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2024年高中数学压轴题专项训练：不等式综合（难题篇）
1．已知函数.
（1）若，解不等式；
（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.
2．已知函数．
（Ⅰ）当时，讨论的单调性（不必给出证明）；
（Ⅱ）当时，求的值域；
（Ⅲ）若存在，，使得，求的取值范围．
3．已知函数，.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意的，存在，使不等式成立，求实数m的取值范围.
4．设
（1）当时，求解不等式
（2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围：
（3）解关于的不等式.
5．已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，且，求的最小值．
6．已知函数是定义在区间上的奇函数，且．
（1）用定义法判断函数在区间上的单调性并证明；
（2）解不等式．
7．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
（1）给定函数，求图象的对称中心；
（2）已知函数同时满足：①是奇函数；②当时，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围.
8．设函数.
（1）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；
（2）命题：，，使成立.若为真命题，求实数的取值范围.
9．已知函数．
（1）若在处导数相等，证明：；
（2）若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点．
10．已知函数，．
（1）若的解集是，求函数的零点；
（2）求不等式的解集．
11．已知函数．
（1）判断的奇偶性，并证明．
（2）利用单调性的定义证明：在上单调递增．
（3）若函数在上是增函数，求的取值范围．
12．某饼庄推出两款新品月饼，分别为流心月饼和冰淇淋月饼，已知流心月饼的单价为元，冰淇淋月饼的单价为元，且．现有两种购买方案：
方案一，流心月饼的购买数量为个，冰淇淋月饼的购买数量为个；
方案二，流心月饼的购买数量为个，冰淇淋月饼的购买数量为个．
（1）试问采用哪种购买方案花费更少？请说明理由．
（2）若满足，求这两种方案花费的差值的最小值（注：差值较大值-较小值）．
13．已知函数的图象关于原点对称.
（1）求的值；
（2）判断的单调性；
（3）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
14．已知定义在R上的偶函数和奇函数满足.
（1）和；
（2）判断的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（3）若不等式对一切实数x都成立，求实数m的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：当时，，因此，解得，
所以原不等式的解集为.
（2）解：依题意，，，
当时，，解得，不合题意，
因此，二次函数值恒小于0，则，且，
化简得：，解得或，
于是得，
所以实数的取值范围是.
2．【答案】解：（Ⅰ）当时，在上单调递增；
（Ⅱ）当时，，当且仅当时取等号；
所以的值域为．
（Ⅲ）令，则问题等价于存在，，使得
令，因为在有两个零点，
故解得．
由韦达定理和根的定义可知：，．
又因为，故的取值范围为
3．【答案】（1）解：因为，，
当时，由，得，
所以，即，解得，
故原不等式的解集为.
（2）解：因为对任意的，存在，不等式成立，
所以当，时，，
当时，单调递增，所以，
又函数开口向下，对称轴为，由于，
当，即时，，
所以由，得，解得，此时；
当，即时，，
所以由，得，解得，此时；
综上，，则实数的取值范围为.
4．【答案】（1）解：，不等式为，，∴
所以不等式的解集为；
（2）解：由已知在实数集上恒成立，即恒成立，
时，不等式为恒成立，
时，，解得，
综上，；
（3）解：由已知不等式为，即，
，∵，∴，
时，不等式解为，
时，，不等式解为或，
时，，不等式解为或，
综上，时，不等式解集为，时，不等式解集为，时，不等式解集为．
5．【答案】（1）解：因为，所以，
由，得，即，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
（2）解：因为，由已知，
可得，
∴，∵，∴，
∴，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
6．【答案】（1）解：为定义在区间上的奇函数，
．又．
检验：当时，，
为奇函数，符合题意，．
证明：对任意的，
．
，．
又，故，
，即，
函数在区间上单调递增．
（2）解：为定义在区间上的函数，，∴0＜m＜1.
