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第4章 因式分解 章末检测卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】解：A. 从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
B.从左至右的变形不属于因式分解且计算错误，故本选项不符合题意；
C. 从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.从左至右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：Ａ．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解）是解此题的关键．
2．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）把分解因式，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用完全平方公式分解因式，即可得出答案．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了公式法分解因式，正确运用完全平方公式是解题关键．
3．（23-24八年级上·浙江台州·期末）单项式与的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查公因式，熟练掌握如何去找公因式是解题的关键．根据公因式的概念分别求得系数的最大公因数，相同字母的次数的最低次数即可．
【详解】解：单项式与的公因式是．
故选：C．
4．（22-23七年级下·浙江金华·期末）已知，这个整式可以因式分解为．则a、b的正确的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，掌握运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，这是解题关键．先利用十字相乘法去掉括号，再根据等式的性质得．
【详解】解：，
∴
解得：．
故选：B
5．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）若，，则M与N的大小关系为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查整式的加减及完全平方公式的应用，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．求出M与N的差，根据完全平方的非负性即可解决．
【详解】解：
，
，
．
故选：．
6．（23-24八年级上·福建泉州·期中）已知，则当时，d的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是整式的运算，解题的关键是运用整体思想代入求值．
【详解】解：
，
时，
，
故选：D．
7．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知正方形的边长为b，正方形的边长为．如图1，点H与点A重合，点E在边上，点G在边上，记阴影部分的面积为；如图2，在图1正方形位置摆放的基础上，在正方形的右下角又放了一个和正方形一样的正方形，使一个顶点和点C重合，两条边分别落在和上，记阴影部分面积为和． 若，，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】先表示出和的面积，进而求出a和b的值，再根据表示边长为的正方形的面积，即可求解；
【详解】∵的面积等于正方形面积-正方形面积，是边长为的正方形的面积，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
解，得，，
∵S3表示边长为的正方形的面积，
∴；
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，掌握割补法求图形面积的方法是解决（1）的关键；解（2）的关键是正确理解图形面积公式，会表示相应线段的长和图形的面积．
8．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）若，都是有理数，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质求出与的值，然后代入所求式子进行计算即可．
【详解】解：∵
∴
∴
∴，
解得：，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
9．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如果多项式能被整除，那么的值是（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】A
【分析】由于，而多项式能被整除，则能被整除．运用待定系数法，可设商是A，则，则和时，，分别代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解此方程组，求出a、b的值，进而得到的值.
【详解】解：∵，
∴能被整除，
设商是A．
则，
则和时，右边都等于0，所以左边也等于0．
当时， ①
当时， ②
，得，
∴，
∴．
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．本题关键是能够通过分析得出和时，原多项式的值均为0，从而求出a、b的值．本题属于竞赛题型，有一定难度．
10．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）已知，，则（　　）
A． B．3 C． D．1
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，利用因式分解的方法将各数变形后化简运算是解题的关键．利用因式分解的方法将各数变形后化简运算即可．
【详解】解：∵，
，
∴．
故选：A．
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11．（22-23七年级下·浙江金华·期末）因式分解： ．
【答案】
【分析】题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键，直接提取公因式9，再利用公式法分解因式得出答案．
【详解】解：
故答案为：
