度；
（2）补全条形统计图；
（3）选修D类数学实践活动的学生中有2名女生和2名男生表现出色，现从4人中随机抽取2人做校报设计，请用列表或画树状图法求所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的概率．
【考点】列表法与树状图法；中心对称图形；扇形统计图；条形统计图．
【答案】（1）60，144°；（2）见解析；（3）．
【点拨】（1）用C类别人数除以其所占百分比可得总人数，用360°乘以B类别人数占总人数的比例即可得；
（2）总人数乘以A类别的百分比求得其人数，用总人数减去A，B，C的人数求得D类别的人数，据此补全图形即可；
（3）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】解：（1）本次调查的学生人数为12÷20%＝60（名），
则扇形统计图中B所对应的扇形的圆心角为360°×＝144°．
故答案为：60，144°．
（2）A类别人数为60×15%＝9（人），则D类别人数为60﹣（9+24+12）＝15（人），
补全条形图如下：
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的结果数为8，
所以所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
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第七章 统计与概率
第三节 概率
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1事件的可能性 ☆☆ 概率问题在中考数学中的考察难度在中档以下，年年都会考查，是广大考生的得分点，分值为10分左右，预计2024年中考还将出现。该专题考题的类型也比较的固定，单独考查时，通常作为选择或者填空题，考概率的基本定义和简单计算、频率估计概率等。综合考查时会和统计图表类问题结合，作为最后一问，考查概率的树状图或者列表分析。因为整体难度较小，属于中考数学中必拿分点，审题时要多加注意即可，
考点2简单事件的概率计算公式 ☆☆☆
考点3用频率估计概率 ☆☆
考点4树状图、列表法与概率计算 ☆☆☆
1．在一定条件下一定会发生的事件叫做 ；在一定条件下一定不会发生的事件叫做 ；在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或 ．
2．我们把事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率，一般用P表示．事件A发生的概率记为P(A)．简单事件的概率可以通过统计事件发生的所有不同结果来计算，常用的方法有：枚举法、 和 等．
3．事件A发生的概率：
P(A)＝ .
注意：事件发生的各种结果的可能性需相同且互相排斥．
4．必然事件发生的概率是 ，不可能事件发生的概率是 ，不确定事件(随机事件)发生的概率 ．
5.概率与频率
（1）当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的 附近，即事件发生可能性的大小可以用试验的频率来表示，然后用概率的知识来解决问题．
（2）频率与概率二者并不完全相同， 是通过多次试验得到的数据，而 是理论上事件发生的可能性．
6.概率的应用
有关单转盘、双转盘、抛硬币、摸球游戏等概率模型，可以用枚举法、画树状图或列表法求解．
注：（1）当事件中涉及两个以上的因素时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图法.画树状图法求概率的步骤：
1) 明确试验由几个步骤组成；
2) 画树状图分步列举出试验的所有等可能结果；
3) 根据树状图求出所关注事件包含的结果数及所有等可能的结果数，再利用概率公式求解.
（2）当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法.列表法求概率的步骤：
1）列表，并将所有可能结果有规律地填入表格；
2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值；
3）利用概率公式P(A)＝(m≤n)．，计算出事件的概率．
■考点一　事件的可能性
◇典例1：（2023 金华模拟）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．抛掷一枚均匀的硬币，恰好正面朝上 B．打开数学书，恰好翻到第20页
C．在1个标准大气压下，水加热到100℃沸腾 D．打开电视机，它正在播新闻联播
◆变式训练
1．（2021 丽水模拟）下列事件是随机事件的是（　　）
A．抛一枚质地均匀的硬币，正好正面朝上 B．掷一枚质地均匀的骰子，出现点数为7
C．从一副扑克牌中任抽2张都是红心5 D．从装满红球的口袋中随意摸一个球是红球
2．（2022 金华模拟）下列说法属于不可能事件的是（　　）
A．四边形的内角和为360° B．分数大于1 C．守株待兔 D．存在实数x满足x2+1＝0
3．（2022 衢州一模）将分别标有数字2，3，x的三个球放入不透明的袋中，这些球除数字外都相同，搅匀后任意摸出一个球．若摸出球上的数字小于7是必然事件，则x的值可以是（　　）
A．11 B．9 C．7 D．5
4．（2023 宁波模拟）袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能是（　　）
A．1 B．3 C．5 D．10
■考点二　简单事件的概率计算公式
◇典例2：（2022 温州）9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数．现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2022 绍兴）在一个不透明的袋子里，装有3个红球、1个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021 金华）某单位组织抽奖活动，共准备了150张奖券，设一等奖5个，二等奖20个，三等奖80个．已知每张奖券获奖的可能性相同，则1张奖券中一等奖的概率是 　　．
3．（2023 柯桥区一模）学校招募运动会广播员，从三名男生和一名女生中随机选取一人，则选中女生的概率是（　　）
A． B． C． D．
■考点三　用频率估计概率
◇典例3：（2022 东阳市模拟）某班学生做“用频率估计概率”的实验时，得到的实验结果成如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（　　）
A．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
B．扔一枚面额一元的硬币，正面朝上
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，某人随机出的是“剪刀”
D．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，抽到的卡片上标有奇数
◆变式训练
1．（2021 丽水模拟）对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下：
抽取只数（只） 50 100 150 500 1000 2000 10000 50000
合格频率 0.82 0.83 0.82 0.83 0.84 0.84 0.84 0.84
估计从该批次口罩中任抽一支口罩是合格品的概率为　　．
■考点四　树状图、列表法与概率计算
◇典例4：（2023 杭州一模）有4张正面分别写有数字﹣2，2，4，6的不透明卡片，它们除数字外完全相同，将它们背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字记下为m，n，用列表或画树状图求点P（m，n）在第一象限的概率．
（2）随机抽取一张记下数字后（不放回），再从余下的3张中随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字记为m，n，用列表或树状图求点P（m，n）在第二象限的概率．
◆变式训练
