资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2024年高中数学压轴题专项训练：数列（难题篇）
1． 已知数列中，，（）.
（1）求数列的通项；
（2）求数列的前n项和；
（3）若对于，使得恒成立，求实数的取值范围.
2．已知数列是等差数列，，的前项和为，满足，是数列的前项和，且，，成等比数列．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列前项的和．
3．已知数列满足，，数列是公比为正数的等比数列，，且，，成等差数列，
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和；
（3）若数列满足，求证：．
4．已知数列的前项和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，记数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．
5．对于无穷数列，“若存在，必有”，则称数列具有性质．
（1）若数列满足，判断数列是否具有性质？是否具有性质？
（2）对于无穷数列，设，求证：若数列具有性质，则T必为有限集；
（3）已知是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，使得成等差数列．若存在，请加以证明；若不存在，说明理由．
6．记数列的前项和为，且满足
（1）求数列的通项公式
（2）数列满足，证明对任意，
（3）某铁道线上共有列列车运行，且每次乘坐到任意一列列车的概率相等，设随机变量为恰好乘坐一次全部列车所乘坐的次数，试估算的值（结果保留整数）
参考数据：，，
7．已知函数的首项，且满足.
（1）求证：为等比数列，并求；
（2）对于实数，表示不超过的最大整数，求的值.
8．已知数列中，，当时，其前项和满足：，且，数列满足：对任意有.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）设是数列的前项和，求证：.
9．已知数列是公比为的等比数列，前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
10．已知为正项数列的前n项的乘积，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求（表示不超过x的最大整数）．
11．对于每项均是正整数的数列、、、，定义变换，将数列变换成数列、、、、．对于每项均是非负整数的数列、、、，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义．设是每项均为正整数的有穷数列，令．
（1）如果数列为、、，写出数列、；
（2）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；
（3）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，．
12．已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列前项和．
13．已知等差数列和等比数列满足，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）数列和中的所有项分别构成集合，，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前60项和.
14．设数列的前n项和为，且，，数列的通项公式为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求；
（3）设，求数列的前n项的和．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：因为①，
当时，②，
由①②得，整理得到，
又由，
当时，得到，即，
故数列从第二项起，是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，即，
又时，，所以
（2）解：由（1）知，当时，，
当时，③，
④，
由③④得到，
整理得，
又时，，所以
（3）解：因为，等价于，当时.，
由（1）知，当时，，设，
则对恒成立，
所以，
故当时，，又，所以.
2．【答案】（1）解：当时，，，
两式相减得：，
，即，
所以从第1项开始是公差为的等差数列，
所以，
因为，，成等比数列，
所以
当时，
当时满足上式，
所以，．
（2）解由（1）知，
记
则前项的和，
当为奇数时，
，
当为偶数时，
．
3．【答案】（1）解：数列满足，，
所以常数，故数列是首项为，公差为的等差数列，
故．
数列是公比为正数的等比数列，设公比为，
，且，，成等差数列，
所以，即，解得，
所以数列是首项为，公比为的正数的等比数列．
所以．
故：，．
（2）解：数列满足，由得，，
所以，
，
；
（3）解：证明：数列满足，
时，，
所以
，
故．
4．【答案】（1）解：解：∵，
∴当时，，两式相减得，.
∵，，所以，∴，
∵，∴，
∴数列是以首项，公比为的等比数列．
∴
（2）解：∵，∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵对任意恒成立，
∴，
∴，
∴恒成立，
∵，∴，
∴的取值范围是．
5．【答案】（1）解：因为，
，但，所以数列不具有性质，
同理可得数列具有性质；
（2）解：因为数列具有性质，
所以一定存在一组最小的且，满足，即，
由性质的含义可得，
所以数列中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：
为一个周期中的各项，
所以数列中最多有个不同的项，
所以T最多有个元素，即T为有限集；
（3）解：因为数列具有性质，又具有性质，
所以存在，使得，
其中p，q分别是满足上述关系式的最小的正整数，
由性质的含义可得，
若，则取，可得，
若，则取，可得，
记，则对于，
有，显然，
由性质的含义可得：，
所以
，
所以，
又满足的最小的正整数，
所以，
所以，
所以，
取，所以，若k是偶数，则，
若k是奇数，
则，
所以，，
所以是公差为1的等差数列．
6．【答案】（1）解：
累加得时同样满足条件
（2）解：设
设，上式=
，
设，求导可知
原不等式得证
（3）解：设每次乘坐到新列车的概率为，还未乘坐过列，则，则所尝试坐上新列车的次数期望是，累加得
7．【答案】（1）证明：因为，
所以，
又因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，整理得到，
所以.
（2）解：因为，
所以
.
设，所以，
所以
所以，
所以.
因为，所以，
所以.
8．【答案】（1）证明：，，
，即①
由题意，
将①式两边同除以，得，
数列是首项为，公差为1的等差数列.
（2）解：由（1）可知
当时， ，即，
当时，②，
则③，
②③，，即，
因为满足，
所以.
（3）证明：由（2）可知，
当时，，
当时，，
所以
.
所以.
9．【答案】（1）解：由题意得，故，，
即；
（2）解：由已知，得n为奇数时，；
当n为偶数时，
，
则
．
10．【答案】（1）解：由题意知为正项数列的前n项的乘积，，故，
所以，即，
所以，即，
所以，
当时，，解得，
所以，结合，可知数列 是常数列，
所以，所以，
所以．
（2）解：由（1）可得，
则，
由于，
故，且，
故，.
11．【答案】（1）解：、、，、、、，、、，
、、、，、、、.
（2）证明：设每项均是正整数的有穷数列为、、、，
则为、、、、，
从而．
又 ，
所以，
故．
（3）证明：设是每项均为非负整数的数列，，．
当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，
则．
当存在，使得时，若记数列，，为，
则．
所以．
从而对于任意给定的数列，由，1，2，…
可知．
又由（2）可知，所以．
即对于，要么有，要么有．
因为是大于的整数，所以经过有限步后，必有．
即存在正整数，当时，.
12．【答案】（1）解：由题意
当时，；
当时，
两式相减得，
所以，当时也成立．
所以数列的通项公式.
（2）解：根据题意，得
所以
所以
13．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，
∴，，
∴，
（2）解：当的前60项中含有的前6项时，令，
此时至多有项（不符）.
当的前60项中含有的前7项时，令，
且，，是和的公共项，则的前60项中含有的前7项且含有的前56项，再减去公共的三项.
∴.
14．【答案】（1）解：由题，当时，，
所以，
所以，又因为，
所以，
显然，当时，满足，
所以
（2）解：①
所以②
①-②得：
所以
（3）解：因为
所以
+
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