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南召县2023学年六校联考中考模拟（一）
数学试题
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间100分钟
考试结束之后，将本卷和答题卡一并收回。
一、选择题（每小题3分共30分）下列各小题均有4个选项，其中只有一项是正确的
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式．下列花窗图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列事件中是随机事件的是（ ）
A．一箭双雕 B．瓜熟蒂落 C．海底捞月 D．石沉大海
4．如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝66°，则∠C的度数是（ ）
A．114° B．124° C．134° D．144°
5．方程的根为（ ）
A．2 B．4 C．6或2 D． 或4
6．下列运算正确的是（ ）
A．2a＋3b＝5ab B．
C． D．
7．如图，M，N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点，且AD＝2AB，连接AN，BM，交于点P，连接DN，CM，交于点Q，则以下结论错误的是()
A．AP＝PN B．NQ＝QD
C．四边形PQNM是矩形 D．△ABN是等边三角形
8．芯片制程指的是晶体管结构中的栅极的线宽，也就是纳米工艺中的数值，宽度越窄，功耗越低，14纳米就是0.000000014米，数0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
9．潜水运动是一种集水下观光、水下摄影、水下探索为一体的新兴运动形式，为保护潜水时的安全，会携带如图1所示的水压表和深度表，图2是一款深度表的简化电路图，定值电阻10Ω；压敏电阻的阻值随水的深度变化的图象如图3所示，允许通过的最大电流0.3A．总电流I随变化的图象如图4所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．电源电压U＝6V，恒定不变
B．随着下潜深度的增大，压敏电阻的阻值逐渐减小
C．当救援队员下滑到水下10m深处，此时电路中的电流0.15A
D．在电路安全的情况下，深度表能测量的最大深度为70m
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC＝60°，顶点C的坐标为(a，3)，反比例函数的图像与菱形对角线AO交于点D，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分共15分）
11．在一次函数y＝2x＋3中，y随x的增大而______（填“增大”或“减小”），当0≤x≤5时，y的最小值为_______．
12．计算：______．
13．小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏．三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现两个正面向上和一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上和两个反面向上，则小文赢．有下列说法：①小强赢的概率最小；②小文和小亮赢的概率相等；③小文赢的概率是；④这是一个公平的游戏．其中，正确的是__________（填序号）．
14．如图，在Rt△ACB中，AC＝4，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D为AC的中点，点E为边AB上一动点，连接CE，将点E绕点A顺时针旋转60°得到点F，连接DF，则CE＋DF的最小值为______．
15．如图，扇形AOB中，OA＝1，点P为OB上一个动点，将△OAP沿AP折叠，当点O的对应点Q落在上时，图中阴影部分的面积为______．
三、解答题（本大题共8个小题共75分）
16．计算：
(1)； (2)．
17．请用指定的方法解下列方程
(1)（配方法）； (2)3x(x﹣1)＝2(x﹣ 1)（因式分解法）．
18．公司生产A、B两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的A、B型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据(单位：8)，并进行整理、描述和分析(除尘量用x表示，共分为三个等级：合格80≤x<85，良好85≤x<95，优秀x≥95)，下面给出了部分信息：
10台A型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．
10台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94
抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表：
型号中位数众数方差“优秀”等级所占百分比
型号 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比
A 89 a 26.6 40%
B b 90 30 30%
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a＝________，b＝________，m＝________．
(2)这个月公司可生产B型扫地机器人共3000台，估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数；
(3)根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由(写出一条理由即可)．
19．如图，在菱形OABC中，，∠AOC＝45°，点C在y轴上，反比例函数的图像经过点A，交BC于点D．
(1)求出反比例函数的关系式；
(2)求点D的坐标．
20．如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC．在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连结DE并延长交BC于点F，连结BD．
(1)求∠BDF的度数；
