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2024年高中数学压轴题专项训练：三角函数（难题篇）
1．已知函数．
（1）若存在，使得成立，则求的取值范围；
（2）将函数的图象上每个点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，求函数在区间内的所有零点之和．
2．已知函数上的一个最高点的坐标为，由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若．
（1）求的解析式．
（2）若对任意实数，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
3．在中，角所对的边分别为.
（1）求；
（2）若，过作垂直于交于点为上一点，且，求的最大值.
4．在中，内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求边上中线的长.
5．已知定义在上的函数，满足，当时，．
（1）若函数的最小正周期为，求证：，为奇函数；
（2）设，若，函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围．
6． 已知，且函数，
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调减区间；
（3）若函数（其中）是上的偶函数，求的值，
7．已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式及对称中心坐标：
（2）先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围.
8．已知向量，，令函数.
（1）求函数的表达式及其单调增区间；
（2）将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，且满足，当最小时，存在实数、使得，求的最小值.
9．已知函数 请在下面的三个条件中任选两个解答问题.①函数的图像过点；②函数的图像关于点 对称；③函数相邻两个对称轴之间距离为.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，是否存在实数满足不等式？若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由.
10．已知函数，其中.
（1）当时，若，求的值；
（2）记的最大值为，求的表达式并求出的最小值.
11．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数的图象向下平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，若方程有两个不等的实根，求实数的取值范围.
12．乐音中包含着正弦函数，平时我们听到的乐音是许多个音的结合，称为复合音，复合音的产生是因为发声体在全段震动，产生基音的同时，其余各部分，如二分之一部分也在震动．某乐音的函数是，该函数我们可以看作是函数与相加，利用这两个函数的性质，我们可以探究的函数性质．
（1）求出的最小正周期并写出的所有对称中心；
（2）求使成立的x的取值集合；
（3）判断，函数零点的个数，并说明理由．
13．已知函数，再从条件① 条件② 条件③中选择一个作为已知，
条件①：函数的图象经过点；
条件②：函数的图象可由函数的图象平移得到；
条件③：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为.
注：如果选择条件① 条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.
（1）求的解析式；
（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
14．已知函数．
（1）若存在，，使得成立，则求的取值范围；
（2）将函数的图象上每个点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，求函数在区间，内的所有零点之和．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：.
若存在，使得成立，
则只需即可∵，∴，
∴当，即时， 有最大值1，
故.
（2）解：依题意可得，
由得，
由图可知，在上有4个零点： ，
根据对称性有，
从而所有零点和为
2．【答案】（1）解：由最高点的坐标可得：，
且由题意可得：，
，
当时，，
解得：，
令可得：，
∴ 函数的解析式为：．
（2）解：当时，，
则，
，
不等式在上恒成立，
即，
，
据此可得：，
，
综上可得m的取值范围是．
3．【答案】（1）解：因为，
所以，
又，所以，
因为，，所以，
又，解得，
因为，所以.
（2）解：
由已知可设，
在中，则由余弦定理得，
即，
由正弦定理得，所以.
在中，由余弦定理，得，
，
当时，的长度取得最大值.
4．【答案】（1）解：因为，
所以，
所以，
由余弦定理可得，又，
所以，
（2）解：由可得，
所以，，
所以或，
所以或，
若，则，
又，所以，
设的中点为，
所以边上中线的长为，
若，则，为等边三角形，
因为，所以，
设的中点为，
所以边上中线的长为.
5．【答案】（1）解：当时，，所以，
又因为函数的最小正周期为，所以，
所以，故.
对于任意给定的，，因为，
所以.
对于任意给定的，，因为，
所以，
当时，.
综上所述，函数，为奇函数.
（2）解：，即，
当，，于是，
当，，于是，
据此可得，当（为正整数）时，，
当（为正整数）时，，
函数在区间（为正整数）上为严格的减函数，其值域为，
函数在区间上恰有一个零点，等价于关于的方程在区间上仅有一解，
对于函数，在区间上，其函数值的取值范围是；
在区间上，其函数值的取值范围是.
由题意，关于的方程在区间上须无解，而在区间上仅有一解，
所以的取值范围为.
6．【答案】（1）解：因为，
所以
.
故的最小止周期为.
（2）解：由，得，
所以函数的单调减区间为.
（3）解：因为，
因为是上的偶函数，
所以，即，
又，所以或.
7．【答案】（1）解：由题意可得：，可得，所以，
因为，所以，可得，
所以，
由可得，
因为，所以，，所以.
令可得，所以对称中心为.
（2）解：由题意可得：，
当时，，，
若关于的方程有实数根，则有实根，
所以，可得：.
所以实数的取值范围为.
8．【答案】（1）解：）
，
由，解得，
即f(x)的单调递增区间为，
（2）解：将函数f(x)的图象向右平移t(t>0)个单位得到函数g(x)的图象，
g(x)
满足g(-x)=g(x)，
则g(x)是偶函数，则，
又t>0，
当k=-1时，t最小，此时，
此时，
由 ， 则，
即，则只有时方程有解，
即，
解得
故，
当时，最小，最小值为.
9．【答案】（1）解：选择①②：
因为函数的图像过点，
所以，解得，
因为 所以
因为函数的图像关于点对称，则
可得，因为，所以，
所以.
选择①③：
若函数的图像过点
所以，解得，因为所以
因为函数相邻两个对称轴之间距离为，
所以，所以，解得：.
所以.
选择②③：
因为函数相邻两个对称轴之间距离为，
所以，所以，解得：.
若函数的图像关于点对称，则
可得，因为 所以，
所以.
（2）解：当时，，
令，则，记，
则
因为在轴对称，
所以，即，
所以，即，
解得：
所以实数的范围是：.
10．【答案】（1）解：令，则，，
∴，
当时，，
∴，
∴.
（2）解：，
①当，即时，在上单调递增，
∴.
②当，即时，
1°.时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴，
记，
在上单调递增，，∴，
∴.
2°.时，.
3°.时，，
而，
∴.
综上，对，，
∴，当时取得最小值.
11．【答案】（1）解：
，
故函数的最小正周期为.
（2）解：将函数的图象向下平移个单位长度，得到的图象，
再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象.
当时，，令，
当时，方程有两个不等的实根，
即与的图象在上有两个交点，
画出在上的图象如图所示：
由图可得，
故实数的取值范围为.
12．【答案】（1）解：因为的最小正周期为，的最小正周期为，
，，
而，
所以的最小正周期为．
由图象可知，函数与图象关于点，对称，而函数是奇函数，
，因此是图象的对称中心，
所以的对称中心为，．
（2）解：要使，即，又因为恒成立，
故成立的的取值集合与成立的的取值集合一致，
故成立的的取值集合为，．
（3）解：观察给定的图象，可以判断图象在上先增后减，且，
由（2）知当时，，
故在上函数与函数有两个交点．
因为的最小正周期为，
故在上函数与函数也有两个交点．
又因为函数为奇函数，图象关于原点对称，
故在，上函数与函数图象无交点．
综上所述，，函数零点的个数为4．
13．【答案】（1）解：；
选①：函数的图象经过点，则，
所以，则，
由，可得，则；
选②：函数的图象可由函数的图象平移得到，
即的图象可由函数的图象平移得到，
则，则.
选③：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，
则函数的最小正周期为，故，
故.
（2）解：当时，，则，
故，
又当时，关于的不等式恒成立，故，
即实数的取值范围为.
14．【答案】（1）解：，若存在，使得成立，则只需即可，，，当，即时，有最大值1，
，
（2）解：∵将函数的图象上每个点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，
，
，
，
在上有4个零点，，
根据对称性有，，
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