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22.2.4 一元二次方程根的判别式
素养目标
1.会通过计算一元二次方程根的判别式的值,判定相应的方程的根的情况.
2.会由根的情况,确定方程中系数的取值范围.
3.会运用公式法解一元二次方程,从而提高运算能力,并在学习活动中获得成功的体验,建立学好数学的自信心.
◎重点:利用根的判别式进行相关的判定和计算.
预习导学
知识点 一元二次方程根的判别式
阅读课本本课时的“回忆”,回答下列问题.
在对一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)配方时,我们得到方程x+2=,观察方程的右边,回答下列问题:
(1)当b2-4ac>0时,方程的右边是一个　 　,它有　 　个　 　的平方根,所以x1=　 　,x2=　;
(2)当b2-4ac=0时,方程的右边是　 　,所以方程有　 　个　 　的实数根,即x1=x2=　;
(3)当b2-4ac<0时,方程的右边是一个　 　数,负数　 　(填“有”或“没有”)平方根,所以方程　 　(填“有”或“没有”)实数根.
归纳总结　b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式,通常用“Δ”来表示,即Δ=b2-4ac.
当Δ>0时,方程有两个　 　的实数根;
当Δ=0时,方程有两个　 　的实数根;
当Δ<0时,方程　 　实数根.
【答案】(1)正数　两　不相等　　　(2)0　两　相等　-　负
(3)没有　没有
归纳总结　不相等　相等　没有
对点自测
一元二次方程x2+x-2=0的根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
【答案】A
合作探究
任务驱动一 判定一元二次方程根的情况
1.不解方程,判断下列方程的根的情况.
(1)3x2=5x-2;
(2)4x2-2x+=0;
(3)4(y2+1)-y=0.
方法归纳交流　计算判别式时,方程要化为一般形式.
变式演练　下列一元二次方程中,没有实数根的是 ( )
　　　　 　　　　 　　　　
A.4x2-5x+2=0
B.x2-6x+9=0
C.5x2-4x-1=0
D.3x2-4x+1=0
【答案】1.解:(1)原方程可变形为3x2-5x+2=0,
∵Δ=(-5)2-4×3×2=25-24=1>0,
∴该方程有两个不相等的实数根;
(2)∵Δ=(-2)2-4×4×=4-4=0,
∴该方程有两个相等的实数根;
(3)原方程可变形为4y2-y+4=0,
∵Δ=(-1)2-4×4×4=1-64=-63<0,
∴该方程没有实数根.
变式演练　A
任务驱动二 由方程根的情况确定系数的范围
2.已知关于x的一元二次方程(x+1)2-m=0有两个实数根,则m的取值范围是 ( )
A.m≥- B.m≥0
C.m≥1 D.m≥2
方法归纳交流　解决一元二次方程中系数的范围问题,首先要根据一元二次方程根的情况,列出不等式,最后解出不等式即可确定系数的范围.
变式演练　已知关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是 ( )
A.m≤3
B.m<3
C.m<3且m≠2
D.m≤3且m≠2
【答案】2.B
变式演练　D

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