(2)①尺规作图：作出∠ACB的平分线CM，交AB于点M，交EF于点N；
②求证：MB＝MN．
21．八年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：
(1)将条形统计图补充完整；
(2)被调查的学生周末阅读时间众数是______小时，中位数是______小时；
(3)计算被调查学生阅读时间的平均数．
22．如图直线与坐标轴交于点A(3，0)、B，抛物线过点A，B．
(1)求点B的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)M(m，0)为线段OA上一动点，过点M作垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．求线段PN长度的最大值．
23．如图，已知AM，AN分别是△ABC的高和中线，AB＝5cm，AC＝12cm，BC＝13cm，∠BAC＝90°．试求：
(1)AM的长；
(2)△ABN的面积；
(3)△ACN和△ABN的周长差．
南召县2023学年六校联考中考模拟（三）
数学试题参考答案
1﹣5CBAAC 6﹣10BDBDC
11．增大3
【解析】
【详解】由题意得：∵一次函数y＝2x＋3中，k＝2>0，
∴y随x的增大而增大，
∵此函数为增函数，∴当0≤x≤5时，y的最小值为x＝0时，．
12．
【解析】
【分析】根据分式的性质，首先进行通分，再约分即可．
【详解】解：原式＝
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的运算，掌握分式的通分和约分是解题的关键．
13．①②③
【解析】
【分析】利用树状图得出三人分别赢得概率，然后依次判断即可．
【详解】解：画树状图得：
所以共有8种可能的情况．
三个正面向上或三个反面向上的情况有2种，所以P（小强赢）；
出现2个正面向上一个反面向上的情况有3种，所以P（小亮赢）；
出现一个正面向上2个反面向上的情况有3种，所以P（小文赢），
∵，∴小强赢的概率最小，①正确；
小亮和小文赢的概率均为，②正确；
小文赢的概率为，③正确；
三个人赢的概率不一样，这个游戏不公平，④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】
题目主要考查利用树状图求概率，熟练掌握运用树状图求概率的方法是解题关键．
14．
【解析】
【分析】作EH⊥AC，设AF的长为x，分别用含x的代数式表示出CE，DF的长，然后利用两点之间，线段最短”可知，CE＋DF的最小值即为MN的长，进而即可得到答案．
【详解】
作EH⊥AC，设AF的长为x，
∵将点E绕点A顺时针旋转60°得到点F，
∴AF＝AE＝x，∠EAF＝60°，
∵∠BAC＝30°，∴∠FAD＝90°，，，
∵AC＝4，点D为AC的中点，∴AD＝2，，
∴
将它们表示在平面直角坐标系上，如图所示，
∴利用“两点之间，线段最短”可知，CE＋DF的最小值即为MN的长，
∴，
即CE＋DF最小值为，故答案为：
【点睛】本题主要考查了勾股定理，旋转的性质，等边三角形的性质，最短距离等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
15．
【解析】
【分析】连接OQ，根据折叠结合题意得出△AOQ是等边三角形，进而根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接OQ，
∵将△OAP沿AP折叠，点O的对应点Q落在上，∴AQ＝AO，
又∵OA＝OQ，∴△AOQ是等边三角形，
∴∠AOQ＝60° ∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，等边三角的性质与判定，求扇形面积，得出△AOQ是等边三角形是解题的关键．
16．(1) (2)
【解析】
【分析】（1）根据平方根，立方根定义，绝对值的意义分别计算各项再从左往右依次计算即可；
（2）利用二次根式的乘法法则计算即可求出最后结果．
【详解】（1）解：；
(2)
【点睛】
本题考查了实数的运算，二次根式的混合运算涉及平方根，立方根定义，绝对值的意义等知识，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17．(1)，
(2)，
【解析】
【分析】按照要求进行解一元二次方程即可．
【详解】(1)解：，
配方，得，即，
解得，，．
(2)解：3x(x﹣1)＝2(x﹣1)，
移项得，3x(x﹣1)﹣2(x﹣1)＝0，
因式分解得，(x﹣1)(3x﹣2)＝0，
解得，，．
【点睛】
本题考查了配方法、因式分解法解一元二次方程．解题的关键在于根据要求正确的运算．
18．(1)95；90；20； (2)900台 (3)型号更好，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出a，b，根据B型扫地机器人中“优秀”等级所占百分比和“良好”等级包含的数据可求出m；
（2）用总数乘以B型扫地机器人“优秀”等级所占百分比即可；
（3）可从众数或方差或“优秀”等级所占百分比的角度进行分析判断．
【详解】
（1）解：A型中除尘量为95的有3个，数量最多，
所以众数a＝95；
B型中“良好”等级包含的数据有5个，则所占百分比为50%，
所以m%＝1﹣50%﹣30%＝20%，即m＝20；
因为B型中“合格”等级所占百分比为20%，
所以B型中“合格”的有2个，
所以按从小到大顺序排列后，B型除尘量中第5个数据和第6个数据是“良好”等级中的第3和第4个数据，它们都是90，
所以B型中中位数
故答案为：95；90；20；
(2)3000×30%＝900(台)，
答：估计该月型扫地机器人“优秀”等级的台数有900台；
答：估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数有900台；
(3)A型号更好，(以下理由三选一回答即可)
理由一：A型号的平均除尘量众数95大于B型号的平均除尘量众数90．
理由二：A型号的除尘量“优秀”等级所占百分比大于B型号的“优秀”等级所占百分比
理由三：A型号的除尘量方差小于B型号的除尘量方差，说明A型号的除尘量的稳定性更好．
【点睛】本题考查了众数，中位数，用样本估计总体等知识，能够从不同的统计图或统计表中获取有用信息是解题的关键．
19．(1) (2)
【解析】
【分析】(1)由，∠AOC＝45°可求得点A的坐标为(2，2)，由点A在反比例函数上可求得k的值，即求出了反比例函数的关系式．