1．（2023 龙湾区模拟）抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后，正面都朝上的概率是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023 余姚市二模）在一个不透明的口袋里装有1个白球，2个黑球，它们除颜色外其余都相同，现随机从袋里摸出2个球，则摸出的2个球都是黑球的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 瓯海区二模）随着春天气温变暖，某校组织同学们分别到A、B、C、D四个景点进行春游活动，学校把学生前往四个地方的人数做了统计，得到下列两幅不完整的统计图，如图所示：
（1）本次参加春游活动学生总人数有　 　人，在扇形统计图中，去D景点活动的人数对应扇形的圆心角的度数是　 　度；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）本次春游活动中，学校分配给九年级学生甲、乙、丙三辆车，小明与小华都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，求小明与小华同车的概率（要求画出树状图或列表）．
1．（2021 湖州）下列事件中，属于不可能事件的是（　　）
A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．班里的两名同学，他们的生日是同一天 D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
2．（2021 上虞区模拟）浙教版九年级上册课本第41页中的一道题如图所示，请你仔细阅读后认真解答．你的答案是（　　）
笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去．问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有多少种不同的可能？
A．12 B．6 C．5 D．2
3．（2023 舟山三模）如图，某天气预报软件显示“舟山市定海区明天的降水概率为85%”，对这条信息的下列说法中，正确的是（　　）
A．定海区明天下雨的可能性较大 B．定海区明天下雨的可能性较小
C．定海区明天将有85%的时间下雨 D．定海区明天将有85%的地区下雨
4．（2023 绍兴）在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023 丽水）某校准备组织红色研学活动，需要从梅岐、王村口、住龙、小顺四个红色教育基地中任选一个前往研学，选中梅岐红色教育基地的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（2022 丽水）老师从甲、乙、丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，选中甲同学的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（2021 衢州）一个布袋里放有3个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同．从布袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（2021 杭州）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（2023 瓯海区模拟）从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学去参加义务劳动，则甲与乙恰好被选中的概率是（　　）
A． B． C． D．
10．（2021 柯桥区模拟）已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共120个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验（从中随机摸出一个球，记下颜色后放回），统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图的折线统计图，那么估计袋中红色球的数目为（　　）
A．20 B．30 C．40 D．60
11．（2023 杭州）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝　　．
12．（2023 金华）如表为某中学统计的七年级500名学生体重达标情况（单位：人），在该年级随机抽取一名学生，该生体重“标准”的概率是 　　．
“偏瘦” “标准” “超重” “肥胖”
80 350 46 24
13．（2023 滨江区一模）如图，转盘被分成5个面积相等的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率为 　　．
14．（2021 舟山）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为 　　．
马匹 姓名 下等马 中等马 上等马
齐王 6 8 10
田忌 5 7 9
15．（2023 越城区模拟）一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球有3个，这些球除颜色外都相同，每次将箱子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出m的值为 　　．
16．（2023 杭州模拟）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州亚运会吉祥物是“宸宸”“琮琮”和“莲莲”．将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是 　　；
（2）若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案不同的概率．（请用树状图或列表的方法求解）
17．（2023 绍兴模拟）某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展了主题为“防诈、反诈”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“A．非常了解”、“B．比较了解”、“C．基本了解”、“D．不太了解”四个等级，将所得数据进行整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图表，
请你结合图表中的信息解答下列问题：
等级 A B C D
频数 110 50 36 n
频率 0.55 m 0.18 0.02
（1）表中m的值为 　　，n的值为 　　；
（2）扇形统计图中，等级B所对应的扇形的圆心角是 　　°；
（3）若该校从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人参加市里的比赛，求甲、乙两人恰好同时选中的概率．
18．（2023 新昌县模拟）我市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱．一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：
（1）直接写出本次随机调查的总人数，并补全条形统计图；
（2）若该小区有居民1200人，试估计去B地旅游的居民约有多少人？
（3）小军同学已去过E地旅游，暑假期间计划与父母从A，B，C，D四个景区中，任选两个去旅游，求选到A，C两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率）
1．（2022 富阳区二模）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．掷一次骰子，向上的一面的点数是1
B．13位学生参加一个聚会，他们中至少有两位学生的生日在同一个月
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．打开电视机，正在播放“神舟十三号”成功返回新闻
2．（2023 拱墅区二模）抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1﹣6）一次，则正面朝上的数字（　　）
A．一定是6 B．可能是6 C．一定大于6 D．一定小于6
3．（2022 金华模拟）下列说法正确的是（　　）