12．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）若，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的应用，先利用平方差把的左边分解因式，再把代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
13．（2014九年级·全国·专题练习）长和宽分别为，的矩形的周长为，面积为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，由周长和面积可分别求得和的值，再利用提公因式法把所求代数式转化为，代入计算即可求解，利用提公因式法把原式转化成是解题关键．
【详解】解：根据题意得：，，
∴，
故答案为：．
14．（2023九年级·全国·专题练习）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且（以上长度单位：cm）．观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ．

【答案】
【分析】由图可知，是长方形纸板的面积，即可得出结论．
【详解】解：由图可知，长方形的两条邻边的长分别为：，
∴长方形纸板的面积为：，
又长方形纸板的面积，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，因式分解的应用．解题的关键是正确的识图，用两种方法表示出长方形纸板的面积．
15．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）分解下列因式：，，．
（1）观察上述三个多项式的系数，有，，，于是小明猜测：若多项式是完全平方式，那么系数、、之间一定存在某种关系．请你用数学式子表示小明的猜想： ；
（2）若多项式和都是完全平方式，利用（2）中的规律求的值是 ．
【答案】 16
【分析】（1）根据题中给出的三个式子，结合多项式，由，，的形式即可猜想出答案；
（2）由（1）中的猜想，根据多项式是完全平方式，得到①；多项式是完全平方式，得到②，从而两式相乘即可得到的值．
【详解】解：（1），对比多项式有，
由可知；
同理，对于，，由，，均可得到；
用数学式子表示小明的猜想：，
故答案为：；
（2）由（1）中猜想，当多项式是完全平方式，得到①；当多项式是完全平方式，得到②，
，
和都是多项式，
与不能同时为，
若，则；不可能为完全平方式；
若，则；不可能为完全平方式；
，两边同时除以得到，
故答案为：．
【点睛】本题考查分解因式与完全平方式之间的规律，读懂题意，得到猜想结论，灵活利用结论求解是解决问题的关键．
16．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知，且互不相等，则 ．
【答案】
【分析】通过已知条件，找到的关系：，，，即可获得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了代数式求值以及因式分解等知识，利用已知条件找到是解题关键．
三、解答题(本大题共7小题,共66分)
17．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解：
（1）利用提公因式法即可求解；
（2）利用公式法即可求解；
熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．
【详解】（1）解：原式．
（2）原式．
18．（20-21八年级上·河南南阳·期中）若满足，求下列各式的值．
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是利用完全平方公式进行计算，利用提公因式分解因式，利用平方根的含义解方程，掌握计算方法与技巧是解本题的关键；
（1）把代入，再计算即可；
（2）把代入，再计算即可；
（3）先分解因式，再整体代入计算即可.
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴；
（3）∵，
∴；
19．（20-21八年级下·贵州贵阳·期中）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程：
解：设
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的最后结果___________________________．
(3)模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】(1)C
(2)
(3)
【分析】本题考查了因式分解：
（1）根据分解因式的过程可得答案；
（2）将结果再次因式分解即可；
（3）将看作整体进行因式分解即可；
掌握运用公式法分解因式是解题的关键，注意因式分解要分解彻底．
【详解】（1）解：，
则运用了两数和的完全平方公式进行因式分解，
故选C．
（2），
故答案为：．
（3）设，
原式
．
20．（22-23八年级上·浙江台州·期末）（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：______，_______；
（2）观察上述两个多项式的系数，有．于是小明猜测：若多项式是完全平方式，那么系数a，b，c之间一定存在某种关系．
①请你用数学式子表示系数a，b，c之间的关系________﹔
②说明理由；
（3）在实数范围内，若关于的二次三项式和都是完全平方式，利用（2）中的规律求mn的值．
【答案】（1），；（2）①，②理由见解析；（3）
【分析】本题考查了分解因式的应用、完全平方式的应用：
（1）根据完全平方公式进行解答，即可作答．
（2）①依题意，根据完全平方公式以及是完全平方式，即可得出系数a，b，c之间的关系，进行作答．
②结合完全平方公式，把描述出来，即可作答．
（3）由（2）可知，结合关于的二次三项式和都是完全平方式，联立等式，化简即可作答．
【详解】解：（1），
（2）①∵，且是完全平方式
∴
②根据多项式分解原理可得完全平方式，
化简得．
（3）∵关于x的多项式和都是完全平方式，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∴（舍去）或
21．（23-24八年级上·浙江台州·期末）根据以下素材，完成下列任务：
素材1 在因式分解习题课上，赵老师“随便”写了几个整系数二次三项式，让同学们因式分解，结果小王发现同学们都能在有理数范围内分解，小王也想试一试，就随便写了两个二次三项式∶，让同学们因式分解，结果发现有一个不能因式分解，这到底为什么呢？
素材2 看着小王有些疑问，赵老师笑着说：整系数二次三项式能不能在有理数范围内因式分解与的值有关；
赵老师的话引起全班同学的兴趣，决定探究一下，请你加入完成下列任务：
任务1 特例求解 写出小王给出的两个二次三项式的的值，并分解能分解的那个二次三项式；