(2)先由菱形的性质可表示出点B、C的坐标，据此可求出直线BC的解析式，再联立反比例函数的解析式组成方程组，方程组的解就是交点D的坐标．
【详解】
(1)自点A作x轴的垂线，垂足为H，由菱形OABC知，即BA平行于y轴，则BA垂直于x轴，因此点B、A、H在同一条直线上．如下图．
由，∠AOC＝45°知，则∠AOH＝45°，△AOH是等腰直角三角形．
∴
∴点A的坐标为(2，2)．
因反比例函数(k>0)的图像经过点A(2，2)，
∴k＝xy＝2×2＝4．∴反比例函数的关系式为
(2)∵菱形OABC，
∴，，
故点C的坐标是，点B的坐标为
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
∴解得：
∴直线BC的解析式为
∵点D在直线BC与反比例函数(k>0)的交点上，
∴联立得方程组
消去y并去分母变形得：，
∴或(不合题意，舍去)
故点D的坐标为
【点睛】本题考查了菱形、等腰直角三角形的性质，以及求反比例函数、一次函数的解析式，涉及求交点坐标和解方程组、解一元二次方程等知识点，解题的关键是能熟练综合运用所学的知识点．
20．(1)20° (2)①见解析；②见解析
【解析】
【分析】(1)先证明△ABD是等腰三角形，得到∠ADB＝10°，据此即可求解；
(2)①根据尺规作图的步骤作出图形即可；
②利用线段垂直平分线的性质求得∠BAN＝∠DAN＝80°，利用SAS证明△ABN≌△ADN，再证明∠MBN＝∠MNB，即可证明MB＝MN．
【详解】
(1)解：∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD＝CD，∠CAD＝60°，(等边三角形各角都等于60°，
∵∠BAC＝100°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝100°＋60°＝160°
∵AB＝AC，∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB(等边对等角)，
∵∠BAD＋∠ABD＋∠ADB＝180°，∴
∵点E是AC的中点，
∴(等腰三角形三线合一)，
∴∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB＝30°﹣10°＝20°；
(2)解：①尺规作图，如图所示；
②连结AN，
∵AB＝AC，∴(等边对等角)，
∵CM是三角形的角平分线，∴
∵DF垂直平分AC，
∴AN＝CN(线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等)，
∴∠NAC＝∠NCA＝20°(等边对等角)，
∴∠BAN＝100°﹣20°＝80°，∠DAN＝60°＋20°＝80°，
∴∠BAN＝∠DAN，
在△ABN和△ADN中，∴△ABN≌△ADN(SAS)，
∴∠ABN＝∠ADN＝30°(全等三角形对应角相等)，
∵∠AMC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACM＝180°﹣100°﹣20°＝60°，
∴∠MNB＝∠AMC﹣∠MBN＝60°﹣30°＝30°，
∴∠MBN＝∠MNB，∴MB＝MN．(等角对等边)
【点睛】
本题考查尺规作图，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．(1)画图见解析
(2)众数是1.5小时．中位数为：1.5小时．
(3)1.32小时
【解析】
【分析】（1）先求解总人数，再求解阅读时间为1.5小时的人数，再补全图形即可；
（2）根据众数与中位数的含义作答即可；
（3）利用平均数公式计算即可．
【详解】
【详解】
(1)解：∴30÷30(人)，∴100﹣12﹣30﹣18＝40(人)；
补全图形如下：
(2)由统计图可得阅读时间为1.5小时的人数最多，∴众数是1.5小时．
第50个数据，第51个数据分别是1.5小时，1.5小时，
∴中位数为：(小时)．
(3)学生阅读时间的平均数为：
(小时)．
【点睛】
本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，中位数，众数的含义，求解平均数，掌握基础的统计知识是解本题的关键．
22．(1)点B的坐标为(0，2)
(2)抛物线的解析式为
(3)线段PN的最大值是3
【解析】
【分析】(1)把A点坐标代入直线解析式可求得C，即可求得B点坐标；
(2)由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
(3)表示出P，N的坐标，从而表示出PN的长度，用二次函数的性质可得答案．
【详解】(1)解：将A(3，0)代入得：
﹣2＋c＝0，解得c＝2，
∴
令x＝0得y＝2，
∴点B的坐标为(0，2)；
(2)解：把A(3，0)，B(0，2)代入得：
解得
∴抛物线的解析式为
(3)解：∵M(m，0)为x轴上一动点，且在线段OA上运动，
∴
∵，∴当时，PN取最大值，最大值为3，
∴线段PN的最大值是3．
【点睛】
本题考查一次函数，二次函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，二次函数的最大值等，解题的关键是掌握待定系数法和二次函数的性质．
23．(1)； (2)； (3)7cm．
【解析】
【分析】(1)先根据三角形面积公式可得，依此可求AM的长；
(2)先根据三角形面积公式计算出，然后利用AN是边BC的中线得到；
(3)利用等量代换得到△ACN的周长﹣△ABN的周长＝AC＋AN＋CN﹣(AB＋BN＋AN)＝AC﹣AB．
【详解】
(1)解：∵∠BAC＝90°，AM是边BC上的高，
∴，
∴
即AM的长度为
(2)解：如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝5cm，AC＝12cm，
∴，
又∵AN是边BC的中线，∴BN＝NC，
∴，即，
∴．
∴△ABN的面积是；
(3)解：∵AN是边BC的中线，∴BN＝NC，
∴△ACN的周长﹣△ABN的周长＝AC＋AN＋CN﹣(AB＋BN＋AN)＝AC﹣AB＝12﹣5＝7cm，
即△ACN和△ABN的周长的差是7cm．
【点睛】
本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．

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