A．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数
B．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件
C．了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式
D．若平均数相同的甲、乙两组数据，S甲2＝3，S乙2＝0.02，则甲组数据更稳定
4．（2021 长兴县模拟）一个不透明的盒子中装有2个红球、3个白球和2个黄球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，摸到哪种颜色的球的可能性最大（　　）
A．红色 B．黄色 C．白色 D．红色和黄色
5．（2022 黄岩区一模）下列说法正确的是（　　）
A．为保证“神舟十三号”成功发射，对其零部件检查采取抽样调查方式
B．“守株待兔”是必然事件
C．有5个数都是6的整数倍，从中任选2个数都是偶数的概率是1
D．某彩票的中奖率是70%，小明买了10张彩票，一定有7张中奖
6．（2021 丽水）一个布袋里装有3个红球和5个黄球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出一个球是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023 金华模拟）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转，若这三种可能性相同．则甲乙两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2023 义乌市模拟）一只布袋里装有4个只有颜色不同的小球，其中3个红球，1个白球，小敏和小丽依次从中任意摸出1个小球，则两人摸出的小球颜色相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（2021 温州模拟）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（　　）
A． B． C． D．1
10．（2021 金华模拟）在一个不透明的纸箱中，共有15个蓝色、红色的玻璃球，它们除颜色外其他完全相同．小柯每次摸出一个球后放回，通过多次摸球试验后发现摸到蓝色球的频率稳定在20%，则纸箱中红色球很可能有（　　）
A．3个 B．6个 C．9个 D．12个
11．（2023 湖州）在一个不透明的箱子里放有7个红球和3个黑球，它们除颜色外其余都相同．从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是 　　．
12．（2022 杭州）有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5．从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于 　　．
13．（2023 台州）一个不透明的口袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球．随机摸出一个小球，摸出红球的概率是 　　．
14．（2023 衢州）衢州飞往成都每天有2趟航班．小赵和小黄同一天从衢州飞往成都，如果他们可以选择其中任一航班，则他们选择同一航班的概率等于 　　．
15．（2022 拱墅区一模）如图是一个可以自由转动的两色转盘，其中白色扇形和红色扇形的圆心角分别为120°和240°．若让转盘自由转动一次，则指针落在白色区域的概率是 　　．若让转盘自由转动两次，则指针一次落在白色区域，另一次落在红色区域的概率是 　　．
16．（2022 西湖区一模）植树节过后，历下区园林绿化管理局为了考察树苗的成活率，于是进行了现场统计，表中记录了树苗的成活情况，则由此估计这种树苗成活的概率约为 　　（结果精确到0.1）．
移植总数n 400 1500 3500 7000 9000 14000
成活数m 369 1335 3203 6335 8073 12628
成活的频率 0.923 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
17．（2023 龙游县一模）在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．
（1）随机从箱子里取出1个球，则取出黄球的概率是多少？
（2）随机从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求两次取出的都是白色球的概率．
18．（2023 婺城区模拟）如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个半径为2米的圆后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：
掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 …
小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 59 123 …
小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n 29 91 176 …
（1）当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近　　（结果精确到0.1）
（2）若以小石子所落的有效区域为总数（即m+n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在　　附近（结果精确到0.1）；
（3）请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留π）
19．（2021 丽水模拟）小刚所在的社区为了做好应对新冠疫情的防控工作，特招募社区抗疫志愿工作者．小刚的爸爸决定报名参加，根据规定，志愿者会被随机分到A（体温检测），B（便民代购），C（环境消杀）其中一组．
（1）求小刚的爸爸被分到C组的概率；
（2）小明的爸爸也加入了该社区的志愿者队伍，请利用画树状图或列表的方法求小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组的概率．
20.（2021 拱墅区二模）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．为此，老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行调查．将统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的共有　　人；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为　　°；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果我国有13亿人在使用手机；
①请估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数；
②在全国使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，求抽取的恰好使用“QQ”的概率是多少？
21．（2023 金华模拟）自我省深化课程改革以来，铁岭市某校开设了：A．利用影长求物体高度，B．制作视力表，C．设计遮阳棚，D．制作中心对称图形，四类数学实践活动课．规定每名学生必选且只能选修一类实践活动课，学校对学生选修实践活动课的情况进行抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息解决下列问题：
（1）本次共调查 　 　名学生，扇形统计图中B所对应的扇形的圆心角为 　 　度；
（2）补全条形统计图；
（3）选修D类数学实践活动的学生中有2名女生和2名男生表现出色，现从4人中随机抽取2人做校报设计，请用列表或画树状图法求所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的概率．
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