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第02讲 复数的四则运算
考点1：复数的加减运算
1.复数的加法、减法运算法则：
设，（），我们规定：
2.复数的加法运算律:
交换律：z1+z2=z2+z1 结合律:：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
考点2：复数的加减运算的几何意义
复数的表示形式：
代数形式：（）
几何表示：
①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）；
②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数.
要点诠释：
复数复平面内的点平面向量
2．复数加、减法的几何意义：
如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量.对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量.
设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=(a，b)，=(c，d)以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是，
由于= +=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)，所以和 的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量
类似复数加法的几何意义，由于z1－z2=(a－c)+(b－d)i，而向量= =(a，b)-(c，d)=(a-c，b-d)，所以和 的差就是与复数(a－c)+(b－d)i对应的向量
考点3：复数的乘除运算
1．共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
通常记复数的共轭复数为。
2．乘法运算法则：
设，（），我们规定：
注意：
1. 两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
2. 在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数(分母实数化)，化简后写成代数形式。
3．乘法运算律：
(1)交换律：z1(z2z3)=(z1z2)z3
(2)结合律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
(3)分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
考点4：复数运算的一些技巧
1. 的周期性：如果n∈N，则有：
，，，（）
2.
3. 共轭复数的性质：两个共轭复数z、的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，
即，其中z=x+yi（x，y∈R）．
【题型1 复数的加减法运算及几何意义】
【典例1】计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据复数加减运算即可.
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
【变式1-1】计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据复数的加减运算逐一计算即可得出（1）~（4）的答案；
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
【变式1-2】计算：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)2
(3)0
(4)
(5)
(6)
【分析】根据复数的加减运算求解.
【详解】（1）由题意可得：.
（2）由题意可得：.
（3）由题意可得：.
（4）由题意可得：.
（5）由题意可得：.
（6）由题意可得：.
【变式1-3】计算：
(1)； (2)；
(3).
【答案】(1)；
(2)-7
(3).
【分析】根据复数的加减运算法则即可求解
【详解】（1）；
（2）；
（3）.
【题型2复数的乘、除运算】
【典例2】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得.
【详解】（1）
.
（2）.
（3）
.
（4）
.
【变式2-1】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据复数的运算法则，即可化简求值.
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式.
【变式2-2】计算
【答案】
【分析】直接根据复数的代数乘法运算即可.
【详解】
．
【典例3】计算：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据复数除法的运算法则运算求解即可.
【详解】（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
【变式3-1】计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】利用复数除法计算公式，即可求解.
【详解】（1）
（2），
，
【变式3-2】计算：
(1)(1+2i)+（7-11i）-（5+6i）；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据复数加减法运算公式，即可化简求值；（2）根据复数乘法运算公式，
化简求值；（3）根据复数乘法和除法运算公式，化简求值.
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式
.
【变式3-2】计算：
(1)； (2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用复数乘法与加减法运算即可；
（2）利用复数乘方、除法加减运算即可
【详解】（1）
.
（2）
.
【变式3-4】计算：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子、分母同乘分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘．
【详解】（1）
（2）
（3）
【题型3复数范围内解方程】
【典例4】在复数范围内分解因式：
(1)； (2)； (3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用完全平方公式平方差公式将所给的表达式分解因式.
【详解】（1）
（2）
（3）∵
∴
∴
【变式4-1】将在复数范围内因式分解为 .
【答案】
【分析】先求解判别式，再利用求根公式得出两个根，写出因式分解式即可.
【详解】令，
，所以，
即.
故答案为: .
【变式4-2】在复数范围内分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）结合复数运算求得正确答案.
【详解】（1）由于，
所以.
（2）由于，
所以.
【变式4-3】在复数范围内分解因式：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】注意,利用配方法和十字叉乘法，结合共轭复数的运算即可在复数范围内分解因式.
【详解】（1）;
（2）;
（3）;
（4）
一、单选题
1．已知为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】利用复数的除法运算，得到复数的代数形式，由此求得复数的虚部.
【详解】因为，所以虚部为1.
故选：D．
2．，则的共轭复数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的乘法运算，然后根据共轭复数的概念求解即可；
【详解】，
故选：D.
3．已知，其中为虚数单位，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数的除法运算求出复数，再利用复数相等得，则可求出
【详解】由题意得，，
则，所以.
故选：D．
4．在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】应用复数除法运算及复数的几何意义即可.
【详解】.
故选：D．
5．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接由复数的除法运算即可得解.
【详解】由题意有.
故选：B．
6．设复数满足，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】利用复数的除法解出，由模长公式计算.
【详解】由解得，所以.
故选：C.
7．已知复数z满足，则（ ）
A．i B． C． D．1
【答案】A
【分析】先求，再求.
【详解】由已知，
所以.
故选：A.
8．若复数，则（ ）
A．10 B．9 C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的乘法运算律即得.
【详解】，
所以，
故选：A
9．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的运算求出，进而得到.
【详解】，
，
故选：C.
10．已知为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】利用复数的乘法法则计算即得.
【详解】.
故选：B
11．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】借助复数的四则运算计算即可得.