任务2 探究关系 如果能在有理数范围内因式分解，写出所有整数p的值 ；
任务3 确定结论 根据任务1，任务2中的值的特征，写出整系数二次三项式能在有理数范围内因式分解的条件：　　　，并证明．
【答案】任务1：多项式的，多项式的；；任务2：，，7，5；任务3：整系数二次三项式能在有理数范围内因式分解的条件是的值为完全平方数，证明见解析
【分析】本题主要考查了因式分解：
（1）根据题意计算对应多项式中的值，再根据因式分解的方法对对应的多项式分解因式即可；
（2）设，则，得到，根据完全平方公式得到，由是整数，得到是整数，则是整数，再由，可得或．
（3）设，则，可得，由即可得到结论．
【详解】解：任务1：多项式的，
多项式的；
根据题意可知多项式能分解因式，多项式不能分解因式，
；
任务2：设，
∴，
∴，
∴，
∵是整数，
∴是整数，
∴是整数，
∴s、t都为整数，
∵，
∴或或或，
∴所有整数p的值为，，7，5；
故答案为：，，7，5．
任务3：整系数二次三项式能在有理数范围内因式分解的条件是的值为完全平方数，证明如下：
设
∴，
∴，
∴，
∵a、b、c都是整数，
∴m、n都是整数，
∴是一个整数，
∴是一个完全平方数，
∴整系数二次三项式能在有理数范围内因式分解的条件是的值为完全平方数．
22．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）【学习材料】十字相乘法
对于形如的关于x、y二次三项式进行因式分解时，把项系数a分解成两个因数，的积，即，把项系数c分解成两个因数，的积，即，并使正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：
例：分解因式：
解：如图1，其中，，而，
而对于形如的关于x、y的二元二次式也可以用两次十字相乘法来分解．如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果，，；即第1、2列、第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则：则原式
例：分解因式：
解：如图3，其中，，，而，，，
【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
(1)通过十字相乘法分解因式得，则______ ，______ ．
(2)分解因式：______ ；
______ ；
(3)若且，求代数式的值．
【答案】(1)2，5
(2)；
(3)
【分析】（1）根据十字相乘法分解因式；
（2）根据十字相乘法分解因式；
（3）先把条件分解因式，再把分式化简求值．
【详解】（1）解：，
，，
故答案为：2，5；
（2）解：
，
故答案为：；；
（3）解：且，
，
，
，
【点睛】本题考查了因式分解，理解题中的十字相乘法是解题的关键．
23．（2023七年级下·浙江·专题练习）材料一：一个正整数x能写成（a，b均为正整数，且），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时．
例如：，24为“雪松数”，7和5为24的一个平方差分解，，，因为，所以9和7为32的最佳平方差分解，；
材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”．
根据材料回答：
(1)请直接写出两个“雪松数”，并分别写出它们的一对平方差分解；
(2)试证明10不是：“雪松数”；
(3)若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中的最大值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)的最大值为14824013
【分析】本题主要考查分解因式的应用，实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．
（1）根据“雪松数”的特征即可得到结论；
（2）根据题意即可得到结论；
（3）设（a，b均为正整数，且），另一个“南麓数”为（m，n均为正整数，且），根据“南麓数”的特征即可得到结论．
【详解】（1）解：；
（2）解：若10是“雪松数”，
则可设（a，b均为正整数，且），
则，
又∵，
∵a，b均为正整数，
∴，
∴，或，
解得：或，
与a，b均为正整数矛盾，
故10不是“雪松数”；
（3）解：设（a，b均为正整数，且），另一个“南麓数”为（m，n均为正整数，且），
则，
∴，
整理得，
∵a，b，m，n均为正整数，
∴，
经探究，，符合题意，
∴t的值分别为：2772，5445，
设，
当时，，则，
当时，，则，
∴的最大值为14824013．
24．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”．
(1)若，，求a，b的“和积数”c；
(2)若，，求a，b的“和积数”c；
(3)已知，且a，b的“和积数”，求b（用含x的式子表示）并计算的最小值．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)，有最小值为．
【分析】（1）把，代入c中求值即可；
（2）利用完全平方公式求出，得到的值，进而得到c的值；
（3）把a，c的值代入，化简得，分和两种情况讨论，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴a，b的“和积数”；
（2）解：∵，且，，
∴,
∴．
∴或；
即或；
（3）解：由题意，，
∵，
，
∴．
①若，式子变为．
∴b为任何数，不存在最小值；
②若，又，
∴，
∴，
∴
．
∴当时，有最小值为．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用．中小学教育资源及组卷应用平台
第4章 因式分解 章末检测卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）把分解因式，正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·浙江台州·期末）单项式与的公因式是（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23七年级下·浙江金华·期末）已知，这个整式可以因式分解为．则a、b的正确的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）若，，则M与N的大小关系为( )
A． B． C． D．
