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2024年高中数学压轴题专项训练：空间向量与立体几何（难题篇）
1．四棱锥底面为平行四边形，且，，，平面，．
（1）点在棱上，且，求证：平面；
（2）若异面直线与所成角的余弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
2．如图，平行四边形中，，将沿翻折，得到四面体．
（1）若，作出二面角的平面角，说明作图理由并求其大小；
（2）若，求点到平面的距离．
3．如图，在四棱锥P-ABCD中，CD∥AB，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=4，三棱锥B-PAD的体积为.
（1）求点P到平面ABCD的距离；
（2）若PA=PD，平面PAD⊥平面ABCD，点N在线段AP上，AN=2NP，求平面NCD与平面ABCD夹角的余弦值.
4．如图（1）所示，在中，，过点作，垂足在线段上，且，，沿将折起（如图（2）），点、分别为棱、的中点.
（1）证明：；
（2）若二面角所成角的正切值为，求二面角所成角的余弦值.
5．如图，四棱锥中，底面.底面为等腰梯形，.
（1）求证：平面平面；
（2）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
6．如图，在四棱台中，底面是菱形，，平面．
（1）若点是的中点，求证：平面；
（2）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．
7．如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，是等边三角形且与底面垂直，E是棱PA上一点，.
（1）当平面EBD，求实数λ的值；
（2）当λ为何值时，平面EBD与平面PBD所成的锐二面角的大小为？
8．如图，在多面体中，，平面，为等边三角形，，，，点是的中点．
（1）若点是的重心，证明；点在平面内；
（2）求二面角的正弦值．
9．如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，，，，分别为，的中点，且．
（1）证明：；
（2）若为等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值．
10．如图，四棱锥中，底面为菱形，，，点为的中点.
（1）证明：；
（2）若平面平面，在线段PD上是否存在点M，使得二面角的余弦值为，如果存在，求直线与平面所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由.
11．如图，将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得点D到点的位置，连接，O为AC的中点.
（1）若平面平面ABC，求点O到平面的距离；
（2）不考虑点与点B重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度.
12．如图，三棱柱的底面是正三角形，侧面是菱形，平面平面，，分别是棱，的中点.
（1）证明：∥平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
13．如图，已知向量，可构成空间向量的一个基底，若，，．在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算，显然的结果仍为一向量，记作
（1）求证：向量为平面OAB的法向量；
（2）若，，求以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与的大小；
（3）将四边形OADB按向量平移，得到一个平行六面体，试判断平行六面体的体积V与的大小．（注：第（2）小题的结论可以直接应用）
14．如图1，在△MBC中，BM⊥BC，A，D分别为边MB，MC的中点，且BC＝AM＝2，将△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使PA⊥AB，如图2，连结PB，PC．
（1）若E为PC的中点，求异面直线DE与PB所成的角大小；
（2）线段PC上一动点G满足 ，判断是否存在 ，使得二面角G－AD－P的正弦值为 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：作出点，并连接，，，，且交于点，连接，
在平行四边形中，，则，
又因为，所以，则有，
平面，平面，
所以平面．
（2）解：在中，，，，
则，
有，于是得，
即，，
又平面，
则以点为原点，直线，，分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
则，，，设，，
有，，
因异面直线与所成角的余弦值为，则
，解得，
，，
设平面的法向量，则，
令，得，取平面的法向量，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
2．【答案】（1）解：如图所示：
取点为的中点，连接，则即为所求的二面角的平面角，理由如下：
由题意，
又因为四边形是平行四边形，所以，
又因为，所以，
又点为的中点，
所以由三线合一可知，
又面面，
所以即为所求的二面角的平面角，
而，所以，同理，
而，
所以在中，由余弦定理有，即.
（2）解：
由题意，，
由余弦定理有，
解得，
所以，即，
所以由题意有，，
又因为，
所以，即，
又面，
所以面，
所以，
因为，
所以，即，
所以，
不妨设点到平面的距离为，
因为，
所以，解得，即点到平面的距离为.
3．【答案】（1）设点P到平面ABCD的距离为，
则，
由题可知，
所以，
故到平面ABCD的距离为.
（2）取AD的中点，连接PM，因为，所以，
又平面平面ABCD，平面平面平面PAD，，所以平面ABCD.
由（1）知PM=.
由题意可得，
所以，故.
法一（坐标法）：以点为坐标原点，DA为轴，DB为轴，过点作PM的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
依题意，
所以.
设平面NCD的法向量为，
则即
令，得
又平面ABCD的法向量为
设平面NCD与平面ABCD的夹角为，则
即平面NCD与平面ABCD的夹角的余弦值为.
法二(几何法)：在线段AM上取点，使得，连接NH，过点作，垂足为，连接NK.
因为，所以，
因为平面ABCD，所以平面ABCD，
所以，
又，且，
所以平面NHK，
所以，
所以是二面角的平面角.
在Rt中，易知，
所以，
所以.
故平面NCD与平面ABCD的夹角的余弦值为.
4．【答案】（1）证明：翻折前，，则，，
翻折后，则有，，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，
在四棱锥中，因为点、分别为棱、的中点，则，
因此，.