【详解】.
故选：C.
二、填空题
12．已知是虚数单位，复数 ．
【答案】
【分析】根据复数的除法运算法则化简求解即可.
【详解】.
故答案为：.
13．设复数满足，则 .
【答案】5
【分析】设，根据复数的共轭复数、复数相等列方程组解得，再根据模长公式求解即可得答案.
【详解】设，则，于是，
解得，则.
故答案为：.
14．已知复数z满足（为虚数单位），则 .
【答案】/
【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算计算即得.
【详解】依题意，.
故答案为：
三、解答题
15．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据复数的乘法运算法则逐个计算即可得出（1）~（4）的结果.
【详解】（1）；
（2）
（3）
（4）
16．在复数范围内解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)1，，．
【分析】（1）（2）利用复数范围内根的求法，结合因式分解及一元二次方程的解法求解即可.
【详解】（1）因为，
所以是方程的两个根，即．
（2）原方程可化为，即或．
若，则；若，则；
于是方程在复数范围内有三个根，分别为1，，．
17．计算下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据复数的运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】（1）解：根据复数的运算法则，可得.
（2）解：根据复数的运算法则，可得.
（3）解：根据复数的运算法则，可得.
18．已知为虚数单位，计算下列各式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）根据复数的四则运算法则和乘方运算即得.
【详解】（1）；
（2）；
（3）
（4）
19．已知复数，.
(1)求；
(2)求；
(3)求.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据复数加法的知识求得正确答案.
（2）根据复数乘法的知识求得正确答案.
（3）根据共轭复数、除法的知识求得正确答案.
【详解】（1）.
（2）.
（3），
.
20．（1）化简 ；
（2）已知复数的，求 .
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）应用复数的乘法计算即可；
（2）先化简得，再应用复数的除法运算可得结果.
【详解】（1）;
（2）由已知得，
∴ .第02讲 复数的四则运算
考点1：复数的加减运算
1.复数的加法、减法运算法则：
设，（），我们规定：
2.复数的加法运算律:
交换律：z1+z2=z2+z1 结合律:：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
考点2：复数的加减运算的几何意义
复数的表示形式：
代数形式：（）
几何表示：
①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）；
②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数.
要点诠释：
复数复平面内的点平面向量
2．复数加、减法的几何意义：
如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量.对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量.
设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=(a，b)，=(c，d)以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是，
由于= +=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)，所以和 的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量
类似复数加法的几何意义，由于z1－z2=(a－c)+(b－d)i，而向量= =(a，b)-(c，d)=(a-c，b-d)，所以和 的差就是与复数(a－c)+(b－d)i对应的向量
考点3：复数的乘除运算
1．共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
通常记复数的共轭复数为。
2．乘法运算法则：
设，（），我们规定：
注意：
1. 两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
2. 在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数(分母实数化)，化简后写成代数形式。
3．乘法运算律：
(1)交换律：z1(z2z3)=(z1z2)z3
(2)结合律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
(3)分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
考点4：复数运算的一些技巧
1. 的周期性：如果n∈N，则有：
，，，（）
2.
3. 共轭复数的性质：两个共轭复数z、的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，
即，其中z=x+yi（x，y∈R）．
【题型1 复数的加减法运算及几何意义】
【典例1】计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【变式1-1】计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【变式1-2】计算：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)；
(6)．
【变式1-3】计算：
(1)； (2)；
(3).
【题型2复数的乘、除运算】
【典例2】计算：
； (2)；
(3)； (4)．
【变式2-1】计算：
； (2)；
(3)； (4)．
【典例3】计算：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【变式3-1】计算：
(1)； (2)．
【变式3-2】计算：
(1+2i)+（7-11i）-（5+6i）； (2)；
(3).
【变式3-2】计算：
(1)； (2).
【变式3-4】计算：
(1)； (2)； (3)．
【题型3复数范围内解方程】
【典例4】在复数范围内分解因式：
(1)； (2)； (3).
【变式4-1】将在复数范围内因式分解为 .
【变式4-2】在复数范围内分解因式：
(1)；
(2)．
【变式4-3】在复数范围内分解因式：
(2)
(3) (4)
一、单选题
1．已知为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A． B． C．0 D．1
2．，则的共轭复数等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知，其中为虚数单位，（ ）
A． B． C． D．
4．在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（ ）
A． B． C． D．
6．设复数满足，则（ ）
A． B． C．1 D．
7．已知复数z满足，则（ ）
A．i B． C． D．1
8．若复数，则（ ）
A．10 B．9 C． D．
9．若，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．1
11．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．已知是虚数单位，复数 ．
13．设复数满足，则 .
14．已知复数z满足（为虚数单位），则 .
三、解答题
15．计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
16．在复数范围内解下列方程：
(1)； (2)．
17．计算下列各式的值．
(1)； (2)； (3)．
18．已知为虚数单位，计算下列各式．
(1)； (2)；
(3)； (4)．
19．已知复数，.
(1)求； (2)求； (3)求.
20．（1）化简 ；
（2）已知复数的，求 .

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