，且为定义在区间上的奇函数，
．又在区间上单调递增，
或．
综上，实数的取值范围是．
7．【答案】（1）解：解：，
设的对称中心为，
由题意，得函数为奇函数，
则，
即，
即，
整理得，
所以，解得，，
所以函数的对称中心为
（2）解：解：因为对任意的，总存在，使得，
所以函数的值域是函数的值域的子集，
因为函数，在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
所以的值域为，
设函数的值域为集合A，
则原问题转化为，
因为函数是奇函数，所以函数关于对称，
又因为，所以函数恒过点，
当，即时，在上递增，则函数在上也是增函数，
所以函数在上递增，
又，，
所以的值域为，即，
又，
所以，解得，
当即时，在上递减，则函数在上也是减函数，
所以函数在上递减，
则，
又，
所以
当即时，
在上递减，在上递增，
又因函数过对称中心，
所以函数在上递增，在上递减，
故此时，，
要使，
只需要，
解得，
综上所述实数m的取值范围为
8．【答案】（1）解：原式可化为对实数，恒成立，
即对实数，恒成立，
因为恒成立，
则只需满足对实数，恒成立，
因为，，故即可，
所以
则，
解得；
（2）解：由题意知：
在的最小值大于等于在上的最小值即可，
，当且仅当，即时，取等号，
所以在上的最小值为3，
若即，则，则，易得，
若即，则，则矛盾，
，即，则，易得.
综上可得：.
9．【答案】（1）解：函数的导函数，由，得，
因为，所以．由基本不等式得．
因为，所以．
由题意得．
设，则，
所以在上递减，在上递增，故，
即．
（2）解：设，
令，则
，
所以，，即存在使，
所以，对于任意的及，直线与曲线有公共点.
由得.
设，，
其中.
由（1）可知，又，
故，
所以，即函数在上单调递减，因此方程至多1
个实根.
综上，当时，对于任意，直线与曲线有唯一公共点.
10．【答案】（1）因为的解集是，所以是的一个根，
所以，解得，所以.
令，解得，
所以的零点为1和3.
（2）因为，即，所以，
当时，，解得；
当时，方程的两根为，
当时，开口向下，且，解得；
当时，开口向上，且，解得或；
当时，开口向上，且，解得；
当时，开口向上，且，解得或；
综上所述，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
11．【答案】（1）解：是奇函数．
证明：由题意可知的定义域为，关于原点对称．
因为，所以是奇函数．
（2）证明：设，且，则．
因为，所以，
所以，即，
故在上单调递增．
（3）解：由题意可得，
当，即时，在上是增函数．
当，即时，，设方程的两根为，且，
则在上是增函数．令，
则解得．
综上所述，的取值范围为．
12．【答案】（1）解：方案一的总费用为（元），方案二的总费用为（元），
则，
因为，所以，即，
所以采用方案二花费更少．
（2）解：由（1）可知，
令，
因为，所，
所以差值的最小值为，当且仅当，即，时，等号成立．
故两种方案花费的差值的最小值为32元．
13．【答案】（1）解：因为的图象关于原点对称，所以为奇函数，所以，即，解得.
（2）解：易知的定义域为R，令，
因为函数及都在上单调递增，所以在上单调递增，
根据复合函数的性质，可知在上单调递增，
又因为是定义在R的奇函数，所以在R上单调递增.
（3）解：由题意，在上恒成立，
等价于在上恒成立，
则在]上恒成立.
令，显然是增函数，则.
，所以在上恒成立.
则，令，则，
当且仅当，即时，等号成立.
所以所以，即，故的取值范围为.
14．【答案】（1）由题意可知：，则，
且定义在R上的偶函数和奇函数，可得，
解得，
（2）在R上单调递增，证明如下：
对，且，
因为在定义域内单调递增，则，
可得，则，
可得，则，即，
所以在R上单调递增.
（3）因为，则，
令，当且仅当，即时，等号成立，
则，
因为，则，
整理得，
故原题意等价于对一切实数都成立，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即实数m的取值范围.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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