（2）解：因为，，则二面角的平面角为，即，
因平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，
平面内过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，，，则，
又因为，则、、、、
、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，
则，取，可得，
所以，，
由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.
5．【答案】（1）证明：作，垂足为，则
由余弦定理，
.
又底面，面
因为，平面PAC，
所以平面PAC，
又平面PAB，
所以平面平面
（2）解：由（1），可以点A为坐标原点建系如图.
易知，又，所以
，，
设，
设平面的法向量.
则
可取
则是中点，
设平面的法向量为，即平面的法向量，
则，取得
则，即为所求平面夹角的余弦值.
6．【答案】（1）证明：方法一：连接，由已知得，，且，
所以四边形是平行四边形，即，
又平面平面，
所以平面．
方法二：连接，由已知得，且，
，即，
又平面平面
所以平面
（2）解：取中点，连接，由题易得是正三角形，所以，即，
由于平面，分别以为轴，建立如图空间直角坐标系，
，
假设点存在，设点的坐标为，
，
设平面的法向量，则，
即，可取，
又平面的法向量为，
所以，解得：，
由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即．
故上存在点，当时，二面角的余弦值为．
7．【答案】（1）解：在四棱锥中，连接，交于点，连接，如图，
因为平面平面，平面平面，则，
因为，即，因此，
由，得，于是，
所以实数λ的值为.
（2）解：在四棱锥中，取中点，连接，如图，
因为是等边三角形且与底面垂直，则有，平面平面，
平面，从而平面，过点作，而，即有，
以点为原点，分别以所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，由，得，
则，，设平面的一个法向量为，
由，取，得，
平面的一个法向量为，则，即，解得，
所以时，平面与平面所成的锐二面角的大小为.
8．【答案】（1）证明：取A中点N，连接，MN，如图所示，
因为点G是的重心，
故G一定在中线上，
因为点是的中点，点是的中点，
所以是梯形的中位线，
所以，且，
又，
所以，
所以四边形是平行四边形，
因为点，平面，
所以点平面，
即点在平面内．
（2）解：解法1：
因为⊥平面，，
所以⊥平面，
又因为平面，
所以，
因为四边形是平行四边形，
所以四边形是矩形，，
所以，
因为为等边三角形，点是中点，
所以，
所以，
又因为平面，平面，，
所以平面，
又因为平面，
所以，
所以就是所求二面角的平面角，
因为，
所以，
故二面角的正弦值为．
解法2：以为原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
，
设平面与平面的法向量分别为，
则，不妨取.则，
，不妨取，
所以，
故二面角的正弦值为．
9．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，为的中点，∴，
又平面平面，平面平面，平面，故平面，
∵平面，∴，
又∵，且，，平面，∴平面，
又平面，∴．
（2）解：由为等边三角形，，得，
如图，过作的平行线轴，结合（1）知轴，，两两垂直，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
设为平面的一个法向量，
则，得，取，得，则，
因为为的中点，所以 ，
又，所以，
则，
设直线与平面所成角为，则，
10．【答案】（1）证明：连接，因为，，所以为正三角形，
又点为的中点，所以.
又因为，为的中点，所以.
又，平面，所以平面，
又平面，所以；
（2）解：由（1）知. 又平面平面，交线为，平面，所以平面，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设，则，
设平面的一个法向量为，可得，
则，令
得，
由（1）知平面，则取平面的一个法向量，
由得，
平面的法向量为，又，
设直线与平面所成角为，则.
11．【答案】（1）解：连接，则，
因为平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，又正方形的边长为，
所以，，
设点O到平面的距离为，则
，
所以，
所以，即点O到平面的距离为；
（2）解：取的中点，连接，
因为，
所以，
所以为二面角的平面角，所以，
由题可知，
在中，，，
，
所以，
所以，
所以.
12．【答案】（1）证明：取的中点，连接，，
因为，分别是棱，的中点，
则∥∥，，
四边形为平行四边形，
所以∥，
平面，平面，
∥平面；
（2）解：在平面中过点作于，连接，
平面平面，平面平面，
平面，
又因为，
所以，，
因为点为的中点，
，
故以为原点，、、分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，
，，
设平面的法向量为，
则有，，
所以取，
设直线与平面所成角为，
则.
13．【答案】（1）证明：因为
，
所以，即，
因为
，
所以，即，
又因，
所以向量为平面OAB的法向量
（2）解：，
则，
故，
由，，得，
所以，
所以
（3）解：设点到平面的距离为，与平面所成的角为，
则，
由（1）得向量为平面OAB的法向量，
则，
又，
14．【答案】（1）解：因为 ， 分别为 ， 的中点，则 ，
因为 ，则 ，即 ．又 ，
， 平面 ，所以 平面 ，
又 ，综上， 两两互相垂直．
以 为坐标原点，向量 为正交基底建立空间直角坐标系 如图所示，
则 ， ， ， ， ， ，则 ， ， ．所以 ，
故 ，所以异面直线 与 所成的角大小
（2）解：假设存在 使二面角 的正弦值为 ，即二面角 的余弦值为
由 ， ．
所以 ， ， ．
易知：平面 的一个法向量为
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，
综上，有 ，即 ，
解得 ， ．又 ，故 ．
故存在 ，使二面角 的正弦值为 ．
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