6．（23-24八年级上·福建泉州·期中）已知，则当时，d的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知正方形的边长为b，正方形的边长为．如图1，点H与点A重合，点E在边上，点G在边上，记阴影部分的面积为；如图2，在图1正方形位置摆放的基础上，在正方形的右下角又放了一个和正方形一样的正方形，使一个顶点和点C重合，两条边分别落在和上，记阴影部分面积为和． 若，，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）若，都是有理数，且，则( )
A． B． C． D．
9．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如果多项式能被整除，那么的值是（ ）
A． B． C．3 D．6
10．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）已知，，则（　　）
A． B．3 C． D．1
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11．（22-23七年级下·浙江金华·期末）因式分解： ．
12．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）若，，则的值为 ．
13．（2014九年级·全国·专题练习）长和宽分别为，的矩形的周长为，面积为，则的值为 ．
14．（2023九年级·全国·专题练习）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且（以上长度单位：cm）．观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ．

15．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）分解下列因式：，，．
（1）观察上述三个多项式的系数，有，，，于是小明猜测：若多项式是完全平方式，那么系数、、之间一定存在某种关系．请你用数学式子表示小明的猜想： ；
（2）若多项式和都是完全平方式，利用（2）中的规律求的值是 ．
16．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知，且互不相等，则 ．
三、解答题(本大题共7小题,共66分)
17．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）因式分解：
(1)； (2)．
18．（20-21八年级上·河南南阳·期中）若满足，求下列各式的值．
(1)
(2)
(3)
19．（20-21八年级下·贵州贵阳·期中）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程：
解：设
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的最后结果___________________________．
(3)模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
20．（22-23八年级上·浙江台州·期末）（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：______，_______；
（2）观察上述两个多项式的系数，有．于是小明猜测：若多项式是完全平方式，那么系数a，b，c之间一定存在某种关系．
①请你用数学式子表示系数a，b，c之间的关系________﹔
②说明理由；
（3）在实数范围内，若关于的二次三项式和都是完全平方式，利用（2）中的规律求mn的值．
21．（23-24八年级上·浙江台州·期末）根据以下素材，完成下列任务：
素材1 在因式分解习题课上，赵老师“随便”写了几个整系数二次三项式，让同学们因式分解，结果小王发现同学们都能在有理数范围内分解，小王也想试一试，就随便写了两个二次三项式∶，让同学们因式分解，结果发现有一个不能因式分解，这到底为什么呢？
素材2 看着小王有些疑问，赵老师笑着说：整系数二次三项式能不能在有理数范围内因式分解与的值有关；
赵老师的话引起全班同学的兴趣，决定探究一下，请你加入完成下列任务：
任务1 特例求解 写出小王给出的两个二次三项式的的值，并分解能分解的那个二次三项式；
任务2 探究关系 如果能在有理数范围内因式分解，写出所有整数p的值 ；
任务3 确定结论 根据任务1，任务2中的值的特征，写出整系数二次三项式能在有理数范围内因式分解的条件：　　　，并证明．
22．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）【学习材料】十字相乘法
对于形如的关于x、y二次三项式进行因式分解时，把项系数a分解成两个因数，的积，即，把项系数c分解成两个因数，的积，即，并使正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：
例：分解因式：
解：如图1，其中，，而，
而对于形如的关于x、y的二元二次式也可以用两次十字相乘法来分解．如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果，，；即第1、2列、第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则：则原式
例：分解因式：
解：如图3，其中，，，而，，，
【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
(1)通过十字相乘法分解因式得，则______ ，______ ．
(2)分解因式：______ ；
______ ；
(3)若且，求代数式的值．
23．（2023七年级下·浙江·专题练习）材料一：一个正整数x能写成（a，b均为正整数，且），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时．
例如：，24为“雪松数”，7和5为24的一个平方差分解，，，因为，所以9和7为32的最佳平方差分解，；
材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”．
根据材料回答：
(1)请直接写出两个“雪松数”，并分别写出它们的一对平方差分解；
(2)试证明10不是：“雪松数”；
(3)若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中的最大值．
24．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”．
(1)若，，求a，b的“和积数”c；
(2)若，，求a，b的“和积数”c；
(3)已知，且a，b的“和积数”，求b（用含x的式子表示）并计算的最小值．

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